吉林省長(zhǎng)春六中、八中、十一中等省重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

吉林省長(zhǎng)春六中、八中、十一中等省重點(diǎn)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A． B． C． D．2．已知為的一個(gè)內(nèi)角，向量.若，則角()A． B． C． D．3．過(guò)點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)方程為A． B． C． D．4．若函數(shù)，則（）A．9 B．1 C． D．05．已知等差數(shù)列的首項(xiàng),公差,則()A．5 B．7 C．9 D．116．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的最小值為()A． B． C． D．8．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折成大小等于的二面角分別為的中點(diǎn)，若，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B．C． D．9．已知，，，則（）A． B． C．-7 D．710．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．向量在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則以向量為鄰邊的平行四邊形的面積是_________.12．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________．13．若數(shù)列滿(mǎn)足，且，則___________.14．在四面體中，平面ABC，，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則四面體ABCD的體積為_(kāi)______．15．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地．”則該人第一天走的路程為_(kāi)_________里．16．將邊長(zhǎng)為1的正方形(及其內(nèi)部)繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,點(diǎn)?分別是圓和圓上的點(diǎn),長(zhǎng)為,長(zhǎng)為,且與在平面的同側(cè),則與所成角的大小為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．直線(xiàn)的方程為.(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；(2)若不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，且.（1）求的值；（2）求的值.19．已知離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)．20．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.21．某高中為了選拔學(xué)生參加“全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽”，先在本校進(jìn)行初賽（滿(mǎn)分150分），隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績(jī)作為樣本，并根據(jù)他們的初賽成績(jī)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這次初賽成績(jī)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】試題分析：由圖可知，，∴，又，∴，∴，又．∴.考點(diǎn)：由圖象確定函數(shù)解析式.2、C【解析】

帶入計(jì)算即可．【詳解】即,選C.【點(diǎn)睛】本題考查向量向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】過(guò)點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線(xiàn)的直線(xiàn)斜率為，代入過(guò)的點(diǎn)得到.故答案為D.4、B【解析】

根據(jù)的解析式即可求出，進(jìn)而求出的值．【詳解】∵，∴，故，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的概念，以及已知函數(shù)求值的方法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數(shù)列，且首項(xiàng)，公差，得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求值，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

由正弦定理可得，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即為偶函數(shù).，求得的最小值．【詳解】把函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后.可得的圖象.再根據(jù)所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng),即為偶函數(shù).所以即，當(dāng)時(shí)，的值最小.所以的最小值為：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

連接和，由二面角的定義得出，由結(jié)合為的中點(diǎn)，可知是的角平分線(xiàn)且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線(xiàn)段與角建立關(guān)系，借助三角函數(shù)來(lái)求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．9、C【解析】

把已知等式平方后可求得．【詳解】∵，∴，即，，∵，∴，∴，，∴．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查同角間的三角函數(shù)關(guān)系，考查兩角和的正切公式，解題關(guān)鍵是把已知等式平方，并把1用代替，以求得．10、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結(jié)合題意計(jì)算可得的值，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

將向量平移至相同的起點(diǎn)，寫(xiě)出向量對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，計(jì)算向量的夾角，從而求得面積.【詳解】根據(jù)題意，將兩個(gè)向量平移至相同的起點(diǎn)，以起點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系如下所示：則，故.又兩向量的夾角為銳角，故，則該平行四邊形的面積為.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查用向量解決幾何問(wèn)題的能力，涉及向量坐標(biāo)的求解，夾角的求解，屬基礎(chǔ)題.12、【解析】

先將轉(zhuǎn)化為余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【詳解】解：最小正周期為.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.13、【解析】

對(duì)已知等式左右取倒數(shù)可整理得到，進(jìn)而得到為等差數(shù)列；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式，從而求得結(jié)果.【詳解】，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，關(guān)鍵是明確對(duì)于形式的遞推關(guān)系式，采用倒數(shù)法來(lái)進(jìn)行推導(dǎo).14、【解析】

設(shè),再根據(jù)外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形求解進(jìn)而求得體積即可.【詳解】設(shè),底面外接圓直徑為.易得底面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.則由正弦定理得.又外接球的直徑與和底面外接圓的一條直徑構(gòu)成直角三角形有.又外接球的表面積為,即.解得.故四面體體積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了側(cè)棱垂直于底面的四面體的外接球問(wèn)題.需要根據(jù)題意建立底面三角形外接圓的直徑和三棱錐的高與外接球直徑的關(guān)系再求解.屬于中檔題.15、192【解析】設(shè)每天走的路程里數(shù)為由題意知是公比為的等比數(shù)列∵∴∴故答案為16、【解析】

畫(huà)出幾何體示意圖，將平移至于直線(xiàn)相交，在三角形中求解角度.【詳解】根據(jù)題意，過(guò)B點(diǎn)作BH//交弧于點(diǎn)H，作圖如下：因?yàn)锽H//，故即為所求異面直線(xiàn)的夾角，在中，，在中，因?yàn)椋试撊切螢榈冗吶切?，即：，在中，，，且母線(xiàn)BH垂直于底面，故：，又異面直線(xiàn)夾角范圍為，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)的夾角求解，一般解決方法為平移至直線(xiàn)相交，在三角形中求角.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)0或2；(2).【解析】

（1）當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可求得滿(mǎn)足題意；當(dāng)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)直線(xiàn)截距式，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，可得直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第二象限；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，解得：，滿(mǎn)足題意當(dāng)不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即時(shí)若，即時(shí)，，不符合題意若，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當(dāng)，即時(shí)，，不經(jīng)過(guò)第二象限，滿(mǎn)足題意當(dāng)，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程的應(yīng)用，涉及到直線(xiàn)截距式方程、由圖象確定參數(shù)范圍等知識(shí)；易錯(cuò)點(diǎn)是在截距相等時(shí)，忽略經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的情況，造成丟根.18、（1）；（2）【解析】

（1）平方處理求出，根據(jù)角的范圍可得，即可得解；（2）變形處理，結(jié)合（1）已計(jì)算的結(jié)果即可求解.【詳解】（1）由題：角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，其始邊與軸正半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，若，，即，兩邊平方可得：，，所以；（2）【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)平方關(guān)系處理同角正余弦的和差積三者關(guān)系，利用平方關(guān)系合理變形求值.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)離心率可得的關(guān)系，將點(diǎn)代入橢圓方程，可得橢圓方程；（2）直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，可得弦長(zhǎng).【詳解】（1），又，，即橢圓方程是，代入點(diǎn),可得，橢圓方程是.（2）設(shè)直線(xiàn)方程是，聯(lián)立橢圓方程代入可得.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程和直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，涉及弦長(zhǎng)公式，屬于簡(jiǎn)單題.20、（1）（2）【解析】

（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，求得，進(jìn)而得到，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，列用裂項(xiàng)法，即可求解數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，又由，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)依次為80，81，80【解析】

（1）利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，列出方程，即可求解；（2）由頻率分布直方圖，結(jié)合平均數(shù)、中位