文化融匯：抵達(dá)深度課堂的應(yīng)燃路徑 論文

文化融匯：抵達(dá)深度課堂的應(yīng)然路徑摘要：基于教材中“大數(shù)的分級(jí)和分節(jié)”，反思中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化與國(guó)際接軌的必要性。通過(guò)剖析數(shù)學(xué)文化蘊(yùn)含的學(xué)術(shù)、課程與學(xué)習(xí)三種形態(tài)，構(gòu)建數(shù)學(xué)由史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的路徑。并以解決問(wèn)題的課例觀照變式教學(xué)中“一題多解”“一題多變”和“多題一解”的特質(zhì)，闡述數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，賦予課堂以深度生長(zhǎng)的力量。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)教學(xué)；變式一、互鑒：以“大數(shù)的分級(jí)和分節(jié)”為例《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中?！辈?duì)數(shù)學(xué)文化滲透的內(nèi)容進(jìn)行定位：“教材可以適時(shí)地介紹有關(guān)背景知識(shí)，包括數(shù)學(xué)在自然與社會(huì)中的應(yīng)用，以及數(shù)學(xué)發(fā)展史的有關(guān)材料?！蓖瑫r(shí)，還厘清數(shù)學(xué)文化融入的價(jià)值：“幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美?！弊裱n標(biāo)要求，不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中都相應(yīng)設(shè)置了“你知道嗎”欄目，有目的地將數(shù)學(xué)文化予以滲透。如蘇教版四（下）的“認(rèn)識(shí)多位數(shù)”和部編人教版四（上）的“大數(shù)的認(rèn)識(shí)”，它們對(duì)“數(shù)的分節(jié)和分級(jí)”相關(guān)數(shù)學(xué)文化知識(shí)都進(jìn)行了介紹。如圖1、圖2。圖1圖2以“自然數(shù)分級(jí)和分節(jié)的讀寫”為例，數(shù)位的讀法因民族傳統(tǒng)文化不同而呈現(xiàn)差異樣態(tài)?；跐h語(yǔ)的漢藏語(yǔ)系，其數(shù)位基數(shù)為四，即“四位一級(jí)”。一（個(gè)）、十、百、千（個(gè)級(jí)計(jì)數(shù)單位）；萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)（萬(wàn)級(jí)計(jì)數(shù)單位）；億、十億、百億、千億（億級(jí)計(jì)數(shù)單位）；兆、十兆、百兆、千兆（兆級(jí)計(jì)數(shù)單位）……可知，個(gè)、萬(wàn)、億、兆相對(duì)應(yīng)的數(shù)位為第1、5、9、13，差值為4。四位分級(jí)的讀法為幾兆幾億幾萬(wàn)幾。而基于拉丁語(yǔ)的印歐語(yǔ)系，其數(shù)位基數(shù)為三，即“三位一節(jié)”。一（個(gè)）、十、百（第一節(jié)計(jì)數(shù)單位）；千、十千、百千（第二節(jié)計(jì)數(shù)單位）；百萬(wàn)、十百萬(wàn)、百百萬(wàn)（第三節(jié)計(jì)數(shù)單位）；十億、十十億、百十億（第四節(jié)計(jì)數(shù)單位）……其中個(gè)、千、百萬(wàn)、十億所代表的數(shù)位分別為第1、4、7、10，差值為3。三位分節(jié)的讀法為幾十億幾百萬(wàn)幾千幾。兩種規(guī)則下的數(shù)位讀法不同，但用符號(hào)寫數(shù)則一致。可見(jiàn)，利用數(shù)位符號(hào)的數(shù)字系統(tǒng)留存了語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)的合理內(nèi)核。兩種版本都將三位分節(jié)法編入教材，作為教學(xué)四位分級(jí)法的補(bǔ)充與參照。但是，以“千”“百萬(wàn)”為基礎(chǔ)的國(guó)際單位，與中國(guó)以“萬(wàn)”“億”為單位的固有文化傳統(tǒng)之間存在對(duì)應(yīng)沖突。教師在教學(xué)長(zhǎng)度單位（千米與米）、質(zhì)量單位（千克與克）和容積單位（升與毫升）進(jìn)率時(shí)，能否關(guān)聯(lián)國(guó)際通用的數(shù)的三位分節(jié)與以“千”為單位的進(jìn)率進(jìn)行反思，為消弭學(xué)生思維困惑作孕伏？能否探尋出一條讓中國(guó)傳統(tǒng)文化與國(guó)際規(guī)則接軌、互鑒的路徑，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化更順暢的銜接和融合？二、向度：由史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)基于“數(shù)的分節(jié)和分級(jí)”分析，易知，傳統(tǒng)文化中的度量衡制與國(guó)際公制接軌有其現(xiàn)實(shí)的必要性，故亟需剖析數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)內(nèi)涵來(lái)觀照其表現(xiàn)形態(tài)。就數(shù)學(xué)而言，其一般顯現(xiàn)三種形態(tài)：表現(xiàn)在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上的學(xué)術(shù)形態(tài)（或稱史學(xué)形態(tài)）、陳述于教科書(shū)上的課程形態(tài)（或稱文本形態(tài)），以及呈現(xiàn)在課堂上的學(xué)習(xí)形態(tài)（或稱教育形態(tài)）。與之相對(duì)應(yīng)，數(shù)學(xué)文化也涵括學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化、課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化和學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化三種。要發(fā)揮數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值，必須將數(shù)學(xué)家研究的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)教育專家編撰的課程形態(tài)和學(xué)生可以接納重組的學(xué)習(xí)形態(tài)。1.學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化在數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家創(chuàng)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的原始記錄及歷史形態(tài)，稱為學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究主體為數(shù)學(xué)家，凸顯真實(shí)性。數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展形成的危機(jī)和社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐遭遇的難題往往是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉。學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化就表現(xiàn)在數(shù)學(xué)家創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)過(guò)程中對(duì)這些難題的具體破解和危機(jī)的逐步化解，以及從中映射出卓絕探索的精神品格。學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具嚴(yán)謹(jǐn)性與客觀性特征。數(shù)學(xué)的發(fā)展，是遵循一定范式，在原有基礎(chǔ)上進(jìn)行嚴(yán)格推理產(chǎn)生的。遵循范式就能演繹出相同的結(jié)論，不會(huì)因人而異，因時(shí)而變。而推理必須邏輯自洽、無(wú)懈可擊。邏輯自洽展示數(shù)學(xué)客觀性的一面，這就是數(shù)學(xué)確定性特質(zhì)。2.課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化按邏輯體系陳述于教材上的數(shù)學(xué)知識(shí)，抑或發(fā)表在數(shù)學(xué)雜志上的研究成果，稱為課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究群體為課程專家，凸顯教育性。在課改進(jìn)入深水區(qū)的當(dāng)下，課程形態(tài)的數(shù)學(xué)文化需要重新定位課程目標(biāo)價(jià)值指歸，聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育，并依托數(shù)學(xué)課程來(lái)承載數(shù)學(xué)文化。課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具接受性與理解性特征。需基于學(xué)生的知識(shí)背景和年齡特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)卣邕x教學(xué)內(nèi)容，思忖呈現(xiàn)方式，直觀地推介數(shù)學(xué)的思想方法、問(wèn)題與觀念等。3.學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化基于師生理解學(xué)習(xí)的視角，在課堂及教室等特定教學(xué)時(shí)空內(nèi)發(fā)生的數(shù)學(xué)文化傳遞活動(dòng)，稱為學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化。其研究樣本為師生，凸顯動(dòng)態(tài)性。教師依托現(xiàn)實(shí)學(xué)情，通過(guò)深入解讀課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化開(kāi)展教學(xué)設(shè)計(jì)，課程內(nèi)容的甄選靈活自主，內(nèi)容的設(shè)計(jì)亦可融入智慧再創(chuàng)造。學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化還兼具開(kāi)放性與情境性特征。一般而論，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)受典型數(shù)學(xué)問(wèn)題與特定問(wèn)題情境影響，而創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境可以支撐學(xué)生理解數(shù)學(xué)問(wèn)題。學(xué)生對(duì)相同問(wèn)題及情境的判斷或建構(gòu)迥異，源自知識(shí)背景和生活經(jīng)驗(yàn)的差異，這反而促使學(xué)生發(fā)展趨向開(kāi)放與多元。數(shù)學(xué)文化的三種形態(tài)關(guān)系，可以通過(guò)圖3揭示。學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化是根基，為課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化與學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化提供支撐，能夠幫助學(xué)生“感受數(shù)學(xué)家治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)”。課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化是中間紐帶，聯(lián)結(jié)學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化與學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化的兩端，能夠“激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”。而學(xué)習(xí)形態(tài)數(shù)學(xué)文化則是終極目標(biāo)，是學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)文化和課程形態(tài)數(shù)學(xué)文化的實(shí)踐指南，能夠促進(jìn)學(xué)生“欣賞數(shù)學(xué)的優(yōu)美”。進(jìn)而構(gòu)筑起課標(biāo)倡導(dǎo)的“幫助學(xué)生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學(xué)的作用”的美好愿景。三、變式：數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)的螺旋之階中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育以“雙基”見(jiàn)長(zhǎng)，而注重“變式”教學(xué)則是“雙基”教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵特征。崇尚實(shí)用、強(qiáng)調(diào)問(wèn)題中心和算法體系的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，則流露出“問(wèn)題解決”的現(xiàn)實(shí)主義數(shù)學(xué)文化特質(zhì)。強(qiáng)調(diào)不變?cè)兀p基）和變易元素（變式）的設(shè)計(jì)模型，滲透在文化上則可以追溯到中國(guó)哲學(xué)的起源《易經(jīng)》?！耙滓幻x：易簡(jiǎn)一也，變易二也，不易三也。”簡(jiǎn)易、變易和不易，詮釋了“易”的三種不同質(zhì)態(tài)或?qū)蛹?jí)，蘊(yùn)含變與不變的哲學(xué)思辨。聯(lián)系解決問(wèn)題教學(xué)中的“變式”，不難發(fā)現(xiàn)，兩者存在異曲同工之妙，其與“一題多解”“一題多變”以及“多題一解”相對(duì)應(yīng)。筆者以“解決問(wèn)題的策略——列表整理信息”一課為例，淺析數(shù)學(xué)文化滲透于教學(xué)之“易”。1.簡(jiǎn)易——一題多解，變中求不變大道至簡(jiǎn)，簡(jiǎn)易蘊(yùn)含問(wèn)題本質(zhì)。在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需回歸原點(diǎn)設(shè)計(jì)最基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即數(shù)學(xué)原型問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系條件與問(wèn)題，概括數(shù)量關(guān)系，聚焦題目中隱含的“不變量”（單位量），最終找尋出解決問(wèn)題的不同策略（解法或算法多樣化）?！窘虒W(xué)片段】（1）教學(xué)例2。提問(wèn)：這道題的已知條件與所求問(wèn)題分別是什么，你能嘗試通過(guò)列表表示出來(lái)嗎？表1引導(dǎo)：同學(xué)們，表1中的數(shù)量排列存在怎樣規(guī)律？明確：每2小時(shí)水位下降12厘米，即每小時(shí)水位下降6厘米。水位下降的速度保持不變。（2）歸納數(shù)量關(guān)系。分組匯報(bào)解題思路與算法：從條件想起或從問(wèn)題想起：12÷2=6（厘米），120÷6=20（小時(shí)）；比較水位下降的關(guān)系：120÷12=10，2×10=20（小時(shí)）；按表內(nèi)數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律列舉下去，可得水位下降120厘米需20小時(shí)。列表整理信息凸顯了“化繁為簡(jiǎn)”的數(shù)學(xué)思想，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)生便能清晰地發(fā)現(xiàn)“每2小時(shí)水位下降12厘米”這一關(guān)鍵信息。伴隨“時(shí)間”變化，“水位下降”也相應(yīng)變化。在此過(guò)程中，學(xué)生能感知并探尋出“時(shí)間”與“水位下降”之間隱藏的不變規(guī)律，把握“水位下降的速度”不變這一本質(zhì)，從而圍繞“不變”實(shí)現(xiàn)“一題三解”。2.變易——一題多變，不變應(yīng)萬(wàn)變變式教學(xué)是中國(guó)數(shù)學(xué)文化教學(xué)的傳統(tǒng)特質(zhì)，以“一題多變”促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，以簡(jiǎn)馭繁，舉一反三，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知順向遷移的預(yù)期。立足原問(wèn)題嘗試創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題，搭建“以舊引新”的去路；同時(shí)，將新問(wèn)題歸結(jié)為已解決的原問(wèn)題，連通“以新歸舊”的回路，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題解決的完整閉環(huán)。【教學(xué)片段】（1）完成“想一想”。出示“想一想”問(wèn)題。啟發(fā)：求經(jīng)過(guò)12小時(shí)水位一共下降多少厘米，很明顯這道題是例2的變式，請(qǐng)聯(lián)系條件思考一下，如何解題？討論：式子中每一步分別表示什么？怎樣快速辨別數(shù)量之間的聯(lián)系？小結(jié)：列表整理?xiàng)l件和問(wèn)題，并將兩者對(duì)應(yīng)聯(lián)系進(jìn)行分析，數(shù)量關(guān)系便一目了然。結(jié)合所學(xué)例題，易知先求什么，再求什么。（2）比較異同，感知聯(lián)系。提問(wèn)：回顧兩題的解答過(guò)程，誰(shuí)來(lái)比較一下它們的異同？明確：“2小時(shí)水位下降12厘米”是關(guān)鍵條件，都要據(jù)此解答。因此都需先求新條件“每小時(shí)水位下降幾厘米”，再求出結(jié)果；也可以根據(jù)同類數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系列式解答。學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)，巧妙運(yùn)用類比推理與轉(zhuǎn)化策略，能從變的現(xiàn)象（所求問(wèn)題變化）中，明晰不變的本質(zhì)（已知條件不變）；也能從不變的本質(zhì)（水位下降的速度）中，探究出變的規(guī)律（每2小時(shí)水位下降12厘米），從而順利攻克新問(wèn)題，做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”。3.不易——多題一解，萬(wàn)變不離宗在教學(xué)中，教師需引導(dǎo)學(xué)生廣泛觸及各類問(wèn)題，辨析、歸納出同類問(wèn)題的共性特征，洞悉不變的本質(zhì)，形成問(wèn)題解決模型，刪繁就簡(jiǎn)，實(shí)現(xiàn)“多題一解”。這也是變式教學(xué)中的歸類，如將數(shù)學(xué)問(wèn)題歸為植樹(shù)問(wèn)題、行程問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等類別?！窘虒W(xué)片段】（1）完成“練一練”第1題。啟發(fā)：從問(wèn)題想起，求小軍使用的元數(shù)與小麗購(gòu)買的本數(shù)，需先明確什么信息？學(xué)生按每人的本數(shù)和元數(shù)整理并交流。提問(wèn)：你覺(jué)得題目中哪個(gè)數(shù)量是不變量？明確：列表整理能清晰地看出數(shù)量之間的聯(lián)系，幫助我們從條件想起或從問(wèn)題想起，找出解決問(wèn)題的方法。18元買3本，據(jù)此求出筆記本單價(jià)，則兩個(gè)問(wèn)題迎刃而解。學(xué)生解答：18÷3＝6（元），5×6＝30（元），42÷6＝7（本）。（2）完成“練一練”第2題。學(xué)生讀圖并交流數(shù)量關(guān)系。討論：這道題哪個(gè)數(shù)量是不變量？明確：若從條件想起，應(yīng)先求每本厚度，168÷6＝28（毫米），再求本數(shù)，504÷28＝18（本）；若從問(wèn)題想起，依據(jù)數(shù)量關(guān)系應(yīng)先求每本厚幾毫米，再求有多少本。利用除法先求出不變的“單位量”，再以此為標(biāo)準(zhǔn)考量其余條件求出結(jié)果。該類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上稱為“歸一問(wèn)題”，而解決歸一問(wèn)題的關(guān)鍵在于秉持“單位量”不變，視不變的“單位量”為“宗”，所謂千變?nèi)f化，九九歸一，萬(wàn)變不離其宗。教學(xué)中，“什么變，什么不變”的哲問(wèn)是永恒的問(wèn)題主線。教師通過(guò)典型例題觸發(fā)“雙基”，聚焦主線組織研討，探究隱秘于問(wèn)題之間的不變因素和問(wèn)題背后不變的數(shù)學(xué)思想，從而達(dá)成“雙基”目標(biāo)。學(xué)生習(xí)得這些不變