浙江省寧波市第七中學2024年高一下數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

浙江省寧波市第七中學2024年高一下數(shù)學期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設是內(nèi)任意一點，表示的面積，記，定義，已知，是的重心，則（）A．點在內(nèi) B．點在內(nèi)C．點在內(nèi) D．點與點重合2．已知是等差數(shù)列的前項和，.若對恒成立，則正整數(shù)構成的集合是（）A． B． C． D．3．已知，則()A．-3 B． C． D．34．已知公式為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，則前5項和()A．31 B．21 C．15 D．115．不等式的解集是A． B．C．或 D．6．函數(shù)則＝（）A． B． C．2 D．07．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比.若，，，數(shù)列的前n項和為，則當取最大值時，n的值為（）A．8 B．9 C．8或9 D．178．若a，b是方程的兩個根，且a，b，2這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則的值為()A．-4 B．-3 C．-2 D．-19．已知變量，之間的線性回歸方程為，且變量，之間的一組相關數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法中錯誤的是（）681012632A．變量，之間呈現(xiàn)負相關關系B．的值等于5C．變量，之間的相關系數(shù)D．由表格數(shù)據(jù)知，該回歸直線必過點10．在四邊形中，若，且，則四邊形是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．輾轉相除法，又名歐幾里得算法，是求兩個正整數(shù)之最大公約數(shù)的算法，它是已知最古老的算法之一，在中國則可以追溯至漢朝時期出現(xiàn)的《九章算術》．下圖中的程序框圖所描述的算法就是輾轉相除法．若輸入、的值分別為、，則執(zhí)行程序后輸出的的值為______．12．已知球的表面積為4，則該球的體積為________．13．在正方體中，是的中點，連接、，則異面直線、所成角的正弦值為_______.14．設函數(shù)滿足，當時，，則=________.15．無限循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)為________16．已知直線l與圓C：交于A，B兩點，，則滿足條件的一條直線l的方程為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某制造商3月生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機抽樣133個進行檢查，測得每個球的直徑（單位：mm），將數(shù)據(jù)分組如下：分組

頻數(shù)

頻率

[1．95,1．97）

13

[1．97,1．99）

23

[1．99,2．31）

53

[2．31,2．33]

23

合計

133

（Ⅰ）請在上表中補充完成頻率分布表（結果保留兩位小數(shù)），并在圖中畫出頻率分布直方圖；（Ⅱ）若以上述頻率作為概率，已知標準乒乓球的直徑為2．33mm，試求這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率；（Ⅲ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)經(jīng)常用該組區(qū)間的中點值（例如區(qū)間[1．99,2．31）的中點值是2．33作為代表．據(jù)此估計這批乒乓球直徑的平均值（結果保留兩位小數(shù)）．18．“我將來要當一名麥田里的守望者，有那么一群孩子在一塊麥田里玩，幾千萬的小孩子，附近沒有一個大人，我是說……除了我”《麥田里的守望者》中的主人公霍爾頓將自己的精神生活寄托于那廣闊無垠的麥田.假設霍爾頓在一塊成凸四邊形的麥田里成為守望者，如圖所示，為了分割麥田，他將連接，設中邊所對的角為，中邊所對的角為，經(jīng)測量已知，.（1）霍爾頓發(fā)現(xiàn)無論多長，為一個定值，請你驗證霍爾頓的結論，并求出這個定值；（2）霍爾頓發(fā)現(xiàn)麥田的生長于土地面積的平方呈正相關，記與的面積分別為和，為了更好地規(guī)劃麥田，請你幫助霍爾頓求出的最大值.19．如圖是某神奇“黃金數(shù)學草”的生長圖．第1階段生長為豎直向上長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的，且與舊枝成120°，……，依次生長，直到永遠．（1）求第3階段“黃金數(shù)學草”的高度；（2）求第13階段“黃金數(shù)學草”的高度；20．在平面直角坐標系xOy中，已知點，圓.（1）求過點P且與圓C相切于原點的圓的標準方程；（2）過點P的直線l與圓C依次相交于A，B兩點.①若，求l的方程；②當面積最大時，求直線l的方程.21．已知等比數(shù)列的公比，前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】解：由已知得，f（P）=（λ1，λ2，λ3）中的三個坐標分別為P分△ABC所得三個三角形的高與△ABC的高的比值，∵f（Q）=（1/2，1/3，1/6）∴P離線段AB的距離最近，故點Q在△GAB內(nèi)由分析知，應選A．2、A【解析】

先分析出，即得k的值.【詳解】因為因為所以.所以,所以正整數(shù)構成的集合是.故選A【點睛】本題主要考查等差數(shù)列前n項和的最小值的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】

由同角三角函數(shù)關系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點睛】這個題目考查了三角函數(shù)的化簡求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.4、A【解析】

由條件求出數(shù)列的公比．再利用等比數(shù)列的前項求和公式即可得出．【詳解】公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則，即.所以,所以.故選：A【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5、B【解析】試題分析：∵，∴，即，∴不等式的解集為．考點：分式不等式轉化為一元二次不等式．6、B【解析】

先求得的值，進而求得的值.【詳解】依題意，，故選B.【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.7、C【解析】∵為等比數(shù)列，公比為，且∴∴，則∴∴∴，∴數(shù)列是以4為首項，公差為的等差數(shù)列∴數(shù)列的前項和為令當時，∴當或9時，取最大值.故選C點睛：（1）在解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：一是利用基本量將多元問題簡化為一元問題；二是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的快捷方便的工具；（2）求等差數(shù)列的前項和最值的兩種方法：①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解；②鄰項變號法：當時，滿足的項數(shù)使得取得最大值為；當時，滿足的項數(shù)使得取得最小值為.8、D【解析】

由韋達定理確定，，利用已知條件討論成等差數(shù)列和等比數(shù)列的位置，從而確定的值．【詳解】由韋達定理得：，，所以，由題意這三個數(shù)可適當排序后成等比數(shù)列，且，則2一定在中間所以，即因為這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，且，則2一定不在的中間假設，則即故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，解決本題的關鍵是要掌握三個數(shù)成等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，如成等比數(shù)列，且，，則2必為等比中項，有．9、C【解析】分析：根據(jù)平均數(shù)的計算公式，求得樣本中心為，代入回歸直線的方程，即可求解，得到樣本中心，再根據(jù)之間的變化趨勢，可得其負相關關系，即可得到答案.詳解：由題意，根據(jù)上表可知，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，把樣本中心代入回歸直線的方程，可得，解得，則，即數(shù)據(jù)的樣本中心為，由上表中的數(shù)據(jù)可判定，變量之間隨著的增大，值變小，所以呈現(xiàn)負相關關系，由于回歸方程可知，回歸系數(shù)，而不是，所以C是錯誤的，故選C.點睛：本題主要考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)的計算公式，回歸直線方程的特點，以及相關關系的判定等基礎知識的應用，其中熟記回歸分析的基本知識點是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.10、A【解析】

根據(jù)向量相等可知四邊形為平行四邊形；由數(shù)量積為零可知，從而得到四邊形為矩形.【詳解】，可知且四邊形為平行四邊形由可知：四邊形為矩形本題正確選項：【點睛】本題考查相等向量、垂直關系的向量表示，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

程序的運行功能是求，的最大公約數(shù)，根據(jù)輾轉相除法可得的值．【詳解】由程序語言知：算法的功能是利用輾轉相除法求、的最大公約數(shù)，當輸入的，，；，，可得輸出的．【點睛】本題主要考查了輾轉相除法的程序框圖的理解，掌握輾轉相除法的操作流程是解題關鍵．12、【解析】

先根據(jù)球的表面積公式求出半徑，再根據(jù)體積公式求解.【詳解】設球半徑為，則，解得，所以【點睛】本題考查球的面積、體積計算，屬于基礎題.13、【解析】

作出圖形，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，推導出，并證明出，可得出異面直線、所成的角為，并計算出、，可得出，進而得解.【詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，取的中點，連接、，為的中點，則，，且，為的中點，，，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，，所以，異面直線、所成的角為，在中，，，.因此，異面直線、所成角的正弦值為.故答案為：.【點睛】本題考查異面直線所成角的正弦值的計算，考查計算能力，屬于中等題.14、【解析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出結果．【詳解】∵函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（x+π）=f（x）+sinx，當0≤x＜π時，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．15、【解析】

利用無窮等比數(shù)列求和的方法即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題主要考查了無窮等比數(shù)列的求和問題,屬于基礎題型.16、（答案不唯一）【解析】

確定圓心到直線的距離，即可求直線的方程.【詳解】由題意得圓心坐標，半徑，，∴圓心到直線的距離為，∴滿足條件的一條直線的方程為.故答案為：（答案不唯一）.【點睛】本題考查直線和圓的方程的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）3．9；（Ⅲ）【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)公式：頻率=頻數(shù)÷樣本容量可補充完成頻率分布表，然后作出頻率分布直方圖；（Ⅱ）直徑誤差不超過3．33mm的頻率有3．53,3．53,3．53，所以這批球的直徑誤差不超過3．33mm的概率3．53+3．53+3．53=3．9；（Ⅲ）由平均值公式可求得試題解析：（Ⅰ）分組

頻數(shù)

頻率

[4．95,4．97）

43

3．43

[4．97,4．99）

53

3．53

[4．99,5．34）

53

3．53

[5．34,5．33]

53

3．53

合計

433

4

（Ⅱ）設誤差不超過3．33的事件為，則．（Ⅲ）考點：4．頻率分布直方圖；5．求數(shù)值的平均值18、（1）；（2）.【解析】

（1）在和中分別對使用余弦定理，可推出與的關系，即可得出是一個定值；（2）求出的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及余弦函數(shù)值的取范圍，可得出的最大值.【詳解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，，則，；（2），，則，由（1）知：，代入上式得：，配方得：，當時，取到最大值.【點睛】本題考查余弦定理的應用、三角形面積的求法以及二次函數(shù)最值的求解，解題的關鍵就是利用題中結論將問題轉化為二次函數(shù)來求解，考查運算求解能力，屬于中等題.19、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)示意圖，計算出第階段、第階段生長的高度，即可求解出第階段“黃金數(shù)學草”的高度；（2）考慮第偶數(shù)階段、第奇數(shù)階段“黃金數(shù)學草”高度的生長量之間的關系，構造數(shù)列，利用數(shù)列求和完成第階段“黃金數(shù)學草”的高度的計算.【詳解】（1）因為第一階段：，所以第階段生長：，第階段的生長：，所以第階段“黃金數(shù)學草”的高度為：；（2）設第個階段生長的“黃金數(shù)學草”的高度為，則第個階段生長的“黃金數(shù)學草”的高度為，第階段“黃金數(shù)學草”的高度為，所以，所以數(shù)列按奇偶性分別成公比為等比數(shù)列，所以.所以第階段“黃金數(shù)學草”的高度為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列以及等比數(shù)列的前項和的實際應用，難度較難.處理數(shù)列的實際背景問題，第一步要能從實際背景中分離出數(shù)列的模型，然后根據(jù)給定的條件處理對應的數(shù)列計算問題，這對分析問題的能力要求很高.20、（1）；（2）①；②或．【解析】

（1）設所求圓的圓心為，而所求圓的圓心與、共線，故圓心在直線上，又圓同時經(jīng)過點與點，求出圓的圓心和半徑，即可得