數(shù)學(xué)實驗課件 第6章6.2

6.2線性方程組求解

線性方程組包括齊次線性方程組和非齊次線性方程組.非齊次線性方程組的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解加上非齊次方程的一個特解.

在MATLAB中，可以用null(A)得到齊次線性方程組

的基礎(chǔ)解系；可以用inv、rank、null、左除(\)等命令求解非齊次線性方程組.例6.6

求解齊次線性方程組

.解方法1先求出系數(shù)矩陣A的行最簡形矩陣，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>formatrat>>B=rref(A)B=10-2-5/30124/30000即得與原方程組同解的方程組由此即得寫出向量形式，得到通解方法2先求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>null(A,'r')ans=25/3-2-4/31001即得方程組的基礎(chǔ)解系得到方程組的通解例6.7

求解方程組.解首先計算系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，判斷方程組解的結(jié)構(gòu)，>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>r1=rank(a)%系數(shù)矩陣的秩2>>r2=rank([a,b])

%增廣矩陣的秩2計算表明，系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩都為2，小于變量的個數(shù)4，說明原方程組有無窮組解.有幾種方法求原方程組的通解.方法1用rref命令化為行最簡形式求解.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>rref([a,b])ans=

1

-1

0

0

0

0

0

1

-1

1

0

0

0

0

0由上述行最簡形式得到方程組

，即可知原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).

方法2

由于非齊次方程的通解等于齊次方程的通解加非齊次方程的一個特解，可以用null命令求對應(yīng)的齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>x0=a\b

%非齊次方程的一個特解>>x1=null(a,’r’)

%齊次方程的通解結(jié)果為x0=

0

0

1

0x1=101001

01原方程組的通解為其中

為任意常數(shù).例6.8

求解線性方程組

.

解該方程組的系數(shù)矩陣A是方陣，可以先計算|A|，>>A=[1-1-1;2-1-3;32-5]；>>D=det(A)D=3.0000

可得系數(shù)行列式|A|=3，由克拉默法則可知方程組由唯一解；也可利用逆矩陣求解.方法1克拉默法則法>>formatrat>>b=[2;1;1];>>A1=[b,A(:,[23])];%b代替A中第1列>>A2=[A(:,1),b,A(:,3)];%b代替A中第2列>>A3=[A(:,[12]),b];%b代替A中第3列>>x1=det(A1)/Dx1=17/3>>x2=det(A2)/Dx2=1/3>>x3=det(A3)/Dx3=10/3