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認(rèn)證信息

認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：方**（實(shí)名認(rèn)證）

IP屬地：河北

IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-06-12 格式：PDF 頁(yè)數(shù)：31 大小：7.35MB 積分：12 舉報(bào) 版權(quán)申訴

絕密★啟用前

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國(guó)新課標(biāo)I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

L設(shè)2=言，則目=

A.2B.73C.aD.1

2.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則，”=

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知a=log20.2/=2°\c=0.2°',貝|

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是叵口

2

（嶼二!.ao.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人

2

體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是縣。,若某人滿足上述兩個(gè)黃金

2

分割比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

cinx-\-X

5.函數(shù)氏0=-----------^在［一兀，兀］的圖像大致為

cosx+x

6.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,…，1000,從這些新

生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4

名學(xué)生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)學(xué)生

7.tan255°=

A.一2一石B.-2+73C.2—6D.2+石

8.已知非零向量a,b滿足時(shí)=2網(wǎng)，且(a-b)_Lb,則a與的夾角為

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.

633~6

]

如圖是求2+Ip的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

9.

2+~

2

1,1

A.A=--------D.A=l+—

2+AA1+2A2A

x2y2

雙曲線：

10.C/5=l(tz>Q,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為

A.2sin40°B.2cos40°C.---------D.----------

sin50°cos50°

11./XABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,已知4sinA—bsin3=4csinC,cosA=——,

4

JS!l-=

c

A.6B.5C.4D.3

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳(—1,0),8(1,0),過Fi的直線與。交于A,3兩點(diǎn).若

\AF2\=2\F2B\9\AB\=\BF｛\,則。的方程為

222

Ax2_1y廠fy

A.-----Fy-1B.-----1---------1C.------1--------1D.------1--------=1

2-324354

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(f+x)e，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

3

14.記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若=1,53=—,則$4=.

3兀

15.函數(shù)/(x)=5M(2%+耳)-3cosx的最小值為.

16.已知/AC8=90°,P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)尸到/4C8兩邊AC,8c的距離

均為石，那么P到平面ABC的距離為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

n(ad-be?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(PX)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12?

記S”為等差數(shù)列｛&｝的前"項(xiàng)和，己知S9=-05.

(1)若。3=4,求｛如｝的通項(xiàng)公式;

(2)若ai>Q,求使得S2斯的n的取值范圍.

19.(12分)

如圖，直四棱柱ABC。TLBICLDI的底面是菱形，44i=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,4。的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面COE；

(2)求點(diǎn)C到平面CiDE的距離.

20.(12分)

已知函數(shù)/(無)=2siiu—xcosx-x,f(x)為于(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：/(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xG[0,兀]時(shí)，f(x)>ax,求a的取值范圍.

21.(12分)

已知點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，|A8|=4,?！ㄟ^點(diǎn)A,8且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+廣。上，求。M的半徑；

(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|M4|一|MP|為定值？并說明理由.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

X—1+產(chǎn)，

在直角坐標(biāo)系尤Oy中，曲線C的參數(shù)方程為。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。

kw4/

為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為

2pcos0+J3psin+11=0.

(1)求。和/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求。上的點(diǎn)到/距離的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b9c為正數(shù)，且滿足〃歷=1.證明:

(1)—+-+-<6Z2+/?2+C2；

abc

(2)(a+bp+(b+c)3+(c+>24.

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國(guó)新課標(biāo)I）

參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空題

5

13.y=3x14.15.-416.

三、解答題

17.解：

（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為，=0.8,因此男顧客對(duì)該商

50

場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

30

女顧客中對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的比率為—=0.6,因此女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率

50

的估計(jì)值為0.6.

、叱2100x（40x20-30x10）2,

（2）K2=----------------------a4.762.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

18.解：

（1）設(shè)｛4｝的公差為d.

由S9=得%+4d=0.

由的=4得ax+2d=4.

于是％=8,d=—2.

因此｛an｝的通項(xiàng)公式為an=10-2n.

（2）由（1）得q=—4d,故4=（“_5）d,S“=如［）一

由q〉0知d<0,故?！钡葍r(jià)于7廠—11〃+10”0,解得1W"W1O.

所以〃的取值范圍是｛"I啜卜10,neN）.

19.解:

(1)連結(jié)51GMs因?yàn)镋分別為5件3C的中點(diǎn)，所以ME〃與C,且

ME=g3]C.又因?yàn)镹為4。的中點(diǎn)，所以ND=gA0.

由題設(shè)知DC,可得4c4\D,故ME&ND,因此四邊形MNDE為平行四

邊形，MN〃ED.又MNU平面QDE,所以MN〃平面￡DE.

(2)過C作CiE的垂線，垂足為H.

由已知可得DELBC,DE1QC,所以DEL平面GCE,^LDE±CH.

從而C”，平面C}DE,故C”的長(zhǎng)即為C到平面QDE的距離，

由已知可得CE=1,CC=4,所以GE=47,故叵.

4xfi~7

從而點(diǎn)C到平面CXDE的距離為啖一.

20.解:

(1)設(shè)g(x)=/'(x),貝!Jg(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx.

jr/jr\jr

當(dāng)xe(0,5)時(shí)，g\x)>0；當(dāng)工6匕,兀)時(shí)，g<x)<0,所以g(x)在(0,萬(wàn))單調(diào)遞

增，在兀J單調(diào)遞減.

又g(0)=0,gd〉0,g(7T)=—2,故g(x)在(0,71)存在唯一零點(diǎn).

所以/'(X)在(0,7T)存在唯一零點(diǎn).

(2)由題設(shè)知/(兀)..〃兀,/(兀)=0,可得。柳.

由(1)知，/'(九)在(0,兀)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為七,且當(dāng)不￡(0,%)時(shí)，/(x)>0；

當(dāng)無￡(%,兀)時(shí)，f\x)<0,所以/(%)在(0,%)單調(diào)遞增，在(不㈤單調(diào)遞減.

又/(。)=。J(兀)=。，所以，當(dāng)犬￡[0,兀]時(shí)，/(%)..0.

又當(dāng)6,0,xe[0,7t]時(shí),ax<0,故/(%)..av.

因此，a的取值范圍是(-co,0].

21.解：(1)因?yàn)镸過點(diǎn)A,3,所以圓心〃在A8的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0

上，且A,3關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)。對(duì)稱，所以M在直線y=x上，故可設(shè)/(a,a).

因?yàn)镸與直線x+2=0相切，所以"的半徑為廠=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又MOLAO,故可得2/+4=(a+2)2,解得°=0或。=4.

故V的半徑r=2或r=6.

(2)存在定點(diǎn)尸(1,0),使得1MAi-IMP|為定值.

理由如下：

設(shè)M(x,y),由已知得M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2.

由于MOLAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡(jiǎn)得M的軌跡方程為J?=4x.

因?yàn)榍€C:y2=4x是以點(diǎn)P(l,0)為焦點(diǎn)，以直線x=—1為準(zhǔn)線的拋物線，所以

\MP\=x+l.

因?yàn)?%4HMp|=一|MP|=x+2-(x+l)=l,所以存在滿足條件的定點(diǎn)P.

[一產(chǎn)(vA2(12\dt2

22.解：(1)因?yàn)椤?＜二^＜1,且好+上=+—J=l,所以C的直角

1+-UJ(1+/(1+疔

2

坐標(biāo)方程為%之+?=1(%。一1).

I的直角坐標(biāo)方程為2%+0y+H=0.

x=cosa,

(2)由(1)可設(shè)。的參數(shù)方程為((a為參數(shù)，一兀＜。＜兀).

y=2sina

4cos|or-—|+11

「.I2cosdz+2v3rsin6Z+ll|I3)

C上的點(diǎn)到l的距離為'----------%----------[=-----'1)——.

V7V7

當(dāng)。=—§時(shí)，4cos(c—1]+11取得最小值7,故C上的點(diǎn)到/距離的最小值為近.

23.解：(1)+Z?2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>lac,Xabc-1,故有

ab+be+ca111

a+1)1+C1>ab+be+ca——+—

abcabc

所以工+工+!<。2+/?2+c2.

abc

(2)因?yàn)閍,瓦c為正數(shù)且abc=1,故有

(a+Z?)3+(Z?+c)3+(c+a)3>(a+Z?)3(Z?+c)3(a+c)3

=3(a+b)(b+c)(a+c)

>3x(2y[ab)x(2y[bc)x(2A/OC)

=24.

所以(a+bp+(b+cP+(c+q)3>24.

絕密★啟用前

2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（全國(guó)新課標(biāo)I）

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)z=2二匕，則|z|=

l+2i11

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化），求得z,再求|z|.

【詳解】因?yàn)閦==，所以Z=）〈六——（,所以

1+萬(wàn)（4z2-）2（12

目=符+,=拒,故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的計(jì)算.本題也可以運(yùn)用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)

直接求解.

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則3CVA

A,{1,6}B,{1,7}C.{6,7}D.

{1,6,7)

【答案】C

【解析】

【分析】

先求aA,再求5cgA.

【詳解】由已知得G7A={L6,7},所以BcgAn{6,7},故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查交集、補(bǔ)集的運(yùn)算.滲透了直觀想象素養(yǎng).使用補(bǔ)集思想得出答案.

0,203

3.已知a—log20.2,b=2,c=O.2,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.

b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】

運(yùn)用中間量。比較。，。，運(yùn)用中間量1比較b,c

023

【詳解】a=log20.2<log2l=0,Z，=2>2°=1,0<0.2°-<0.2°=1,則

0<c<l,a<c<b.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對(duì)數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取中間變量

法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

4.古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是避二1

2

（縣口=0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美人體

2

的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是好匚.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割

2

比例，且腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】

【分析】

理解黃金分割比例的含義，應(yīng)用比例式列方程求解.

【詳解】設(shè)人體脖子下端至腿根的長(zhǎng)為xcm,肚臍至腿根的長(zhǎng)為ycm,則

8=2ax得xa42075zy^.15cm.又其腿長(zhǎng)為105cm,頭頂至脖子下

xy+1052

端的長(zhǎng)度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取類比法，利

用轉(zhuǎn)化思想解題.

一地乙sinx+x.

5.函數(shù)尤）=--------^在［-兀，兀］圖像大致為

【答案】D

【解析】

分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正

確答案.

sin(-x)+(-x)—sinx—x

【詳解】由/（一幻=------------F=—/（%），得/（%）是奇函數(shù)，其圖象關(guān)

cos(_X)+(_x)?cosx+x

jro4+27r7T

于原點(diǎn)對(duì)稱.又/"（一）=-----=3—>1,/（不）=------7>0?故選D.

2（巧271一1+12

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取性

質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

6.某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1,2,1000,從這些新生

中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)

生中被抽到的是

A.8號(hào)學(xué)生B.200號(hào)學(xué)生C.616號(hào)學(xué)生D.815號(hào)

學(xué)生

【答案】C

【解析】

【分析】

等差數(shù)列的性質(zhì).滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).使用統(tǒng)計(jì)思想，逐個(gè)選項(xiàng)判斷得出答案.

【詳解】詳解：由已知將1000名學(xué)生分成100個(gè)組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號(hào)學(xué)

生被抽到，

所以第一組抽到6號(hào)，且每組抽到的學(xué)生號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列{4},公差d=10,

所以a0=6+10〃（HGN*）,

若8=6+10〃，則〃=工，不合題意；若200=6+10〃，則“=19.4,不合題意；

5

若616=6+10”,則”=60,符合題意；若815=6+10”，則〃=80.9,不合題意.故選

C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.

7.tan255°=

A.-2一6B.—2+百C.2一百D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步應(yīng)用兩角和的正切公式

計(jì)算求解.題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】詳解：

t°=an°+2°=：=

tan45?+tan30°^T=2+^

1-tan45tan30]也

-T

【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運(yùn)算求解能

力.

8.已知非零向量”，占滿足同=2網(wǎng)，且（a-b）1b,則a與方的夾角為

it?n-2兀八57r

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計(jì)算向量長(zhǎng)度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化

歸、數(shù)學(xué)計(jì)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).先由3-?，人得出向量。力的數(shù)量積與其模的關(guān)系，再利用向

量夾角公式即可計(jì)算出向量夾角.

【詳解】因?yàn)椋╝—力_Lb,所以（a—b）為/=0,所以所以

a-b|/?|21式

CO^=]III=2=7所以。與人的夾角為彳，故選B.

\a\-\b\2\b\23

【點(diǎn)睛】對(duì)向量夾角的計(jì)算，先計(jì)算出向量的數(shù)量積及各個(gè)向量的摸，在利用向量夾角公式

求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為[0/].

]

9.如圖是求2+」了的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入

2+-

2

C開始）

而a云/輸出彳/

B.A=2+—

A

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認(rèn)真分析式子結(jié)構(gòu)特

征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

1-J—1

【詳解】執(zhí)行第1次，4=二次=1<2是，因?yàn)榈谝淮螒?yīng)該計(jì)算c1=-~:,k=k+l=2,

循環(huán)，執(zhí)行第2次，k=2<2,是，因?yàn)榈诙螒?yīng)該計(jì)算2+」T=」一，k=k+l=3,

2+12+A

2

循環(huán)，執(zhí)行第3次，k=2<2,否，輸出，故循環(huán)體為A=^^,故選A.

2+A

【點(diǎn)睛】秒殺速解認(rèn)真觀察計(jì)算式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知循環(huán)體為A=

2+A

10.雙曲線C:=-[=l（a〉O,b〉O）的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

A.2sin40°B.2cos40°

sin50°

cos50°

【答案】D

【解析】

【分析】

由雙曲線漸近線定義可得上=tanl300,.-.-=tan50°，再利用e=￡=+求雙曲

aaa'(aJ

線的離心率.

bb

【詳解】由已知可得——=tan130°=tan50°,

aa

2

e=^=Jl+f-T=A/1+tan50°=卜in2500+cos250°_1

?yUJVcos250°Vcos250°cos50°

故選D.

22

【點(diǎn)睛】對(duì)于雙曲線:__211(。>0,z?>o)對(duì)于橢圓

/b-

□.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA—6sinB=4csinC,cosA=——,

4

b

貝|J—=

c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推論得出。，b,c關(guān)系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得標(biāo)—加=4°2,由余弦定理推論可得

1,b2+c2-a2c2-4c213c1b3.,,,?

——=cosA=------------,二---------=——,一=一,;.—=—x4=6,故選A.

42bc2bc42b4c2

【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應(yīng)用.

12.已知橢圓C的焦點(diǎn)為4(-1,0)，心(1,0),過B的直線與C交于A,8兩點(diǎn).若

IAgl=2|F2B\,|AB\=\BF],則C的方程為

22222

,X21

A.——+y=1B.土+匕=1C.土+匕=1D.

23243

54

【答案】B

【解析】

【分析】

可以運(yùn)用下面方法求解：如圖,由已知可設(shè)叵用=〃，則叫=2〃,防=即=3〃,

由橢圓的定義有2〃=忸周+忸司=4〃,.\|AZ^|=2a—\AF2\=2n.在/\AFXF2和

4孔2+4-2?2〃?2?cos44工K=4n2,

中，由余弦定理得＜又互補(bǔ),

2

/+4-2?〃?2?cosZBF2F1=An

兩式消去用片，瑪耳，得

/.cosZAF2FX+cosZBF2Fr=0,cosNAcosNB3/+6=11/，

解得n=./.2〃=4〃=2A/3，.二a=y/3,/.b2=a2—c2=3—1=2,/.所求橢圓方程為

2

22

—+^=1,故選B.

32

【詳解】如圖，由已知可設(shè)|與目="，則=忸E|=|AB|=3"，由橢圓的定義有

2a=\BF^\BF^=^n,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在45中，由余弦定理推論得

4n2+9n2-9n21

cosZEAB―—~.在△MB中，由余弦定理得

12-2n-3n3

4n2+4/22-2-2n-2n--=4,解得“=止

32

2a=4n=2乖）,a—A/3,b2=a~—c2—3—1—2,所求橢圓方程為--1-=1,故

32

選B.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,

很好的落實(shí)了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+x)］在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為.

【答案】3x7=0.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式求得

切線方程

【詳解】詳解：y=3(2x+V)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,

所以，k=y'|x=0=3

所以，曲線y=3(f+x)ex在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，二導(dǎo)致計(jì)

算錯(cuò)誤.求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求.

3

14.記5為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和.若％=1,S3,則S4=.

【答案】|.

8

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關(guān)于等比數(shù)列公比q的方程，應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算得到

54.題目的難度不大，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.

【詳解】詳解：設(shè)等比數(shù)列的公比為4,由已知

31

§3=4+%q+%q2=1+q+,即+^+—=0

解得q二一;，

1-(-；廣

所以S4=qa—d)5

1—q1-(-^)8

【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及幕的乘方運(yùn)算、繁分式分式

計(jì)算，部分考生易出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用己知計(jì)算

33

S4=S3+a4=S3+aiq=^+(-1)=|,避免繁分式計(jì)算.

15.函數(shù)f(x)=sin(2%+—)-3cos%的最小值為

【答案】-4.

【解析】

【分析】

本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角余弦，進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于

27Z-J—的二次函數(shù)?題目有一定的綜合性，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)算求解

Ko

能力的考查.

【詳解】

//3兀、2

/(=-x)+sx

=-2x+—2+一，

48

-1<COSX<1,，當(dāng)COSX=1時(shí)，Znin(X)=-4,

故函數(shù)/(元)的最小值為T.

【點(diǎn)睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視-KcosxWl的限制，而簡(jiǎn)單應(yīng)用二次函數(shù)

的性質(zhì)，出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

16.己知/ACB=90°,尸為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2,點(diǎn)尸到/ACB兩邊AC,BC的距離均

為百，那么P到平面ABC的距離為.

【答案】V2.

【解析】

【分析】

本題考查學(xué)生空間想象能力，合理畫圖成為關(guān)鍵，準(zhǔn)確找到P在底面上的射影，使用線面

垂直定理，得到垂直關(guān)系，勾股定理解決.

【詳解】作分別垂直于P。，平面ABC,連CO,

知CDLPD,CD工PO,PDOD=P,

\CDA平面PD。，ODu平面PDO,

:.CDLOD

:PD=PE=6PC=2.sinZPCE=sinZPCD)

2

NPCB=NPCA=60°，

.-.PO1CO,CO為NACB平分線，

ZOCD=45°<9D=CD=1,OC=0,又PC=2,

PO=44^2=42-

【點(diǎn)睛】畫圖視角選擇不當(dāng)，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關(guān)系，問題即很難

解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關(guān)系利于觀察，解

題事半功倍.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（-）必考題：60分。

17.某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

n{ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

p(X2^)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

43

【答案】（1）—；

（2）能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【解析】

【分析】

（1）從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算

出相應(yīng)的頻率，即估計(jì)得出的概率值；

（2）利用公式求得觀測(cè)值與臨界值比較，得到能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服

務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【詳解】(1)由題中表格可知，50名男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意的有40人,

404

所以男顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為《=*=g，

50名女顧客對(duì)商場(chǎng)滿意的有30人，

303

所以女顧客對(duì)商場(chǎng)服務(wù)滿意率估計(jì)為鳥

100(40x20—30x10)2

(2)由列聯(lián)表可知K?=——?4.762>3,841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用頻率來估計(jì)概率，利

用列聯(lián)表計(jì)算K?的值，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡(jiǎn)單題目.

18.記S,為等差數(shù)列｛3｝的前"項(xiàng)和，已知S9=-a5.

(1)若。3=4,求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若ai>Q,求使得SE的n的取值范圍.

【答案】(1)a?=-2n+10；

(2)l<n<10(neN*).

【解析】

【分析】

(1)首項(xiàng)設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題的條件，建立關(guān)于4和d的方程組，求得為

和d的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意有%=0,根據(jù)％〉0,可知d<0,根據(jù)S“〉a”，得到關(guān)于”的不等式，

從而求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4，公差為d,

c9x87.…

9a,+-----d=-(CL+4d)

根據(jù)題意有《“2",

q+2d=4

a=8

解答《,所以=8+(〃—l)x(—2)=-2〃+10,

a=-2

所以等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=-2〃+10；

(2)由條件39=-。5，得9%=-。5，即。5=0，

因?yàn)閝>0,所以d<0,并且有的=4+4d=。，所以有。i=-4d,

由Sn2a“得叫+”(<)d>ai+(n-v)d,整理得(/_9md>(2〃-10)d,

因?yàn)閐<0,所以有〃2—9/<2〃—10，即A?—n〃+10<0，

解得1?九《10,

所以〃的取值范圍是：

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列

的求和公式，在解題的過程中，需要認(rèn)真分析題意，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.

19.如圖，直四棱柱ABC。-AiBiC。/的底面是菱形,AAi=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,ALD的中點(diǎn).

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求點(diǎn)C到平面ODE的距離.

【答案】(1)見解析;

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線和AC可證得ME/JND，證得四邊形MNDE為平行四邊形,

進(jìn)而證得ACV//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-CDE的體積，再求出ACQE的面積，利用VCi_CDE=Vc_CiDE

求得點(diǎn)c到平面C]DE的距離，得到結(jié)果.

【詳解】（1）連接ME,B￡

M,E分別為34，BC中點(diǎn)為M8C的中位線

ME//BC且ME=工BC

12

又N為4。中點(diǎn)，且4。〃及。:.NDIIB?且ND=LB0

MEHND四邊形MNDE為平行四邊形

:.MN!/DE,又肱Vz平面GOE，DEI平面G^E

:.MN//平面C0E

（2）在菱形A3CD中，￡為中點(diǎn)，所以

根據(jù)題意有DE=6，C[E=后,

因?yàn)槔庵鶠橹崩庵?，所以有DEL平面3CG4,

所以DELEG，所以%EGJX百xg'

設(shè)點(diǎn)C到平面CQE的距離為d,

x

根據(jù)題意有VC『CDE=VC-GDE>貝!1有一x—義xd——x—xlxy/3x4,

3232

解得［=厘=""7,

歷17

所以點(diǎn)C到平面C.DE的距離為生叵.

17

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，點(diǎn)到平面

的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋

找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.

20.已知函數(shù)無)=2sinr—尤cos尤一無，f(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)證明：，(無)在區(qū)間(0,%)存在唯一零點(diǎn)；

(2)若xd