2022年暑假滬教版新九年級數(shù)學-第10講 銳角三角比的意義

第10講銳角三角比的意義

【學習目標】

銳角的三角比的意義是九年級數(shù)學上學期第二章第一節(jié)的內(nèi)容.銳角三角比的概念是以相似三角形為

基礎建立起來的，本講主要講解銳角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重點是會根據(jù)直角三角形中兩邊

的長求相應的銳角的三角比的值，難點是在幾何圖形和直角坐標系中靈活運用銳角的三角比進行解題，為

解直角三角形做好準備.

【基礎知識】

正切和余切

1.正切

直角三角形中一個銳角的對邊與鄰邊的比

叫做這個銳角的正切(tangent).銳角4的正切記作tanA

,銳角朋對邊BCa

一銳角加勺鄰邊一耘一丁

2.余切

直角三角形中一個銳角的鄰邊與對邊的比

叫做這個銳角的余切(cotangent).銳角A的余切記作cotA.

/\.--銳--角--朗---勺--鄰-邊--A-C--b

一銳角糊對邊一前一7

二：正弦和余弦

L正弦

直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的比

叫做這個銳角的正弦(sine).銳角力的正弦記作sin人

銳角瑚對邊BCa

sinA=

^ABc

2.余弦

直角三角形中一個銳角的鄰邊與斜邊的比

叫做這個銳角的余弦(cosine).銳角A的余弦記作cos>4.

銳角糊鄰邊二A。二匕

cosA=

Ma一耘工

三：銳角的三角比

一個銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個銳角的三角比.

\定義表達式取值范圍相互關系

tanA>0

正ZA的對邊“a「b

tan4A=-----,,人、,tanA=一tanB=—（/A為銳

切ZA的鄰邊ba

角）“1

tanA=------

cotA>0cotA

余*.ZA的鄰邊,b

cotA=—cotB=—（N4為銳

切ZA的對邊ab

角）

0<sinA<l

正.,ZA的對邊.4a?nb

smA=一sm8=一（N4為銳

弦斜邊ccsinA=cos（90°-ZA）

角）

0<cosA<l

余.ZA的鄰邊,b「acosA=sin（90°-ZA）

cosA=——-----cosA=—cosB=—(N幺為銳

弦斜邊cc

角)

【考點剖析】

考點一：正切和余切

[']例1.如圖，在用AABC中，ZACB=90°,NA的對邊是,NA的鄰邊是

的對邊是,的鄰邊是

【難度】★

【答案】BC；AC；AC；BC.

【解析】在直角三角形中，銳角的對邊是指該銳角相對的直角邊,

鄰邊是指該銳角相鄰的直角邊，直角所對的邊叫斜邊.

【總結(jié)】考查學生對“對邊、鄰邊”的概念理解.

例2.如圖，在用AMZVP中，ZMPN=90。,PQLMN,垂足為點Q.

(1)在3AMNP中,NN的對邊是,的鄰邊是

在RfAMPQ中，的對邊是,/M的鄰邊是

(2)在MA中，NN的對邊是/WP;在中，NN的鄰邊是NQ.

(3)NMPQ的鄰邊是,NNPQ的對邊是.

【難度】★

【答案】（1）PN；MP；PQ-,MQ-.（2）RtAMNP；RtAPQN；

（3）PQ-,NQ.

【解析】圖中有3個直角三角形，同一個銳角有可能屬于兩個直角三角形，注意審題清楚即

可.

【總結(jié)】考查“對邊、鄰邊”的基礎概念.

[^2]例如圖，在&AMZVP中，ZMPN=90°,PQLMN,垂足為點Q.

（用正切或余切表示）

【難度】★

【答案】（1）PQ；MP；（2）tanN；tanN.

【解析】直角三角形中一個銳角A的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切（tanA）,表示一個角的正切,

先判定該銳角屬于哪個直角三角形，再找對應的對邊和鄰邊.

【總結(jié)】考查學生對銳角的正切的定義及理解.

4.在RAABC中，ZC=90°,AC=4,BC=5,求tanA、cotA.tanB、cotB的值.

【難度】★

【答案】tanA=*,cotA=—,tanB=—,cotB=—.

4554

【解析】畫示意圖，很直觀的可以確定銳角的對邊和鄰邊，N幺和NB的正切和余切即可表示.

【總結(jié)】考查學生對銳角的正切和余切的理解.

4

例5.在加AABC中，ZC=90°,AC=4,AB=5,求tanA、cottanB、cotB的值.

【難度】★

【答案】------

4334

【解析】畫示意圖（略）,由勾股定理求得BC=3,再來表示NA,的正切和余切值.

【總結(jié)】求解銳角三角比，要求學生畫示意圖，明確直角邊和斜邊，從上一例題和這題可以看出互為余角

的兩銳角的正切和余切值相等.

P例6.如圖，矩形ABC。中，對角線AC、B。相交于點0,已知OA=2,AB=3,求tan/O4D和cotNODC

的值.

【難度】★★

【答案】tanZOAD=-yfl,cotZODC=-.

77

【解析】矩形的對角線互相平分且相等，所以47=9=204=4,

AB=3,所以3c=77,在直角三角形ADC中，

tanNOA。=C2=於=』/，因為NQ4D與/ODC互余，

AD幣1

3r-

所以cotZODC=tanZOAD=—.

7

【總結(jié)】結(jié)合矩形考查銳角的正切和余切，需要對矩形的性質(zhì)熟練運用.

[\]例7.如圖，已知正比例函數(shù)y=垃x的圖像上有一動點4x軸上有一動點B,求tanAAOB和cotZAOB

的值.

【難度】★★_

【答案】亞率

【解析】過點A作AC垂直于x軸，設川尤,缶卜

且點A在第一象限，所以AD=&x,OD=x,

因為ZADO=90,所以tanNAO。=0;cotNAO。=也

2

【總結(jié)】考查銳角的正切和余切，當沒有直角三角形時，需要構造直角.

3

例8.已知，在RA4BC中，ZC=90°,BC=9,tan>4=一.求：（1）AB的長；（2）tanB的值.

4

【難度】★★

【答案】(1)AB=15;(2)tan^|

【解析】畫示意圖（略），在用AABC中，ZC=90°,tan=A=—=-,VBC^9,

AC4

AAC=12.由勾股定理，得"=15；tanB=2C=d,也可由互余的兩個銳角的正切值乘積為1算得.

BC3

【總結(jié)】考查銳角的正切值的基礎運用，學生需要利用已知的三角比來求解相關線段.

考點二：正弦和余弦

1^1例1.如圖，在應AMZVP中，ZMPN=90°,PQ1MN,垂足為點Q.

⑵M—'舞:一'（用正弦或余弦表示）

【難度】★

【答案】(1)PQ;MN(2)sinN或cosNPQ；cosM或sinMPQ.

【解析】sin?=^f,cosa=1^|,理解了這個定義，再確定

斜邊斜邊

直角三角形，當a、〃互余時，sina=cos/?,cosa=sinp,所以第（2）均有兩解.

【總結(jié)】考查銳角的正弦和余弦的定義及求解方法.

1^2］例2.在用AABC中，ZC=90%AC=4,AB=5,

求sin4cosA,sinB,cosB的值.

【難度】★

43

【答案】一，一

5555

【解析】畫示意圖（略），由勾股定理，得BC=3,sinA=cosB^-=-,

AB5

cosA=sinB=—=-

AB5

【總結(jié)】考查銳角的正弦值和余弦值的求解.

例3.在咫AABC中，ZC=90°,AC=4BC=5,求sin4cos/4,sinB,cosB的值.

【難度】★

【答案】3屈,—A/41,—A/41,—741.

41414141

【解析】畫示意圖（略），由勾股定理，得AB=ai,sinA=cosB=9=Y==W屈,

AB74141

cosA=sinB=—=-^==—J41.

AB國41

【總結(jié)】考查銳角的正弦和余弦.

例4.如圖，在直角坐標平面內(nèi)有一點P（2,3）.求0P與X軸正半軸的夾角c的正弦和余弦的值.

【難度】★

【答案】sina=』，5三，cosa.

1313

【解析】過點P作PH垂直于x軸，則的=2,PH=3

由勾股定理，得。尸=15,sina=￡^=3Jim,cos（z=4^=Zjim.

OP13OP13

【總結(jié)】考查作垂線構造直角三角形求解銳角的正弦和余弦.

3

例5.已知，在加AABC中，ZC=90°,BC=9,sinA=—

4

求：（1）AB的長；（2）sinB的值.

【難度】★

【答案】(1)AB=12；(2)sinB=—.

4

Be3

【解析】(1)在R/AABC中，sinA=——=-,VBC=9,/.AB=12;

AB4

(2)由勾股定理，得AC=3A/7，sinB=—=^=^.

AB124

【總結(jié)】考查學生對知識的逆向運用，已知銳角的正弦值,求解相關線段長.

2

例6.已知，在及AABC中，ZC=90°,sin4=-求sinB的值.

3

【難度】★★

【答案邛.

【解析】在祖AABC中，sinA=—=-,設3c=2左仕wO),貝1|AB=34，AC=yf5k,

AB3

sinB=—

ABIF-V

【總結(jié)】考查銳角三角比之間的相互轉(zhuǎn)換，運用了“設左法”.

考點三：銳角的三角比

［'口例L如圖，在R'ASC中，NC=90°，AB=5,BC=4,求NA的四個三角比的值.

【難度】★

［答案】sinA=—；cosA=-；tanA=—；cotA=—.

5534

【解析】由勾股定理，得AC=3,根據(jù)正弦、余弦、正切、余切

4343

的定義求解得sinA=—；cosA=—；tanA=—；cotA=—.

5534

【總結(jié)】考查同一個銳角的四個三角比的定義.

主］例2.在中，ZC=90%BC=3,tan/l=|,求4的四個三角比的值.

B

【難度】★

【答案】sinB,cosB=—,tanB=—,cotB=—.

5534

【解析】已知tanA=g^=。，又???5C=3,AC=4,

AC4

由勾股定理，得AB=5,根據(jù)正弦、余弦、正切、余切的定義得

4343

sin5=cosB=—,tanB=—,cotB=—.

5534

【總結(jié)】考查銳角的三角比的基礎運用.

例3?在咫AABC中，ZC=90°,sinB=|,求sinA、cosA>tanA和cotA.

【難度】★★

【答案】sinA=,cosA=—,tanA=,cotA=—.

4437

3L

【解析】：sin3=2,.?.設AC=3左,AB=4Z,由勾股定理，得BC=由三角比的定義

4

得sinA=,cosA=—,tanA=—,cotA=▲夕.

4437

【總結(jié)】考查“設左法”求銳角的三角比的值.

例4.在血A/WC中，ZC=90°,AB=13,BC=12,AC=5,求sinA、cosA、tanA和cotA.

【難度】★★

【答案1sinA=—,cosA=—,tanA=—,cotA=—.

1313512

【解析】本題條件充足，三條邊都給了，并且是直角三角形，畫示意圖（略）直接求得

?A124541245

sinA—9cosA—,tanA—,cotA—?

1313512

【總結(jié)】考查銳角的三角比的定義.

22］例5?已知等腰AABC中，底邊BC=20cm,面積為40cm2,求sinB和tanC.

【難度】★★

r死安、.R2曬,?2

【答案】sin5=-------，tanC=—.

295

【解析】畫示意圖，過點A作AO_LBC,垂足為。，則8O=gBC=10,5AAsc=<BC-AD=40,

BC

D

求得A￡>=4,由勾股定理，得A3=2后,

sinB=^4_2A/29

在RtAABD中,

AB2A/29-29

42

在RtAACD中，tanC=^

CD105

【總結(jié)】結(jié)合等腰三角形考查銳角三角比的求解，運用等腰三角形三線合一構造直角.

例6?如圖，在自2VU5C中，ZABC=90。,BD_LAC,若AB=9,BC=12,求sinA、cosa、tan4、

cotC的值.

【難度】★★

■生生.44八44

【答案】sinA=—,cosa=—,tanff=—cotC=—?

553f3

【解析】由勾股定理，WAC=15,VBD±AC,

可知a=NC,B—NA，sinA=BQ=—=—,

AC155

BC4萬45cl24BC4

coscc—cosC=-----=—,tan[3—tanA———，cotC——

AC5AB93AB3

【總結(jié)】考查互余角之間三角比的轉(zhuǎn)換，本題也可求解即，AD,CD的長去表示a,4的三角比.

4

例7.如圖，在R/AABC中，NC=90。，點D在邊8C上，AD=BD=5,smZADC=~,

5

求cosNABC和tanNABC的值.

【難度】★★

?f-1

【答案】cosZABC=—sj5tanZABC=—.

592

4

【解析】-.-zc=90,sinZADC=—=—，

AD5

VAD=5,：.AC=4,CD=3,BC=CD+BD=3+5=8,

由勾股定理，^AB=4yf5,：.cosZABC=—=-V5,tanZABC=-=-.

AB5BC2

【總結(jié)】結(jié)合直角三角形的性質(zhì)，考查銳角三角比的基礎運用.

］例8.在直角坐標平面內(nèi)有一點A(3,1),點A與原點。的連線與x軸正半軸的夾角為2,求sine、

【難度】★★

【答案】sina=,cosa=—J10,tana,cote=3.

10103

【解析】畫示意圖，過點A作A8垂直于x軸，垂足為H,

,/A(3,l),AOH^3,AH=1,由勾股定理，得49=而,

根據(jù)三角比的意義，得51口。=建°,cosa=a^/13,tan(7=-,cot6Z=3.

10103

【總結(jié)】結(jié)合坐標系考查三角比的意義，過點向坐標軸作垂線構造直角三角形.

2x-l與x軸所夾的銳角為a,求tana和sina的值.

【答案］sina=,tana=2.

【解析】畫示意圖，一次函數(shù)y=2x-l與x軸交于點《1,0

與y軸交于點8（0,-1）,AB=1A/5,NOAB=a,

則sina=tancr=,代入得sine=tana=2.

ABOA5

【總結(jié)】本題結(jié)合一次函數(shù)，考查銳角三角比的意義.

亡］例10.直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8,現(xiàn)將AABC如圖那樣折疊，使點A與點8重合,

折痕為。E,求sinNCBE的值.

【難度】★★

7

【答案】sinZCBE=—.

25

【解析】由題意，得AB=10,因為翻折，所以BE=AE,BD=AD=5

設AE=3E=x,貝1JCE=8-x,在直角三角形BCE中，BC2+CE2=BE2,

即36+（8-尤）2=/，解得尤=生，所以CE=?,所以sinNCBE=C^=Z.

44BE25

【總結(jié)】考查圖形運動一一翻折，利用翻折的性質(zhì)求解銳角三角比.

、1例11.如圖，在平行四邊形ABCZ）中，AB=10,ZB為銳角，sinB=d,tanZACB=-,

__J52

求A。、AC的長.

【難度】★★

【答案】AO=22,AC=8A/5.

【解析】過點A作AELBC,

4

AB=10,sinZABC=-,

5

AE=8，BE=6,

VtanZACB=—=-,EC=16,AC=8若，:.BC=22,根據(jù)平行四邊形對邊相等，AD=22,

EC2

綜上所述，AD=22,AC=8亞.

【總結(jié)】結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)考查銳角三角比的應用.

12.如圖，在AABC中，AB=20,BC=21,AC=13,求NACB的四個三角比的值.

【難度】★★

、、125125

【答案】設ZACB=tz,則sincr=—，costz=一,tancr=一，cot?=一.

1313512

【解析】過點A作ADL2C,垂足為D,

由AB=20,BC=21,AC=13,設CD=x,貝ijBO=21-x,

根據(jù)AD2=AB2-BD-=AC2-CD2

得：2。2-（21-元）2=132-無2,解得x=5,

、.125125

則AZ）=12,設=asina=一，cosa=—，tancr=一，cota=一.

1313512

【總結(jié)】考查解銳角三角形，已知三邊，采用作高不設高的方法.

【過關檢測】

一、單選題

3

1.（2019?上海九年級期中）已知：R3ABC中，ZC=90°,sinB=-,貝ItanA等于（）

3544

A.-B.—C.—D.一

5353

【答案】D

【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，結(jié)合勾股定理，用同一個未知數(shù)表示直角三角形的三邊；再根據(jù)

銳角三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】解：

A

3

由sinB=-,可設NB的對邊是3k,斜邊是5k.

貝IJNB的鄰邊是4k.

4

/.tanA=—.

3

故選：D.

【點睛】理解銳角三角函數(shù)的概念.

2.（2019?上海九年級期中）把△ABC的各邊長都增加兩倍，則銳角A的正弦值（）

A.增加2倍B.增加4倍C.不變D.不能確定

【答案】C

【分析】設銳角△ABC的三邊長為a,b,c,AC邊上的高為h,貝ljsinA=2,如果各邊長都擴大2倍，則

c

2hh

AC邊上的高為2h,則sinA=——=—即可得出答案.

2cc

【詳解】解；

h

設銳角△ABC的三邊長為a,b,c,AC邊上的高為h,貝?。輘inA=一,

c

如果各邊長都擴大2倍，則AC邊上的高為2h,

.2hh

sinA=——二—,

2cc

故NA的正弦值大小不變，

故選：C.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.

3.（2021?上海九年級一模）在處AABC中，ZC=90°，那么銳角A的正弦等于（）

銳角A的對邊銳角A的對邊銳角4的鄰邊銳角聞勺鄰邊

A.B.C.

銳角A的鄰邊斜邊斜邊銳角朗勺對邊

【答案】B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可直接得出結(jié)果.

銳角A的對邊

【詳解】在R/AABC中，ZC=90°.那么銳角A的正弦=

--

故選：B.

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎題，需要熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義.

4.(2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學九年級期中)如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P(3,4),那么OP

4

D.

【答案】C

【分析】如圖作PHLx軸于H.根據(jù)cota=——.

PH

【詳解】如圖作軸于H

VP(3,4),

：.OH=3,PH=4,

OH3

cotcc-----

PH4

故選c.

【點睛】本題考查解直角三角形，解決本題需注意①初中階段三角函數(shù)是在直角三角形中計算的，所以如

果沒有直角三角形需構造直角三角形；②要能根據(jù)點的坐標表示相應線段的長度；③理解余切的定義，會

根據(jù)定義表示線段之比.

5.（2021.上海九年級一模）在HMABC中，NC=90。，那么cosA等于（）

BCACAC

A.——B.——D.-----

ABABBC

【答案】B

鄰邊

【分析】作出草圖,根據(jù)銳角的正弦=列式即可.

斜邊

【詳解】解：如圖，VZC=90°,

AC

AB

故選：B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

6.（2021?上海九年級一模）如果銳角a的正切值為且，那么下列結(jié)論中正確的是（

)

2

A.6Z=3O°B.a=60°C.30°<a<45°D.45°<a<60°

【答案】C

【分析】利用30度角和45度角的正切值與角a的正切值比較，即可得到答案.

【詳解】：tan3（r=g,tana=#,tan45o=l，（g）?=g（￥）2=],

-13,

而一〈一〈1,

34

???300<?<45°,

故選：C.

【點睛】此題考查各角的正切值，實數(shù)的平方運算，實數(shù)的大小比較，熟記各角度的三角函數(shù)值是解題的

關鍵.

二、填空題

7.（2019?上海市閔行區(qū)七寶第二中學九年級期中）已知在八45。中，ZC=90°,AC=3,AB=4,那么

tanA=____________

【答案】叵

3

【分析】先利用勾股定理計算BC的長度，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義可求得tanA的值.

【詳解】如圖，在RtAABC中，

VZC=90°,AC=3,AB=4

..?根據(jù)勾股定理5C=VAB2-AC2=A/42-32=A/7.

??3=史=立

AC3

故哼

Q

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解決本題需注意①熟記正切的計算方法是解決本題的關鍵；②可

先根據(jù)題意畫出相應的圖象，這樣方便正確找出對應的線段.

2

8.（2020?上海九年級期末）在AABC中，若NC=90°，AB=10,sinA=-,則BC=

【答案】4

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinA=2=0C,代入求出即可.

5AB

【詳解】解:

2

sinA=—=,AB=10,

5AB

二.BC=4,

故答案為4.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關鍵.

9.（2019?上海九年級單元測試）如果方程x2-4x+3=0的兩個根分別是RtAABC的兩條邊，△ABC最小的

角為A,那么tanA的值為

【答案】—1或J在?

34

【角軍析】解方程x2-4x+3=0得，xi=l,X2=3,

①當3是直角邊時，:△ABC最小的角為A,???tanA=,；

3

②當3是斜邊時，根據(jù)勾股定理，NA的鄰邊=斤了=20，?,?tanA=-l==^;

所以tanA的值為工或

34

10.（2019?上海九年級期中）如圖，RSABC中，ZC=90°,BC=4,AC=6,現(xiàn)將△ABC沿ED翻折，使

點A與點B重合，折痕為DE,貝Utan/BED的值是.

【分析】由翻折的性質(zhì)可知EDLAB,ZDEA=ZDEB,然后可證明/BED=NABC,最后根據(jù)銳角三角函

數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：由翻折的性質(zhì)可知：ED±AB,ZDEA=ZBED.

VZA+ZDEA=90°,ZCBA+ZA=90°,

???NDEA=NCBA.

???NBED二NCBA.

AC3

tanZBED=tanZCBA=-----=—.

BC2

3

故答案為：一.

2

【點睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，證得NBED=NCBA是解題的關鍵.

11.（2019?上海九年級單元測試）已知J[sina—=；-sina，則銳角々的取值范圍是.

【答案】0<a<30°

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得出sina$L,再由銳角正弦函數(shù)的增減性質(zhì)可得出結(jié)論.

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【詳解】由題意知L-sinaNO,故sinaS,，即sineWsin30。，由正弦函數(shù)是增函數(shù).

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知0<aW30°

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和正弦函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值是解題關鍵.

12.（2019?上海九年級單元測試）如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃:BC,NDBC=45。，翻折梯形ABCD,

使點B重合于點D,折痕分別交邊AB、BC于點F、E,若AD=2,BC=8廁（1）BE的長為.（2）ZCDE

的正切值為.

【分析】（1）由軸對稱的性質(zhì)可以得出△BFE絲ADFE,從而得出DE=BE,由/DBC=45。可以得出

ZBED=90°,過A作AG_LBC于G,