《事件的關(guān)系和運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修二（人教A版）第九章《10.1.2事件的關(guān)

系和運(yùn)算》，事件的關(guān)系與運(yùn)算是繼隨機(jī)事件的后續(xù)部分,本節(jié)課提出了事件的關(guān)系、事件

的運(yùn)算等兩部分.學(xué)生將通過(guò)新舊知識(shí)的對(duì)比學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)共同探討來(lái)理

解和掌握新知識(shí)的實(shí)際含義.由于事件的抽象性，所以教學(xué)時(shí)將大量采用“韋恩圖”幫助學(xué)

生理解事件的關(guān)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)區(qū)分事件關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系.為概

率的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。并加深對(duì)概率思想方法的理解。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、

數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解并掌握時(shí)間的關(guān)系和運(yùn)算.1.數(shù)學(xué)建模：事件關(guān)系的運(yùn)用

B.能夠?qū)⑹录倪\(yùn)算關(guān)系知識(shí)靈活運(yùn)2.邏輯推理：事件運(yùn)算與集合運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別

用到實(shí)際事件中.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：事件運(yùn)算

4.數(shù)據(jù)分析：在具體事例中分析事件關(guān)系與運(yùn)算

【教學(xué)重點(diǎn)】：件運(yùn)算關(guān)系的實(shí)際含義.

【教學(xué)難點(diǎn)】：事件運(yùn)算關(guān)系的應(yīng)用.

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、情境與問(wèn)題

從前面的學(xué)習(xí)中可以看到,我們?cè)?個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)

事件。這些事件有的簡(jiǎn)單,有的復(fù)雜,我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算由具體事例出發(fā)，提

出復(fù)雜事件的概率，所以需要研究事件之間的關(guān)系和運(yùn)算.出問(wèn)題，讓學(xué)生了解

例如：C="點(diǎn)數(shù)為i"，i=l,2,3,4,5,6;事件關(guān)系和運(yùn)算與

集合運(yùn)算的聯(lián)系。發(fā)

D="點(diǎn)數(shù)不大于3"；D="點(diǎn)數(shù)大于3”；

12

展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直

E="點(diǎn)數(shù)為1或2"；E="點(diǎn)數(shù)為2或3”；

12觀想象和邏輯推理

F="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"；G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；的核心素養(yǎng)。

請(qǐng)用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你能

發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

引例：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨

機(jī)事件

我們把上述事件用集合的形式寫出來(lái)得到下列集合

C,={1},C2={2}C,={3}C4={4}C5={5}C6={6}

A="點(diǎn)數(shù)不大于3"={1,2,3}2="點(diǎn)數(shù)大于3"={4,5,6)

片="點(diǎn)數(shù)為1或2"={1,2};后2="點(diǎn)數(shù)為2或3"={2,3}

F="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"=(2,4,6)G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"={1,3,5)

用集合的形式表示事件C="點(diǎn)數(shù)為1”和事件G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，

1

它們分別是C={1}和G={1,3,5}.顯然,如果事件C發(fā)生,那么事件G

11

一定發(fā)生,事件之間的這種關(guān)系用集合的形式表示,就是

{1}￡{1,3,5},即C￡G.這時(shí)我們說(shuō)事件G包含事件C.

11

1)不可能事件記作0；2)任何事件都包含不可能事件

⑴對(duì)于事件/與事件如果事件/發(fā)生，

那么事件方一定發(fā)生，則稱事件B包含事

件4(或稱事件A包含于事件3)

記作：BA(^Aa.B)

若83A且A38,則稱事件A與事件B相等。

若事件力發(fā)生，則事件片定發(fā)生，反之也成立，

則稱這兩個(gè)事件相等。i己：A=B

一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本

點(diǎn)或者在事件A中,或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事

件B的并事件（或和事件），記作AUB（或A+B）.

通過(guò)聯(lián)系集合運(yùn)算

和韋恩圖幫助學(xué)生

理解事件關(guān)系及其

可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.運(yùn)算。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)

￡?,="點(diǎn)數(shù)不大于3"={1,2,3};￡,="點(diǎn)數(shù)為1或2"={1,2};E?="點(diǎn)數(shù)為2或3"={2,3}抽象、邏輯推理的核

可以發(fā)現(xiàn)，事件E,和事件E］至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件.發(fā)生。事件之間的心素養(yǎng)。

這種關(guān)系用集合的形式表示,就是{1,2}U{2,3}={1,2,3}即E,UEz=R這時(shí)我們稱

事件D,為事件E,和事件&的并事件.

一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在

事件A中,也在事件B中,我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B

的交事件（或積事件），記作AnB（或AB）.

可以發(fā)現(xiàn)，事件好和E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于C。發(fā)生，事件之間的這種關(guān)系用集合的形式

表示,就是{1,2}1{2.3}={2卜8PEJE2=C2,我們稱事件C?為事件和E?的交事件

藍(lán)色區(qū)域表示交事件

用集合的形式表示事件C="點(diǎn)數(shù)為3”和事件c="點(diǎn)數(shù)為4”.它

34

們分別C={3},C={4}.顯然，事件C與事件C不可能同時(shí)發(fā)生，用集

3434

合的形式表示這種關(guān)系,就是⑶n{4}=中，即cnc=e，這時(shí)我們稱

34

事件C與事件C互斥.

34

一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說(shuō)AnB是一個(gè)不

可能事件，

即AnB=?,則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.

可以用圖表示這兩個(gè)事件互斥.

其含義是,事件A與事件6在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.

用集合的形式表示事件F="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G=“點(diǎn)數(shù)為奇

數(shù)”，它們分別是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次試驗(yàn)中,事件F

與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必然發(fā)生其中之一.事件之

間的這種關(guān)系,用集合的形式可以表示為{2,4,6)U

{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即FUG=Q，且{2,4,6}A(1,3,5}=①，即

FnG=①.此時(shí)我們稱事件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D與D也

12

有這種關(guān)系.

一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，

即AUB=。，且ACB=①，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)

其含義是：事件/與凡事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.生掌握分析事件關(guān)

事件A的對(duì)立事件記為A，可以用圖表示為.系的方法加深對(duì)概

念的理解，提升推理

論證能力，提高學(xué)生

的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建

模及邏輯推理的核

1.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：C="點(diǎn)數(shù)為/”，其心素養(yǎng)。

中/=1,2,3,4,5,6;D="點(diǎn)數(shù)不大于2"，D="點(diǎn)數(shù)大于2"，D="點(diǎn)

123

數(shù)大于4"；E="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)

判斷下列結(jié)論是否正確.

(DC與c互斥;(2)C,C為對(duì)立事件;

1223

(3)C￡D;(4)D￡D;

3232

(5)DUD=Q,DD=O;(6)D=CUC;

1212

(7)E=CUCUC;(8)E,F為對(duì)立事件；

135

(9)DUD=D;(10)DAD=D.

232233

答案：(2)錯(cuò)，其余都對(duì)

綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下

事件的關(guān)系或含義符號(hào)表示

運(yùn)算

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AGB

并事件(和事A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

件)

交事件(積事A與B同時(shí)發(fā)生ACB或AB

件)

互斥(互不相A與B不能同時(shí)發(fā)生AGB=中

容)

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)APB=中，AUB二。

牛.

類似地,我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.

例如，對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,AUBUC(或A+B+C)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至

少一個(gè)發(fā)生,ACBOC(或ABC)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生,等等.

例5如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常

或失效.設(shè)事件A="甲元件正?！?，B="乙元件正?！?

(D寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

(2)用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件；

(3)用集合的形式表示事件AUB和事件AAB,并說(shuō)明它們的含義及關(guān)

系.

-----ED-

______L____/

r---------------------

分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組

(X.X)表示樣本點(diǎn).這樣,確定事件A,B所包含的樣本點(diǎn)時(shí),不僅要考

12

慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).

解：(1)用分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x,x)表

1212

示這個(gè)并

聯(lián)電路的狀態(tài)，以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為

Q={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

(2)A={(1.0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},

A={(0,0),(0,1)},B={(0,0),(l,0)}

(3)用分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x,x)表示這

1212

個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài)，以1表示元件正常,0表示元件失效.

AUB={(0,1),(1,0),(1,l)},AnB={(0,0)};

AUB表示電路工作正常，

石表示電路工作不正常；

AUB和I。豆互為對(duì)立事件.

例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)

為1和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出

2個(gè)球.設(shè)事件R="第一次摸到紅球"，R=

12

“第二次摸到紅球"，R="兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠

球"，M="兩個(gè)球顏色相同"，N="兩個(gè)球顏色不同”

(2)事件R與R,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系？

1

(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R與事件R

I2

的交事件與事件R有什么關(guān)系？

用數(shù)組(X,X)表示可能的結(jié)果,X是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào),X是第

1212

二次摸到的球的標(biāo)號(hào)

Q={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(

4,1),(4,2),(4,3)}

R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}

1

R={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}

2

R={(1,2),(2,1)}

G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}

N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}

(2)因?yàn)镽CR,所以事件R包含事件R因?yàn)镽C1G=①，所以事件R與事

11

件G互斥；因?yàn)镸UN=Q,MClN=①，所以事件M與事件N互為對(duì)立事

件.

(3)因?yàn)镽UG=M,所以事件M是事件R與事件G的并事件；

因?yàn)镽DR=R,所以事件R是事件R與事件R的交事件.

1212

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)

為對(duì)立的是（）.所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生

（A）至多一次中靶（B）兩次都中靶解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生

（C）只有一次中靶（D）兩次都沒(méi)有中靶的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

解析：“至少一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都沒(méi)有中靶”，所以選理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)

D建模的核心素養(yǎng)。

2.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件M,向上面至少有一枚

是正面為事件N,則有（）

A.McNB-C.M=ND.M<N

A

3.拋擲一枚均勻的正方體骰子,事件P={向上的點(diǎn)數(shù)是1},事件0=

{向上的點(diǎn)數(shù)是3或4},,仁{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3},

則PUQ=__________________________________,

財(cái)nQ=___________________.

{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或4}{向上的點(diǎn)數(shù)是3}

4.在30件產(chǎn)品中有28件一級(jí)品,2件二級(jí)品,從中任取3件,記“3

件都是一級(jí)品”為事件A,則A的對(duì)立事件是

至少有一件是二級(jí)品

5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽.判

斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事

件.

(1)恰有一名男生與恰有2名男生；

(2)至少有1名男生與全是男生；

(3)至少有1名男生與全是女生；

(4)至少有1名男生與至少有1名女生.

［解析］判別兩個(gè)事件是否互斥，就是考查它們是否能同時(shí)發(fā)生；判

別兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立,就要考查它們是否必有一個(gè)發(fā)生且只有一

個(gè)發(fā)生.

(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所

以它們是互斥事件；當(dāng)恰有兩名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們互斥

不對(duì)立事件.

(2)因?yàn)椤扒∮袃擅猩卑l(fā)生時(shí)，“至少有一名男生”與“全是男

生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

(3)因?yàn)椤爸辽儆幸幻猩迸c“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以

它們互斥；由于它們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們互斥對(duì)立.

(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時(shí)，“至少有一名男生”與

“至少有一名女生”同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

［點(diǎn)評(píng)］判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立要依據(jù)試驗(yàn)的條件,考慮事件關(guān)

系必須先考慮條件.本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，

任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰有2名男生”便是對(duì)立事件.

四、小結(jié)

事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

一步鞏固本節(jié)所學(xué)

事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示

內(nèi)容，提高概括能

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)ACB力。

生

并事件(和事件)A與B至少一個(gè)AUB或A+B

發(fā)生

交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生ACB或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)AAB二中

發(fā)生

互為對(duì)立A與B有且僅有ACIB=①，AUB二。

一個(gè)發(fā)生

(1)包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定

①事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似；

②兩事件相等的實(shí)質(zhì)為相同事件，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生.

(2)判斷事件是否互斥的兩個(gè)步驟

第一步，確定每個(gè)事件包含的結(jié)果；第二步，確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)

生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，否則就是互

斥的.

(3)判斷事件是否對(duì)立的兩個(gè)步驟

第一步，判斷是互斥事件；第二步，確定兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生，

否則只有互斥，但不對(duì)立.

五、課時(shí)練

【教學(xué)反思】

本節(jié)課通過(guò)對(duì)具體事例，提出了事件的關(guān)系、事件的運(yùn)算等兩部分.學(xué)生將通過(guò)新舊知

識(shí)的對(duì)比學(xué)習(xí)來(lái)進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，同時(shí)通過(guò)共同探討來(lái)理解和掌握新知識(shí)的實(shí)際含義.由于事

件的抽象性，所以教學(xué)時(shí)將大量采用“韋恩圖”幫助學(xué)生理解事件的關(guān)系，同時(shí)強(qiáng)調(diào)區(qū)分事

件關(guān)系、運(yùn)算與集合的關(guān)系、運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系.教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生

積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模

的核心素養(yǎng)。

U0.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解并掌握時(shí)間的關(guān)系和運(yùn)算.

2.能夠?qū)⑹录倪\(yùn)算關(guān)系知識(shí)靈活運(yùn)用到實(shí)際事件中.

【教學(xué)重點(diǎn)】：件運(yùn)算關(guān)系的實(shí)際含義.

【教學(xué)難點(diǎn)】：事件運(yùn)算關(guān)系的應(yīng)用.

【知識(shí)梳理】

一、溫故知新

1.隨機(jī)試驗(yàn)：把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)），常用字母

E表示.

特點(diǎn):可重復(fù)性；可預(yù)知性；隨機(jī)性

2.樣本點(diǎn)和樣本空間

定義字母表不

樣本點(diǎn)我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)用_表示樣本點(diǎn)

樣本

全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間用表示樣本空間

空間

如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果3，3，…，3,

有限12n。={3,G),…，

樣本則稱樣本空間Q=｛。，3,。｝為有限樣本空

12n

3}

空間n

間

我們將樣本空間Q的子集稱為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)

隨機(jī)

的事件稱為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A,B,C等表示.在每次試驗(yàn)中，

事件

當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生

必然Q作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所

事?件以Q總會(huì)發(fā)生，我們稱Q為必然事件

不可

空集。不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生.我們稱。為不可能事件

能事件

3.三種事件的定義

在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件.

在一定條件下必然要發(fā)生的事件叫必然事件.

在一定條件下不可能發(fā)生的事件叫不可能事件

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、情境與問(wèn)題

從前面的學(xué)習(xí)中可以看到,我們?cè)谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中可以定義很多隨機(jī)事件。這些事件有

的簡(jiǎn)單,有的復(fù)雜,我們希望從簡(jiǎn)單事件的概率推算出復(fù)雜事件的概率,所以需要研究事件之

間的關(guān)系和運(yùn)算.

例如:C="點(diǎn)數(shù)為i"，i=l,2,3,4,5,6;

D=”點(diǎn)數(shù)不大于3"；D="點(diǎn)數(shù)大于3”；

12

E="點(diǎn)數(shù)為1或2"；E="點(diǎn)數(shù)為2或3”；

12

F="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"；G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”；

請(qǐng)用集合的形式表示這些事件，借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算,你

能發(fā)現(xiàn)這些事件之間的聯(lián)系嗎？

引例：在擲骰子試驗(yàn)中，觀察骰子朝上面的點(diǎn)數(shù)，可以定義許多隨機(jī)事件

我們把上述事件用集合的形式寫出來(lái)得到下列集合

G={1},G={2}。3={3}G={4}。5={5}。6={6}

D,="點(diǎn)數(shù)不大于3"={1,2,3}&="點(diǎn)數(shù)大于3"={4,5,6}

g="點(diǎn)數(shù)為1或2"={1,2};心="點(diǎn)數(shù)為2或3"={2,3}

尸="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"={2,4,6}G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"={1,3,5)

我們借助集合與集合的關(guān)系和運(yùn)算以及事件的相關(guān)定義，我們發(fā)現(xiàn)這些

事件之間有著奇妙的聯(lián)系，可以分為以下幾種情況.

用集合的形式表示事件C="點(diǎn)數(shù)為1”和事件O"點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是C={1}

11

和G={1,3,5}.顯然,如果事件C發(fā)生，那么事件G一定發(fā)生,事件之間的這種關(guān)系用集合的

1

形式表示,就是{1}U{1,3,5},即CUG.這時(shí)我們說(shuō)事件G包含事件C.

11

1）不可能事件記作0；2）任何事件都包含不可能事件

（1）對(duì)于事件/與事件A如果事件/發(fā)生，

那么事件方一定發(fā)生，則稱事件B包含事

件4（或稱事件A包含于事件功

記作：83或力q3）

若5二A且AqB則稱事件A與事件B相等。

若事件”發(fā)生，則事件片定發(fā)生，反之也成立，

則稱這兩個(gè)事件相等。記：A=B

一般地,事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)或者在事件A中,

或者在事件B中,我們稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件（或和事件）,記作AUB（或A+B）.

可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個(gè)并事件.

4="點(diǎn)數(shù)不大于3"={1,2,3};&="點(diǎn)數(shù)為1或2"={1,2};一="點(diǎn)數(shù)為2或3"={2,3}

可以發(fā)現(xiàn)，事件目和事件E2至少有一個(gè)發(fā)生，相當(dāng)于事件。發(fā)生。事件之間的

這種關(guān)系用集合的形式表示，就是{l,2}U{2,3}={l,2,3"flE|UE2=，這時(shí)我們稱

事件D,為事件E,和事件E?的并事件.

一般地,事件A與事件B同時(shí)發(fā)生,這樣的一個(gè)事件中的樣本點(diǎn)既在事件A中,也在

事件B中,我們稱這樣的一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件（或積事件）,記作ACB（或AB）.

可以發(fā)現(xiàn)，事件4和E2同時(shí)發(fā)生，相當(dāng)于C?發(fā)生，事件之間的這種關(guān)系用集合的形式

表示，就是{1,2}1{2.3}={2}.E2=C2,我們稱事件C2為事件E1和E2的交事件

藍(lán)色區(qū)域表示交事件

用集合的形式表示事件C="點(diǎn)數(shù)為3”和事件C="點(diǎn)數(shù)為4”.它們分別

34

C={3},C={4}.顯然,事件C與事件C不可能同時(shí)發(fā)生,用集合的形式表示這種關(guān)系,就是

3434

{3}n{4}=中，即CcC=中,這時(shí)我們稱事件C與事件C互斥.

3434

一般地,如果事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生,也就是說(shuō)ACB是一個(gè)不可能事件,即

ACB=中，則稱事件A與事件B互斥（或互不相容）.

其含義是,事件A與事件8在任何一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生.

用集合的形式表示事件尸="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”、事件G="點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，它們分別是

F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次試驗(yàn)中,事件F與事件G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也

必然發(fā)生其中之一.事件之間的這種關(guān)系,用集合的形式可以表示為⑵4,6}U

{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即FUG=Q，且⑵4,6}D(1,3,5}=9,即FDG=①.此時(shí)我們稱事

件F與事件G互為對(duì)立事件.事件D與D也有這種關(guān)系.

12

一般地,如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生，即AUB=Q,且

AnB=?，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立.

其含義是：事件4反事件在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生.

事件A的對(duì)立事件記屈，可以用圖表示為.

1.拋挪一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：C="點(diǎn)數(shù)為r’，其中

?=1,2,3,4,5,6;D="點(diǎn)數(shù)不大于2"，D="點(diǎn)數(shù)大于2"，D="點(diǎn)數(shù)大于4"；E="點(diǎn)數(shù)為

I23

奇數(shù)”，F(xiàn)="點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”。

判斷下列結(jié)論是否正確.

(DC與C互斥；(2)C,C為對(duì)立事件;

I223

(3)CUD;(4)DCD；

3232

(5)DUD=Q,DD=中；(6)D=CUC;

I212356

(7)E=CUCUC;(8)E,F為對(duì)立事件；

I35

(9)DUD=D;(10)DPD=D.

232233

綜上所述,事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下

事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生ACB

并事件（和事件）A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

交事件（積事件）A與B同時(shí)發(fā)生APB或AB

互斥（互不相容）A與B不能同時(shí)發(fā)生AAB=①

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生AAB=①，AUB=C

類似地,我們可以定義多個(gè)事件的和事件以及積事件.

例如,對(duì)于三個(gè)事件A,B,C,AUBUC（或A+B+C）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C中至少一個(gè)發(fā)

生,ADBAC（或ABC）發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C同時(shí)發(fā)生,等等.

例5如圖，由甲、乙兩個(gè)元件組成一個(gè)并聯(lián)電路，每個(gè)元件可能正常或失效.設(shè)事件

A="甲元件正?！?，B="乙元件正?！?

（1）寫出表示兩個(gè)元件工作狀態(tài)的樣本空間；

（2）用集合的形式表示事件A,B以及它們的對(duì)立事件；

（3）用集合的形式表示事件AUB和事件ACB,并說(shuō)明它們的含義及關(guān)系.

例6一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球（標(biāo)號(hào)為1和2）,2個(gè)綠

色球（標(biāo)號(hào)為3和4）,從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R="第一次摸到紅

I

球"，R=

2

“第二次摸到紅球"，R=”兩次都摸到紅球”，G="兩次都摸到綠球"，M="兩個(gè)球顏色

相同"，N="兩個(gè)球顏色不同”

（2）事件R與R,R與G,M與N之間各有什么關(guān)系？

(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件R與事件R的交事件與事件R

I2

有什么關(guān)系？

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對(duì)立的是

().

(A)至多一次中靶(B)兩次都中靶

(C)只有一次中靶(D)兩次都沒(méi)有中靶

2.同時(shí)拋擲兩枚硬幣，向上面都是正面為事件M,向上面至少有一枚

是正面為事件N,則有()

A.M￡NB.C.M=ND.M<N

3.拋擲一枚均勻的正方體骰子,事件—{向上的點(diǎn)數(shù)是1},事件0={向上的點(diǎn)數(shù)是3或

4},4響上的點(diǎn)數(shù)是1或3},

則PUg,

j/nQ=.

4.在30件產(chǎn)品中有28件一級(jí)品,2件二級(jí)品，從中任取3件，記“3件都是一級(jí)品”為事

件A,則A的對(duì)立事件是.

5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽.判斷下列每對(duì)事件

是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件.

(1)恰有一名男生與恰有2名男生；

(2)至少有1名男生與全是男生；

(3)至少有1名男生與全是女生；

(4)至少有1名男生與至少有1名女生.

【課堂小結(jié)】

事件的關(guān)系或運(yùn)算的含義，以及相應(yīng)的符號(hào)表示如下

事件的關(guān)系或運(yùn)算含義符號(hào)表示

包含A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生AGB

并事件(和事件)A與B至少一個(gè)發(fā)生AUB或A+B

交事件(積事件)A與B同時(shí)發(fā)生ADB或AB

互斥(互不相容)A與B不能同時(shí)發(fā)生AAB=中

互為對(duì)立A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生AUB二Q

(1)包含關(guān)系、相等關(guān)系的判定

①事件的包含關(guān)系與集合的包含關(guān)系相似；

②兩事件相等的實(shí)質(zhì)為相同事件，即同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生.

(2)判斷事件是否互斥的兩個(gè)步驟

第一步，確定每個(gè)事件包含的結(jié)果；

第二步，確定是否有一個(gè)結(jié)果發(fā)生會(huì)意味著兩個(gè)事件都發(fā)生，若是，則兩個(gè)事件不互斥，

否則就是互斥的.

(3)判斷事件是否對(duì)立的兩個(gè)步驟

第一步，判斷是互斥事件；

第二步，確定兩個(gè)事件必然有一個(gè)發(fā)生，否則只有互斥，但不對(duì)立.

參考答案：

知識(shí)梳理

1隨機(jī)試驗(yàn)

特點(diǎn):可重復(fù)性；可預(yù)知性;隨機(jī)性

學(xué)習(xí)過(guò)程

1.答案：(2)錯(cuò)，其余都對(duì)

例5分析：注意到試驗(yàn)由甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)組成，所以可以用數(shù)組(x,x)表示樣本

12

點(diǎn).這樣,確定事件A,B所包含的樣本點(diǎn)時(shí),不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀

態(tài).

解：(1)用X,*分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài)，則可以用(x,x)表示這個(gè)并聯(lián)電路的

12I2

狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為Q={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.

⑵A={(1,O),(1,1)},B={(0,1),(1,1)),

A={(0,0),(0,1)},B={(0,0),(1,0)}

(3)用x,x分別表示甲、乙兩個(gè)元件的狀態(tài),則可以用(x,x)表示這個(gè)并聯(lián)電路的狀態(tài),

1212

以1表示元件正常,0表示元件失效.

AUB={(0,1),(1,0),(1,l)}>AnB={(0,0)};

AUB表示電路工作正常，

入?！繁硎倦娐饭ぷ鞑徽＃?/p>

AUB和入C否互為對(duì)立事件.

例6用數(shù)組(x,x)表示可能的結(jié)果,x是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào),x是第二次摸到的球的

1212

標(biāo)號(hào)

-={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)

}

R={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),⑵4)}

1

R={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}

2

R={(1,2),(2,1)}

G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}

N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}

(2)因?yàn)镽UR,所以事件R包含事件R因?yàn)镽nG=<D，所以事件R與事件G互斥；因?yàn)镸

1I

UN=Q,MnN=<&,所以事件M與事件N互為對(duì)立事件.

(3)因?yàn)镽UG=M,所以事件M是事件R與事件G的并事件；

因?yàn)镽AR=R,所以事件R是事件R與事件R的交事件.

1212

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.解析：“至少一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都沒(méi)有中靶”，所以選D

2.A

3.{向上的點(diǎn)數(shù)是1或3或4}{向上的點(diǎn)數(shù)是3}

4.至少有一件是二級(jí)品

5.［解析］判別兩個(gè)事件是否互斥，就是考查它們是否能同時(shí)發(fā)生；判別兩個(gè)互斥事

件是否對(duì)立，就要考查它們是否必有一個(gè)發(fā)生且只有一個(gè)發(fā)生.

(1)因?yàn)椤扒∮?名男生”與“恰有2名男生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們是互斥事件；

當(dāng)恰有兩名女生時(shí)它們都不發(fā)生，所以它們互斥不對(duì)立事件.

(2)因?yàn)椤扒∮袃擅猩卑l(fā)生時(shí)，“至少有一名男生”與“全是男生”同時(shí)發(fā)生，所

以它們不是互斥事件.

(3)因?yàn)椤爸辽儆幸幻猩迸c“全是女生”不可能同時(shí)發(fā)生，所以它們互斥；由于它

們必有一個(gè)發(fā)生，所以它們互斥對(duì)立.

(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時(shí)，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”

同時(shí)發(fā)生，所以它們不是互斥事件.

［點(diǎn)評(píng)］判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立要依據(jù)試驗(yàn)的條件，考慮事件關(guān)系必須先考慮條

件.本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰

有2名男生”便是對(duì)立事件.

(10.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步練習(xí)

一、選擇題

1.拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件4“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件

B,則()

A.仁6

B.A=B

C.AU8表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

D.表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

2.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，分別有下列事件：

①恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)；

②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)：

③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；

④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).

其中，為互斥事件的是()

A.①B.②④C.③D.①③

3.一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是()

A.至多有一次擊中目標(biāo)B.三次都擊不中目標(biāo)

C.三次都擊中目標(biāo)D.只有一次擊中目標(biāo)

4.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次,每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)主｛兩次都擊中飛機(jī)｝，爐｛兩

次都沒(méi)擊中飛機(jī)｝,伊｛恰有一彈擊中飛機(jī)｝,少｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝,下列關(guān)系不正確的

是（）

A.A=OB.BC\D=0C.A<JC=DD.A[JC=B｛JD

5.（多選題）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對(duì)事

件中為互斥事件的是（）

A.恰有一名男生和全是男生B.至少有一名男生和至少有一名女生

C.至少有一名男生和全是男生D.至少有一名男生和全是女生

6.（多選題）從裝有大小和形狀完全相同的5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，

那么下列各對(duì)事件中，互斥而不對(duì)立的是（）

A.至少有1個(gè)紅球與都是紅球B.至少有1個(gè)紅球與至少有1個(gè)白球

C.恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球D.至多有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球

二、填空題

7.某人在打靶時(shí)，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次不中靶”的對(duì)立事件是,

8.中國(guó)乒乓球隊(duì)中的甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，“甲奪得冠軍”

為事件4“乙?jiàn)Z得冠軍”為事件8那么“中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍”用事件4與

8可表示為.

9.從一副撲克牌（去掉大、小王，共52張）中隨機(jī)選取一張，給出如下四組事件：

①“這張牌是紅心”與“這張牌是方塊”；

②”這張牌是紅色牌”與“這張牌是黑色牌”；

③“這張牌牌面是2,3,4,6,10之一”與“這張牌是是方塊”；

④“這張牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”與“這張牌牌面是兒K,Q,J

之一”.

其中互為對(duì)立事件的有.（寫出所有正確的編號(hào)）

10.設(shè)48是兩個(gè)任意事件，下面關(guān)系正確的是

①A+3=4;

②A+AB=A;

③A；

@A(A+B)=A-,

三、解答題

11.用紅、黃、藍(lán)三種不同的顏色給大小相同的三個(gè)圓隨機(jī)涂色，每個(gè)圓只涂一種顏色.

設(shè)事件A="三個(gè)圓的顏色全不相同"，事件8=“三個(gè)圓的顏色不全相同"，事件C=

“其中兩個(gè)圓的顏色相同"，事件"三個(gè)圓的顏色全相同”.

(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間.

(2)用集合的形式表示事件A,8,C,O.

(3)事件3與事件C有什么關(guān)系？事件A和3的交事件與事件。有什么關(guān)系？并說(shuō)

明理由.

12.記某射手一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)分別為事件A，B,C,

。，指出下列事件的含義：

(1)AUBUC；

(2)BDC；

(3)BUCUD-

U0.1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析

一、選擇題

1.拋擲一枚骰子，“向上的點(diǎn)數(shù)是1或2”為事件4,“向上的點(diǎn)數(shù)是2或3”為事件

B,則()

A.AEB

B.4=6

C.AU5表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

D.AflB表示向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3

【答案】C

【解析】由題意，可知A={1,2},B={23},則An4{l},AU4{l,2,3},AU6

表示向上的點(diǎn)數(shù)為1或2或3.

2.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)，分別有下列事件：

①恰有一個(gè)是奇數(shù)和恰有一個(gè)是偶數(shù)；

②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)：

③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)；

④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).

其中，為互斥事件的是（）

A.①B.②④C.③D.①③

【答案】C

【解析】①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)是相同的事件，故①不是互斥事件；

②至少有一個(gè)是奇數(shù)包含兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的情況，故②不是互斥事件；

③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)不能同時(shí)發(fā)生，故③是互斥事件；

④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一一個(gè)是偶數(shù)可以同時(shí)發(fā)生，故④不是互斥事件.故選：

C.

3.一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”的對(duì)立事件是（）

A.至多有一次擊中目標(biāo)B.三次都擊不中目標(biāo)

C.三次都擊中目標(biāo)D.只有一次擊中目標(biāo)

【答案】B

【解析】對(duì)于一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次擊中目標(biāo)”包含擊中一次、擊中

兩次和擊中三次兩個(gè)事件，因此它的對(duì)立事件是“三次都擊不中目標(biāo)”.

4.對(duì)空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)走｛兩次都擊中飛機(jī)｝，爐｛兩

次都沒(méi)擊中飛機(jī)｝,CH恰有一彈擊中飛機(jī)｝,廬｛至少有一彈擊中飛機(jī)｝,下列關(guān)系不正確的

是（）

A.AcDB.BQD=0C.ADC=￡>D.A\JC^B\JD

【答案】D

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,事件/包含于事件D,故力正確.對(duì)于選項(xiàng)B,由于事件B,〃不能同

時(shí)發(fā)生，故80。=0正確.對(duì)于選項(xiàng)C,由題意知正確.對(duì)于選項(xiàng)I）,由于ADC=。=｛至少

有一彈擊中飛機(jī)｝，不是必然事件；而3U。為必然事件，所以AU。#BU。，故D不正確.

故選：D

5.（多選題）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列各對(duì)事

件中為互斥事件的是（）

A.恰有一名男生和全是男生B.至少有一名男生和至少有一名女生

C.至少有一名男生和全是男生D.至少有一名