第三節(jié) 矩陣的初等變換

第一章線性方程組與矩陣第一節(jié)矩陣概念的引進(jìn)第二節(jié)矩陣的定義第三節(jié)矩陣的初等變換釋疑解難習(xí)題課第四節(jié)方程組的消元法第一節(jié)矩陣概念的引進(jìn)主要內(nèi)容矩陣的定義幾種常用的特殊矩陣第一節(jié)矩陣的定義

定義1

由m

n

個(gè)數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,叫做一個(gè)

m

n

矩陣,

這m

n

個(gè)數(shù)叫做矩陣的

一、矩陣的定義元素,aij

叫做矩陣A的第i行第j列元素.2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱(chēng)為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩例如３×４矩陣5×2矩陣

A＝(aij

)m

n

或A

=(aij

).陣稱(chēng)為復(fù)矩陣．（1）式也可簡(jiǎn)記為通常用大寫(xiě)字母A,B,C,X,Y等表示矩陣。矩陣A

=(aij

)m×n與B

=(bij

)p×q如果滿足與當(dāng)a=3,b=-1,c=4,d=2,e=-5,f=6時(shí),它們相等.判斷矩陣A和矩陣B

相等（A=B）：

m=p

且

n=q,則稱(chēng)這兩個(gè)矩陣為同型矩陣.

①同型矩陣（相同的行、列數(shù)）②對(duì)應(yīng)的元素相等

二、幾種常用的特殊矩陣

(1)行矩陣和列矩陣只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣(也稱(chēng)為行向量).如A=(a1a2…an).如只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣(也稱(chēng)為列向量).

(2)零矩陣

若一個(gè)矩陣的所有元素都為零，則稱(chēng)這個(gè)矩

行數(shù)和列數(shù)相同的矩陣稱(chēng)為方陣．例如

(3)n階方陣

引起混淆的情況下，也可記為0．陣為零矩陣，m

n

零矩陣記為0m

n

，在不會(huì)A

稱(chēng)為n

n方陣，常稱(chēng)為n階方陣或

n階矩陣，主對(duì)角線方陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣，如除主對(duì)角線的元素外，其余的元素全為0的

(4)對(duì)角矩陣常簡(jiǎn)記為A=(aij)n.為n

階對(duì)角矩陣,其中未標(biāo)記出的元素全為零,即對(duì)角矩陣?yán)?/p>

aij

=0,i

j,i,j=1,2,…,n,

(5)單位矩陣

主對(duì)角線上的元素全為1

的對(duì)角矩陣稱(chēng)為單n

階單位矩陣E

在矩陣代數(shù)中占有很重要的地位,它的作用與“1”在初等代數(shù)中的作用相似.位矩陣,簡(jiǎn)記為E.如

(6)數(shù)量矩陣

主對(duì)角線上的元素全相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣.

(7)三角矩陣主對(duì)角線下(上)方的元素全為零的方陣稱(chēng)為上(下)三角矩陣.例如主要內(nèi)容第三節(jié)

矩陣的初等變換

矩陣的初等變換行階梯形矩陣

矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形

行最簡(jiǎn)形矩陣行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算,它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鹬匾淖饔?(第j

行的k倍加到第

i

行上,記作

ri+krj).

一、矩陣的初等變換(i)

對(duì)調(diào)A的兩行(對(duì)調(diào)i,j

兩行,記作

ri

rj

);(ii)

以一個(gè)非零數(shù)

k

乘以A的某一行中的所有元素

(第

i

行乘以

k,記作

kri

);(iii)

把A的某一行所有元素的

k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去定義1

矩陣的初等行變換:(第j

列的k倍加到第

i

列上,記作

ci+kcj).

(i)

對(duì)調(diào)A的兩列(對(duì)調(diào)i,j

兩列,記作

ci

cj

);(ii)

以非零數(shù)k

乘以A的某一列中的所有元素

(第

i

列乘以

k,記作

kci

);(iii)

把A的某一列所有元素的

k倍加到另一列對(duì)應(yīng)的元素上去定義2

矩陣的初等列變換:矩陣的初等行（列）變換，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的初等變換.注：初等變換可逆，且其逆變換是同一類(lèi)型的初等矩陣.定義3

矩陣的等價(jià)

如果矩陣A經(jīng)有限次初等行變換變成矩陣

B,就稱(chēng)矩陣A與B行等價(jià),記作

A~B;r

如果矩陣A經(jīng)有限次初等列變換變成矩陣

B,就稱(chēng)矩陣

A與B

列等價(jià),記作A~B;c如果矩陣

A

經(jīng)有限次初等變換變成矩陣B

,就稱(chēng)矩陣A與B等價(jià),記作

A~B.

二、行階梯形矩陣

(2)每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元（主元）前面0的個(gè)數(shù)是嚴(yán)格增加的.

(1)

零行全部位于非零行的下方.行階梯形矩陣:

定義4

滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱(chēng)為例如階梯形矩陣

行階梯形矩陣的特點(diǎn):階梯線下方的元素全為零;

每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元（主元）.

三、行最簡(jiǎn)形矩陣

定義5

一個(gè)行階梯形矩陣若滿足

(1)

主元全為1;

(2)

主元所在列的其它元素全為零，則稱(chēng)之為行最簡(jiǎn)形矩陣.

四、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形F其中r為矩陣的行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).則稱(chēng)這個(gè)矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣F.

定義6

如果一個(gè)矩陣的左上角為r階單位矩陣,其余元素全為零,

五、矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、我們以矩陣B

為例.矩陣B

的行階梯形、行最簡(jiǎn)形、標(biāo)準(zhǔn)形分別如下：標(biāo)準(zhǔn)形的比較

行階梯形矩陣

其特點(diǎn)是：階梯線以下的元素全是０，臺(tái)階數(shù)即為非零行數(shù),豎線后面的第一個(gè)元素為非零元（主元）.

行最簡(jiǎn)