4.4數(shù)學(xué)歸納法-高二數(shù)學(xué)精講高分突破系列（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁4.4：數(shù)學(xué)歸納法【考點梳理】考點一：數(shù)學(xué)歸納法1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n＝n0(n0∈N*)時命題成立；(2)(歸納遞推)以當(dāng)“n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法．2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的證明形式記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題．我們可以把用數(shù)學(xué)歸納法證明的形式改寫如下：條件：(1)

P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．結(jié)論：P(n)為真．3.數(shù)學(xué)歸納法中的兩個步驟在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗證(或證明)了當(dāng)n＝n0時結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k＋1)也為真．只要將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，從而完成證明．【題型歸納】題型一：數(shù)學(xué)歸納法的定義1．（2023下·陜西西安·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，第二步應(yīng)假設(shè)（

）A．當(dāng)時，成立B．當(dāng)時，成立C．當(dāng)時，成立D．當(dāng)時，成立【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，證明的結(jié)論為“”，所以第二步的假設(shè)應(yīng)寫出：假設(shè)時命題成立，即成立.故選：C.2．（2023下·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到時，不等式左邊需要增加的項為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)歸納法即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知：當(dāng)時，當(dāng)時，相比從到，可知多增加的項為故選：D3．（2023下·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，都有，第一步應(yīng)該驗證的等式是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的知識確定正確答案.【詳解】在等式中，當(dāng)時，，故等式的左邊為，右邊為.所以第一步應(yīng)該驗證的等式是.故選：D題型二：數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式4．（2021·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程中，第二步假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到的式子為.【答案】1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k【分析】分析由n＝k到n＝k＋1時，等式左邊增加的項可得結(jié)果.【詳解】因為由n＝k到n＝k＋1時，等式的左邊增加了一項，該項為，所以當(dāng)n＝k＋1時應(yīng)得到的式子為1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k，故答案為：1＋2＋22＋＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k5．（2022·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，當(dāng)時，應(yīng)證明的等式為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)學(xué)歸納法的定義及證明命題的方法步驟直接寫出結(jié)論作答.【詳解】依題意，當(dāng)時，應(yīng)證明的等式為：.故答案為：6．（2023上·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明以下恒等式：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可；【詳解】（1）①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，左邊右邊，即當(dāng)時，等式也成立；綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，成立.（2）①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊與右邊相等，即時等式成立；②假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，則當(dāng)時，左邊右邊，即當(dāng)時，等式也成立；綜上所述，由①②可知，對于任意正整數(shù)，成立.題型三：數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題7．（2022·高二課時練習(xí)）已知，存在自然數(shù)，使得對任意，都能使整除，則最大的的值為．【答案】36【分析】求出，歸納出，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】，，，都能被帶除，猜想能被36帶除，（1）時，是36的整數(shù)倍，（2）假設(shè)時，是36的整數(shù)倍，即（），時，，由假設(shè)是36的整數(shù)倍，又是偶數(shù)，是36的整數(shù)倍，所以是36的整數(shù)倍，綜上，對一切正整數(shù)，是36的整數(shù)倍，即能被36整除，而，所以是最大的數(shù)，即．故答案為：36．8．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）設(shè)，用數(shù)學(xué)歸納法證明：是64的倍數(shù)．【答案】證明見解析【分析】利用數(shù)學(xué)歸納法來證明，當(dāng)時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)時，能夠被64整除，證明當(dāng)時，命題也成立．【詳解】（1）當(dāng)時，能被64整除，命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)時，能夠被64整除．當(dāng)時，能夠被64整除，能夠被64整除．即當(dāng)時，命題也成立．由（1）（2）可知，能被64整除，即是64的倍數(shù)．9．（2022·四川眉山·統(tǒng)考三模）將①，，②，③，之一填入空格中（只填番號），并完成該題.已知是數(shù)列前n項和，___________.(1)求的通項公式；(2)證明：對一切，能被3整除.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）若選①，類比作差證明數(shù)列是隔項等差數(shù)列即可；若選②，利用類比作差和階差法可以求解；若選③，利用公式作差后因式分解，找出與的關(guān)系，再根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式即可求出.（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論即可.【詳解】（1）若選①：因為所以，兩式相減得，所以是隔項等差數(shù)列，且，所以為奇數(shù)，為偶數(shù)，所以.若選②：，所以，兩式相減得，，所以，所以.若選③：因為①，所以②，所以，即，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以的通項公式.（2）當(dāng)時，，能夠被3整除；假設(shè)當(dāng)時，能被3整除，則有,所以，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時能被3整除.綜上所述，對一切，能被3整除.4整除．題型四：數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題10．（2023上·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列：，，，…，，…，設(shè)為該數(shù)列的前項和.計算，，，的值；根據(jù)計算的結(jié)果，猜想（為正整數(shù)）的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【答案】，，，，證明見解析【分析】代入數(shù)值計算，，，的值；根據(jù)前4項的規(guī)律可猜出的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.【詳解】，，，，猜想（為正整數(shù)），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時，，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時猜想成立.由①②得，得證.11．（2023上·高二課時練習(xí)）設(shè)數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且．記．如果對于所有的正整數(shù)均有．(1)求，，，，；(2)猜想的通項公式，并加以證明．【答案】(1)，，，，(2)，證明見解析【分析】（1）利用代入法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)前五項的特點進(jìn)行猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因為，，所以舍去，同理可得：舍去，舍去，舍去，所以，，，，；（2）猜想：，證明過程如下：當(dāng)時，顯然成立，假設(shè)當(dāng)時成立，即，當(dāng)時，，解得：，或，因為數(shù)列的各項均為正整數(shù)，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，顯然，所以，舍去，所以當(dāng)時，成立，綜上所述：12．（2023下·北京房山·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列的通項公式為，記該數(shù)列的前n項和為．(1)計算，，，的值；(2)根據(jù)計算結(jié)果，猜想的表達(dá)式，并進(jìn)行證明．【答案】(1)，，，(2)，證明見解析.【分析】（1），從而可得出，（2）猜想，然后根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可.【詳解】（1）因為，所以，，，.（2）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：當(dāng)時，，猜想正確，假設(shè)當(dāng)時，猜想也正確，則有，當(dāng)時，，所以時，猜想也正確，綜上所述，.題型五：數(shù)學(xué)歸納法證明不等式13．（2019·上海寶山·統(tǒng)考二模）用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】分別令，計算左右兩邊，觀察不等式是否成立，即可求出正確答案.【詳解】當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時，左邊，右邊，成立；即左邊大于右邊，不等式成立，則對任意的自然數(shù)都成立，則的最小值為，故選：B．14．（2022下·遼寧沈陽·高二沈陽市第一二〇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，比多了項．【答案】【分析】作差分析可得答案.【詳解】因為，，所以，所以比多了項.故答案為：15．（2022下·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）（1）請用分析法證明：；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）根據(jù)分析法，尋找命題成立的充分條件即可證；（2）由數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明．【詳解】證明：（1）要證：，只需證：，只需證：，即證：，即證：，也就是證：42>40，而42>40顯然成立，故原不等式得證．（2）證明：①當(dāng)時，左邊，時成立②假設(shè)當(dāng)時成立，即那么當(dāng)時，左邊∴時也成立根據(jù)①②可得不等式對所有的n>1都成立．題型六：數(shù)學(xué)歸納法解決探究性問題16．（2023上·上海虹口·高二上外附中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)依次求，，的值；(2)對任意正整數(shù)n，記，即.猜想數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】(1)，，；(2)猜想，證明見解析【詳解】（1），，，，，，，所以，，；（2），，，所以猜想，當(dāng)時，，成立，假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即，即那么當(dāng)時，，，，，所以當(dāng)時，猜想成立，綜合以上可知，當(dāng)時，成立.17．（2022·高二課時練習(xí)）請觀察下列三個式子：①；②；③．歸納出一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．【答案】，證明見解析【分析】觀察各個式子左右兩邊的關(guān)系以及與正整數(shù)的關(guān)系，歸納出一般結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】．證明：①當(dāng)時，左邊＝3，右邊＝3，所以左邊＝右邊．②假設(shè)當(dāng)時，命題成立，即；則當(dāng)時，，所以當(dāng)時命題立，由①②知，命題成立．18．（2022·高二課時練習(xí)）（1）分別計算：，，的值；（2）根據(jù)（1）的計算，猜想的表達(dá)式；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】（1），，；（2）（）；（3）證明見解析【分析】（1）直接計算；（2）觀察規(guī)律，猜想出結(jié)論（）；（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】（1），，；（2）猜想：（）；（3）證明：（i）時，，成立；（ii）假設(shè)時，命題成立，即，則時，，命題也成立，綜上，對一切且，成立．【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題19．（2023下·上海·高二期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時，能被整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）A．假設(shè)正確，再推正確B．假設(shè)正確，再推正確C．假設(shè)正確，再推正確D．假設(shè)正確，再推正確【答案】B【分析】注意為正奇數(shù)，觀察第一步取到1，即可推出第二步的假設(shè)．【詳解】解：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意為奇數(shù)，所以第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成：假設(shè)正確，再推正確；故選：B．【點睛】本題是基礎(chǔ)題，不僅注意第二步的假設(shè)，還要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本題的關(guān)鍵20．（2023下·上?！じ叨谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證明，從到，左邊需要增乘的代數(shù)式為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別求出時左端的表達(dá)式，和時左端的表達(dá)式，比較可得“n從到”左端需增乘的代數(shù)式．【詳解】解：當(dāng)時，左端＝，當(dāng)時，左端＝，故左邊要增乘的代數(shù)式為.故選：B．21．（2023下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對任意的，”，由到時，等式左邊應(yīng)當(dāng)增加的項為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分別寫出和時，左邊的式子，兩式作差，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可得，當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；當(dāng)時，等式左邊等于，共項求和；所以由的假設(shè)到證明時,等式左邊應(yīng)添加的式子是.故選：B.22．（2023下·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明時，由的假設(shè)證明時，不等式左端的變化是（

）A．增加項 B．增加和兩項C．增加和兩項，減少項 D．以上結(jié)論均不正確【答案】C【分析】根據(jù)題意寫出和的表達(dá)式，進(jìn)而得到到的變化，得到答案.【詳解】由題意，不等式，當(dāng)時，不等式的左端，當(dāng)時，左端，所以從到，不等式的左端增加和兩項，減少項.故選：C.23．（2023下·北京·高二北京八中?？计谥校┰谟脭?shù)學(xué)歸納法證明的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別得到和時，左邊對應(yīng)的式子，兩式作商，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，左邊，當(dāng)時，左邊，則.故選：D.24．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．【答案】證明見解析【分析】按數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明即可，即驗證時等式成立，且假設(shè)時等式成立，證明時等式成立即可.【詳解】當(dāng)時，等式左邊，等式中間，等式右邊，即等式左邊=等式中間=等式右邊，等式成立；假設(shè)時等式成立，即有成立，我們分兩步來證明當(dāng)時，等式成立，即分別證明此時等式左邊=等式中間，等式中間=等式右邊即可，第一步：由假設(shè)可知，當(dāng)時，有成立，即當(dāng)時，等式左邊=等式中間成立；第二步：由假設(shè)，所以此時有成立，從而可知，當(dāng)時，有成立，即當(dāng)時，等式中間=等式右邊成立；結(jié)合以上兩步有：若當(dāng)時等式成立，則當(dāng)時等式成立；綜上所述：由數(shù)學(xué)歸納法可得.25．（2023上·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）記，驗證當(dāng)時，等式成立；假設(shè)當(dāng)時，等式成立，然后證明出當(dāng)時，等式成立，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論成立；（2）記，驗證當(dāng)時，等式成立；假設(shè)當(dāng)時，等式成立，然后證明出當(dāng)時，等式成立，利用數(shù)學(xué)歸納法可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）證明：記，當(dāng)時，則有，等式成立，假設(shè)當(dāng)，等式成立，即，則，這說明當(dāng)時，等式成立，故對任意的，.（2）證明：設(shè)，當(dāng)時，，等式成立，假設(shè)當(dāng)時，等式成立，即，所以，，這說明當(dāng)時，等式成立，所以，對任意的，.26．（2023·全國·高二課堂例題）設(shè)，．(1)當(dāng)時，計算的值；(2)你對的值有何猜想？用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．【答案】(1)8，32，144，680；(2)猜想：當(dāng)時，能被8整除，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定關(guān)系式，代入計算作答.（2）由（1）的結(jié)果，猜想結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明作答.【詳解】（1）由，，得；；；．（2）由（1）猜想：當(dāng)時，能被8整除．①當(dāng)時，有，能被8整除，命題成立；②假設(shè)當(dāng)時命題成立，即能被8整除，則當(dāng)時，，顯然和均為奇數(shù)，它們的和必為偶數(shù)，從而能被8整除，又依歸納假設(shè)，能被8整除，所以能被8整除，因此當(dāng)時命題也成立，由①②知，當(dāng)時，能被8整除.【高分突破】一：選擇題27．（2023·高二課時練習(xí)）用數(shù)學(xué)歸納法證明（，，是正整數(shù)），在驗證時，左邊所得的項為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟，令即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，在驗證時，左邊所得的項為.故選：C.28．（2022下·上海徐匯·高二上海市西南位育中學(xué)校考期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明：“”，設(shè)，從到時（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出，結(jié)合的表達(dá)式可得出結(jié)果.【詳解】因為，則，即.故選：B.29．（2022·上海·高二專題練習(xí)）已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，若已假設(shè)（，且為偶數(shù)）時等式成立，則還需利用假設(shè)再證（）A．時不等式成立 B．時不等式成立C．時不等式成立 D．時不等式成立【答案】B【分析】利用已知及其數(shù)學(xué)歸納法的定義即可得出．【詳解】若已假設(shè)（，k為偶數(shù)）時命題為真，因為n只能取偶數(shù)，所以還需要證明成立．故選：B．30．（2022上·上?！じ叨谥校┮阎顷P(guān)于正整數(shù)n的命題，現(xiàn)在小杰為了證明該命題，已經(jīng)證明了命題、、均成立，并對任意的且，在假設(shè)成立的前提下，證明了成立，其中m為某個固定的整數(shù)，若要用上述證明說明對一切且均成立，則m的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．不存在【答案】C【分析】由歸納法的步驟知，在假設(shè)f（k）成立的前提下，證明了f（k+m）成立，由此類推，對n＞m的任意整數(shù)均成立，而小明證明了命題f（1），f（2），f（3）均成立，由此可得m的最大值．【詳解】由題意可知，對都成立，假設(shè)成立的前提下，證明了成立，所以m的最大值可以為3．故選：C．31．（2022上·上海普陀·高二上海市晉元高級中學(xué)?？计谥校┪覀儗W(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法的相關(guān)知識，知道數(shù)學(xué)歸納法可以用來證明與正整數(shù)n相關(guān)的命題.下列三個證明方法中，可以證明某個命題對一切正整數(shù)n都成立的是（

）①成立，且對任意正整數(shù)k，“當(dāng)時，均成立”可以推出“成立”②，均成立，且對任意正整數(shù)k，“成立”可以推出“成立”③成立，且對任意正整數(shù)，“成立”可以推出“成立且成立”A．②③ B．①③ C．①② D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于①，對任意正整數(shù)k，“當(dāng)時，均成立，則當(dāng)時，成立，故①可證明某個命題對一切正整數(shù)n都成立；對于②，因為，均成立，成立，則當(dāng)為奇數(shù)時，成立，當(dāng)為偶數(shù)數(shù)時，成立，所以②可以證明某個命題對一切正整數(shù)n都成立；對于③，因為成立，對任意正整數(shù)，成立，所以也成立，又成立，成立，則也成立，所以③可以證明某個命題對一切正整數(shù)n都成立.故選：D.二、多選題32．（2023下·廣東珠?！じ叨楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮韵滤膫€命題，其中滿足“假設(shè)當(dāng)時命題成立，則當(dāng)時命題也成立”，但不滿足“當(dāng)（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的是（

）A．B．C．凸n邊形的內(nèi)角和為D．凸n邊形的對角線條數(shù)【答案】AB【分析】A、B、C應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法判斷是否滿足要求；D在成立的條件下判斷是否成立即可判斷.【詳解】A：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題也成立，當(dāng)時有，故當(dāng)n為給定的初始值時命題不成立；B：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題也成立，當(dāng)時，等號左邊為2，右邊為，，所以當(dāng)時命題不成立；C：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題也成立，當(dāng)時內(nèi)角和為命題成立；D：假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時有，故當(dāng)時命題不成立.綜上可知，滿足條件的選項為AB故選：AB.33．（2022上·山東淄博·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小明和小童兩位同學(xué)玩構(gòu)造數(shù)列小游戲,規(guī)則是:首先給出兩個數(shù)字1,10,然后小明把兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到第一個新數(shù)列1,10,10,再然后小童把每相鄰兩項的積插入此兩項之間,得到第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,如此下去,不斷得到新數(shù)列．假設(shè)第n個新數(shù)列是:記:,則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義,寫出前4項,即可判斷選項AD的正誤,再根據(jù)新定義找到項數(shù),,與第幾個數(shù)列之間的關(guān)系,利用數(shù)學(xué)歸納法即可判斷選項B的正誤,根據(jù)和之間的聯(lián)系即可得到選項C的正誤.【詳解】解:由題可知:第一個新數(shù)列為:1,10,10,項數(shù)為:3,,第二個新數(shù)列1,10,10,100,10,由于第二個新數(shù)列的得到是第一個數(shù)列的基礎(chǔ)上,相鄰兩項積插入,故項數(shù)為:,,第三個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,故項數(shù)為:,,第四個新數(shù)列1,10,10,100,10,1000,100,1000,10,10000,1000,100000,100,100000,1000,10000,10,故項數(shù)為:,,故選項A正確;不妨記第個數(shù)列時，為,當(dāng)時,即第一個數(shù)列時,滿足,不妨假設(shè)當(dāng)時,即第個數(shù)列時滿足,且數(shù)列有項,則當(dāng)時,即第個數(shù)列時,數(shù)列的項數(shù)有項,此時,滿足,故選項B正確;由于新數(shù)列是將兩數(shù)之積插入這兩數(shù)之間得到,且,故在中比多出來的部分需要乘2次,需要乘一次,再加上乘以,故有,即,故選項C正確;由選項A中可知:,,故選項D錯誤.故選:ABC34．（2022·高二課時練習(xí)）下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的定義可得出結(jié)論.【詳解】數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，由此可知BC能用數(shù)學(xué)歸納法證明.故選：BC.35．（2021下·江蘇無錫·高二?？计谥校τ诓坏仁剑硨W(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)時，，不等式成立②假設(shè)，時，不等式成立，即，則時，，∴當(dāng)時；不等式成立．關(guān)于上述證明過程的說法正確的是（）A．證明過程全都正確B．當(dāng)時的驗證正確C．歸納假設(shè)正確D．從到的推理不正確【答案】BD【分析】寫出正確的數(shù)學(xué)歸納法的證明過程，對比即可判斷證明過程的正確性【詳解】對于不等式①當(dāng)時，代入上式可得：，不等式成立，故題干中當(dāng)時的驗證正確，所以選項B正確②假設(shè)，時，不等式成立，即，所以題干中時步驟錯誤，即歸納假設(shè)錯誤，所以選項A，C錯誤；當(dāng)時，，由假設(shè)得：，所以即，∴當(dāng)時；不等式成立．對比可得：題干中從到的推理不正確，選項D正確故選：BD36．（2021·高二課時練習(xí)）對于不等式，某同學(xué)運用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下：①當(dāng)時，，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，，所以當(dāng)時，不等式成立.上述證法（

）A．過程全部正確 B．時證明正確C．過程全部不正確 D．從到的推理不正確【答案】BD【分析】直接利用數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行判斷即可.【詳解】易知當(dāng)時，該同學(xué)的證法正確.從到的推理過程中，該同學(xué)沒有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故推理不正確.故選：BD.三、填空題37．（2023上·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)?？计谥校┯脭?shù)學(xué)歸納法證明（，）的過程中，當(dāng)時，左端應(yīng)在時的左端上加上【答案】【分析】由題意，整理取不同值時的式子，對比可得答案.【詳解】由題意，當(dāng)時，所得等式左端為；當(dāng)時，所得等式左端為；所以當(dāng)時，左端應(yīng)在時的左端上加上.故答案為：.38．（2023下·高二課時練習(xí)）已知，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得到和的表達(dá)式，進(jìn)而得到和的關(guān)系式，得到答案.【詳解】由，可得則，即.故答案為：.39．（2023·高二課時練習(xí)）若，，（是正整數(shù)），寫出數(shù)列的前幾項后猜測．【答案】3【分析】計算出前幾項，得出是周期為6的數(shù)列，即可根據(jù)周期得出答案.【詳解】，，則，，，，，，即，，所以是周期為6的數(shù)列，，，故答案為：3.40．（2022上·上海徐匯·高二位育中學(xué)?？计谀┯脭?shù)學(xué)歸納法證明等式時，第（ii）步從n=k到n=k+1時等式左邊應(yīng)添加的項是【答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟解答.【詳解】時，左邊；當(dāng)時，左邊；觀察兩式易知增加的項為：.故答案為：.41．（2022下·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）觀察下列數(shù)表：13

57

9

11

1315

17

19

21

23

25

27

29…

…

…設(shè)1025是該表第m行的第n個數(shù)，則.【答案】12【分析】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行4個數(shù)，第四行8個數(shù)，…第十行有29個數(shù)，分別求出左起第一個數(shù)的規(guī)律，按照此規(guī)律，即可求出答案.【詳解】根據(jù)上面數(shù)表的數(shù)的排列規(guī)律，1、3、5、7、9…都是連續(xù)奇數(shù)，第一行1個數(shù)，第二行2=21個數(shù)，且第1個數(shù)是3=22﹣1第三行4=22個數(shù)，且第1個數(shù)是7=23﹣1第四行8=23個數(shù)，且第1個數(shù)是15=24﹣1

…第10行有29個數(shù)，且第1個數(shù)是210﹣1=1023，第2個數(shù)為1025，所以1025是第10行的第2個數(shù)，所以m=10，n=2，所以m+n=12；故答案為：12四、解答題42