1.1集合的概念（4種題型分類基礎練+能力提升練）高一數(shù)學同步備課系列（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第第頁1.1集合的概念（4種題型分類基礎練+能力提升練）（分層作業(yè)）【夯實基礎】一．集合的含義（共5小題）1．（2022秋?秀峰區(qū)校級期中）①聯(lián)合國安全理事會常任理事國；②充分接近的所有實數(shù)；③方程x2+2x+2＝0的實數(shù)解；④中國著名的高等院校．以上對象能構成集合的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③④【分析】根據(jù)集合的定義進行判斷即可．【解答】解：對于①，聯(lián)合國安全理事會常任理事國，能構成集合，故①正確；對于②，充分接近的所有實數(shù)，沒有確定性，不能構成集合，故②錯誤；對于③，方程x2+2x+2＝0無實數(shù)解，方程x2+2x+2＝0的實數(shù)解構成空集，故③正確；對于④，中國著名的高等院校．不能構成集合，故④錯誤．故選：B．【點評】本題考查了集合的概念和性質，屬于基礎題．2．（2022秋?裕華區(qū)校級月考）下列對象能構成集合的是（）①所有很高的山峰；②方程x2+3x﹣4＝0的實根；③所有小于10的自然數(shù)；④cos60°，sin45°，cos45°．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【分析】根據(jù)集合的互異性、確定性原則判斷即可．【解答】解：對于①：不滿足確定性，對于④：不滿足互異性，對于②③：符合集合的三要素原則，故選：B．【點評】本題考查了集合的三要素，是一道基礎題．3．（2022秋?忻州月考）下列說法中正確的是（）①某高級中學高一年級所有高個子男生能組成一個集合；②∈Q；③不等式x2﹣4x＜0的解集為{0＜x＜4}；④在平面直角坐標系中，第二、四象限內(nèi)的點構成的集合可表示為{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}．A．①② B．②④ C．②③④ D．③④【分析】根據(jù)集合中元素的確定性判斷①，由元素與集合的關系判斷②，由不等式的解集的形式判斷③，根據(jù)點所在的位置可知坐標滿足的條件判斷④．【解答】解：①“高個子男生”標準不確定，不滿足集合的確定性，故①錯誤；②是有理數(shù)，故正確，故②正確；③描述法中缺少代表元素，應該為{x|0＜x＜4}，故③錯誤；④因為第二、第四象限點的橫縱坐標符號相反，故點構成的集合可表示為{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}，故④正確．故選：B．【點評】本題主要考查集合的含義，屬于基礎題．4．（2022秋?平陽縣校級月考）下列說法正確的是（）A．高一年級全體高個子同學可以組成一個集合 B．0∈N* C．集合{1，1，2}含有三個元素 D．??{0}【分析】由集合中元素特征對四個選項依次判斷即可．【解答】解：對于選項A，高一年級全體高個子同學不能組成一個集合，故錯誤；對于選項B，0?N*，故錯誤；對于選項C，{1，1，2}的寫法是不對的，故錯誤；對于選項D，??{0}，故正確；故選：D．【點評】本題考查了集合中元素特征，屬于基礎題．5．（2022秋?鄧州市校級月考）下列說法正確的是（）A．由小于8的正整數(shù)組成一個集合 B．方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解構成的集合不是空集 C．由﹣1，0，1組成的集合和由﹣，1，0組成的集合不相等 D．某班中上課認真聽講的同學能夠組成一個集合【分析】根據(jù)集合元素的確定性，集合相等的性質，集合的定義可求得答案．【解答】解：對于A，小于8的正整數(shù)，符合集合的定義，能構成集合，故A正確，對于B，|x+1|+（x﹣1）2＝0，可得|x+1|＝0，（x﹣1）2＝0，由|x+1|＝0?x＝﹣1，由（x﹣1）2＝0?x＝1，故方程|x+1|+（x﹣1）2＝0的解構成的集合是空集，故B錯誤，對于C，{﹣1，0，1}＝{﹣，1，0}，故C錯誤，對于D，某班中上課認真聽講的同學沒有明確定義，不能構成集合，故D錯誤，故選：A．【點評】本題給出幾組對象，要求我們找出能構成集合元素的對象，著重考查了集合元素的性質和集合的定義等知識，屬于基礎題．二．元素與集合關系的判斷（共7小題）6．（2022秋?米東區(qū)校級期末）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，則集合B＝（）A．{﹣1，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}【分析】根據(jù)A＝{﹣1，0，1}求解B＝{a+b|a∈A，b∈A}即可．【解答】解：由A＝{﹣1，0，1}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，當a∈A，b∈A時，當a＝﹣1，b＝﹣1時，a+b＝﹣2，當a＝﹣1，b＝0時，a+b＝﹣1，當a＝﹣1，b＝1時，a+b＝0，當a＝0，b＝﹣1時，a+b＝﹣1當a＝0，b＝0時，a+b＝0，當a＝0，b＝1時，a+b＝1，當a＝1，b＝﹣1時，a+b＝0，當a＝1，b＝0時，a+b＝1，當a＝1，b＝1時，a+b＝2，故集合B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故選：D．【點評】本題主要考查了集合與元素的關系，屬于基礎題．7．（2022秋?武陵區(qū)校級期末）若關于x的方程ax2﹣2x+1＝0的解集中有且僅有一個元素，則實數(shù)a的值組成的集合中的元素個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】討論a＝0與a≠0，從而求實數(shù)a的值組成的集合中的元素個數(shù)．【解答】解：若a＝0，則﹣2x+1＝0，解集中有且僅有一個元素，成立；若a≠0，Δ＝4﹣4a＝0，則a＝1．故實數(shù)a的值組成的集合中的元素個數(shù)為2．故選：B．【點評】本題考查了集合中元素的個數(shù)問題及方程的解集有且僅有一個元素的判斷，屬于基礎題．（多選）8．（2022秋?沈陽期末）設集合A＝{﹣3，x+2，x2﹣4x}，且5∈A，則x的值可以為（）A．3 B．﹣1 C．5 D．﹣3【分析】根據(jù)元素與集合的關系運算求解，注意檢驗，保證集合的互異性．【解答】解：∵5∈A，則有：若x+2＝5，則x＝3，此時x2﹣4x＝9﹣12＝﹣3，不符合題意，故舍去；若x2﹣4x＝5，則x＝﹣1或x＝5，當x＝﹣1時，A＝{﹣3，1，5}，符合題意；當x＝5時，A＝{﹣3，7，5}，符合題意；綜上所述：x＝﹣1或x＝5．故選：BC．【點評】本題主要考查元素與集合的關系，考查運算求解能力，屬于基礎題．三．集合的確定性、互異性、無序性（共4小題）9．（2022秋?薩爾圖區(qū)校級月考）集合{3，x，x2﹣2x}中，x應滿足的條件是（）A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠﹣1且x≠0且x≠3 D．x≠﹣1或x≠0或x≠3【分析】根據(jù)集合元素互異性可得x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3解得答案．【解答】解：集合{3，x，x2﹣2x}中，x2﹣2x≠3，且x2﹣2x≠x，且x≠3解得：x≠3且x≠﹣1且x≠0故選：C．【點評】本題考查的知識點是集合元素的互異性，難度不大，屬于基礎題．10．（2022秋?天寧區(qū)校級月考）以實數(shù)x，﹣x，|x|，，﹣為元素所組成的集合最多含有（）個元素．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】當x＞0時，集合共有2個元素；當x＝0時，集合共有1個元素；當x＜0時，集合共有2個元素，從而由以實數(shù)x，﹣x，|x|，，﹣為元素所組成的集合最多含有元素的個數(shù)為2個．【解答】解：當x＞0時，x＝|x|＝＞0，﹣＝﹣x＜0，此時集合共有2個元素；當x＝0時，x＝|x|＝＝﹣＝﹣x＝0，此時集合共有1個元素；當x＜0時，﹣x＝|x|＝＝﹣＞0，x＜0，此時集合共有2個元素，故由以實數(shù)x，﹣x，|x|，，﹣為元素所組成的集合最多含有元素的個數(shù)為2個．故選：C．【點評】本題考查集合中元素個數(shù)的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意集合中元素性質的合理運用．11．（2022秋?黃浦區(qū)校級月考）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【分析】根據(jù)集合元素的互異性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，則△ABC不會是等腰三角形．【解答】解：根據(jù)集合元素的互異性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；故選：D．【點評】本題較簡單，注意到集合的元素特征即可．12．（2022?安化縣校級開學）集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}，若集合A中只有一個元素，求實數(shù)k的值組成的集合．【分析】根據(jù)已知條件，分k＝0，k≠0兩種情況討論，即可求解．【解答】解：①當k＝0時，方程kx2﹣8x+16＝0變?yōu)椹?x+16＝0，解得x＝2，滿足題意，②當k≠0時，要使集合A＝{x|kx2﹣8x+16＝0}中只有一個元素，則方程kx2﹣8x+16＝0只有一個實數(shù)根，所以Δ＝64﹣64k＝0，解得k＝1，此時集合A＝{4}，滿足題意，綜上所述，k＝0或k＝1，故實數(shù)k的值組成的集合為{0，1}．【點評】本題主要考查集合的應用，屬于基礎題．四．集合的表示法（共5小題）13．（2022秋?奉賢區(qū)校級期末）用列舉法表示中國國旗上所有顏色組成的集合{紅色，黃色}．【分析】利用列舉法直接寫出答案即可．【解答】解：由題意知，中國國旗上所有顏色組成的集合為{紅色，黃色}，故答案為：{紅色，黃色}．【點評】本題考查了集合的表示法的應用，屬于基礎題．14．（2022秋?遂寧期末）集合{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}用列舉法表示為（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1}【分析】直接求出集合中的元素即可．【解答】解：{x|﹣3＜2x﹣1＜3，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜2，x∈Z}＝{0，1}．故選：C．【點評】本題主要考查了集合列舉法與描述法的轉化，屬于基礎題．15．（2022秋?瀏陽市期末）用列舉法表示＝{1，2，3，6}．【分析】根據(jù)已知條件，先求出a的值，即可求解．【解答】解：∵且a∈N，∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6，解得a＝2或a＝3或a＝4或a＝7，∴對應的值為6，3，2，1，故＝{1，2，3，6}．故答案為：{1，2，3，6}．【點評】本題主要考查集合的表示法，屬于基礎題．16．（2022秋?裕華區(qū)校級月考）集合{3，，，，…}用描述法可表示為（）A．{x|x＝，n∈N*} B．{x|x＝，n∈N*} C．{x|x＝，n∈N*} D．{x|x＝，n∈N*}【分析】集合{3，，，，…}中的第n項的分線為n，分子為2n+1，由此能求出結果．【解答】解：集合{3，，，，…}中的第n項的分線為n，分子為2n+1，∴集合{3，，，，…}用描述法可表示為：{x|x＝，n∈N*}．故選：D．【點評】本題考查集合的表示，考查集合的通項公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是基礎題．17．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）用描述法表示除以3余1的所有整數(shù)組成的集合{x|x＝3n+1，n∈Z}．【分析】根據(jù)描述法的定義求解即可．【解答】解：用描述法表示除以3余1的所有整數(shù)組成的集合為{x|x＝3n+1，n∈Z}．故答案為：{x|x＝3n+1，n∈Z}．【點評】本題主要考查了集合的表示方法，屬于基礎題．【能力提升】一．選擇題（共5小題）1．（2022秋?溫江區(qū)校級期末）定義A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，若A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，則A⊕B中元素個數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．5【分析】根據(jù)新定義直接寫出A⊕B中所有元素即可．【解答】解：∵定義A⊕B＝{x|x＝，m∈A，n∈B}，A＝{1，2，4}，B＝{2，4，8}，∴A⊕B＝{，，，1，2}，∴A⊕B中元素個數(shù)為5個．故選：D．【點評】本題主要考查了元素與集合關系的判斷，考查了元素的互異性，屬于基礎題．2．（2022秋?川匯區(qū)校級期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}中所含元素的個數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】通過x的取值，確定y的取值，推出B中所含元素的個數(shù)．【解答】解：由A＝{1，2，3}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，|x﹣y|∈A}，當x＝3時，y＝1，2，滿足集合B，當x＝2時，y＝1，3；滿足集合B，當x＝1時，y＝2，3；滿足集合B，共有6個元素．故選：C．【點評】本題考查集合的基本運算，元素與集合的關系，考查計算能力．3．（2022秋?湛江期末）對于任意兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“※”如下：當m，n都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，m※n＝m+n；當m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m※n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（a，b）|a※b＝8}中的元素個數(shù)是（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】由定義分類討論，列舉出所有滿足條件的元素即可．【解答】解：由定義知，當a，b都為正偶數(shù)或都為正奇數(shù)時，a※b＝a+b＝8，故（a，b）是（1，7），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（7，1）；當a，b中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，a※b＝ab＝8，故（a，b）是（1，8），（8，1）；故共9個元素，故選：B．【點評】本題考查了集合的應用及新定義的應用，應用了分類討論的思想與列舉法，屬于中檔題．4．（2022秋?淮陽區(qū)校級期末）用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義，若A＝{1，2}，B＝{x|（x2+ax）?（x2+ax+2）＝0}，且A*B＝1，設實數(shù)a的所有可能取值組成的集合是S，則C（S）等于（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】結合題意知C（A）＝2，從而可得C（B）＝1或C（B）＝3，即方程（x2+ax）?（x2+ax+2）＝0有1個根或3個根，而由x2+ax＝0得x＝0或x+a＝0，分類討論；當a＝0時，求解集合B，判斷；當a≠0時，x2+ax＝0對應的根為0和﹣a，則C（B）＝3，再按方程x2+ax+2＝0的解的情況分兩類討論，進一步檢驗即可．【解答】解：由題意知，C（A）＝2，∵A*B＝1，A*B＝，∴C（B）＝1或C（B）＝3，即方程（x2+ax）?（x2+ax+2）＝0有1個根或3個根，若（x2+ax）?（x2+ax+2）＝0，則x2+ax＝0或x2+ax+2＝0，若x2+ax＝0，則x＝0或x+a＝0，當a＝0時，B＝{0}，C（B）＝1，符合題意；當a≠0時，x2+ax＝0對應的根為0和﹣a，若C（B）＝3，則有以下兩種情況，①當x2+ax+2＝0有兩個相等的實數(shù)根時，Δ＝a2﹣8＝0，解得a＝±2，當a＝2時，B＝{0，﹣，﹣2}，C（B）＝3，符合題意；當a＝﹣2時，B＝{0，，2}，C（B）＝3，符合題意；②當x2+ax+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根時，則﹣a是x2+ax+2＝0的一個根，即（﹣a）2+a?（﹣a）+2＝0，無解；綜上所述，S＝{0，2，﹣2}；故C（S）＝3，故選：B．【點評】本題考查了新定義的應用及分類討論的思想方法的應用，屬于中檔題．5．（2022秋?昌平區(qū)期末）已知集合A，B都是N*的子集，A，B中都至少含有兩個元素，且A，B滿足：①對于任意x，y∈A，若x≠y，則xy∈B；②對于任意x，y∈B，若x＜y，則．若A中含有4個元素，則A∪B中含有元素的個數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】分別給出具體的集合A和集合B，然后證明正確性即可．【解答】解：若取A＝{2，4，8，16}，則B＝{8，16，32，64，128}，此時A∪B＝{2，4，8，16，32，64，128}，包含7個元素．下面推導其正確性：設A＝{a，b，c，d}且a＜b＜c，d，a，b，c，d∈N*，集合B的元素如下：xy且x≠yx＝ax＝bx＝cx＝dy＝a﹣abacady＝bab﹣bcbdy＝cacbc﹣cdy＝dadbdcd﹣由表得：B＝{ab，ac，bc，ad，bd，cd}且ab＜ac＜min{bc，ad}＜max{bc，ad}＜bd＜cd，此時要滿足x＜y，有∈A，如下表：且x＜yx＝abx＝acx＝bcx＝adx＝bdx＝cdy＝ab﹣﹣﹣﹣﹣﹣y＝ac﹣﹣﹣﹣﹣y＝bc﹣*﹣﹣y＝ad*﹣﹣﹣y＝bd*﹣﹣﹣y＝cd﹣當bc＞ad，上表第一列有＞＞＞＞且均屬于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；當bc＜ad，上表第一列有＞＞＞，且均屬于集合A，而A＝{a，b，c，d}，矛盾；當bc＝ad時，則＞＞max{，，}＞min{，}＞＝，且均屬于集合A，而A＝{a，b，c，d}，此時只需滿足＝＝，則＝＝＝b，＝c，＝d，可得S＝{a，a2，a3，a4}，且T＝{a3，a4，a5，a6，a7}，注意a＝1，所以A∪B＝{a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，故共有7個元素．故選：C．【點評】本題考查元素與集合的關系，考查列舉法、集合中元素的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．二．填空題（共3小題）6．（2022秋?如皋市期末）集合A＝{a2+a﹣2，1﹣a，2}，若4∈A，則a＝2．【分析】分類討論A中元素與4的對應關系，得到方程解之，并驗證互異性．【解答】解：若4∈A，則a2+a﹣2＝4或1﹣a＝4，當a2+a﹣2＝4時，a2+a﹣6＝0，解得：a＝﹣3或2，若a＝﹣3，則1﹣a＝4，與互異性矛盾，舍去；若a＝2，則1﹣a＝﹣1，滿足題意；當1﹣a＝4時，即a＝﹣3，此時a2+a﹣2＝4，與互異性矛盾，舍去；綜上a＝2．故答案為：2．【點評】本題考查集合中元素的互異性以及元素對應關系，屬于基礎題．7．（2022秋?張家界期末）已知集合A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，求實數(shù)m的值3．【分析】利用2∈A，推出m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m的值，然后驗證集合A是否成立，即可得到m的值．【解答】解：因A＝{0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A所以m＝2或m2﹣3m+2＝2即m＝2或m＝0或m＝3當m＝2時，A＝{0，2，0}與元素的互異性相矛盾，舍去；當m＝0時，A＝{0，0，2}與元素的互異性相矛盾，舍去；當m＝3時，A＝{0，3，2}滿足題意∴m＝3．故答案是：3．【點評】本題考查集合中元素與集合的關系，注意集合中元素的互異性的應用，考查計算能力．8．（2022秋?石景山區(qū)期末）設P為非空實數(shù)集且滿足：對任意給定的x，y∈P（x，y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集．有以下結論：①集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}為幸運集；②集合P＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運集；③若集合P1，P2為幸運集，則P1∪P2為幸運集；④若集合P為幸運集，則一定有0∈P．其中正確結論的序號是②④．【分析】直接利用幸運集的定義和賦值法判定①②③④四個結論．【解答】解：P為非空實數(shù)集滿足：對任意給定的x、∈P（x、y可以相同），都有x+y∈P，x﹣y∈P，xy∈P，則稱P為幸運集．對于①，由于﹣2﹣2＝﹣4?A，故集合P＝{﹣2，﹣1，0，1，2}不為幸運集，故①錯誤；對于②，設x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，且k1，k2∈Z，故x+y＝2（k1+k2）∈A，x﹣y＝2（k1﹣k2）∈A，xy＝4k1k2∈A，故集合p＝{x|x＝2n，n∈Z}為幸運集，故②正確；對于③，若集合P1、P2為幸運集，設P1＝{x|x＝，k∈Z}，P2＝{x|x＝，k∈Z}為幸運集，但是P1∪P2不為幸運集，故③錯誤；對于④，若集合P為幸運集，取x＝y(tǒng)，x﹣y＝0∈P，則一定有0∈P，故④正確．故答案為：②④．【點評】本題考查集合的新定義，注意運用賦值法，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．三．解答題（共4小題）9．（2022秋?順義區(qū)期末）已知A是非空數(shù)集，如果對任意x，y∈A，都有x+y∈A，xy∈A，則稱A是封閉集．（Ⅰ）判斷集合B＝{0}，C＝{﹣1，0，1}是否為封閉集，并說明理由；（Ⅱ）判斷以下兩個命題的真假，并說明理由；命題p：若非空集合A1，A2是封閉集，則A1∪A2也是封閉集；命題q：若非空集合A1，A2是封閉集，且A1∩A2≠?，則A1∩A2也是封閉集；（Ⅲ）若非空集合A是封閉集合，且A≠R，R為全體實數(shù)集，求證：?RA不是封閉集．【分析】（Ⅰ）根據(jù)封閉集的定義判斷即可；（Ⅱ）對命題p舉反例A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}說明即可；對于命題q：設a，b∈（A1∩A2），由A1，A2是封閉集，可得a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），從而判斷為正確；（Ⅲ）根據(jù)題意，令A＝Q，只需證明?RQ不是封閉集即可，取?RQ中的即可證明．【解答】（Ⅰ）解：對于集合B＝{0}，因為0+0＝0∈B，0×0＝0∈B，所以B＝{0}是封閉集；對于集合C＝{﹣1，0，1}，因為﹣1+0＝﹣1∈C，﹣1×0＝0∈C，﹣1+1＝0∈C，﹣1×1＝﹣1∈C，0+1＝1∈C，0×1＝0∈C，所以集合C＝{﹣1，0，1}是封閉集；（Ⅱ）解：對命題p：令A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}，則集合A1，A2是封閉集，如A1＝{0，﹣2}，A2＝{0，3}，但A1∪A2＝{0，﹣2，3}不是封閉集，故錯誤；對于命題q：設a，b∈（A1∩A2），則有a，b∈A1，又因為集合A1是封閉集，所以a+b∈A1，ab∈A1，同理可得a+b∈A2，ab∈A2．所以a+b∈（A1∩A2），ab∈（A1∩A2），所以A1∩A2是封閉集，故正確；（Ⅲ）證明：因為非空集合A是封閉集合，且A≠R，所以?RA≠?，?RA≠R，假設?RA是封閉集，由（Ⅱ）的命題q可知：若非空集合A1，A2是封閉集，且A1∩A2≠?，則A1∩A2也是封閉集，又因為A∩（?RA）＝?，所以?RA不是封閉集，得證．【點評】本題考查了集合新定義的應用，屬于中檔題．10．（2022秋?延慶區(qū)期末）已知集合A是集合N*的子集，對于i∈N*，定義．任取N*的兩個不同子集A，B，對任意i∈N*．（Ⅰ）判斷fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）是否正確？并說明理由；（Ⅱ）證明：fi（A∩B）＝fi（A）?fi（B）．【分析】（1）通過舉反例A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}即可判斷；（2）若fi（A∩B）＝0，則i?（A∩B），分i∈A且i?B，或i?A且i∈B，或i?A且i?B三種情況討論，若f{（4∩B）＝1，則i∈（4∩B），此時fi（A∩B）＝1，綜上即可證明．【解答】解：（1）不正確，理由如下：A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，當i＝2時，因為2∈A，所以f2（A）＝1，因為2∈B，所以f2（B）＝1，因為2∈（A∪B），所以f2（A∪B）＝1，此時f2（A∪B）≠f2（A）+f2（B），所以對任意i∈N*，fi（A∪B）＝fi（A）+fi（B）不正確．（2）證明：①若fi（A∩B）＝0，此時有i?（A∩B），當i∈A且i?B時，fi（A）＝1，fi（B）＝0，此時fi（A）?fi（B）＝0；當i?A且i∈B時，fi（A）＝0，fi（B）＝1，此時fi（A）?fi（B）＝0；當i?A且i?B時，fi（A）＝0，fi（B）＝0，此時fi（A）?fi（B）＝0，因此fi（A∩B）＝fi（A）?fi（B）成立．②若fi（A∩B）＝1，則i∈（A∩B），此時i∈A且i∈B，則fi（A）＝1，fi（B）＝1，此時fi（A）?fi（B）＝1，因此fi（A∩B）＝fi（A）?fi（B）成立，綜合①②可知，fi（A∩B）＝fi（A）?fi（B）成立．【點評】本題主要考查集合的新定義，集合間的基本關系，元素與集合的關系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．11．（2022秋?大興區(qū)期末）對在直角坐標系的第一象限內(nèi)的任意兩點作如下定義：若，那么稱點（a，b）是點（c，d）的“上位點”．同時點（c，d）是點（a，b）的“下位點”；（1）試寫出點（3，5）的一個“上位點”坐標和一個“下位點”坐標；（2）已知點（a，b）是點（c，d）的“上位點”，判斷點是否是點（a，b）的“下位點”，證明你的結論；（3）設正整數(shù)n滿足以下條件：對集合{t|0＜t＜2022，t∈Z}內(nèi)的任意元素m，總存在正整數(shù)k，使得點（n，k）既是點（2022，m）的“下位點”，又是點（2023，m+1）的“上位點”，求滿足要求的一個正整數(shù)n的值，并說明理由．【分析】（1）由定義即可得所求點的坐標；（2）先由點（a，b）是點（c，d）的“上位點”得＞，作差化簡得ad﹣bc＞0，結合所得結論、定義，利用作差法可判斷出點P（）是否是點（a，b）的“下位點”；（3）借助（2）的結論，證明點P（a+c，b+d）既是點（c，d）的“上位點”，又是點（a，b）的“下位點”，再利用所證結論即可得到滿足要求的一個正整數(shù)n的值．【解答】解：（1）根據(jù)題設中的定義可得點（3，5）的一個上位點“坐標”和一個下位點坐標分別為（3，4）和（3，7）．（2）點P（，）是點（a，b）的“下位點”．證明：∵點（a，b）是點（c，d）的“上位點”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＜0，∴，∴點P（）是點（a，b）的“下位點”．（3）可證點P（a+c，b+d）既是點（c，d）的“上位點”，又是點（a，b）的“下位點”．證明：∵點（a，b）是點（c，d）的“上位點”，∴，∵a，b，c，d均大于0，∴ad＞bc，∴ad﹣bc＞0，∴﹣＝＝＝＞0，即＞，∴點P（a+c，b+d）是點（c，d）的“上位點”，同理得＝＝，即，∴點P（a+c，b+d）是點（a，b）的“下位點”，∴點P（a+c，b+d）既是點（c，d）的“上位點”，又是點（a，b）的“下位點”，根據(jù)題意知點（n，k）既是點（2022，m）的“下位點”，又是點（2023，m+1）的“上位點”對m∈{t|0＜t＜2022，t∈Z}時恒成立，根據(jù)上述的結論知，當n＝2022+2023＝4045，k＝2m+1時，滿足條件，故n＝4045．【點評】本題考查“上位點”“下位點的定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是難題．12．（2022秋?昌平區(qū)期末）設有限集合E＝{1，2，3，?，N}，對于集合A?E，A＝{x1，x2，x3，?，xm}，給出兩個性質：①對于集合A中任意一個元素xk，當xk≠1時，在集合A中存在元素xi，xj（i≤j），使得xk＝xi+xj，則稱A為E的封閉子集；②對于集合A中任意兩個元素xi，xj（i≠j），都有xi+xj?A，則稱A為E的開放子集．（Ⅰ）若N＝20，集合A＝{1，2，4，6，8，10}，B＝{x|x＝3k+1，k≤6，k∈N*}，判斷集合A，B為E的封閉子集還是開放子集；（直接寫出結論）（Ⅱ）若N＝100，1∈A，100∈A，且集合A為E的封閉子集，求m的