2020-2021學年江蘇省淮安市高一（上）期末數(shù)學試卷 （解析版）

2020-2021學年江蘇省淮安市高一（上）期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題（共8小題）.

1.已知集合加={1,2,3},N={2,3},則()

A.M=NB.MAN=0C.MQND.NQM

2.設(shè)全集為K,函數(shù)f（x）=:l-x2的定義域為跖則CRM為（)

A.[-1,1]B.(-1,1)

C.(-00,-1)U(1,+oo)D.(-8,-1]U[1,+00)

已知則％是“工的（

3.aGR,>1”<1”）條件

a

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

函數(shù)y=tan（2x+-^-）的最小正周期為

4.()

4

A.—C.71D.2兀

4

06

5.設(shè)〃=logo.50.6,/?=log0.61.2,c=1.2,則”，b,c的大小關(guān)系為（)

A.a<b<cB.b<a<.cC.b<c<aD.c<b<a

TT

6.要得到函數(shù)y=sin（2x+——）的圖象，需要把函數(shù)y=sin2x的圖象（)

6

A.向左平移---個單位B.向右平移單位

6

C.向左平移單位D.向右平移單位

7.函數(shù)/(x)=x+x3,g(x)=x+3*,h(x)=x+log3X的零點分別是a,b,c,則它們的大

小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.新冠肺炎疫情是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度

最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/。）

=『描述累計感染病例數(shù)/（力隨時間，（單位：天）的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長率盡0.38,

據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)擴大到原來的10倍需要的時間約為

)(加10幺30)

A.4天B.6天C.8天D.10天

二、多項選擇題（共4小題）.

9.下列各組函數(shù)中，f（x）與g（x）是同一函數(shù)的有（）

A.f(x)=x,g(x)=elnx

X-l,

B.f(x)=\x-1|,g(%)=

1-X,x<1

C./(x)=x,g(x)=Vx^

2

D.f(x)=x,g(x)=A_

X

10.下列命題為真命題的是()

A.若a>b>0,貝Uac2>bc1

B.若aV6<0,則上>工

ab

C.若4<b<o,則，

D.若c>a>b>0,則一^—〉一^-

c-ac-b

Y+Yf(X)+f(X)

11.下列函數(shù)中滿足：對定義域中任意Xl,X2,都有f(—上)<--L———?—的有

()

A.f(尤)=2"B.f(x)=lgxC.f(x)=xD.f(x)=尤

12.一般地，對任意角a,在平面直角坐標系中，設(shè)a的終邊上異于原點的任意一點尸的坐

標為（尤，y）,它與原點的距離是r.我們規(guī)定：比值三，—,三分別叫做角a的余切、

yyx

余割、正割，分別記作cota,csca,seca,把〉=（：0氏，y=cscx,y=secx分別叫做余切函

數(shù)、余割函數(shù)、正割函數(shù)，下列敘述正確的有()

5

A.coty兀=1

4

B.sina*seca=l

C.y=secx的定義域為(xk€Z)

2.222

D.seca+sina+csca+cosa>5

三、填空題（共4小題）.

13.命題x+lKF的否定為

2

14.求值：2/g5+/g4+可=

8

15.已知a是第三象限角，且cos（a-，J^~—）=^-時，則tana=

25

sin(兀-a)cos(冗+a)

,JT、=_______.

COS(a

16.若函數(shù)fG)為定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+00)內(nèi)是增函數(shù)，又/(2)=0,則

不等式siiix^(x)＞0,]￡[-兀，兀]的解集為.

四、解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步歌.

17.從①A=小門?！霬x+l))-2},②A=&法《總廣＜2},③A={X|尋＜0}三個

條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解.

問題：已知集合,集合5={x|-〃-1￡區(qū)2〃+1}.

(1)當a=l時，求ACI5；

(2)若AUB=3,求實數(shù)〃的取值范圍.

已知函數(shù)f(x)=，"sin(2x"^")+a+l(其中〃為常數(shù))?

18.

(1)求/(x)的單調(diào)減區(qū)間;

(2)若xE[0,時，/(X)的最小值為2,求〃的值.

19.已知關(guān)于x的不等式￥+蛆-12Vo的解集為(-6,n).

(1)求實數(shù)m,n的值；

(2)正實數(shù)〃，b滿足na+2mb=2.

①求工△的最小值；

ab

②若20+16、侖0恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

20.已知函數(shù)￡6)=1。84(4'+1).

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù)；

(2)設(shè)g(x)=f(x)-^x,判斷g(x)的奇偶性，并加以證明.

21.如圖，一個水輪的半徑為4米，水輪圓心。距離水面2米，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)

動1圈，當水輪上點尸從水中浮現(xiàn)時(圖中點打)開始計算時間.

(1)將點尸距離水面的距離z(單位：米，在水面以下，則Z為負數(shù))表示為時間/(單

位：秒)的函數(shù)；

(2)在水輪轉(zhuǎn)動1圈內(nèi)，有多長時間點尸位于水面上方？

22.已知函數(shù)/(%)=2-g(x)=f(%)+于(|x|).

(1)解不等式：f(2x)-f(x+1)>3:

(2)當工￡[-1,寺時，求函數(shù)g

(x)的值域；

(3)若\/處￡(0,+co),3X2^[--1,0],使得g(2xi)+ag(%i)+2g(>2)>0成立,

求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

一、單項選擇題（共8小題）.

1.已知集合〃={1,2,3},N={2,3},則()

A.M=NB.MAN=0C.MEND.NQM

解：因為集合加={1,2,3},N={2,3},

根據(jù)子集的定義可知，NJM.

故選：D.

2.設(shè)全集為R,函數(shù)f(x)=,l-x2的定義域為M,則CRM為()

A.[-1,1]B.(-1,1)

C.(-00,-1)U(1,+oo)D.(-00,-1]U[1,+00)

解：由l-x2*,得-1W爛1,即1],又全集為&

所以CRM=(-00,-1)U(1,+oo).

故選：C.

已知aGR,則是“[的（

3.“a>l”■<1”）條件

a

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

解：因為工<1,即空工>0,解得a<0或a>l,

aa

故“a>l”是“工VI”的充分不必要條件.

a

故選：A.

4.函數(shù)y=tan（2x+-^-）的最小正周期為（）

4

A.—B.—C.D.2兀

42

解：由正切函數(shù)的周期公式得：

故選：B.

5.設(shè)Q=logo.50.6,/?=logo,61.2,C=1.2°6,則〃，b,c的大小關(guān)系為（)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

06

解:0<a=logo.50.6<logo,50.5=1,Z?=log0,61.2<0,C=1.2>1,

則〃，b,c的大小關(guān)系為bVaVc.

故選：B.

6.要得到函數(shù)y=sin(2x+——)的圖象，需要把函數(shù)y=sin2x的圖象()

6

A.向左平移--個單位B.向右平移---外單位

66

C.向左平移-J.個單位D.向右平移1萬個單位

兀兀

解：要得到函數(shù)y=sin(2x+----)=sin2(x+-----)的圖象，需要把函數(shù)y=sin2x的圖象

612

向左平移■個單位，

故選：C.

7.函數(shù)/(九)=x+x3,g(x)=x+3%,h(x)=x+log3X的零點分別是〃，b,c,則它們的大

小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

解：因為函數(shù)/(x)=x+x,g(x)=x+3",h(x)=x+log3%的零點分別是a,b,c,

所以y=-x與y=d,y=3x,y=log3X的交點橫坐標分別是〃，b,c,

作出四個函數(shù)圖象如下圖：

由圖可知b<a=O<c,

故選：C.

8.新冠肺炎疫情是新中國成立以來在我國發(fā)生的傳播速度最快、感染范圍最廣、防控難度

最大的一次重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/Q)

=『描述累計感染病例數(shù)/。)隨時間，(單位：天)的變化規(guī)律，其中指數(shù)增長率40.38,

據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)擴大到原來的10倍需要的時間約為

）（加10N30）

A.4天B.6天C.8天D.10天

解：設(shè)所需時間為4,則er(t+tJ=io0rt,

即e0.38t.=10,所以0.38介=防10=2.30,

解得g6,

故選：B.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.下列各組函數(shù)中，f(x)與g(x)是同一函數(shù)的有()

A.f(x)=x,g(x)=enx

(X-l,

B.f(x)=\x-1|,g(x)=<

[1-x,x<.1

C./(x)=?,g(x)=V^

2

D.f(x)=x,g(x)=A_

x

解：A.f(x)的定義域是R,g(x)的定義域是(0,+oo),兩個函數(shù)的定義域不相同，

不是同一■函數(shù)，

x-]X]

B.f(x)=「''),兩個函數(shù)的定義域都是R,是同一函數(shù)，

1-x,X<.1

C.g(無)=f,兩個函數(shù)的定義域都是R,是同一函數(shù)，

D.g(x)=x,(xr0),f(x)的定義域是R,兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一

數(shù).

故選：BC.

10.下列命題為真命題的是()

A.若a>b>0,則ac1>bc1

B.若aV6<0,則工〉工

ab

C.若“VbVO,則42V次7VA2

D.若c>a>b>0,則一^―〉一^-

c-ac-b

解：對于A,當c=0時，命題不真，所以A錯;

對于8,〃VZ?VO=>〃Z?>00軟<」?=>[■>[■,所以3對；

ababbaab

對于C,a<b<U=aa<ab,ab<bb,uaa<ab<bb=>c^VabVli1,所以。對；

對于￡),當c>4>Z?>0時，——>—^一㈡i(c-/?)>b(c-a)=

c-ac-b

ac-ab>bc-ab^ac>bc^a>b,所以。對.

故選：BCD.

x+xf(X)+f(X)

11.下列函數(shù)中滿足：對定義域中任意Xl,X2,都有-----L_——'的有

()

A.f(無)=2AB.f(無)=lgxC.f(x)=xD.f(x)=尤

解：?.?對定義域中任意制，X2,都有f(“I；—)<f履1)；lx?),

.V(x)是凹函數(shù)，且/(x)=2'和/(x)=/都是凹函數(shù).

故選：AC.

12.一般地，對任意角明在平面直角坐標系中，設(shè)a的終邊上異于原點的任意一點尸的坐

標為（％,y）,它與原點的距離是幾我們規(guī)定：比值三，—,三分別叫做角a的余切、

yyx

余割、正割，分別記作cota,csca,seca,把〉=3b，y=cscx,y=secx分別叫做余切函

數(shù)、余割函數(shù)、正割函數(shù)，下列敘述正確的有（）

5

A.coty兀=1

4

B.sina*seca=l

TT

C.y=secx的定義域為(x-H^-,k€Z)

D.sec2a+sin2a+csc2a+cos2a>5

5兀二1

解：對于A：cot4函"T,故A正確；

tarr-:-

4

對于5：sina,saca=sina*—L=tana,故5錯誤；

cosa

1TT

對于C:y=secx=----,故函數(shù)的定義域為0|x卉k兀七二丁，k€Z）,故C正確;

對于￡）:利用三角函數(shù)和對勾函數(shù)的性質(zhì),

2.2221212r

seca+sina+csca+cosa+sina++cosa

22

cosnasina

1+----5o=----9+1>5(當且僅當sin2a=D,等號成立；故。正確;

sina-cosasin2a

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.

13.命題x+GO”的否定為x+lVO.

解：?「特稱命題”的否定一定是“全稱命題”，

???命題叼X￡R,x+以)”的否定是：

Vx^R,x+l<0.

故答案為Vx￡R,x+l<0.

2

14.求值：2/g5+/g4+6.

8

2

解：2/g5+/g4+.=/g6x?4)+4=6.

8

故答案為：6.

15.已知a是第三象限角，且cos(a一上二)三?時,貝ijtana=_—

254

sin(K-Q)cos(K+Q)

---------------元--------=-A.

cos(CI5-

解：因為a是第三象限角，且cos(a-2三)=-|"=-sina,

25

3

所以sina=-c0sa=--,/1-sin2Cl=-p

5

sina_3

貝4tana=

cosa4

sin(兀-a)cos(兀+a)

_sina(-cosJ)4

~兀、=cosa

cos(CL-sina5

故答案為：鼻，.

45

16.若函數(shù)/(無)為定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+00)內(nèi)是增函數(shù)，又/(2)=0,則

不等式sinx*f(x)>0,[-7i,兀)的解集為(2,兀)U(-2,0)

解：函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+oo)內(nèi)是增函數(shù)，又/(2)=0,

?"(％)在(-8,0)上是減函數(shù)，且/(-2)=0,

則/(x)對應(yīng)的圖象如圖：f(0)不確定，

當％=0時，不等式situ:*/*(x)>0不成立，

則當身時，不等式siorf(x)>0等價為當無￡[-兀，兀]時,

sinx>0、卜inx〈O

f(x)>0^|f(x)<0,

fO<x<Hf-H<x<0

即jx>2或x<-2或j-2<x<0或0<x<2'

即2VXVTI或-2〈尤VO,

即不等式的解集為(2,TT)U(-2,0),

故答案為：(2,7t)U(-2,0).

四、解答題：本大題共6小題，共計70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步歌.

X

17.從①A={xl1呷_。+1)>-2},?A={X|±<(1.)<2},③A={x|號《0}三個

282x+J.

條件中任選一個，補充在下面問題中，并求解.

問題：已知集合,集合8={x|-a-1W爛2a+l}.

(1)當a=l時，求ACIB;

(2)若AU2=8,求實數(shù)a的取值范圍.

解：若選①：

因為A={x|logj(x+l)>-2)

~2，

所以10sL(x+l)3-2,

2

所以log](x+l)》logI(衣)2

~2~2

故0<無+上4,解得-1<爛3,

故4={x|-l<x<3};

若選②：

因為A={x|■|■<^)<2},

所以e)34g)x〈g)T,

所以-IV止3,

故A=[x\-IV爛3};

若選③:

因為A*式《。｝,

((x-3)(x+l)40

所以lx+17t0

解得-1〈忘3,

故A—[x\-l<x<3}；

(1)當a=l時，B=[x\-2<x<3},由A={尤|-1<爛3},所以An_B={x|-1<立3};

(2)因為AU8=8,所以AU8,

故毋0,

，-a_］<一］

所以，2a+l>3,解得生1,

,-a-l42a+l

故實數(shù)。的取值范圍為［1,+oo).

18.已知函數(shù)f(x)=，_sin(2x+_f)+a+l(其中。為常數(shù)).

(1)求/(x)的單調(diào)減區(qū)間；

(2)若x￡［0,時，/(x)的最小值為2,求a的值.

解：(1)由題意，令2k可2k兀嗎^,

吟，k冗號］，左ez-

解得k兀+'xMk?！?即/(x)的單調(diào)減區(qū)間為［k兀

⑵x€［0,李，則2xqe《，吟］,

2666

片「兀兀1L34「兀7兀rL*r?兀1.7兀1.兀

y=sinx在［丁，?。萆显?，在卜丁，—上減，又sin-TUk，sin-^=f，sm-丁

bNNbb/b/N

=1,

eH'1L■-sin(2x-^^~)+a+1e~|"+力

又若x€［o,—1st,f(x)的最小值為2,可得Ma=2,解得a=9.

244

19.已知關(guān)于x的不等式/+蛆-12Vo的解集為(-6,幾).

(1)求實數(shù)m,n的值;

(2)正實數(shù)。，/?滿足九〃+2〃t/?=2.

①求上的最小值；

ab

②若2°+16"-侖0恒成立，求實數(shù)f的取值范圍.

解：(1)由題意可得-6和〃是方程，+如-12=0的兩個根，

由根與系數(shù)的關(guān)系可得(一匹-6如，解得機=4,?=2,

I_12=_6n

(2)由(1)可得2〃+8Z?=2,即Q+4Z?=1,

①工△=(工二)(a+4b)=5+也餐5+21些?至=9,

abababVab

當且僅當生=包，即〃=2。=工時等號成立，

ab3

所以工+工的最小值為9.

ab

②若2a+16b-t>0恒成立，即云2"+16〃恒成立，

因為20+16勺2y2a?16b=2J2a,b=2料,當且僅當2a=16b,即。=4人=之時等號成立,

所以正2、歷，

即實數(shù)r的取值范圍是(-8,2丁勿.

20.已知函數(shù)f(x)=log4(4X+l).

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明：f(x)在R上為單調(diào)增函數(shù)；

(2)設(shè)g(x)=f(x)-^x,判斷g(幻的奇偶性，并加以證明.

解：(1)證明：設(shè)任意Xi〈X2dR,

X.

X：X4+1

則F(X1)-f(%2)=log(4+1)-log(4-+l)=log4(x),

42+l

4*1+1

因為尤1<X2,所以4X1<4X2,則七_￡<1；

產(chǎn)+1

X.

所以log4(————)<C0,即/(X1)<f(%2),

產(chǎn)+1

所以函數(shù)/(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)；

1J_

X=1x2X=logxx

(2)因為g(x)=log4(4+1)--x°g^(4+l)-log444(4+l)-log42

4,x+1

=log.---------=log.(2x+2”),顯然定義域為R,關(guān)于原點對稱，

42X

函數(shù)在R上為偶函數(shù)，

-xx=

證明如下：因為g(-x)=log4(2+2)1g(%)，

所以函數(shù)是R上的偶函數(shù).

21.如圖，一個水輪的半徑為4米，水輪圓心。距離水面2米，已知水輪每分鐘逆時針轉(zhuǎn)

動1圈，當水輪上點尸從水中浮現(xiàn)時(圖中點尸。)開始計算時間.

(1)將點尸距離水面的距離Z(單位：米，在水面以下，則Z為負數(shù))表示為時間/(單

位：秒)的函數(shù)；

(2)在水輪轉(zhuǎn)動1圈內(nèi)，有多長時間點尸位于水面上方？

解：(1)設(shè)2=以111(3x+(p)+B,依題意可知z的最大值為6,最小為-2,

“A+B=6,可得卜=4

l-A+B=-2lB=2

〈OP每秒鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為(1X2-)=2L_得z=4sin('f+(p)+2,

603030

-91

當/=0時，z=0,sin(p=-^-=--