湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省永州市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，所?故選：A2.樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，15，12，14上四分位數(shù)為（）A.14 B.15 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗將數(shù)據(jù)從小到大排序可得，共8個(gè)樣本數(shù)據(jù)，則上四分位數(shù)即第百分位數(shù)為，即為.故選：D.3.已知非零數(shù)列滿足，則（）A.8 B.16 C.32 D.64〖答案〗D〖解析〗由可得，則.故選：D.4.的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)為540，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中第四項(xiàng)為，所以，解得，所以.故選：C.5.為迎接2024年在永州舉行的中國龍舟公開賽，一位熱情好客的永州市民準(zhǔn)備將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，若每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為（）A.26 B.25 C.24 D.23〖答案〗C〖解析〗將9份一樣的永州特產(chǎn)分給甲、乙、丙三名幸運(yùn)觀眾，每人至少分得一份，有種分法，而甲、乙兩人分得的份數(shù)相同，可以都是1份，2份，3份，4份共4種分法，所以每人至少分得一份，且甲、乙兩人分得的份數(shù)不相同，則不同的分法總數(shù)為種.故選：C.6.在中，，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過垂直的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，由，可得是以為直徑的圓，所以的軌跡方程為，取的中點(diǎn)為，設(shè)，可得，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為，圓心為，半徑為，由，所以，所以，所以，所以.故選：A.7.已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，在上單調(diào)遞增.令，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，則化為所以，解得，.故選：C.8.已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，平分，其中一條漸近線與線段交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖,,,，設(shè),則，平分,,,由雙曲線定義可知，，即,在中，由余弦定理知化簡得,由得,不妨令一條漸近線與線段的交點(diǎn)在第一象限，則,.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量，若，則B.設(shè)，，則“”成立的充要條件是“”C.已知，，則D.若，，，則事件與相互獨(dú)立〖答案〗A〖解析〗對(duì)于A，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，故，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)成立，但，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：A.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則（）A.的最小值為2B.當(dāng)直線的斜率為時(shí)，C.設(shè)直線，的斜率分別為，，則D.過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交直線于點(diǎn)，則〖答案〗BCD〖解析〗，設(shè)直線的方程為.對(duì)于A，把代入得，設(shè)，則，所以，A錯(cuò)；對(duì)于B，當(dāng)直線的斜率為時(shí)，，B對(duì)；對(duì)于C，由題意知?jiǎng)t，，所以，C對(duì)；對(duì)于D，由有，因?yàn)榈姆匠虨?，令得，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，即，D對(duì).故選：BCD.11.在平面四邊形中，，，為等邊三角形，將沿折起，得到三棱錐，設(shè)二面角的大小為.則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為B.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的直徑為C.當(dāng)時(shí)，以為直徑的球面與底面的交線長為D.當(dāng)時(shí)，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至所形成的曲面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，所以為二面角的平面角，角，由題意可得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)余弦定理可得，當(dāng)為中點(diǎn)且時(shí)，長度最短，由等面積法可得，求得最小值為故A對(duì).對(duì)于B，如圖，的外接圓的圓心分別為，三棱錐外接球的球心為，連接，則，當(dāng)時(shí)，則，所以，所以球的半徑故B錯(cuò).對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，如圖，過球心作則為的中點(diǎn)，且，又球半徑為1，球與的一交點(diǎn)為，則，又過作，，球與底面的交線如圖，所以交線長為，故C對(duì).對(duì)于D，轉(zhuǎn)過的曲面為圓錐的一部分側(cè)面積，該圓錐母線長為，底面圓半徑為1，故面積為，故D對(duì).故選：ACD.三、填空題12.已知復(fù)數(shù)，，若（為的共軛復(fù)數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗,,,,都是實(shí)數(shù)，且,,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍為故〖答案〗為：13.已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，?所以.故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，且?duì)于，恒有，則________________.〖答案〗〖解析〗由可得，所以，，，，.因?yàn)閷?duì)于，恒有，所以當(dāng)時(shí)，，而，故〖答案〗為：.四、解答題15.綠化祖國要擴(kuò)綠、興綠、護(hù)綠并舉.某校植樹節(jié)分別在甲，乙兩塊不同的土地上栽種某品種樹苗各500株.甲地土質(zhì)含有元素，乙地土質(zhì)不含有元素，其它土質(zhì)情況均相同，一段時(shí)間后，為了弄清楚該品種樹苗的成活情況與元素含量是否有關(guān)聯(lián)，分別在甲，乙兩塊土地上隨機(jī)抽取樹苗各50株作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，甲地成活45株，乙地成活40株.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表（單位：株），并判斷依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該品種樹苗成活與元素含量有關(guān)聯(lián)？列聯(lián)表類別樹苗成活情況合計(jì)成活不成活含元素不含元素合計(jì)（2）若將頻率視為概率，從樣本中不成活的樹苗中隨機(jī)抽取3株，其中取自甲地的株數(shù)為，求的分布列及方差參考公式：，參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879解：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：類別樹苗成活情況合計(jì)成活不成活

含元素45550不含元素401050合計(jì)8515100零假設(shè)為：該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，，根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為該品種樹苗成活與元素含量無關(guān)聯(lián).（2）由題意知，不成活的樹苗共有株，甲地不成活的樹苗有株，的可能取值為,故，，，故的分布列為：期望；方差.16.如圖，在多面體中，底面為直角梯形，，，平面，.（1）證明：；（2）若，，且多面體的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：在中，，在中，，所以，，所以，又平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：設(shè)多面體的體積為，，則，解得，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，那么，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在的單調(diào)區(qū)間及極值.（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)，時(shí)，，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在處取得極小值為，無極大值.（2）依題意可得，對(duì)，恒成立，即，令，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，令，解得，綜上所述，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以的取值范圍為.18.已知數(shù)列為等比數(shù)列，為等差數(shù)列，且，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為,集合共有5個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若數(shù)列中，，，求證：.（1）解：設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列的公差為，則由，，所以，所以，，即，所以，所以；（2）解：設(shè)數(shù)列，則，所以，，令，，可得，故當(dāng)時(shí)，最大，且，所以，即的取值范圍為.（3）證明：由，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，所以，，所以原不等式成立.19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為（1）求軌跡的方程；（2）在軌跡上是否存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由：（3）過點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，射線交軌跡于點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.解：（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，依題意得，即，又