2025屆廣東省深圳高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2025屆廣東省深圳高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，與是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則四邊形的最小面積為()A． B． C． D．2．已知圓心在軸上的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則的方程為（）A． B．C． D．3．若，，則的最小值為（）A．2 B． C． D．4．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或5．函數(shù)的部分圖像如圖所示，如果，且，則等于（）A． B． C． D．16．“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的（）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．在△ABC中，，則A等于（）A．30° B．60° C．120° D．150°8．已知a=log0.92019，b=A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<c C．b<a<c D．b<c<a9．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．10．sin300°的值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為直徑在外作半圓O，P是半圓弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在斜邊BC上，若，則的取值范圍是________.12．利用直線與圓的有關(guān)知識(shí)求函數(shù)的最小值為_(kāi)______.13．某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)的城市數(shù)分別為4，12，8，若用分層抽樣抽取6個(gè)城市，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為_(kāi)______．14．已知向量，，則______.15．在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若的周長(zhǎng)為,面積為，，則__________．16．不等式的解集為_(kāi)_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是、、，的面積，（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若中，邊上的高，求的值.18．五一放假期間高速公路免費(fèi)是讓實(shí)惠給老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某時(shí)間段內(nèi)車(chē)流量(單位:千輛/小時(shí))與汽車(chē)的平均速度(單位:千米/小時(shí))之間滿足的函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)），當(dāng)汽車(chē)的平均速度為千米/小時(shí)時(shí)，車(chē)流量為千輛/小時(shí).（1）在該時(shí)間段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)車(chē)流量達(dá)到最大值？（2）為保證在該時(shí)間段內(nèi)車(chē)流量至少為千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19．已知等比數(shù)列的公比，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立，求的取值范圍.20．2019年某開(kāi)發(fā)區(qū)一家汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)一批新能源汽車(chē)制造設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本3000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（百輛），需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，每輛車(chē)售價(jià)6萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車(chē)輛當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完.（1）求出2019年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售額成本）（2）2019年產(chǎn)量為多少（百輛）時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).21．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，并利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算出的最小值，然后利用勾股定理計(jì)算出、的最小值，最后利用三角形的面積公式可求出四邊形面積的最小值．【詳解】如下圖所示：由切線的性質(zhì)可知，，，且，，當(dāng)取最小值時(shí)，、也取得最小值，顯然當(dāng)與直線垂直時(shí)，取最小值，且該最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，此時(shí)，，四邊形面積的最小值為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切線長(zhǎng)的計(jì)算以及四邊形的面積，本題在求解切線長(zhǎng)的最小值時(shí)，要抓住以下兩點(diǎn)：（1）計(jì)算切線長(zhǎng)應(yīng)利用勾股定理，即以點(diǎn)到圓心的距離為斜邊，切線長(zhǎng)與半徑為兩直角邊；（2）切線長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)到圓心的距離也取到最小值．2、A【解析】

由圓心在軸上設(shè)出圓心坐標(biāo),設(shè)出圓的方程,將,兩點(diǎn)坐標(biāo)代入,即可求得圓心坐標(biāo)和半徑,進(jìn)而得圓的方程.【詳解】因?yàn)閳A心在軸上,設(shè)圓心坐標(biāo)為,半徑為設(shè)圓的方程為因?yàn)閳A經(jīng)過(guò),兩點(diǎn)代入可得解方程求得所以圓C的方程為故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程求法,關(guān)鍵是求出圓心和半徑,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

根據(jù)所給等量關(guān)系,用表示出可得.代入中,構(gòu)造基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因?yàn)?所以變形可得所以由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),解得所以的最小值為故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式求最值的應(yīng)用,注意構(gòu)造合適的基本不等式形式,屬于中檔題.4、A【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對(duì)大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因?yàn)?，可得B為銳角，所以．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對(duì)大角，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

試題分析：觀察圖象可知，其在的對(duì)稱軸為，由已知，選.考點(diǎn)：正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)6、B【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，直線為和直線，斜率之積等于，所以垂直；當(dāng)兩直線垂直時(shí)，，解得：或，根據(jù)充分條件必要條件概念知，“”是“直線(m+1)x+3my+2=0與直線(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的充分不必要條件，故選B．考點(diǎn)：1、充分條件、必要條件；2、兩條直線垂直的關(guān)系．7、C【解析】

試題分析：考點(diǎn)：余弦定理解三角形8、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a=log由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得b=20190.9>所以a<c<b，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問(wèn)題，屬于中檔題.解答比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間-∞,0,9、B【解析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設(shè)出圓心，由點(diǎn)到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設(shè)圓心坐標(biāo)為,則點(diǎn)到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求解圓的方程,同時(shí)又進(jìn)一步考查了直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線性質(zhì)等.本題也注重考查審題能力,分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.難度較易.10、B【解析】

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再求出值為.【詳解】因?yàn)?，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，即終邊相同角的三角函數(shù)值相等及.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

建立直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性得出的取值范圍.【詳解】取中點(diǎn)為，建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系則，設(shè)，，則，則設(shè)點(diǎn)，則，則當(dāng)，即時(shí)，取最大值當(dāng)，即時(shí)，取最小值則的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)量積求參數(shù)以及求正弦型函數(shù)的最值，屬于較難題.12、【解析】

令得，轉(zhuǎn)化為z==，再利用圓心到直線距離求最值即可【詳解】令，則故轉(zhuǎn)化為z==，表示上半個(gè)圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值的5倍，即故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題13、2【解析】

根據(jù)抽取6個(gè)城市作為樣本，得到每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,用概率乘以丙組的數(shù)目，即可得到結(jié)果.【詳解】城市有甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)的城市數(shù)分別為4,12,8.

本市共有城市數(shù)24,用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為6的樣本，

每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是，丙組中對(duì)應(yīng)的城市數(shù)8，則丙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為,故答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.分層抽樣適合總體中個(gè)體差異明顯，層次清晰的抽樣，其主要性質(zhì)是，每個(gè)層次，抽取的比例相同.14、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．15、3【解析】

分析：由題可知，中已知，面積公式選用，得，又利用余弦定理，即可求出的值.詳解：，，由余弦定理，得又，，解得.故答案為3.點(diǎn)睛：解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化；第三步：求結(jié)果.16、【解析】

根據(jù)一元二次不等式的解法直接求解可得結(jié)果.【詳解】由得：即不等式的解集為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由面積公式推出，代入所給等式可得，求出角C的余弦值從而求得角C；（Ⅱ）首先由求出邊c，再由面積公式代入相應(yīng)值求出邊b，利用余弦定理即可求出邊a.【詳解】（Ⅰ）由得①于是，即∴又，所以（Ⅱ），由得，將代入中得，解得.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）當(dāng)汽車(chē)的平均速度時(shí)車(chē)流量達(dá)到最大值。（2）【解析】

（1）首先根據(jù)題意求出，再利用基本不等式即可求出答案.（2）根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）有題知：，解得.所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”.所以當(dāng)汽車(chē)的平均速度時(shí)車(chē)流量達(dá)到最大值.（2）有題知：，整理得：，解得：.所以當(dāng)時(shí)，在該時(shí)間段內(nèi)車(chē)流量至少為千輛/小時(shí).【點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)考查利用基本不等式求最值，第二問(wèn)考查了二次不等式的解法，屬于中檔題.19、(1)；(2)【解析】

（1）由，，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可解得，，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，代入不等式得對(duì)任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，對(duì)分奇偶討論，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以，，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，所以.所以對(duì)任意正整數(shù)恒成立.設(shè)，易知單調(diào)遞增.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值為，所以，解得；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值為，所以.綜上，，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求和，考查了數(shù)列的單調(diào)性，考查了不等式恒成立，屬于中檔題.20、（1）；（2）2019年年產(chǎn)量為100百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為5800萬(wàn)元.【解析】

（1）先閱讀題意，再分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)解析式即可；（2）當(dāng)時(shí)，利用配方法求二次函數(shù)的最大值，當(dāng)時(shí)，利用均值不等式求函數(shù)的最大值，一定要注意取等的條件，再綜合求分段函數(shù)的最大值即可.【詳解】解：（1）由已知有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)