2024屆河北省武邑中學高三年級上冊三調(diào)考試數(shù)學試題及答案

數(shù)學試題

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和n卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

2.答題前請仔細閱讀答題卡（紙）上的“注意事項”，按照“注意事項”的規(guī)定答題.

3.選擇題答案涂在答題卡上，非選擇題答案寫在答題卡的相應位置，在試卷和草稿紙上答題

無效.

第I卷:選擇題（60分）

一、單選題，本題共8小題，每題5分，共40分，將答案填涂在答題卡上相應位置.

x+3

A=[x\x2>4）B=\x,faA\cyB=

1.已知全集TT。=D匕集合IIJ,1'IJ,則為（）

A.{x-2<x<l}B.{1卜2<x<C.1x|-2<x<l}D.|x|-2<x<ij

-1.?3

2.已知。為實數(shù)，若^一_->-（i為虛數(shù)單位），則a=()

a+i2

A.1B.-2C—D—

32

3.已知銳角。滿足2cos26=1+sin2。，貝!Jtan。二=()

1j_

A.一B.C.2D.3

3

a=-x+yIi

4.已知向量Z[,京]滿足,卜同=1,。=0,且,,則k+y等于()

b=2x-y111'

A.V2+V3B.V2+V5C.V3+V5D.7

5.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2,則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為（)

1V7

A.一B.

7V3。丹

6.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前

往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東9角的方向沿

直線前往B處救援，則sin。的值為（)

北

A

V2「V3

2

第1頁/共4頁

7.設(shè)a=l12,b=sina,c=e0,2，貝U（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

8.拋物線G：Y=2加（夕>0）與雙曲線。2：=丸有一個公共焦點R,過上一點尸（364）向

G作兩條切線，切點分別為A、B,則丹?忸丹=（）

A.49B.68C.32D.52

二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共

計20分，將答案填涂在答題卡的相應位置.

9.已知數(shù)列｛4｝的前力項和為且=2（4-a）（其中0為常數(shù)），則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列｛4｝一定是等比數(shù)列B.數(shù)列｛%｝可能是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛Sn｝可能是等比數(shù)列D.數(shù)列｛S“｝可能是等差數(shù)列

10.以下四個命題表述正確的是（）

A.直線（3+/"）x+4y-3+3加=0（xe7?）恒過定點（-2,3）；

B.圓1+/=4上有且僅有3個點到直線/：X-y+a=0的距離都等于1

C.曲線G：/+/+2x=0與曲線。2：必+J?一4》一8了+加=0恰有三條公切線，則加=4

22_

D.若雙曲線3=1伍〉0,6〉0）的一條漸近線被圓丁+3?-6彳=0截得的弦長為2君，則雙曲線的

ab

離心率為

5

II.如圖，棱長為1的正方體48co-4與。］〃中，P為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確

A.直線口尸與/C所成的角可能是比TT

6

第2頁/共4頁

B.平面44P，平面//尸

C.三棱錐D「CDP的體積為定值

D,平面4?。1截正方體所得的截面可能是等腰梯形

12.已知函數(shù)/(%)=d，8(%)=魘，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是()

A,函數(shù)y=/(x)-eg(x)的極值點為1

B.3xG(0,+co),/(x)-g(x)<2

c.若尸分別是曲線歹=/(力和^=8(力上的動點.則|尸。|的最小值為血

D.若/(")一8(%)2(1-。)》對任意的》6(0,+8)恒成立，則。的最小值為工

e

第n卷:非選擇題(90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若直線3x+4y—8=0被圓(x—02+儼=4截得的弦長為26，則a=.

14.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3，深度為3m.如果池底每1m2的造價為150元,

池壁每1加2的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為m.

15.已知點M(3,l)在圓C：(x-l)2+(j+l)2=r2(r>0)內(nèi)，過點M的直線被圓C截得的弦長最小值

為8,則「=.

16.已知拋物線=2px(,〉0)的焦點到準線的距離為2,。為坐標原點，點尸在拋物線上，平面上

ULIULUULL

一點M滿足PM=9MF，則直線OM斜率的最大值為.

四、解答題(本大題滿分70分，每題要求寫出詳細的解答過程，否則扣分)

2

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S”=^W,〃eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)〃=2“"+(-1)"%,求數(shù)列也｝的前2〃項和.

18.已知函數(shù)/(x)=sinxsin^x+^+cos21》一］］一g.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

第3頁/共4頁

(2)已知銳角A/8C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,求acosB-bcosC

的取值范圍.

19.已知圓C：爐+/-47+1=0,點-1),從圓。外一點尸向該圓引一條切線，記切點為7.

(1)若過點M的直線/與圓交于4,2兩點且|48|=2/，求直線/的方程;

(2)若滿足|尸4=￡必，求使取得最小值時點尸的坐標.

20.如圖，四棱錐P—48CD的底面是等腰梯形，AD//BC,BC=2AB=2AD=2,PC=6

PC，底面25cD,/為棱N尸上的一點.

(1)證明：ABVCM-,

/i-7PM

(2)若二面角N-DC-M的余弦值為YLL,求——的值.

17PA

21.已知曲線C上任意一點到點E(2,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離大2,過點尸(2,0)的直線/與曲線C交于

A,B兩點.

(1)求曲線C的方程；

(2)若曲線C在4,2處的切線交于點"，求△初48面積的最小值.

22.已知函數(shù)/(x)=xe*-Ax2,keR.

(1)當左=0時，求函數(shù)/(x)在-2,2］上的值域；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+”)上僅有兩個零點，求實數(shù)上的取值范圍.

第4頁/共4頁

2a-1

=0,

/+1

a+23

,?2+l>2,

1

Q=一.

2

故選：D

【點睛】本題主要考查復數(shù)除法的基本運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知銳角。滿足2cos26=l+sin2。，則tanO=()

1

A.-BC.2D.3

3-I

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于6的三角函數(shù)的方程，化簡，然后利用同角三角函數(shù)

關(guān)系求得tan。的值.

【詳解】：2cos26=1+sin26,2(cos2?-sin?。)=(sin，+cos?)?,

即2(cos。一sin6)(sin0+cos。)=(sin0+cos0)2,

又??,，為銳角，，sine+cose>0,

/.2(cos6—sin。)=sin。+cos6,

即cos6=3sin6,:.tan6=—.

3

故選：A

—?—?-?

4.已知向量混W滿足同=同=l,a?B=O,且<_,，則卜|+”等于()

1111[Z?=2x-y1111

A.V2+V3B.V2+V5C.V3+V5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)方程組求出已歹，再分別求它們的模，相加即可.

a=-x+yx-a+b

【詳解】由-得：《

b=2x-yy=2a+b

又同=W=i，=o,

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???|x|=+61=^(?+6y=yla2+2ab+b2=J1+0+1=日

國=忸+b\=J(21+盯=^4a2+4a-b+b2=J4+0+1=小.

所以閉+例=行+君.

故選：B

5.已知正三棱柱的高與底面邊長均為2,則該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為()

1V73V21

A.-B.—C.-D.--

7777

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)柱體外接球的特點可知，該正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心連線的中點處，再根據(jù)

勾股定理即可求出外接球的半徑；由正三棱柱的性質(zhì)可知，當球半徑「是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時，該

內(nèi)切球的半徑最大，由此即可求出該內(nèi)切球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)正三棱柱取三棱柱48C一481G的兩底面中心。，

連結(jié)取。的中點。，連結(jié)AD，則為正三棱柱外接球的半徑.

：445。是邊長為2的正三角形，。是的中心,

BO=-xy/3=^-.

33

又：OD=L4=1,

2121

BD=^OB-+OD2-口=—.

V33

正三棱柱ABC-外接球的表面積4兀XBD?=弋.

根據(jù)題意可知，當球半徑,是底面正三角形內(nèi)切圓的半徑時，此時正三棱柱內(nèi)的球半徑最大，即

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力

33

所以正三棱柱48C-44G內(nèi)半徑最大的球表面積為4?x「2=著,

4%

所以該正三棱柱內(nèi)半徑最大的球與其外接球的表面積之比為a+=三1.

28〃7

亍

故選：A.

【點睛】方法點睛:

①一般地，柱體的外接球的球心在上下底面中心連線的中點處;

②柱體的內(nèi)切球的半徑為其中截面內(nèi)切圓的半徑.

6.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前

往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東0角的方向沿

直線前往B處救援，則sin9的值為()

北

A

A?理V2V3D?等

RD.----------r-

22

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)題中所給的條件，畫出對應的圖形，在AA8C中，利用余弦定理求得BC,然后根據(jù)正弦定

理求得sinN4c5,則cosNZC'8可得，進而利用5也。=$吊(30°+/2。8),根據(jù)正弦函數(shù)的兩角和公式

解決.

【詳解】本題考查正余弦定理的應用及兩角和與差的正弦公式.在三角形/3C中，由NC=10,/8=20,

NC4B=120。.由余弦定理可得2。=10、萬.又由正弦定理可得AB20*m

dn/ACS

//03=叵.故sin9=sinACBI-I=返、亞+班上=前

7I6J77?14

【點睛】該題考查的是利用正余弦定理解決海上救援的問題，在解題的過程中，注意正確分析題中的條件,

熟練掌握正余弦定理，將所涉及到的量代入對應的式子正確求解即可.

7.設(shè)a=1.F,b=sina，c=e02，則()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

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【答案】D

【解析】

【分析】首先判斷這三個數(shù)與1的大小，確定6最??；對。、C先開方，再利用函數(shù)/(X)=e'-x-l,(x>0)

的單調(diào)性判斷他們的大小.

【詳解】：a=1』2〉1]。=1，6=sintze[-l,l],c=e°2〉e°=1，；.6最小.

?/(x)=ex-x-1(x>0),則/'(x)=eX-l,因為x>0,所以/'(x)>0,所以/(x)在(0,+。。)上為

增函數(shù).

又/(0)=0,所以/(0.1)>0,即e°」—0.1—1〉006°」〉1.1二卜°」)2〉1.12即6()2〉112,

所以c>a.

綜上可得：c>a>b.

故選：D

【點睛】(1)先把。，c開方，利用函數(shù)/(x)=e，—x—l(x>0)的單調(diào)性比較是難點.

(2)也可以先把。，c取自然對數(shù)：lna=21nl.l,lnc=0.2,然后利用函數(shù)g(x)=x—ln(l+x),(x>0)

的單調(diào)性來比較它們的大小.

8.拋物線G：必=2加(0>0)與雙曲線。2：必一3/=2有一個公共焦點廠，過。2上一點尸(3指,4)向

5作兩條切線，切點分別為A、B,則丹?忸可=()

A.49B.68C.32D.52

【答案】A

【解析】

【分析】將尸坐標代入雙曲線方程求得雙曲線的方程，進一步求得拋物線的方程中的參數(shù)“利用導數(shù)幾何

意義求得兩切線的方程，利用韋達定理求得兩根之和，兩根之積，利用拋物線的定義，將43到焦點的距

離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，表示為43的縱坐標的關(guān)系式，求得M尸3尸|關(guān)于43縱坐標的表達式.

【詳解】由P在雙曲線上，將尸點坐標代入雙曲線的方程，2=(3A/5)2-3X42=-3，

2

???雙曲線的方程為、=1,雙曲線的焦點在y軸上，/=1萬=3,??"=/+/=爾

c=2,雙曲線的焦點坐標為(0,2)，拋物線X2=2^的焦點坐標為

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???拋物線與雙曲線的焦點重合，，5=2,.?.拋物線的準線為了=-2,p=4,

拋物線的方程為V=8y,即了=,/，

8

y'=；x,設(shè)2(苞,%),8(%2/2)，切線以，尸3的斜率分別為:芭,；》2,切線方程分別為

J-V1=|x1(x-x1),j-v2=1x2(x-x2),

將P的坐標及%=，％=代入，并整理得X；-6氐]+32=0,,一6瓜2+32=0,

OO

可得演,乙為方程X2-6氐+32=0的兩個實數(shù)根，由韋達定理得

xxx2-32,再+%=6也,

加叫=(乃+2)(%+2)=%2+2,3+2]="出Rgw+x；b4

='(占%2)2+；(Xl+X2^-2X1X2+4=\X322+J[(66『一2X32+4=49,

故選:4

【點睛】本題考查雙曲線與拋物線的方程和性質(zhì)，考查利用導數(shù)研究切線問題，關(guān)鍵是設(shè)而不求思想和韋

達定理的靈活運用.

二、多選題：本小題共4小題，全選對得5分，部分選對得2分，多選或錯選均不得分，共

計20分，將答案填涂在答題卡的相應位置.

9.已知數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn(〃eN*),且Sn=2(a“-a)(其中0為常數(shù)),則下列說法正確的是(

A.數(shù)列｛4｝一定是等比數(shù)列B.數(shù)列｛4｝可能是等差數(shù)列

C.數(shù)列｛S｝可能是等比數(shù)列D.數(shù)列電｝可能是等差數(shù)列

【答案】BD

【解析】

【分析】由sn和an的關(guān)系求得4+1=2an,%=2a,分類討論a是否為0,判斷選項正誤.

【詳解】因為S0=2(%-a),當〃=1時，S]=%=2(%-a),得%=2a,

將"+1代入,得S"+i=2(%+]-。)，an+x=Sn+X-Sn=2(an+x-a)-2(a?-a),

即%+i=2%,

第6頁/共23頁

當a=0時，a“=0,｛4｝不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，=0,｛5｝也是等差數(shù)列;

當時，｛%｝是以2a為首項，2為公比的等比數(shù)列，S“=2"0—2"）=〃（2"一1）不是等比數(shù)歹也

1—2

故答案為：BD.

10.以下四個命題表述正確的是（）

A.直線（3+掰）x+4y-3+3加=0（xw7?）恒過定點（-2,3）；

B.圓=4上有且僅有3個點到直線/：x-y+忘=0的距離都等于1

C.曲線G：/+72+2x=0與曲線G：X?+/—4x—8y+掰=0恰有三條公切線，則加=4

22

D,若雙曲線二一4=1伍〉0,6〉0）的一條漸近線被圓/+/-6苫=0截得的弦長為2石，則雙曲線的

ab

離心率為

5

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用直線系方程求解直線所過定點判斷A；求出圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑判斷B；由圓心

距等于半徑和列式求得加判斷C；求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓/+丁-6x=0所截得的

弦長為2君，結(jié)合弦心距和勾股定理，即可求出雙曲線的離心率，即可判斷選項D是否正確.

x+3—0

【詳解】由（3+掰）x+4y-3+3加=0（xeR）,得3x+4y-3+掰（x+3）=0,聯(lián)立<,

、3x+4y30

'x=-3

解得<.，，直線（3+加）x+4y—3+3機=0（xeR）恒過定點（―3,3）,故A錯誤；

心3

..?圓心（0,0）到直線l：x-y+s/2=0的距離等于1,

...直線與圓相交，而圓的半徑為2,故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓

上有三個點到直線Z:x-j+V2=0的距離等于1,故B正確；

兩圓有三條公切線，則兩圓外切，曲線G：x2+y2+2x=?；癁闃藴适剑ā?1『+?2=],曲線

22

C2:x+y-4x-8y+m=0化為標準式（x—2『+（y—4）?=20—加〉0,圓心距為

J（2+l『+42=5=l+J20-加，解得加=4,故C正確；

第7頁/共23頁

22

雙曲線二-」=1伍〉0,b>Q）的一條漸近線方程為bx+ay=0,

ab

3b

圓x?+/-6x=0的圓心（3,0）到雙曲線的漸近線的距離為:

yja2+b2

又圓的半徑為3,所以，9-,解得衛(wèi)=3,所以二4即c二二9‘，所以離

\ya2+b2）2/5?25a25

心率為6=境，故D正確.

5

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：與圓有關(guān)的線段長問題,一般不是直接求出線段兩端點坐標，用兩點間距離公式求解,

而是應用幾何方法去求解.

方法是：直線與圓相交時，若/為弦長，/為弦心距，廠為半徑，貝第,即—J/—/,

求弦長或已知弦長求其他量的值，一般用此公式.

11.如圖，棱長為1的正方體48CD-481Goi中，尸為線段上的動點（不含端點），則下列結(jié)論正確

7T

A.直線QP與/C所成的角可能是一

6

B.平面24尸，平面44P

C.三棱錐D「CDP的體積為定值

D.平面4Poi截正方體所得的截面可能是等腰梯形

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于/,以。為原點，ru為X軸，DC為夕軸，為Z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求

第8頁/共23頁

\7171\

出直線。聲與/C所成的角為；對于8,由A.D.LAB,得4A_L平面4AP，從而平

面R4尸，平面44尸；對于C,三棱錐D,-CDP的體積VDi_CDP=VP_CDDi=1為定值；對于D,當AP延長

線交2叢的中點時，可以得到等腰梯形的截面.

【詳解】對于/,以。為原點，'為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，

r>](O,O,l),^(l,O,O),C(0,1,0),設(shè)P(l,a,))(0<a<l,0<6<l)

Z^P=(l,a,Z?-l),^C=(-l,l,0)

/—7_7^<\_D[P?AC_a—1

cos(D]P,AC]=?—g-—1=<0

'/口邨C|J1+/+.—1)2x6

當a=l時，(印，就)=5；

當a=0)=1時，(印,%)=今,

a-\1_

??.u

[7171\

...直線與所成的角為4，萬，

故/錯誤；

對于8,正方體48cz)-45GQ中，42-L441，A.D^AB,

,：AAtC\AB=A,J_平面4/尸，

平面。4P，，平面Aapj_平面a/p，故8正確；

對于C,???SACDD=-xlxl=-,尸到平面CD。的距離3C=1,

三棱錐2-CD尸的體積：

第9頁/共23頁

除的=%他=94義1=J為定值，故C正確；

326

對于。，當工尸延長線交AB】的中點E時，設(shè)平面與直線與G交于點F,

因為平面ADD.AJ/平面BCC、B、,平面&PD[n平面ADD^AD,,平面APDXn平面BCC、B「EF,所以

斯〃4Di,...尸為5G的中點，...截面4D尸￡為等腰梯形的截面，故。正確；

12.已知函數(shù)/(》)=d，8(%)=11?,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是()

A,函數(shù)y=/(x)—eg(x)的極值點為1

B.3%€(0,+oo),/(x)-g(x)<2

C.若P,。分別是曲線y=/(x)和>=g(x)上的動點.則|P0|的最小值為血

D.若/(ax)—g(x)2(l-a)x對任意的xe(O,+8)恒成立，則。的最小值為,

e

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值點；對于B,設(shè)M"=/(X)—g(x),

求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可求解；對于C,利用曲線〉=廿與曲線y=lnx互

為反函數(shù)，可先求點尸到V=x的最小距離d,然后再求的最小值；對于D,利用同構(gòu)把恒成立問題

lux

轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)M(X)=——，利用導數(shù)求解最值即可.

JC

%

【詳解】y=/(x)-eg(x)=ex-elnx.所以y=/-￡='二,

當0<x<l時，<0,當x>l時，>0,

第10頁/共23頁

所以.v=e'-elnx在(0,1)上單調(diào)遞減，在。,+功上單調(diào)遞增，

所以了=/(x)-eg(x)的極值點為1,故A正確；

設(shè)〃(x)=/(x)-g(x)=ex-Inx,則%'(x)=e*——,

X

由單調(diào)性的性質(zhì)知〃(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又":]=e、e<0,/l)=e—l>0,則存在/e.使得"伍)=e*-J-=0,

即lnx0=-x0,所以當x?O,Xo)時.當x￡(%,+oo)時./(x)>0.

xo

所以Mx)在(0,%)上單調(diào)遞減.在(玉),+8)上單調(diào)遞增.

所以〃(x)min=〃(％)=e"?！?叫)=\-XQ,又飛￡|—,1|，則XQ>2,

x°IeJ/

所以Vxe(O,+e),/(x)-g(x)>2,故B錯誤；

因為函數(shù)/(X)=/與函數(shù)g(X)=111Y互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于.V=X對稱，

設(shè)點P到y(tǒng)=X的最小距離為d,設(shè)函數(shù)f(X)=ex上斜率為1的切線為y=x+b,

f'(X)=Qx,由e，=l得X=0,所以切點坐標為(0,1),即6=1,所以

[22

所以|「。|的最小值為2d=JL故c正確；

若/(依)—g(x)2(1—a)x對任意的xe(0,+8)恒成立，

則eov+ax>x+lux=elm+lux對任意的xe(0,+oo)恒成立，

令%x)=x+e"則尸(x)=l+e*〉O.所以E(x)在(0,+動上單調(diào)遞增，則以之Inx,

口口、hix人/、Inx.,/x_1-Inx

即4之--，令M(X)=---,所fi以Cr"(X)=-----，

當0<x<e時，/(x)>02(x)單調(diào)遞增，當％>e時，M'(X)<0,M(X)單調(diào)遞減，

所以"x'wx="e)=4=」，所以即。的最小值為上，故D正確.

eeee

故選：ACD

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【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的

新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮

法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.

第n卷:非選擇題（90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若直線3x+4y—8=0被圓（x一0）2+產(chǎn)=4截得的弦長為2&，則a=.

【答案】1或上13

3

【解析】

【分析】根據(jù)幾何關(guān)系及點到直線的距離公式求解.

過。作

在Rt/X/OC中，ZADC=9Q°,\AC\=2\AD\=^AB\=y[i,

故_以呼=4三=],

因為C（a,0）,

\ici-8|13

即/==1,解得〃=1或。=——.

?#+423

故答案為：1或上13.

3

14.某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800〃廣，深度為3根,如果池底每1冽2的造價為150元,

池壁每1加2的造價為120元，要使水池總造價最低，那么水池底部的周長為m.

【答案】160

【解析】

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【分析】設(shè)水池底面一邊的長度為X加，則另一邊的長度為生巴加，由題意可得水池總造價/(X),然后

3x

利用基本不等式求最值，可得水池總造價最低時的水池底部的周長.

【詳解】設(shè)水池底面一邊的長度為X加，則另一邊的長度為先”加，

3%

由題意可得水池總造價/(x)=150x4800+12of2x3x+2x3x竺”)

3I3xJ

=240000+720>0),

則/(x)=720,+3竺］+240000>720x2卜回五+240000

=720x2x40+240000=297600,,

當且僅當》=電"，即x=40時，/(x)有最小值297600,

X

此時另一邊的長度為生”=40m,

3x

因此，當水池的底面周長為160加時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元，

故答案為160.

【點睛】本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式求最值，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，屬于

中檔題.

15.已知點M(3,l)在圓C(x-l)2+(v+l)2=r2(r>0)內(nèi)，過點”的直線被圓。截得的弦長最小值

為8,則^=.

【答案】2氐

【解析】

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得r的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到

關(guān)于廠的方程，求解即可.

【詳解】由點M(3,l)在圓C：(x—l『+(y+l)2=/內(nèi)，且

所以(3—1『+(3+1)2<汽又r>0,解得r>2/

過圓內(nèi)一點最短的弦，應垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為|cw|

又C(l,—1),.?.|CM|=20

所以8=262_陋2=2/2_8,解得廠=2后

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故答案為：2冊

16.已知拋物線C:y2=2/（,〉0）的焦點到準線的距離為2,。為坐標原點，點P在拋物線上，平面上

一點M滿足PM=9MF，則直線OM斜率的最大值為.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線方程中。的幾何意義，結(jié)合共線向量的坐標表示公式、直線斜率的公式、基本不等式

進行求解即可.

【詳解】因為拋物線C:y2=2/（夕〉0）的焦點到準線的距離為2,

所以0=2,因此該拋物線的方程為/=4x,F（1,O）,

設(shè)P爭為J,M（x,y）,

ULLULULLLL

因為「初=9叱，

2

<2、y=

所以有x-^-,y-y=9（1-X-A=9(1-X)w

0=><

工_9M

14J

y-y0=-9y

設(shè)直線（W斜率為左，

則后=?=著J，要想直線。M斜率有最大值，一定有外〉0,

x36+打

36

當且僅當一=%時取等號，即為=6,%,=—6舍去,

%

故答案為：—

3

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y//【點睛】關(guān)鍵點睛：對直線斜率的表達式進行變形，利用基本不等式是解題的關(guān)

—

鍵.

四、解答題（本大題滿分70分，每題要求寫出詳細的解答過程，否則扣分）

2

17.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和=2y,〃eN*.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）設(shè)％=2"”+（—1）"4,求數(shù)列也｝的前2及項和.

【答案】（1）%=〃；（2）22n+1+n-2.

【解析】

【分析】⑴利用%\求得數(shù)列｛%｝的通項公式.

（2）利用分組求和法求得數(shù)列加“｝的前2〃項和.

【詳解】（1）當〃=1時，4=Si=l；

當〃22時，a“=S,7當月=1時，上式也符合.

故數(shù)列｛a,,｝的通項公式為an=n.

(2)由⑴知，"=2"+(—1)”〃，記數(shù)列抄“｝的前2〃項和為

則=(2i+22+...+22")+(—1+2—3+4—...+2〃).

記Z=2i+22+...+22",8=—1+2—3+4—...+2〃，

2(1-22"｝

則/=-----L=22B+1-2，

1-2

8=(—1+2)+(—3+4)+...+[—(2〃—1)+2〃]=n.

故數(shù)列出｝的前2〃項和汽=N+8=22n+1+77-2.

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n

18.已知函數(shù)/(x)=sinxsin|x+—|+cos,2

62

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞減區(qū)間;

（2）已知銳角A/BC的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,

的取值范圍.

■兀137r7

【答案】（1）—F左肛---Fk/c

_44

【解析】

【分析】（1）先利用降幕公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用整體代換解不等式的方法求函數(shù)/（X）

的單調(diào)遞減區(qū)間即可；

（2）先根據(jù)*求得5=W，再利用正弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角恒等變換等知識將

acosB—bcosC化簡為cos弓+N）,最后結(jié)合角A的范圍求解即可.

71]_

【詳解】解：⑴由題意/(x)=sinxsin[x+?)+cos2X----

122

/

苴sinx+\os」+Z1』2x」n

=smx

2

2276

V3(l-cos2x)

+lsin2x+V3cos2x+lsin2x

4444

24

冗37r

令——b2kn<2x<----F2k兀,左￡Z,

22

兀37r

解得—Fk兀VxV---Fkji，左￡Z,

44

故函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為-+k7i,-+k7i,kez；

(2)由(1)知f\—j=—sinBH——=——,解得sin8=——，

UJ2422

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因為Be［。,］71；所以5=：.

2

a_c_b_43

由正弦定理可知sin/-sinC-sin8-75

T

則。=2sin/,c=2sinC,

所以acos5-Z?cosC=--V3cosC=sin/-百cos7T-A--

2I3

V3

=sin4+百cos4+工=sin/+----.(cosZ--sin^

I3j22

71

=5cosA4——1si?nA4=cos1-兀l-AA

一不26

Zu

A+C=—

3

。"事，

在銳角AASC中，易知《得一＜z＜一,

62

0<c<f

l,“7"1,77i12L萬n.,n.

因此丁</+一<=，貝！1cos|

363rl-

故acosB-力cosC的取值范圍為14?

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用降塞公式和輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，在第(2)題中關(guān)鍵是

利用正弦定理將所求式轉(zhuǎn)化為cos今+Z,結(jié)合題中條件求出A的范圍，從而得解.

19.已知圓C：/+產(chǎn)一句+1=0,點M(-1,-1),從圓C外一點尸向該圓引一條切線，記切點為7.

(1)若過點M的直線/與圓交于/,8兩點且|/8|=2血，求直線/的方程;

(2)若滿足|尸7］=|尸加］，求使|尸刀取得最小值時點尸的坐標.