2022年遼寧省大連市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2022年遼寧省大連市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題(含答案帶解析)

學(xué)校:班級:姓名:考號:

一、單選題(30題)

1.

函數(shù)二」的定義域是()

yi-1-2

A.(―1.0)U(0.1)B.(-1J)

C.(—1,0)D.(0.1)

2.

已知函數(shù)/(.r)=(.r-a)X(,r),其中g(shù)(.r)住點.r=a處二階"導(dǎo)，則/“(“)=

()

A.0B.2/(a)

C.2g(?)D.2/(a)

3.

下列為齊次微分方程的是()

A.y=ef13.》'='+tan工

、rx

C.y=(1-cosj,)y+erD.y=

4.

2—1

.r=1是函數(shù)》=)r9的()

x-a—Z

A.跳躍間斷點B.可去間斷點c.連續(xù)點D.第二類間斷點

5.

函數(shù).v=|siiM|在1=0處的導(dǎo)數(shù)為()

A.-1B.0C.1D.不存在

6.

過點（2,1,5）且垂直于平面37-63>+之一7=0的直線方程為（）

A#+2=y+1_之+5UJ—2_v-1_之一5

3—61區(qū)3—6-1

(、R+2_、+1_k+5n了一2_.v-]_?-5

.3-6—1,3一61

7.

..sin.(1-?r)_

()

鬻(*一1)2(]+2)-

_2

A—B——C.0D.5

33j

8.

下列哪個式子是不正確的()

A.lim<?一"=0B.lime-=1

n"+<?n?8

I

C.lim,=1D.lim(1+〃);=e

J-1JC-1N-0

9.

下列函數(shù)相同的是()

A.y=1=三B.、=/r2—9,y=/r+3-/r—3

C.y==cos(arccosx)D.y=仃、、=1x1

10.

已知arctanr?是函數(shù)/（工）的一個原函數(shù)，則下列結(jié)論中，不正確的是（）

A./（x）=2：l-

1+7

B.當(dāng)jr-?0時，/（]）和z是同階無窮小量

C.I*/Odr=母

J04

D.[f（2N）di=arctan4a"+C

11.

由曲線、=-5?.直線3，=及=2圍成的平面圖形的面積為（）

A.竽區(qū)與-2ln2C.與-ln2D.2ln2-與

12.

設(shè)向量組%=（1,0,0）,。2=。，3,—1），。3=（5,3"）線性相關(guān)，貝”=（）

A.3B.1C.0D.-1

13.

設(shè)為正項級數(shù)，以下說法正確的是（）

”一I

8

A、如果=0,則工“”必收斂

1M

3

B.如果lim3=/（0</<co）,?.JVUw必收斂

…/rr

8OCl

C.如果Z“-收斂，則2”：必定收斂

|?=I|?=I

*nb

D.加果2（-1）”.收斂.‘則W",必定收斂

?—1m-1

14.

已知/（T）=5彳1D,則工=0為（）

A.連續(xù)點B.可去間斷點

C.跳躍間斷點D.無窮間斷點

15.

—sin~才40.

設(shè)/（a）=<13要使f（x）在（-8,+oo）上連續(xù)，則a=（）

a.r=0,

A.OB.1C.-yD.3

J

16.

.由參數(shù)方程12確定函數(shù)y（.r）的二階導(dǎo)數(shù)會=（）

ax

y=1一?

A.----y-B--yC.--D.——

t3rtt

17.

曲線y=三一24工2+6?的凸區(qū)間為()

A.(—2,2)B.(—8,0)C.(0,+8)D.(―OC,卜OO)

陽■.

18.

◎'—yin、=o滿足y=e的特解為

，?〔

rz

A.y=e'+1B.y=e，C.y=CeD.jy=e-1

19.

尸?=r+i.

已知J23z則=（）

y=y/3+/z+3<diL-1

A-TB-7C{D1

20.

.下列各組角中，可以作為向量的一組方向角的是（）

A工?—7T.-TC穴

446T'~2

加7T

L.—.—?—n1).一天?冗-,

434433

21.

A為”階方陣.則13Al=()

A.31AlB.|A|

C.3,|A|D."31Al

22.

設(shè)/（?是連續(xù)函數(shù)，滿足人工）=畢粵-「八"心，則=（）

1+XJ-1.29

??y'：**力.XM

■；--：：；',"您,尸?”.，.??■￡：）,”?.

A.0B.fC.fD.f

6o6

23.

下列結(jié)論正確的是（）

A.無窮小量是很小的正數(shù)B.無窮大量是很大的數(shù)

C.無窮大量的倒數(shù)是無窮小量D.一個很小的正數(shù)的倒數(shù)是無究大量

24.

設(shè)/（才）是奇函數(shù)且W（N）=/（之）（下/），則夕（工）是

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.無法判斷

--I,x<0,

lin/(x)存在,則a=()

{2x+*x>OJ”

A.-1B.OC1D.2

26.

交換二次積分次序［＜b，J：/（H.y）d_r=

A.Jr/（彳，y）dy

ri爐

C.cLr/(z,?y)dyD.Jd/jf(jcy)dy

0Jxz9

27.

zl0\

設(shè)A=(。J則*=（）

(:S

30

08

D.

28.

下列所給級數(shù)中收斂的是（）

8181

■=1〃0=17n

C.2<-lr-D.Xin'5

?=1〃n=l

29.

oooo

設(shè)級數(shù)?"收斂于s?則級數(shù)》；（，，”+收斂于（）

B.2S

C.2S+的D.2s—％

30.

.下列級數(shù)絕對收斂的是（）

A.玄（-1尸］81

w=—!vflH=1J

「、〃2+2〃+3D-）

°ZJ

二、填空題(20題)

31.與向量｛一3,4.1｝平行的單位向量是

8/Sina

設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)百(的斂散性為

an

32.

33.

?sinr+e2az—1

?T盧0,

設(shè)函數(shù)fix)=?在(-8,+oo)上連續(xù)?則a=

a,J=0

(.r3—1+1)sin2j'd.z=

34.」t

設(shè)函數(shù)y=V(K)由方程cos(孫)=e7+lny所確定，貝9農(nóng)二

35.★

函數(shù)八，)的傅氏變換F[8(D]=

若極限HmI:翌”一=3.則常數(shù)4=

37.…/I+?一1

若極限lima,,=a,則級數(shù)￡(a,——a.)=

38.…“T

設(shè)z=e4,則其全微分為

sin27cLr=

40.J____

41.

已知函數(shù)/(z)=1nl為可導(dǎo)函數(shù).貝J/(1)在點z=1.01處的近似值為

lim(l十2tan-)。。'上=.

42.___________________________________________

43.

設(shè)a,/?為常數(shù)，若+加］=2,則〃+6=

L8\x+I

44微分方程/-2/+3,=。的通解為

n—1

極限lim

45.L82〃+1

46.

設(shè)17(zW0,l),則/⑴=

Im/JC—1

47.

ab

ch

沒4階行列式Dj=?A。為其代數(shù)余子式,則A”+AZJ+A3t+AU=

db

ubdc

定積分sin^-6JC=

48.

49方程<VZ+3>=0的通解是

設(shè)/(z)=十1.則f(i)=

50.

三、計算題（15題）

fex+1,x<0,

設(shè)/（%）={sinbx確定b的值，使/Q）在x=0處連續(xù).

?x>U,

51.x

設(shè)z=/（x+y,V-x）,其中/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求出:

52.dxdy

a、=a(1—sinr),（，為參數(shù)）求條.

已知參數(shù)方程

y=a(1—cos?).

53.

求l]e/d/dy,其中D是由直線y=z,'=1及）軸圍成的區(qū)域.

54.3

tanx-1

計算lim

x-0x-sinz

55.

56，求微分方程十/—2、=e—的通解.

計算二重積分「反『理力.

57.3

求微分方程2y"+.y'-3,=3eJ的通解.

,1、工

求極限1山】（1+工）

X-+~\T）

59.

er-cosi

求極限lim

J—*0tan2.r

60.

61.

1-101

已知A=01-1，且滿足AX=2X+A,求矩陣X.

一101

求y"+2y—8,y=（彳+l）e”的通解.

62.

63.

求函數(shù)=sin（式y(tǒng)?Iz）在點P（1,1,—1）處沿方向I=（1,1,1）的方向?qū)?shù).

求微分方程wv'+v—/=0的通解.

64.

求微分方程—2y=./+工的通解.

65.

四、證明題（10題）

66.

設(shè)函數(shù)八工）在閉區(qū)間［0,1］上可導(dǎo),且八0）?/（DV0.證明在開區(qū)間（0,1）內(nèi)至少存在

一點&使得22豺+田'⑷=0.

證明：當(dāng)0VI<1時.（z—2）ln（l—z）>2x.

67.

68.

設(shè)。階方陣A滿足才=。（k為正整數(shù)）.證明：E-A可逆（E為c階單

位際）,并求（E-/T.

69.

證明方程In.r=---［M1—cos2zd.r在區(qū)間（e,e'）內(nèi)僅有一個實根.

eJo

70.

求拋物線？=1.r;及其在點（1,0）處的切線和y軸所圍成圖形的面積,并計算該圖

形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

證明：對于0VaV?有arctan。一arctanaV6—a.

71.

72.

證明方程In.r=----\/1—cos2j-dj-在區(qū)間（e,eD內(nèi)僅有一個實根.

73.

證明：當(dāng)才〉0時，一z〉ln（1+jr）.

并由此證明之n

的麥（馬）克勞林展開式,=1.

31（M+1）!

設(shè)eVaV〃Ve?，證明In2/?—In2a>士（〃一a）.

75.e

五、應(yīng)用題（10題）

76.

求曲線y=ln.r在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點,使該點的切線與直線x=2,x-6以及

,y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

77.

將周長為“的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成一個圓柱體，矩形的邊長各為多少時，才可

使圓柱體的體積最大?

78.

求曲線段y=/（Ow工W1）上一點處的切線?使該切線與直線y=0,N=1和曲線

3-=x2所圍成圖形的面積最小.

79.

求曲線y=Inj-在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點,使該點的切線與直線x=2,x=6以及

y=In.r所圍成的平面圖形面積最小.

80.

求由曲線=2.4y=＞及所圍成的圖形的面積，并求此圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)所得

的旋轉(zhuǎn)體的體積.

81.

設(shè)平面圖形Q由曲線_y=-和直線.y==2及/軸圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞］軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

82.

過點（1,0）作拋物線》=/行2的切線，求這條切線、拋物線及才軸所圍成的平面圖

形繞工軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

83.

某立體聲收音機廠商測定,為了銷售一新款立體聲收音機工臺.每臺的價格（單位:元）

必須是“行）=800—工，廠商還測定，生產(chǎn)工臺的總成本為C（r）=2000+10工.為使利潤最大

化，廠商必須生產(chǎn)多少臺?最大利潤是多少？

84.

設(shè)兩拋物線y=2/,y=3—V及w軸所圍成的平面圖形為D.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞了軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積.

85.

用G表示由曲線）=ln.r及直線/+_y=l,_y=1圍成的平面圖形.

（1）求G的面積；

（2）求G繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

六、綜合題（2題）

球常數(shù)a和切點.佻）；

oO.

87.該曲線的方程；

參考答案

1.A

|才|ro?

【精析】要使得人工）有意義，則必有；由此可得一1VzVO或0VHV1.

1—.r2>0.

故選A.

2.B

【精析】/'（X）=g（.r）+（JT-a）g'Q）./"（H）=/（*）+/（l）+（工-a）g”（r）,則

『3=2『（”），故應(yīng)選B.

3.B

L答案1B

【精析】根據(jù)齊次微分方程的定義可知.齊次微分方程滿足半="上）?故選B.

（JiT

4.B

［答案］B

..(1+1)(才一1)a—1

【精析】由limy一1。=lim=三.知x=-1為函

L-1一/一2川(j-+l)(a-2)—20

數(shù)的可去間斷點.故選B.

5.D

simr.［。叫--sin,z-0

【精析】）=liTn.二^=T.lim血」

一sirkr-［—〃一°l。-1-o+1-0

lim列兄=1?顯然左右導(dǎo)數(shù)不相等.故i=0處的導(dǎo)數(shù)不存在.

「?。+上

6.D

［答案：］D

【精析】由題意可知平面的法向量為｛3.又直線垂直于平面.故直線的方向向

量為｛3.-6.1｝.又直線過點（2.1,5）,于是可知所求直線方程為工二y—1

—6

虧爐.故應(yīng)選D.

7.A

【精析】lims'，=lim(1-J)2=陰/=9故應(yīng)選A-

L1Q—1)(j*+2)

8.C

limA_7=lim--——y-=lim=7，故應(yīng)選C.

X-1J"—1"T(N+:1)(11—1)X-1J?+11

9.D

［答案1D

【精析】A、B、C給出的兩個函數(shù)的定義域不同.只有D選項中的兩個函數(shù)定義域相

同.對應(yīng)法則也相同.故應(yīng)選D.

10.D

【精析】A.f(.r)—(arctan/)'=27

1+(/尸-1+J'''

2?r

B.lim.=limL±《=2,所以f(x)和才是同階無窮小量;

x-*01x~*0JC

7T

C.f(jr)dx=arctanj-2

00

D.1/(27)&丁==JarctanlZiM+C=/arctan4&?+C,故應(yīng)選D.

ll.B

「答案］B

y——1.

【精析】如圖所示?聯(lián)立'可得二者在第一象限的交點為

y=4/?

（9.2）,所以所圍圖形的面積為

12

S=（41------）dr=（2/一In.r）

J4JTf

=y-2ln2.

口15、(\15、

【評注】￡Wa；）=O'33fo11，

0r+1.

12口由4，%，%線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)/?（%,%，/）<3,得，=-L

13.C

［答案］C

CC

【精析】級數(shù)收斂的必要條件：級數(shù)收斂，則limu”=0:但反過來未必成立，例如

Ii,

31IR1

調(diào)和級數(shù)X‘,雖然lim°~=0.但2'?發(fā)散，故A錯.

CQ8

lim皿=/,只有當(dāng)/V1時，級數(shù)［>“收斂.當(dāng)/>1或/為g時，級數(shù)X人發(fā)放，

LR“RII

故B錯.

=limu.,因為級數(shù)收斂.所以lim〃”=0必定成立，由正項級數(shù)的比較審斂

|?-***^Un1?--8

2

法可知收斂.故C正確.

例如'j衛(wèi)收斂?但是'人發(fā)散?故D錯.

14.B

【精析】函數(shù)八>）在點工=0處沒有定義，故為間斷點.又=1沁4（1+.=

J-*Ojr-*O1

lim^=1,故；r=0為函數(shù)的可去間斷點.

■r-QX

15.C

lim—sin卷=lim,?今=丁,/(0)=a.根據(jù)連續(xù)的定義可知”=三

【精析】

尸》0.Z*3x-?o133o

16.B

【精析】

17.A

18.B

【精析】方程分離變量得以=*,兩邊積分得Inliny|=山工|+6?即￥=6”.

yinyx

乂由.y|=^得。=1?故特解為y=el

19.B

d-—

dv(

方+d1

【精析】因為李=-+1-

方---

Ad3-d/

2/一27

d7出

所以會=:，故應(yīng)選B.

20.D

由于方向角a.小7必須滿足cos，+cos2/?+cos2y=1.可以驗證只有D

項正確.

［答案］C

2i.c【精析】13Al=3H|A|.

22.B

設(shè)［JCr)d/=1,對題中等式兩邊取1-1,口上的定積分，

得1=「畢普d彳21,

J-l1十才

典!［=］■11十廣竽clr=1+=Yarctan'zI+0=備?

3J-i1|-x63J-i1x63J-i14-x3l-i6

故包/⑴=㈣(TW一句=一1?，故選巳

23.C

24.A

【精析】令g(i)=丁1]一Y，

g(①)-+12-2』+12

=2-1-11

2,+1~2

.I-----1------1

2,+12

11,、

=2一罰=一翼])，

即g(z)為奇函數(shù).又f(x)為奇函數(shù)，所以耿力為偶函數(shù)，故應(yīng)選A.

25.A

[答案]A

【精析】由于li哪M)存在，則所雙外=liWU),由題可知linV(x)=Xl-Oim-(x2-1)=-1,

lim/(x)=lim(2x+a)="，故a=-1.

i-O*

26.D

[答案1D

(0&y&1?

【精析】如圖所示.積分區(qū)域可表示為交換積分次序后積分區(qū)域可表

1?w￡(G

(0<.r<1,riw

示為，,故可得dy\/(jr,.y)dLr=jdrj,/(x,j)d,y.

'\'W

UL

7pT

27.C

【精析】方法一

fl0)rlO']rl0]rl0]rlO'!(10]

A2==,A1=A?A2==.

02Ho2][0402][04][08

方法二

3

rl0rl0、

A'=

02，08

I

28.C

【精析】X"均是2<1的八級數(shù)?故發(fā)散；￡ln”5是公比為ln5>l的等

N-1〃“=1y/nM-1

B

比級數(shù).故發(fā)散；而￡（一1尸十是交錯級數(shù),且滿足萊布尼茨判別法的條件*故收斂.

29.D

［答案］D

?OOOOOOO

【精析】￡（“1,十〃什1）=1rH=S+22""—"1=28—ill.

11=1n-1n-1n=l

30.B

［答案1B

【精析】選項A是條件收斂.選項B是絕對收斂.而選項C與D均為發(fā)散.故應(yīng)選B.

31.

向量的模為y（-3）2+42+p=，3.

故與之平行的單位向量為±{7^*7^>7^}

32.

發(fā)散

33.

—1

【精析】limsm，-―1=］而/詠-—\=1+2a,令1+2a=&，則。=一1,

x-*OJCJ^*0卜才工）

即當(dāng)a=-1時,/（工）在工=0處連續(xù)，進(jìn)而在區(qū)間（-8,+8）上連續(xù).

34.

1--ysin2

ri

(x3一/+1)sin2.rd.r=sin2ad<r

J-iJ-i

=21sin,dr=|(1—cos2①)dz

J0Jo

=卜一"『|；=1-jsin2.

35.

W-y2sin⑸)

l+xvsin(xy)

戶r-y2sin⑸)

l+xysin(xy)

【評注】該題考查隱函數(shù)的求導(dǎo)法.也=二及(注意技巧，令等式一端為0).

dxF,

[答案11

【精析】FO/)]=「水De-皿析

=e~u<f

0

36.1=1?

37.

a【精析】lim7迪卷:“=午=2a=3,因此a=搟.

A…，1+.—1r-°Aj.

22

38.

a—

39.

dz=ye孫'(ydx+2xdy)

40.

--ycos2j?+C

.1sin2id2i----^-COS2J：'+C.

【精析】sin2/d才=—

乙3

41.

0.01

【精析】由/(?％+3?)%/(*)+/(4)&八故/(I+0.01)??/(I)+/(1)?0.01=

ini+什］iy0.01=0.01.

42.

e2

lim(1+2匕蠟片尸"=lim(lH-2tan2j?)2^77

r-*0r-*0

=^lim(1+2tan2J?)2：M>3XJ2=e2.

43.0

【精析】lim/嗎+婦=lim("+叱+4=lim2("+”+，=2,所以。+

LOO\I十1IJTI1J-*81

b—0.

44.

y=(G+('z-r)e"

【精析】特征方程為，-2r+l=0,解得特征根為n=2=1,

所以所求通解為3=（C,+C"）e，，其中G，C為任意常數(shù).

45.

1--

1.〃-1

1【精析】=lim----/

-8之十_L2J

~2n

46.

1

X

【精析】〃匚故/G)=L

\X)JT—1JT一1T

X

abc1

cbd\

【精析】A】,+4力+A+A==0?

3I44dbc\

47.0abd\

48.

?)

【精析】

--2(0—1)—2.

49.

v=CrT（r是任意常數(shù)）

【精析】分離變量?得業(yè)=-3.S.兩邊積分得In|V|=-3(ln|IIInIC,!).

y1

即3CrXC是任意常數(shù)).

50.

［答案1ie-1

沁-i【精析】/'(Z)=2ue>'+Ui,故/"(i)=2ie1—ie'=ie

51.

解：/(x)在x=0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)lim/(x)=limf(x)=/(0)?

即lim?+1)=lim型如=2,解得6=2.

x-MTXTO.X

52.

【評注】解：令x+y=",/_x=v,z=/(〃M，—=￡'+￡?(-1)，

dx

d2z

匯+方如-￡-工：&=兀+（2、-1）方-2廣￡.

dxdy

53.

d

X

dV

為

因-d7asin/

【精析】d-

d7—acost

.rd7

【精析】積分區(qū)域力如圖所示，由于被積函數(shù)f（z,y）=，/，

因此該二重積分應(yīng)化為“先對x積分，后對.y積分”的二次積分

進(jìn)行計算較為簡便.

[04v<1,

因此區(qū)域D可表示為」于是

10<x<V，

d.rdy=|dyje~:'d.r

55.

，好y1-tanj-.r..sec——1..tanJLJL:

【精析】lim-—：——=hm--=limz--=iim-：---=2.O

JC-Sinx1—COSJ"u1—COSH..-l>12

56.

【精析】對應(yīng)齊次方程的特征方程為/+廠-2=0,

特征根為rx=-2,r2=1,

對應(yīng)齊次方程的通解為丫=Ge-+&e"

4=—2是特征單根，故設(shè)原方程的特解為V=Are-%

(？?)'=(A-2Ar)eT'.(y.)”=(-4A+\Ax)e-2r,

代人原方程得A=-J,

Q

即原方程的一個特解為/=-1ze-2-.

從而原方程的通解為？=GeT，+C2e，一〈"re

57.

t精析】由被積函數(shù)形式可知原二重積分計算比較復(fù)雜,故先交換積分次序,再計

算,即

fdjrf=fd^l=Icos^j「dy=jcosjydy=Sin>=sinl.

JoJryJoJoyJoyIoJoo

58.

【精析】對應(yīng)齊次方程的特征方程為2r+/-1=0,

解得特征根為r,=-l,r2=y,

所以對應(yīng)齊次方程的通解為V=Ger+Ce打.(G，(、2為任意常數(shù)).

又因為；I=1不是特征根，可設(shè)特解為.y*=Ae3

代入原方程得2Ae，+Ae，一Ae，=3eL解得A=言.

故所求方程的通解為.y=(廿+ge%十1~eL

59.

22

1X2.(.,Klim[xln(lly)-x]1

【精析】lim/1r—\「=limeJ”?釬=產(chǎn)?.令/=—.則

/-?I0°y)/-*I?°X

I-In(l+r)-ri.[七T

-1~1vn~~2T"hn!Fl+t),

原式h=e—=e—。=ez=e

60.

e'一cos》，e"+sinr1

運用洛必達(dá)法則，limlim

工一*0tan2j'j—*02sec?2.x2,

61.

【精析】本題考查逆矩陣的求法.

VAX=2X+A,，X=(A-2E)-1A,

1-10]d00]r-1-10]

A-2E=01-1-2010=0-1一1

-101001-10-1

-1-10：100ir-1-10：100

「3-r\

[(A-2E)：E]=0—1-l：0100—1-1010

-io-dooioi-r-ioi

r-1-10100]r—2-20200)

rz—rz

cr\

0-2-20200—2011-1-

00-2-11100-2-111

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