5.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象導(dǎo)學(xué)案-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁(yè)5.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解由單位圓和正、余弦函數(shù)定義畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的步驟，掌握“五點(diǎn)法”畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的方法．(重點(diǎn))2．正、余弦函數(shù)圖象的簡(jiǎn)單應(yīng)用．(難點(diǎn))3．正、余弦函數(shù)圖象的區(qū)別與聯(lián)系．(易混點(diǎn))【自主學(xué)習(xí)】一．正弦函數(shù)的圖象正弦函數(shù)的圖象叫做，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．五點(diǎn)法：在函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象上，以下五個(gè)點(diǎn)：，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，在確定圖象形狀時(shí)起關(guān)鍵作用．描出這五個(gè)點(diǎn)，函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了．因此，在精確度要求不高時(shí)，常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖．【答案】正弦曲線(0,0)(π，0)(2π，0)二．余弦函數(shù)圖象1.變換法將正弦函數(shù)的圖象向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示．余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線．它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．2.五點(diǎn)法：y＝cosx，x∈[－π，π]的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)為：，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，，用光滑曲線連接這五個(gè)點(diǎn)可得到x∈[－π，π]的簡(jiǎn)圖．【答案】(－π，－1)(0,1)(π，－1)【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)練】1畫出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．【解析】(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖1)．(2)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(lái)(如圖2)．2.在同一坐標(biāo)系畫出下列函數(shù)的圖象.通過觀察兩條曲線，說說它們的異同：3.用五點(diǎn)法分別畫出下列函數(shù)在[-,]的圖象：(1)y=-sinx；(2)y=2-cosx，x[0,2].解：(1)1)列表得：2)描出各點(diǎn)；3)用平滑的曲線將以上各點(diǎn)連接起來(lái)連線.解：(2)1)列表得：2)描出各點(diǎn)；3)用平滑的曲線將以上各點(diǎn)連接起來(lái)連線.4.想一想，函數(shù)y=|sinx|與y=sinx圖象間的關(guān)系，并進(jìn)行驗(yàn)證。【答案】ABC【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)提升練】一、單選題1．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝2sinx－1的圖象時(shí)，首先應(yīng)描出的五點(diǎn)的橫坐標(biāo)可以是()A．0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π B．0，eq\f(π,4)，eq\f(π,2)，eq\f(3π,4)，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，eq\f(π,6)，eq\f(π,3)，eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)【答案】A【解析】依據(jù)“五點(diǎn)法”作圖規(guī)則可知選A.2．若點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，－m))在函數(shù)y＝sinx的圖象上，則m等于()A．0B．1C．－1D．2【答案】C【解析】當(dāng)x＝eq\f(π,2)時(shí)，y＝sineq\f(π,2)＝1，故－m＝1，m＝－1.3．已知f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))，則f(x)的圖象()A．與g(x)的圖象相同B．與g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得g(x)的圖象D．向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位，得g(x)的圖象【答案】D【解析】f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))，g(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝sinx，f(x)圖象向右平移eq\f(π,2)個(gè)單位得到g(x)圖象．4．將余弦函數(shù)y＝cosx的圖象向右至少平移m個(gè)單位，可以得到函數(shù)y＝－sinx的圖象，則m＝()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D.eq\f(3π,4)【答案】C【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式得，y＝－sinx＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3π,2)))，故欲得到y(tǒng)＝－sinx的圖象，需將y＝cosx的圖象向右至少平移eq\f(3π,2)個(gè)單位長(zhǎng)度．5．函數(shù)y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致圖象為()【答案】D【解析】由題意得y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2cosx，0≤x≤\f(π,2)或\f(3,2)π≤x≤2π，,0，\f(π,2)＜x＜\f(3,2)π.))顯然只有D合適．二、填空題6．用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝1－cosx，x∈[0,2π]的圖象時(shí)，應(yīng)取的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是______________．【答案】(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)【解析】x依次取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π得五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，1))，(2π，0)．7．函數(shù)y＝cosx＋4，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4))【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝cosx＋4，,y＝4))得cosx＝0，當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，x＝eq\f(π,2)或eq\f(3π,2)，∴交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，4)).8．函數(shù)y＝lg(eq\r(2)－2cosx)的定義域是________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z))))【解析】由eq\r(2)－2cosx＞0得cosx＜eq\f(\r(2),2)，作出y＝cosx的圖象和直線y＝eq\f(\r(2),2)，由圖象可知cosx＜eq\f(\r(2),2)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ＜x＜\f(7π,4)＋2kπ，k∈Z)))).]三、解答題9．用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖．(1)y＝2sinx(x∈[0,2π])；(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,2))))).[解](1)列表如下：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sinx020－20描點(diǎn)連線如圖：(2)列表如下：xeq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πeq\f(5π,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))010－10描點(diǎn)連線如圖：10．若函數(shù)y＝2cosx(0≤x≤2π)的圖象和直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形(如圖)，求這個(gè)封閉圖形的面積．[解]觀察圖可知：圖形S1與S2，S3與S4都是兩個(gè)對(duì)稱圖形，有S1＝S2，S3＝S4.因此函數(shù)y＝2cosx的圖象與直線y＝2所圍成的圖形面積，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為求矩形OABC的面積．∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π，∴所求封閉圖形的面積為4π.11．用“五點(diǎn)法”作下列函數(shù)在長(zhǎng)度一個(gè)周期的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖：(1)；(2)；(3).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(3)答案見解析【分析】（1）的周期為，取內(nèi)的五點(diǎn)，列表描點(diǎn)可畫出簡(jiǎn)圖；（2）的周期為，取內(nèi)的五點(diǎn)，求出對(duì)應(yīng)的的值，列表描點(diǎn)即可；（3）的周期為，取內(nèi)的五點(diǎn)，求出對(duì)應(yīng)的的值，列表描點(diǎn)即可畫出簡(jiǎn)圖.(1)解：函數(shù)，列表如下；x0sinx010-10y000在上的圖象如圖所示：(2)函數(shù)，列表如下；x0x0y010-10在上的圖象如圖所示：(3)函數(shù)，列表如下；x0x0y020-20在上的圖象如圖所示：12．用五點(diǎn)法作出下列函數(shù)在上的圖像.(1);(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)取分別為，求出對(duì)應(yīng)的，然后描點(diǎn),用平滑的曲線連接即可.(2)取分別為，求出對(duì)應(yīng)的，然后描點(diǎn),用平滑的曲線連接即可.【詳解】解:(1)找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0010010121描點(diǎn),作圖如圖所示.(2)找五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表:x0000100描點(diǎn),作圖如圖所示.13．用五點(diǎn)法作函數(shù)的簡(jiǎn)圖．【答案】見解析.【分析】分別取等于0，，，，，求出對(duì)應(yīng)的的值，描點(diǎn)連線得出函數(shù)在的簡(jiǎn)圖，再將在上的圖像向左右拓展，得在上的圖像.【詳解】的周期，列表、描點(diǎn)，畫出在一個(gè)周期內(nèi)的圖像.0200211把在上的圖像向左右拓展，得在上的圖像，如圖所示.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)素養(yǎng)練】一、單選題1．如圖所示，函數(shù)y＝cosx·|tanx|0≤x＜eq\f(3π,2)且x≠eq\f(π,2)的圖象是()【答案】C【解析】當(dāng)0≤x＜eq\f(π,2)時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝sinx；當(dāng)eq\f(π,2)＜x≤π時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝－sinx；當(dāng)π＜x＜eq\f(3π,2)時(shí)，y＝cosx·|tanx|＝sinx，故其圖象為C.2．方程sinx＝eq\f(x,10)的根的個(gè)數(shù)是()A．7B．8C．9D．10【答案】A【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝eq\f(x,10)和y＝sinx的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可知方程有7個(gè)根．二、多選題3．若函數(shù)，的圖象和直線y＝2圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C． D．所圍圖形的面積為【答案】AC【分析】作出函數(shù)圖象，利用圖象逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】作出函數(shù)，的圖象，函數(shù)，的圖象與直線y＝2圍成的平面圖形為如圖所示的陰影部分．由圖可知，當(dāng)時(shí)，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；利用圖象的對(duì)稱性，知該陰影部分的面積等于矩形OABC的面積，因?yàn)镺A＝2，，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC．4．關(guān)于函數(shù)，的圖象與直線（為常數(shù)）的交點(diǎn)情況，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn) B．當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)【答案】AB【分析】作出函數(shù)函數(shù)，的圖象，數(shù)形結(jié)合，一一判斷每個(gè)選項(xiàng)，可得答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象如圖所示,對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，只有1個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．故選:AB．三、填空題5．在(0,2π)內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是______．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出y＝sinx，x∈(0,2π)與y＝coseq\x(x)，eq\x(x)∈(0,2π)的圖象如圖所示，由圖象可觀察出當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))時(shí)，sinx>cosx．6．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs