5.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（4種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）-高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（4種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實基礎(chǔ)】題型一：直接應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系求值1.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanα＝2，則cosα＝________.【答案】－eq\f(\r(5),5)【解析】由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2，①,sin2α＋cos2α＝1，②))由①得sinα＝2cosα代入②得4cos2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(1,5)，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，所以cosα＜0，所以cosα＝－eq\f(\r(5),5).2.已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值．[解]∵cosα＝－eq\f(8,17)＜0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).如果α是第三象限角，同理可得sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).3．已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．[解]∵sinα＋3cosα＝0，∴sinα＝－3cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(－3cosα)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cosα＝±eq\f(\r(10),10).又由sinα＝－3cosα，可知sinα與cosα異號，∴角α的終邊在第二或第四象限．當(dāng)角α的終邊在第二象限時，cosα＝－eq\f(\r(10),10)，sinα＝eq\f(3,10)eq\r(10)；當(dāng)角α的終邊在第四象限時，cosα＝eq\f(\r(10),10)，sinα＝－eq\f(3,10)eq\r(10).題型二：靈活應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值4.已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，α∈(0，π)，則tanα＝________.【答案】－eq\f(12,5)【解析】法一：(構(gòu)建方程組)因為sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169)，即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因為α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0.所以sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).法二：(弦化切)同法一求出sinαcosα＝－eq\f(60,169)，eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝－eq\f(60,169)，eq\f(tanα,tan2α＋1)＝－eq\f(60,169)，整理得60tan2α＋169tanα＋60＝0，解得tanα＝－eq\f(5,12)或tanα＝－eq\f(12,5).由sinα＋cosα＝eq\f(7,13)＞0知|sinα|＞|cosα|，故tanα＝－eq\f(12,5).5.已知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，計算下列各式的值．①eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；②sin2α－2sinαcosα＋1.[解]由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝2，化簡，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3.①法一(換元)原式＝eq\f(3×3cosα－cosα,2×3cosα＋3cosα)＝eq\f(8cosα,9cosα)＝eq\f(8,9).法二(弦化切)原式＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×3－1,2×3＋3)＝eq\f(8,9).②原式＝eq\f(sin2α－2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＋1＝eq\f(tan2α－2tanα,tan2α＋1)＋1＝eq\f(32－2×3,32＋1)＋1＝eq\f(13,10).題型三：應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡6.化簡eq\f(2sin2α－1,1－2cos2α)＝________.【答案】1【解析】原式＝eq\f(2sin2α－1,1－21－sin2α)＝eq\f(2sin2α－1,2sin2α－1)＝1.7.化簡eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(tanα－sinα,tanα＋sinα)).(其中α是第三象限角)[解]原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(\f(sinα,cosα)－sinα,\f(sinα,cosα)＋sinα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\r(\f(1－cosα2,1－cos2α))＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,|sinα|).又因為α是第三象限角，所以sinα＜0.所以原式＝eq\f(sinα,1－cosα)·eq\f(1－cosα,－sinα)＝－1.8．化簡tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是第二象限角．[解]因為α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.題型四：應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明9.求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanαsinα).[證明]法一：(切化弦)左邊＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(sinα＋sinαcosα,sin2α)＝eq\f(1＋cosα,sinα).因為sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)，所以eq\f(sinα,1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)，所以左邊＝右邊．所以原等式成立．法二：(由右至左)因為右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊，10．求證：(1)eq\f(sinα－cosα＋1,sinα＋cosα－1)＝eq\f(1＋sinα,cosα)；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[證明](1)左邊＝eq\f(sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1,sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1)＝eq\f(sinα＋12－cos2α,sinα＋cosα2－1)＝eq\f(sin2α＋2sinα＋1－1－sin2α,sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sin2α＋2sinα,1＋2sinαcosα－1)＝eq\f(2sinαsinα＋1,2sinαcosα)＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝右邊，∴原等式成立．(2)左邊＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右邊，∴原等式成立．【能力提升】一、單選題1．已知，則＝（

）A． B．2 C． D．6【答案】A【分析】巧用1將所求化為齊次式，然后根據(jù)基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為所以故選：A2．若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：由得，∴或，因為，，所以.由及得，∴，所以．故選：A二、多選題3．下列三角函數(shù)值中符號為負(fù)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)各交所在象限判斷三角函數(shù)的正負(fù)情況.【詳解】因為，所以角是第二象限角，所以；因為，角是第二象限角，所以；因為，所以角是第二象限角，所以；；故選：BCD．4．已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】已知式平方求得，從而可確定的范圍，然后求得，再與已知結(jié)合求得，由商數(shù)關(guān)系得，從而可判斷各選項．【詳解】因為①，所以，所以．又，所以，所以，即，故A正確．，所以②，故D正確．由①②，得，，故B正確．，故C錯誤．故選：ABD．5．已知為整數(shù)，若函數(shù)在上有零點，則滿足題意的可以是下列哪些數(shù)（）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】ABC【分析】設(shè)，則函數(shù)在上有零點等價于方程在上有解，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍．【詳解】因為,設(shè)，，則，即，亦即．故選：ABC．6．已知，則下列式子成立的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】對原式進(jìn)行切化弦，整理可得：，結(jié)合因式分解代數(shù)式變形可得選項.【詳解】∵，，整理得，∴，即，即，∴C、D正確.故選：CD【點睛】此題考查三角函數(shù)的化簡變形，根據(jù)弦切關(guān)系因式分解，結(jié)合平方關(guān)系變形.三、填空題7．若，，且，則的最大值為______．【答案】【分析】由題意結(jié)合商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得，再利用基本不等式即可得出答案.【詳解】解：由，得，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最大值為.故答案為：.8．若實數(shù)，滿足，則的最大值為______.【答案】【分析】根據(jù)條件，采用三角換元法，令，代入要求的式子化簡整理成關(guān)于的二次函數(shù)即可求解.【詳解】因為實數(shù)，滿足，令，則當(dāng)時，取最大值，故答案為：.9．已知，且，則____.【答案】【分析】利用完全平方公式，建立、與和的等量關(guān)系，并利用所求值確定，的符號，從而可求.【詳解】解：，兩邊平方，可得，可得，，可得，，可得，．故答案為：.10．已知角的終邊經(jīng)過點，的值是____________．【答案】【分析】先利用三角函數(shù)的定義求出，再進(jìn)行弦化切，代入求解.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以.所以.故答案為：11．設(shè)、是非零實數(shù)，，若，則________【答案】【分析】由已知化簡可得，，代入已知式子可得，即可求解.【詳解】化簡得，即，∴，∴.故答案為:【點睛】本題考查三角指數(shù)冪的運(yùn)算，合理利用已知條件，以及平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.四、解答題12．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求.（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數(shù)式的值.（1）解法一：∵，，∴，分子分母同時除以，得，即，解得．解法二：∵，∴，即，∴∴．（2）∵，∴．13．（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先求出，再進(jìn)行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再進(jìn)行誘導(dǎo)公式和弦化切變換，代入即可求解.【詳解】（1）由知

原式=（2）

又

原式===14．人臉識別技術(shù)應(yīng)用在各行各業(yè)，改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機(jī)分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應(yīng)用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設(shè)二維