奧數(shù)：火車過橋(答案版)

一、火車過橋四大類問題

1、火車+樹（電線桿）:一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度，

解法:火車車長（總路程尸火車速度X通過時間；

2、火車過橋（隧道）:一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法:火車車長+橋（隧道）長度（總路程尸火車速度x通過的時間；

3、火車+人:一個有長度、有速度，一個沒長度、但有速度，

（1）、火車+迎面行走的人:相當于相遇問題，

解法:火車車長（總路程尸（火車速度+人的速度）x迎面錯過的時間；

（2）火車+同向行走的人:相當于追及問題，

解法:火車車長（總路程）=（火車速度-人的速度）x追及的時間；

（3）火車+坐在火車上的人:火車與人的相遇與追及問題

解法:火車車長（總路程）=（火車速度土人的速度）x迎面錯過的時間（追及的時間）；

4、火車+火車:一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度，

（1）錯車問題:相當于相遇問題，

、-----------解法;快?車車沖■慢車車&總潞福X!■熱條速?皮士良桁4?&取薜車琳聞;----------------------

（2）超車問題:相當于追及問題，

解法:快車車長+慢車車長（總路程）=（快車速度-慢車速度）x錯車時間；

長度速度方向

—>火車過橋四類問題圖示樹無無無

長度速度橋橋長無無

火車車長車速同向

+人無人速

隊伍長反向

隊伍隊速

（間隔，植樹問題）同向

車車長車速

反向

【提高】長150米的火車以18米/秒的速度穿越一條300米的隧道.那么火車穿越隧道（進入隧道直至完全離開）

要多長時間？

【分析】火車穿越隧道經(jīng)過的路程為300+150=450（米），已知火車的速度，那么火車穿越隧道所需時間為

450+18=25（秒）.

【精英】小胖用兩個秒表測一列火車的車速.她發(fā)現(xiàn)這列火車通過一座660米的大橋需要40秒,以同樣速度從

她身邊開過需要10秒，請您根據(jù)小胖提供的數(shù)據(jù)算出火車的車身長就是米.

（分析】火車40秒走過的路程就是660米+車身長，火車10秒走過一個車身長,則火車30秒走660米，所以火

車車長為660+3=220（米）.

逮卷例題2

【提高】四、五、六3個年級各有100名學生去春游，都分成2列（豎排）并列行進.四、五、六年級的學生相鄰

兩行之間的距離分別就是1米、2米、3米,年級之間相距5米.她們每分鐘都行走90米,整個隊伍通過某座橋

用4分鐘,那么這座橋長米.

【分析】100名學生分成2列，每列50人，應(yīng)該產(chǎn)生49個間距，所以隊伍長為

49x1+49x2+49x3+5x2=304（米），那么橋長為90x4—304=56（米）.

【精英】一個車隊以5米/秒的速度緩緩通過一座長200米的大橋，共用145秒.已知每輛車長5米，兩車間隔

8米.問:這個車隊共有多少輛車？

【分析】由“路程=時間、速度”可求出車隊145秒行的路程為5x145=725（米）,故車隊長度為725-200=525（米）.

再由植樹問題可得車隊共有車（525-5戶（5+8）+1=41（輛）.

【提高】一列火車通過一座長540米的大橋需要35秒.以同樣的速度通過一座846米的大橋需要53秒.這列

火車的速度就是多少？車身長多少米？

【分析】火車用35秒走了——540米+車長;53秒走了——846米+車長，根據(jù)差不變的原則火車速度就

是:（846-540）-（53-35）=17（米/秒），車身長就是:17x35—540=55（米）.

【精英】一列火車通過長320米的隧道，用了52秒，當它通過長864米的大橋時，速度比通過隧道時提高0.25

倍，結(jié)果用了1分36秒、求通過大橋時的速度及車身的長度.

【分析】速度提高0.25倍用時96秒，如果以原速行駛,則用時96x（1+0.25）=120秒,（864-320）+（120-52）=8米/

秒,車身長：52X8-320=96米.

【拓展1】已知某鐵路橋長960米,一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全下橋共用100秒,整列火

車完全在橋上的時間為60秒，求火車的速度與長度？

【分析】完全在橋上,60秒鐘火車所走的路程=橋長一車長;通過橋,100秒火車走的路程=橋長+車長,由與差

關(guān)系可得:火車速度為960x2+（100+60）=12（米/秒）,火車長：960-12x60=240（米）.

【拓展2]一列火車的長度就是800米，行駛速度為每小時60千米,鐵路上有兩座隧洞、火車通過第一個隧洞

用2分鐘;通過第二個隧洞用3分鐘;通過這兩座隧洞共用6分鐘，求兩座隧洞之間相距多少米？

【分析】注意單位換算、火車速度60x1000-60=1000（米/分鐘）、第一個隧洞長1000x2-800=1200（米）,第二個

隧洞長1000x3-800=2200（米）,兩個隧洞相距1000'6-1200-2200-800=1800（米）、

【拓展3】小明坐在火車的窗口位置,火車從大橋的南端駛向北端，小明測得共用時間80秒.爸爸問小明這座橋

有多長，于就是小明馬上從鐵路旁的某一根電線桿計時，到第10根電線桿用時25秒.根據(jù)路旁每兩根電線桿的

間隔為50米，小明算出了大橋的長度.請您算一算，大橋的長為多少米？

【分析】從第1根電線桿到第10根電線桿的距離為：50x（10-1）=450（米），火車速度為：450+25=18（米/秒）,

a大橋的長為：18x80=1440（米）.

例題4

【提高】兩列火車相向而行，甲車每時行48千米，乙車每時行60千米，兩車錯車時，甲車上一乘客從乙車車頭

經(jīng)過她的車窗時開始計時，到車尾經(jīng)過她的車窗共用13秒.問:乙車全長多少米？

【分析】390米.提示:乙車的全長等于甲、乙兩車13秒走的路程之與.

【精英】一列快車與一列慢車相向而行，快車的車長就是280米，慢車的車長就是385米.坐在快車上的人瞧

見慢車駛過的時間就是11秒,那么坐在慢車上的人瞧見快車駛過的時間就是多少秒？

【分析】8秒.提示:快車上的人瞧見慢車的速度與慢車上的人瞧見快車的速度相同，所以兩車的車長比等于

OQf）

兩車經(jīng)過對方的時間比,故所求時間為Hx——二8（秒）

385

【提高】鐵路旁邊有一條小路，一列長為110米的火車以30千米/時的速度向南駛?cè)?8點時追上向南行走的

一名軍人,15秒后離她而去,8點6分迎面遇到一個向北行走的農(nóng)民,12秒后離開這個農(nóng)民.問軍人與農(nóng)民何時

相遇？

【分析】8點30分.火車每分行30x1000+60=500（米）,

軍人每分行]500x；—110）+"=60（米），農(nóng)民每分行[110—500xg]+[=50（米）.

8點時軍人與農(nóng)民相距（500+50）x6=3300（米）,兩人相遇還需3300+（60+50）=30（分），即8點30分兩人

相遇.

【精英】鐵路旁的一條與鐵路平行的小路上，有一行人與騎車人同時向南行進，行人速度為3、6千米/時，騎車

人速度為10、8千米/時,這時有一列火車從她們背后開過來，火車通過行人用22秒,通過騎車人用26秒，這列

火車的車身總長就是多少？

【分析】行人的速度為3、6千米/時=1米/秒，騎車人的速度為10、8千米/時=3米/秒.火車的車身長度既等于

火車車尾與行人的路程差，也等于火車車尾與騎車人的路程差.如果設(shè)火車的速度為x米/秒，那么火

車的車身長度可表示為（尤T）x22或（x-3）x26,由此不難列出方程.

法一:設(shè)這列火車的速度就是x米/秒，依題意列方程，得（x-l）x22=（x-3）x26.解得x=14.所以火車的車

身長為:（14-1/22=286（米）.

法二:直接設(shè)火車的車長就是龍,那么等量關(guān)系就在于火車的速度上.可得:x/26+3=x/22+l,這樣直接也

可以x=286米

法三:既然就是路程相同我們同樣可以利用速度與時間成反比來解決.兩次的追及時間比就

是:22:26=11:13,所以可得:（V車T）:（V車-3）=13:11,可得V車=14米/秒，所以火車的車長就是

（14-1）x22=286（米），這列火車的車身總長為286米.

【拓展4】甲、乙兩輛汽車在與鐵路并行的道路上相向而行,一列長180米的火車以60千米/時的速度與甲車

同向前進,火車從追上甲車到遇到乙車，相隔5分鐘，若火車從追上到超過甲車用時30秒.從與乙車相遇到離開

用時6秒，求乙車遇到火車后再過多少分鐘與甲車相遇？

【分析】由火車與甲、乙兩車的錯車時間可知，甲車速度為60-180+30x3.6=38.4千米/時.乙車速度為

180+6x3.6—60=48千米/時，火車追上甲車時，甲、乙兩車相距（60+48）x2=9千米.經(jīng)過

9+（38.4+48）x60=6.25分鐘相遇,那么乙車遇到火車后1、25分鐘與甲車相遇

【拓展5】紅星小學組織學生排成隊步行去郊游，每分步行60米,隊尾的王老師以每分行150米的速度趕到排

頭，然后立即返回隊尾，共用10分.求隊伍的長度.

Y

【分析】630米.設(shè)隊伍長為了米.從隊尾到排頭就是追及問題，需-------分;從排頭返回隊尾就是相遇問題,

150-60

xxx

需分.由------------1--------=--1--0,解得工=630米

150+60150-60150+60

【拓展6］甲、乙兩人在鐵路旁邊以同樣的速度沿鐵路方向相向而行,恰好有一列火車開來，整個火車經(jīng)過甲

身邊用了18秒,2分后又用15秒從乙身邊開過.問:（1）火車速度就是甲的速度的幾倍？（2）火車經(jīng)過乙身邊

后，甲、乙二人還需要多少時間才能相遇？

【分析】（1）11倍;（2）11分15秒.（1）設(shè)火車速度為a米/秒，行人速度為b米/秒，則由火車的長度可列方程

18（。-6）=15（。+與,求出3=11,即火車的速度就是行人速度的11倍;從車尾經(jīng)過甲到車尾經(jīng)過乙,

b

火車走了135秒，此段路程一人走需1350x11=1485（秒），因為甲已經(jīng)走了135秒,所以剩下的路程兩人

走還需（1485-135）+2=675（秒）.

例題6

［提高】快車A車長120米，車速就是20米/秒，慢車B車長140米，車速就是16米/秒.慢車B在前面行駛，快車

A從后面追上到完全超過需要多少時間？

【分析】從“追上”到“超過”就就是一個“追及”過程,比較兩個車頭，"追上''時A落后3的車身長，"超過''時A

領(lǐng)先3（領(lǐng)先A車身長）,也就就是說從“追上''到"超過”,A的車頭比3的車頭多走的路程就是:B的

車長+A的車長，因此追及所需時間就是：（A的車長+3的車長廣（A的車速的車速）.由此可得到,

追及時間為:（A車長+3車長）+（A車速—3車速）=（120+140）+（20—16）=65（秒）.

【精英】快車長106米,慢車長74米,兩車同向而行，快車追上慢車后,又經(jīng)過1分鐘才超過慢車;如果相向而

行，車頭相接后經(jīng)過12秒兩車完全離開.求兩列火車的速度.

【分析】根據(jù)題目的條件，可求出快車與慢車的速度差與速度與,再利用與差問題的解法求出快車與慢車的

速度.兩列火車的長度之與:106+74=180（米）快車與慢車的速度之差:180+60=3（米）快車與慢車的速

度之與:180口2=15（米）快車的速度:（15+3）+2=9（米）慢車的速度:（15-3戶2=6（米）

【拓展7】從北京開往廣州的列車長350米，每秒鐘行駛22米，從廣州開往北京的列車長280米，每秒鐘行駛20

米，兩車在途中相遇，從車頭相遇到車尾離開需要多少秒鐘？

【分析】從兩車車頭相遇到車尾離開時，兩車行駛的全路程就就是這兩列火車車身長度之與.解答方法就

是：（A的車身長+3的車身長）一（A的車速+3的車速）=兩車從車頭相遇到車尾離開的時間

也可以這樣想，把兩列火車的車尾瞧作兩個運動物體,從相距630米（兩列火車本身長度之與）的兩地

相向而行，又知各自的速度，求相遇時間.兩車車頭相遇時,兩車車尾相距的距離：350+280=630（米）

兩車的速度與為：22+20=42（米/秒）;從車頭相遇到車尾離開需要的時間為：630+42=15（秒）.綜合

列式：（350+280）+92+20）=15（秒）.

【提高】【精英】有兩列同方向行駛的火車，快車每秒行33米，慢車每秒行21米.如果從兩車頭對齊開始算，則

行20秒后快車超過慢車;如果從兩車尾對齊開始算，則行25秒后快車超過慢車.那么，兩車長分別就是多少？

如果兩車相對行駛，兩車從車頭重疊起到車尾相離需要經(jīng)過多少時間？

【分析】如圖，如從車頭對齊算，那么超車距離為快車車長，為：（33-21）x20=240（米）；

如從車尾對齊算，那么超車距離為慢車車長，為G3-21）x25=300（0.

由上可知，兩車錯車時間為：（300+240）+（33+21）=10（秒）.

【拓展8】甲乙兩列火車，甲車每秒行22米，乙車每秒行16米，若兩車齊頭并進，則甲車行30秒超過乙車;若兩

車齊尾并進，則甲車行26秒超過乙車、求兩車各長多少米？

【分析】兩車齊頭并進：甲車超過乙車，那么甲車要比乙車多行了一個甲車的長度、每秒甲車比乙車多行

22-16=6米,30秒超過說明甲車長6x30=180米.兩車齊尾并進:甲超過乙車需要比乙車多行一整個乙

車的長度,那么乙車的長度等于6x26=156米.

【拓展9】鐵路貨運調(diào)度站有A、8兩個信號燈，在燈旁?？恐?、乙、丙三列火車.它們的車長正好構(gòu)成一

個等差數(shù)列，其中乙車的的車長居中,最開始的時候，甲、丙兩車車尾對齊，且車尾正好位于A信號燈處,而車頭

則沖著B信號燈的方向.乙車的車尾則位于B信號燈處，車頭則沖著A的方向.現(xiàn)在，三列火車同時出發(fā)向前行

駛』0秒之后三列火車的車頭恰好相遇.再過15秒，甲車恰好超過丙車，而丙車也正好完全與乙車錯開，請問:甲

乙兩車從車頭相遇直至完全錯開一共用了幾秒鐘？

【分析】8、75秒

例題8

【提高】某列車通過250米長的隧道用25秒，通過210米長的隧道用23秒,若該列車與另一列長150米、時

速為72千米的列車相遇，錯車而過需要幾秒鐘？

【分析】根據(jù)另一個列車每小時走72千米，所以，它的速度為:72000+3600=20（米/秒）,某列車的速度

為:（250-210戶（25-23）=40+2=20（米/秒）某列車的車長為:20*25-250=500-250=250（米）,兩列車的錯

車時間為:（250+150）+（20+20）=400+40=10（秒）

【精英】在雙軌鐵道上，速度為54千米/小時的貨車10時到達鐵橋,10時1分24秒完全通過鐵橋，后來一列速

度為72千米/小時的列車,10時12分到達鐵橋,1。時12分53秒完全通過鐵橋,1。時48分56秒列車完全超過

在前面行使的貨車.求貨車、列車與鐵橋的長度各就是多少米？

【分析】先統(tǒng)一單位:54千米/小時=15米/秒,72千米/小時=20米/秒,

1分24秒=84秒,48分56秒-12分=36分56秒=2216秒.

貨車的過橋路程等于貨車與鐵橋的長度之與，為:15x84=1260（米）；

列車的過橋路程等于列車與鐵橋的長度之與，為：20x53=1060（米）.

考慮列車與貨車的追及問題，貨車10時到達鐵橋，列車10時12分到達鐵橋，在列車到達鐵橋時，貨車

已向前行進了12分鐘（720秒），從這一刻開始列車開始追趕貨車，經(jīng)過2216秒的時間完全超過貨車,

這一過程中追及的路程為貨車12分鐘走的路程加上列車的車長，所以列車的長度為

（20-15）x2216-15x720=280（米），那么鐵橋的長度為106G2皿1（米）,貨車的長度為

1260-7SO4（米）.

【補充1】馬路上有一輛車身長為15米的公共汽車由東向西行駛，車速為每小時18千米.馬路一旁的人行道上

有甲、乙兩名年輕人正在練長跑，甲由東向西跑,乙由西向東跑.某一時刻,汽車追上了甲,6秒鐘后汽車離開了

甲;半分鐘之后,汽車遇到了迎面跑來的乙;又過了2秒鐘汽車離開了乙.問再過多少秒以后甲、乙兩人相遇？

車走30秒

乙乙走甲三二人的甲

甲走32秒甲走磔!

2秒間隔距離

【分析】車速為每秒:18xl000:3600=5（米），由“某一時刻，汽車追上了甲，6秒鐘后汽車離開了甲”，可知這就

是一個追及過程，追及路程為汽車的長度，所以甲的速度為每秒：6x6-15）+6=2.5（米）;而汽車與乙

就是一個相遇的過程，相遇路程也就是汽車的長度,所以乙的速度為每秒：（15-5x2）+2=25（米）.汽

車離開乙時，甲、乙兩人之間相距：（5-2.5）x（0.5x60+2）=80（米），甲、乙相遇時

間：80+（2.5+2.5）=16（秒）.

【補充2】甲、乙二人沿鐵路相向而行，速度相同,一列火車從甲身邊開過用了8秒鐘,離甲后5分鐘又遇乙,

從乙身邊開過，只用了7秒鐘，問從乙與火車相遇開始再過幾分鐘甲乙二人相遇？

【分析】火車開過甲身邊用8秒鐘，這個過程為追及問題:火車長=（丫車-丫人）x8;火車開過乙身邊用7秒鐘,

這個過程為相遇問題

.二

\

二

x-,

b

車走8秒^

人走8秒人走5分鐘甲乙二人的

,間隔距離

甲乙

火車長=（丫車+y人）X7、可得8（V車-V人）=7（V車+V人），所以V車=/5V人、甲乙二人的間隔就是:

車走308秒的路-人走308秒的路，由車速就是人速的15倍，所以甲乙二人間隔15x308-308=14x308

秒人走的路.兩人相遇再除以2倍的人速.所以得到7x308秒=2156秒.

一列長240米的火車以每秒30米的速度過一座橋，從車頭上橋到車尾離橋用了1分鐘,求這座橋長多少米?

【分析】火車過橋時間為1分鐘=60秒，所走路程為橋長加上火車長為60x30=1800（米），即橋長為

1800-24?15（米）.

練習2

小紅站在鐵路旁,一列火車從她身邊開過用了21秒.這列火車長630米,以同樣的速度通過一座大橋，用了1、

5分鐘.這座大橋長多少米？

【分析】因為小紅站在鐵路旁邊沒動，因此這列火車從她身邊開過所行的路程就就是車長，所以，這列火車的

速度為:630+21=30（米/秒）,大橋的長度為:30x（l、5x60）-630=2070（米）.

一列火車長450米，鐵路沿線的綠化帶每兩棵樹之間相隔3米,這列火車從車頭到第1棵樹到車尾離開第101

棵樹用了0.5分鐘.這列火車每分鐘行多少米？

【分析】第1棵樹到第101棵樹之間共有100個間隔，所以第1棵樹與第101棵樹相距3x100=300（米）,火車經(jīng)

過的總路程為：450+300=750（米），這列火車每分鐘行750+0.5=1500（米）.

練習4

一列火車長200米，通過一條長430米的隧道用了42秒，這列火車以同樣的速度通過某站臺用了25秒鐘，那

么這個站臺長多少米？

【分析】火車速度為：（200+430）+42=15（米/秒），通過某站臺行進的路程為：15x25=375（米），已知火車長，所

以站臺長為375—200=175（米）.

練習5

小新以每分鐘10米的速度沿鐵道邊小路行走,

⑴身后一輛火車以每分鐘100米的速度超過她,從車頭追上小新到車尾離開共用時4秒，那么車長多少米?

⑵過了一會,另一輛貨車以每分鐘100米的速度迎面開來，從與小新相遇到離開,共用時3秒.那么車長就是多

少？

【分析】⑴這就是一個追擊過程,把小新瞧作只有速度而沒有車身長（長度就是零）的火車.

根據(jù)前面分析過的追及問題的基本關(guān)系式:（A的車身長+5的車身長尸（A的車速-3的車

速）=從車頭追上到車尾離開的時間，在這里，3的車身長車長（也就就是小新）為0,所以