1.5 平面上的距離 -高二數(shù)學(xué)精講與精練高分突破（蘇教版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

第第頁1.5平面上的距離【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：兩點(diǎn)間的距離公式（1）點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)(2)原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).考點(diǎn)二：兩條平行直線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度夾在兩條平行直線間公垂線段的長(zhǎng)圖示公式(或求法)點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【題型歸納】題型一：兩點(diǎn)間的距離公式應(yīng)用1．（2023秋·全國(guó)·高二）以為頂點(diǎn)的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系下任意兩點(diǎn)間的距離公式，分別求出即可判斷.【詳解】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等邊三角形.答案：C.2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)P在直線上,,則的最小值為（

）A． B．5 C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)做關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),求出點(diǎn)坐標(biāo),則直線是線段的垂直平分線,則,的值即為所求.【詳解】解:由題知,過點(diǎn)做關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),取直線上一點(diǎn),連接,連接交于點(diǎn),連接,如圖所示:則有,解得,即,因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱,所以直線是線段的垂直平分線,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到處時(shí),所以.故選:D.3．（2022秋·天津薊州·高二統(tǒng)考期中）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出直線過定點(diǎn)，由幾何性質(zhì)可知即為點(diǎn)到直線的距離最大值，進(jìn)而求出，得到此時(shí)直線的斜率，從而求出方程.【詳解】變形為，故，解得：，故直線過定點(diǎn)，故為點(diǎn)到直線的距離最大值，即，且此時(shí)直線的斜率為，故此時(shí)直線方程為，整理得：.故選：C題型二：由兩點(diǎn)距離求坐標(biāo)問題4．（2022秋·安徽合肥·高二校）已知菱形的對(duì)角線與軸平行，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直可知軸，則可設(shè)，由可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】四邊形為菱形，軸，軸，可設(shè)，，，解得：（舍）或，.故選：A.5．（2022·高二課時(shí)練習(xí)）在x軸上找一點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q與A（5，12）間的距離為13，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】或/或【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求解.【詳解】設(shè)，則有，解得或.即或.故答案為：或.6．（2020秋·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線在y軸上的截距是－3，它被兩坐標(biāo)軸截得的線段的長(zhǎng)為5，則此直線的方程為【答案】3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0【分析】設(shè)直線交x軸于（a，0），結(jié)合已知有求a值，再應(yīng)用截距式寫出直線方程.【詳解】設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)（a，0），與y軸交于點(diǎn)（0，－3），由題設(shè)，解得a＝±4，故所求的直線方程為或，即3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0.故答案為：3x＋4y＋12＝0或3x－4y－12＝0題型三：兩點(diǎn)間的距離公式求函數(shù)最值問題7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，則的最小值為（

）．A．3 B． C． D．【答案】D【分析】把目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看作動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離和的最值，利用對(duì)稱性可得答案.【詳解】,可以看作點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，最小值為間的距離.故選：D.8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩點(diǎn)之間距離公式分析出表示到、的距離之和，求出關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小.【詳解】由兩點(diǎn)之間距離公式可以得到表示點(diǎn)到的距離，表示點(diǎn)到的距離，所以代數(shù)式表示，由圖像可知在在運(yùn)動(dòng)，所以易得關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，此時(shí)最小，最小值為.故選：B.9．（2022秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”事實(shí)上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可．【詳解】，可以看做平面上點(diǎn)與點(diǎn)，的距離和，連接AB，與x軸交于，∴的最小值為．故選：C．題型四：點(diǎn)到直線的距離問題10．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知直線過定點(diǎn)M，點(diǎn)在直線上，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】先求定點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)到直線距離求解點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)距離最小值即可.【詳解】由得，所以直線l過定點(diǎn)，依題意可知的最小值就是點(diǎn)M到直線的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．故選:B.11．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)引直線，使，，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則直線方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】考慮直線斜率不存在和直線斜率存在，由點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出直線斜率，得到直線方程.【詳解】若直線斜率不存在，即，此時(shí)，兩點(diǎn)到直線的距離分別為3和5，故距離不相等，舍去；若直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由得：或，故直線方程為或，整理得或.故選：D12．（2022秋·山西運(yùn)城·高二山西省運(yùn)城中學(xué)校校聯(lián)考期中）若點(diǎn)和點(diǎn)到直線的距離相等，則（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，即，解得：或.故選：D.題型五：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題13．（2023春·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，一束光線從出發(fā)，經(jīng)過坐標(biāo)軸反射兩次經(jīng)過點(diǎn)，則總路徑長(zhǎng)即總長(zhǎng)為（

）A． B．6 C． D．【答案】C【分析】求點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由反射性質(zhì)知總路徑長(zhǎng)為，用兩點(diǎn)距離公式求其長(zhǎng)度即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，由光線反射知識(shí)可得三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，故四點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，所以，又，所以.故選：C.14．（2023秋·高二單元測(cè)試）已知直線，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，求出的值，即可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，解得，即點(diǎn)，因?yàn)?，設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程可得，解得，所以，直線的方程為.故選：A.15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在白天觀望烽火臺(tái)之后黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A． B．5 C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，找出最短路程.【詳解】先找出B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)C再連接AC即為“將軍飲馬”的最短路程.如圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，在直線上取點(diǎn)P，連接PC，則．由題意可得，解得，即點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：A．題型六：光線反射問題16．（2023春·安徽滁州·高二?？奸_學(xué)考試）某節(jié)物理課上，物理老師講解光線的入射、反射與折射，為了更好地解釋光線的路徑，物理老師將此問題坐標(biāo)化如下：已知入射光線從射出，經(jīng)過直線的點(diǎn)后第一次反射，若此反射光線經(jīng)過直線上的點(diǎn)時(shí)再次反射，反射后經(jīng)過點(diǎn)，則可以求得直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】分別求出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，所求斜率即為的斜率，【詳解】作出圖形如圖所示，分別作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，以及關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則.故選：D17．（2022秋·四川達(dá)州·高二達(dá)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一條光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)反射光線過已知直線的交點(diǎn)以及入射光線上的點(diǎn)與反射光線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱即可求解.【詳解】聯(lián)立解得，所以反射光線過點(diǎn)，取直線上一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，則有解得，所以反射光線過點(diǎn)和，則反射光線的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式得，即，故選:B.18．（2022秋·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)直線上的點(diǎn)反射后再射到直線上，最后經(jīng)直線上的點(diǎn)反射后又回到點(diǎn)，則直線MN的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)都在直線即可求解.【詳解】,所以直線的直線方程為，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)是，則有，即，所以，即，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線上，所以，即，聯(lián)立，解得，所以，又有關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，均在直線上，所以,由點(diǎn)斜式得，即.故選:D.題型七：兩條平行直線間的距離19．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）兩條平行直線之間的距離為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】利用兩平行直線之間的距離公式即可.【詳解】由兩平行線間的距離公式可得：．故選：C20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩條直線，，且，當(dāng)兩平行線距離最大時(shí)，（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出恒過的定點(diǎn)，故，距離的最大值為，所以，求解即得出答案.【詳解】，由，解得，故過定點(diǎn)．，由，解得，故過定點(diǎn)，故，距離的最大值為．此時(shí)，，則，，解得，故．故選：C．21．（2022秋·廣東汕頭·高二?？计谥校┤糁本€與平行，則間的距離是（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)直線平行的判定列方程求得，再應(yīng)用平行線的距離公式求距離即可.【詳解】由題設(shè)，則，可得或，時(shí)，，，滿足題設(shè)；時(shí)，，，顯然重合，不滿足；所以，此時(shí)，，它們距離為.故選：C【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行可推出，再根據(jù)平行線間距離公式可計(jì)算.【詳解】由題意可得，再由平行線的距離公式得.故選：B23．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A（3，4），B（6，m）到直線3x＋4y－7＝0的距離相等，則實(shí)數(shù)m＝（

）A． B．C．1 D．或【答案】D【分析】根據(jù)題意，由點(diǎn)到直線距離公式建立方程解得的值.【詳解】解析：由題意得，解得或.故選：D.24．（2023·全國(guó)·高二課堂例題）已知不同的兩點(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B．14 C． D．5【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)公式，列出方程，求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，即，解得，所以.故選：C.25．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）求下列兩條平行線之間的距離：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)給定條件利用平行線間距離公式直接計(jì)算即可得解.【詳解】（1）因?yàn)橹本€可化為，又直線，所以直線與的距離為.（2）因?yàn)橹本€可化為：，又直線，所以直線與的距離：.26．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知直線經(jīng)過點(diǎn)且與和分別交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】或【分析】先利用平行直線間的距離公式求得和的距離，從而得到直線與斜率的直線的夾角，從而利用直線夾角公式得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】依題意，易知直線和直線互相平行，故兩直線間的距離，且與兩直線垂直的直線斜率，因?yàn)椋试O(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線斜率為，

故所求的直線與斜率的直線的夾角為，則，解得或；故直線的方程為或.整理得：或.【高分突破】一、單選題27．（2023秋·全國(guó)·高二）若動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．4【答案】A【分析】由題意，知點(diǎn)M在直線l1與l2之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，然后利用兩平行線間的距離公式列方程可求出的值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意，知點(diǎn)M在直線與之間且與兩直線距離相等的直線上，設(shè)該直線方程為，則，即，∴點(diǎn)M在直線上，∴點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離的最小值就是原點(diǎn)到直線的距離，即.故選：A.28．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線：，點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的距離的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可確定直線：，則直線過原點(diǎn)，且斜率為，由此可確定點(diǎn)到直線l的距離大于1，再確定當(dāng)l與垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離最大，即可求得答案.【詳解】由題意直線：，則直線過原點(diǎn)，且斜率為，

當(dāng)直線l無限靠近于y軸時(shí)，點(diǎn)到直線l的距離無限接近于1，故點(diǎn)到直線l的距離大于1，當(dāng)l與垂直時(shí)，點(diǎn)A到直線l的距離最大，最大值為，故點(diǎn)A到直線的距離的取值范圍為，故選：B29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則線段AB垂直直線時(shí)，線段AB最短，根據(jù)兩直線垂直的斜率關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，當(dāng)線段AB垂直直線時(shí)，線段AB最短，由直線得其斜率為-1，則，得，所以的坐標(biāo)是.故選：A30．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省臨安中學(xué)校考開學(xué)考試）已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】先求出點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，且有.根據(jù)幾何意義，結(jié)合圖象，即可得出取最小值時(shí)，點(diǎn)的位置，進(jìn)而得出答案.【詳解】如圖，過點(diǎn)作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn)，則.設(shè)，則有，解得，所以.設(shè)，則，所以，又，所以點(diǎn)到軸的距離為，所以，可視為線段上的點(diǎn)到軸的距離和到的距離之和.過作軸，顯然有，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和有最小值.過點(diǎn)作軸，則即為最小值，與線段的交點(diǎn)，即為最小值時(shí)的位置.因?yàn)?，所以的最小值?故選：B．31．（2022秋·天津·高二統(tǒng)考期中）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【答案】C【分析】首先求出直線過的定點(diǎn)，若要到直線的距離最大，只需，由此即可得解.【詳解】將只需的方程整理得：，從代數(shù)觀點(diǎn)來看，若，有成立，則只能，解得，即直線過定點(diǎn)；若要到直線的距離最大，只需，此時(shí)點(diǎn)到直線的最大距離為線段的長(zhǎng)度，即，又直線的斜率為，故此時(shí)直線的方程為：，即.故選：C.32．（2023秋·廣西南寧·高二南寧二中?？奸_學(xué)考試）如下圖，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為直線和軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，有，即此時(shí)周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線方程，與聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，令可得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，交于，所以，此時(shí)周長(zhǎng)最小，即，由，直線方程為，所以，解得，所以，可得直線方程為，即，由，解得，所以，令可，所以.故選：C.

33．（2023春·福建福州·高二?？计谥校┮阎本€，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，兩直線、之間的距離為【答案】B【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)兩直線平行求出實(shí)數(shù)的值，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)平行線間的距離公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由可得，所以，直線過定點(diǎn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，直線的方程為，即，直線的方程為，此時(shí)，直線、之間的距離為，D錯(cuò).故選：B.二、多選題34．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l在x軸上的截距為1．又有兩點(diǎn)到l的距離相等，則l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】討論直線l的斜率，斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，利用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)，即可得直線方程.【詳解】顯然軸時(shí)符合要求，此時(shí)l的方程為；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為，即.∵點(diǎn)到的距離相等，∴，整理得，解得，∴l(xiāng)的方程為，綜上，l的方程為或.故選：AC35．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知兩平行直線分別過點(diǎn)，它們分別繞旋轉(zhuǎn)，但始終保持平行，則之間的距離的取值可能為（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】ABCD【分析】根據(jù)題意求出之間距離最大值，再進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)與PQ垂直時(shí)，它們之間的距離d最大，此時(shí)，所以之間的距離，之間的距離的取值可能為1,2,3,4.故選：ABCD36．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知直線，，，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．無論a為何值，與都互相平行B．當(dāng)a變化時(shí)，與分別經(jīng)過定點(diǎn)和C．無論a為何值，與都關(guān)于直線對(duì)稱D．若與交于點(diǎn)M，則的最大值是【答案】AC【分析】結(jié)合直線平行或垂直、直線過定點(diǎn)、直線與直線對(duì)稱、直線與直線交點(diǎn)、兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)分別對(duì)各選項(xiàng)分析，即可求解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，故無論a為何值，與都相互垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線，當(dāng)a變化，時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)；，當(dāng)a變化，時(shí)，恒成立，所以恒過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，在上任取一點(diǎn)，關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入，得，不滿足無論a為何值，恒成立，故C不正確；對(duì)于D，聯(lián)立，解得，即，所以（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最大值是，故D正確．故選：AC.37．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）對(duì)于兩點(diǎn)，，定義一種“距離”：，則（

）A．若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則B．在中，若，則C．在中，D．在正方形ABCD中，有【答案】ACD【分析】根據(jù)新定義，，之間的“距離:對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可判斷其正誤即可．【詳解】A中，若點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C坐標(biāo)為，則，故A正確；B中，因?yàn)橹校?，取，，則，，，故，，顯然，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)，則，因?yàn)?，同理，所以，故C正確;D中，因?yàn)锳BCD為正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，可取，則，，故D正確．故選：ACD.38．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的有（

）A．過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B．若直線與直線垂直，則C．已知，及x軸上的動(dòng)點(diǎn)P，則的最小值為5D．直線與直線之間的距離為【答案】ABD【分析】求出直線斜率判斷A；利用垂直關(guān)系求出a判斷B；利用對(duì)稱方法求出兩點(diǎn)的距離判斷C；求出平行間距離判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，則直線的傾斜角為，A正確；對(duì)于B，直線與直線垂直，則，解得，B正確；對(duì)于C，關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)，在x軸上任取點(diǎn)，連接，如圖，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，因此，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線與直線平行，直線化為，管兩條直線間距離為，D正確.故選：ABD39．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中?？计谥校┮阎獮樽鴺?biāo)原點(diǎn)，，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．周長(zhǎng)的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱性可得，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于C：因?yàn)?，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離分析判斷.【詳解】設(shè)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可知，對(duì)于選項(xiàng)A：可得周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以周長(zhǎng)的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，設(shè)到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：作，垂足為，因?yàn)橹本€的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.三、填空題40．（2023秋·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是.【答案】【分析】設(shè)拋物線一點(diǎn)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，由于，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.41．（2023秋·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）光線從射向軸上一點(diǎn)，又從反射到直線上一點(diǎn)，最后從點(diǎn)反射回到點(diǎn)，則BC所在的直線方程為．【答案】【分析】分別求點(diǎn)關(guān)于軸和直線的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)幾何關(guān)系求得直線的方程.【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，即,由對(duì)稱性可知，點(diǎn)在直線上，所以，直線的方程為，即.

故答案為：42．（2023秋·山西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）在梯形中，，且和所在直線的方程分別是與，則梯形的面積為.【答案】【分析】先求得直線和之間的距離，即梯形的高，再利用梯形的面積公式求解.【詳解】解：直線和之間的距離為：，即梯形的高為，又，所以梯形的面積為，故答案為：43．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過直線與直線的交點(diǎn)，且到點(diǎn)的距離為1的直線l的方程為．【答案】或【分析】聯(lián)立直線方程求出，的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式建立方程得解，注意對(duì)斜率不存在討論.【詳解】解析：由解得所以l1，l2的交點(diǎn)為.顯然，直線滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，依題意有，解得.所以所求直線方程為或．故答案為：或．44．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）若直線與直線的距離為，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行直線間的距離公式列方程，化簡(jiǎn)求得的值.【詳解】依題意，解得或.故答案為：或45．（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）已知A，B兩點(diǎn)都在直線上，且A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，則A，B兩點(diǎn)間的距離為.【答案】【分析】設(shè)，則，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，所以，故答案為：46．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知不過原點(diǎn)的直線與直線平行，且直線與的距離為，則直線的一般式方程為