2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題解題思路-坐標(biāo)系中的輔助線

2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題解題思路--坐標(biāo)系中的輔助線(1)輔助線：向坐標(biāo)軸作垂線，坐標(biāo)軸中的直角是解題的關(guān)鍵：(2)證明構(gòu)造出的直角三角形相似或全等；(3)三角形相似或全等，則利用邊成比例求解，全等則對(duì)應(yīng)邊相等.往往是和坐標(biāo)軸垂直的邊.如(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)：用未知數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)(注意從較小的點(diǎn)開始比較容易);(2)將題目中需要的條件(如三角形的邊)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示；(3)列方程.根據(jù)已知條件，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式注：這些思路不是完全固定不變的，同學(xué)們應(yīng)該根據(jù)題目條件靈活組合運(yùn)用.另外，這里總結(jié)出設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)(或者說設(shè)未知數(shù))→根據(jù)題目條件列式得出二次函數(shù)(或者代入函數(shù)解析式)→根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.典例半軸上，點(diǎn)D(-2,3),AD=5,若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B,則k的值為().B.8【思路分析】向坐標(biāo)軸作垂線—證明構(gòu)造出的直角三角形全等或相似一三角形相似，利用邊成比例求解.APO∽△BAF.“△APO∽△BAF.根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，求出BF,得出B的坐標(biāo)，帶入反比例函數(shù)解析式得出答案. .. ”∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,∠CPD=∠ .∠DCP=∠DAE,∴∠CBH=∠DAE, .∠AED=∠BHC=90°.OE=2,∴0A=2,∴AF=2, 1D.【典型題2】★★★如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-3,-2),B(0,-2),C(-3,0),M是線段AB大值是()D.0【思路分析】向坐標(biāo)軸作垂線→證明構(gòu)造出的直角三角形相似——利用邊成比例求解→設(shè)未知數(shù)→列式得出二次函數(shù)→根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值 【答案解析】解：如圖，連接AC,則四邊形ABOC是矩形，..∴∠A=∠ABO=90°又*MN⊥MC,∴∠CMN=90° .AMC～NBM,∴設(shè)BN=y,AM=x.則MB=3-x,0N=2-y, 注：“設(shè)未知數(shù)→列式得出二次函數(shù)→根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值”是常規(guī)解題步驟，同學(xué)們一 =135°,S△ABD=2.若反比例函數(shù)A.2√2【思路分析】作輔助線.作AM⊥y軸于M,延長BD,交AM于E,設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為N.證明△AOM≌△CBD,得到OM=BD,用代數(shù)式表示出A、D點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)反比例函數(shù)解析列式求解. ∴DE=AE=2√2∴D的縱坐標(biāo)為3√2設(shè)A(m,√2),則D(m-2√23√2)解得m=3√2,:k=√2m=6.故選D.【典型題4】★人如圖，點(diǎn)E,F在函數(shù)的圖象上，直線EF分別與x軸、y軸交于點(diǎn)【思路分析】向坐標(biāo)軸作垂線→證明△BPE∽△BHF,得到等量關(guān)系，用代數(shù)式表示出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)面積關(guān)系列出等式求解. 【答案解析】作EP⊥y軸于P,EC⊥x軸于C,FD⊥x軸于D,FH⊥y軸于H,如圖所示： 設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(t,2/(),則F點(diǎn)的坐標(biāo) 解：(1)如圖，過點(diǎn)A’作A’E⊥y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B’作B'F⊥x軸于點(diǎn)F,則∠A'ED'=90°”四邊形A’B’C’D’為正方形， 同理△B’FC’≌△C’OD’即點(diǎn)A’(a,a+b),點(diǎn)B’(a+b,b).”點(diǎn)A’、B’在反比例函(2)設(shè)直線A'B’解析式為y=k?x+b?,直線C'D'解析式為y=k?x+b?∵點(diǎn)A’(1,2),點(diǎn)B’(2,1),點(diǎn)C’(1,0),點(diǎn)D’(0,1)∴直線A’B’解析式為γ=-x+3,直線C’D'解析式為y=-x+1.【典型題6】★★★直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)0及點(diǎn)A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連接OB,點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.圖①圖①(3)連接AD,當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí)，求 ,代入直線AD的解析式可得6求出t的值即可. .上.上 : ∵∠EDF=902值);①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，如圖所示，NE=3-t,·⊥·⊥②當(dāng)點(diǎn)E越過中點(diǎn)之后，如圖所示，NE=t-3. 4 4綜上所述，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí)，t的值為【典型題7】如圖，雙曲線【思路分析】設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m,2n)→用含有m、n的代數(shù)式表示出BE和BF→根據(jù)面積公式列式求解. , n=【典型題8】★★★過雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,P是直線AB上的點(diǎn)，且滿足AP=2AB,過點(diǎn)P作x軸的平行線交此雙曲線于點(diǎn)C,如果△APC的面積為8,則k的值是 【思路分析】此題分兩種情況：①點(diǎn)P在B點(diǎn)的下方，②點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方.設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出C,P兩點(diǎn)的坐標(biāo)→用代數(shù)式表示出PC和AP的長度→根據(jù)△APC的面積為8列出關(guān)于k的等式，求解得出k的值. ①點(diǎn)P在B點(diǎn)的下方，如圖，設(shè)A(a,k/a)∵過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,P是直線AB上的點(diǎn)，且滿足AP=2AB, ,“過點(diǎn)P作x軸的平行線交此雙曲線于點(diǎn)C,②點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方，如圖，設(shè)∵過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B,P是直線AB上的點(diǎn)，且滿足AP=2AB,∴過點(diǎn)P作x軸的平行線交此雙曲線于點(diǎn)C,,2【典型題9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，□ABCD的邊AB在x軸上，頂點(diǎn)D在·【思路分析】設(shè)出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出A,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)→用代數(shù)式表示出C點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)k=C點(diǎn)的橫坐標(biāo)×C點(diǎn)的縱坐標(biāo)，列出關(guān)于k的等式，求解得出k的值. ∴CD=AB,則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)=AB=3m.*S△BEF=1,BE=m,∴F的縱坐標(biāo)為2/m,由平行四邊形可知，△CDF∽△BEF,·CD=3BE,∴相似比為3:1,可得C點(diǎn)的縱坐標(biāo)=F點(diǎn)的縱則點(diǎn)C(3【典型題10】★★★★如圖，已知拋物線γ=a(x+2)(x-6)與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N.(1)求拋物線的解析式①當(dāng)點(diǎn)P在線段MN(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求n的變化范圍；②當(dāng)n取最大值時(shí)，求點(diǎn)P到線段CQ的距離③當(dāng)n取最大值時(shí)，將線段CQ向上平移t個(gè)單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求t的取值范圍.【思路分析】(2)①“設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)題目條件列式得出二次函數(shù)→求最值.拋物線的對(duì)稱軸②P到線段CQ的距離即Rt△PCQ底邊的高，利用面積法可解.③列出設(shè)線段CQ向上平移t個(gè)單位長度后的解析式，聯(lián)立拋物線方程求解.+X+3;PC2=22+(m-3)2,PO2=m2+(n-2)2,CO2=32+n2,∵PO⊥PC∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得 +X+3;PC2=22+(m-3)2,PO2=m2+(n-2)2,CO2=32+n2,∵PO⊥PC∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得 )到線段CQ距離為2.③由②可知：當(dāng)n取最大值4時(shí)，Q(4,0),∴線段CQ的解析式,設(shè)線段CQ向上平1=(4+2)(4-6)=3,將Q(4,3)A=2,得CO=3,∴C(0,3),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a(x+2)(x-6);拋物線解析式頭X+2【典型題11】如圖，拋物線y=-x2+bx+c和直線γ=x+1交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點(diǎn)N在直線x=3①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PQNM的面積最小?并求出最小面積：②直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上備用圖【思路分析】(1)利用待定系數(shù)法即可；(2)按照“作垂線，證相似，成比例”的思路和步驟解題.①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)題目條件列式得出二次函數(shù)→求最值：過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E,分別用t表示PE、PQ、EQ,用△PQE∽△QNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面積與t的函數(shù)關(guān)系式，問題②設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)→根據(jù)題目條件代入函數(shù)解析式→求解.由①利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)分別等于兩個(gè)端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)平均值的數(shù)量關(guān)系，表示點(diǎn)M坐標(biāo)，將坐標(biāo)點(diǎn)帶入拋物線解析式，求出t值.注意分別討論M、N、Q在拋物線上時(shí)的情況. 【答案解析】解：(1)由已知，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為3.*A、B在γ=x+1上∴A(-1,0),B(3,4),把A(-10),B(3,4)代入y=-x2+bx+c (2)①:如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E. 直線γ=x+1與x軸夾角為45°,P點(diǎn)速度為每秒√2個(gè)單位長度，∴t秒時(shí)點(diǎn)E坐標(biāo)為(-1+t,0).Q點(diǎn)坐標(biāo)為(3-2t.0) 當(dāng)點(diǎn)Q