9.5多項(xiàng)式的因式分解（原卷版）

9.5多項(xiàng)式的因式分解公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.注：（1）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（2）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中都含有的相同的字母，指數(shù)取相同字母的最小指數(shù).因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的積的形式，叫做多項(xiàng)式的因式分解。注：①因式分解的最終形式是積的形式；②因式分解要分解到不能再分解為止。提取公因式法如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外，把多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)多項(xiàng)式的積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。公式法，十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則分組分解法對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多（大于等于四項(xiàng)）的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，通常會(huì)先將原式進(jìn)行重新分組，然后再利用提取公因式法、公式法、十字相乘法等進(jìn)行分組的因式分解。（比如：五項(xiàng)式通常分成3+2項(xiàng)；六項(xiàng)式通常分成3+3或2+2+2項(xiàng)。）題型1：公因式的判斷1．多項(xiàng)式12ab3c+8a3b的公因式是．【變式1-1】在多項(xiàng)式4x3y2+8x2y3﹣6xy2中，各項(xiàng)的公因式是．【變式1-2】指出下列多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式：（1）3a2y﹣3ay+6y；（2）49xy3-827x3（3）27a2b3+36a3b2+9a2b．題型2：提取公因式法2.因式分解：3m2+6m＝．【變式2-1】已知a﹣b＝3，ab＝﹣2，則a2b﹣ab2的值為．【變式2-2】閱讀下列因式分解的過(guò)程，再回答所提出的問(wèn)題：1+x+x（x+1）+x（x+1）2＝（1+x）[1+x+x（x+1）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2021，則結(jié)果是．（3）依照上述方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n為正整數(shù)）．題型3：公式法3.分解因式：a2﹣16b2＝．【變式3-1】分解因式：（x2+9）2﹣36x2＝．【變式3-2】因式分解：（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9．【變式3-3】觀察下列各式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3），…（1）按此規(guī)律，則a5﹣b5＝；（2）若a-1a=3，你能根據(jù)上述規(guī)律求出代數(shù)式a（3）若a-1a=3，直接寫(xiě)出代數(shù)式a5【變式3-4】整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見(jiàn)的一種思想方法：下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2+2x）（x2+2x+2）+1進(jìn)行因式分解的過(guò)程．將“x2+2x”看成一個(gè)整體，令x2+2x＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)2+2y+1＝（y+1）2再將“y”還原即可．解：設(shè)x2+2x＝y(tǒng)．原式＝y(tǒng)（y+2）+1（第一步）＝y(tǒng)2+2y+1（第二步）＝（y+1）2（第三步）＝（x2+2x+1）2（第四步）．問(wèn)題：（1）①該同學(xué)完成因式分解了嗎？如果沒(méi)完成，請(qǐng)你直接寫(xiě)出最后的結(jié)果；②請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16進(jìn)行因式分解；（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試計(jì)算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2021）×（2+3+…+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2021）．題型4：分組分解法4.因式分解：ax﹣by+ay﹣bx＝．【變式4-1】分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝．【變式4-2】分解因式：2x2+7xy﹣15y2﹣3x+11y﹣2＝．【變式4-3】閱讀下列材料：提取公因式法和公式法是初中階段最常用分解因式的方法，但有些多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解，過(guò)程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．這種分解因式的方法叫“分組分解法”，利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y；（2）有人說(shuō)，無(wú)論x，y取何實(shí)數(shù)，代數(shù)式去x2+y2﹣10x+8y+45的值總是正數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型5：十字相乘法5.分解因式：x2+6x﹣7＝．【變式5-1】已知二次三項(xiàng)式2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a），則a＝，k＝．【變式5-2】（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫(xiě)在橫線上：x2+6x+9＝；16x2﹣8x+1＝；9x2+12x+4＝；（2）觀察以上三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，有62＝4×1×9，（﹣8）2＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小明猜測(cè)：若多項(xiàng)式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，則實(shí)數(shù)系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系：①請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示a、b、c之間的關(guān)系：；②解決問(wèn)題：若多項(xiàng)式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一個(gè)完全平方式，求m的值．【變式5-3】對(duì)于某些二次三項(xiàng)式可以采用“配方法”來(lái)分解因式，閱讀下列材料：例如：把x2+6x﹣16分解因式，我們可以這樣進(jìn)行：x2+6x﹣16＝x2+2?x?3+32﹣32﹣16（加上32，再減去32）＝（x+3）2﹣52（運(yùn)用完全平方公式）＝（x+3+5）（x+3﹣5）（運(yùn)用平方差公式）＝（x+8）（x﹣2）（化簡(jiǎn)）運(yùn)用此方法解決下列問(wèn)題：（1）把x2﹣8x﹣9分解因式．（2）已知：a2+b2﹣6a+10b+34＝0，求多項(xiàng)式4a2+12ab+9b2的值．題型6：因式分解的綜合運(yùn)用6.若x2﹣5x+2＝0，則2x3﹣7x2﹣11x+2020的值為．【變式6-1】若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值為．【變式6-2】若a2+a﹣1＝0，那么a2022+a2021﹣a2020＝．【變式6-3】如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘?cái)?shù)”．（1）請(qǐng)說(shuō)明28是否為“神秘?cái)?shù)”；（2）下面是兩個(gè)同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷真假，并說(shuō)明理由．①嘉嘉發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)）構(gòu)造的“神秘?cái)?shù)”也是4的倍數(shù)．②洪淇發(fā)現(xiàn)：2024是“神秘?cái)?shù)”．【變式6-4】若一個(gè)三位或三位以上的正整數(shù)A分成左、中、右三個(gè)數(shù)后滿足：①中間數(shù)＝左邊數(shù)2﹣右邊數(shù)2，則稱(chēng)中間數(shù)是A的“平安數(shù)”．如231的“平安數(shù)”是3，5212的“平安數(shù)”是21；②中間數(shù)＝（左邊數(shù)﹣右邊數(shù)）2，則稱(chēng)中間數(shù)是A的“快樂(lè)數(shù)”．如143的“快樂(lè)數(shù)”是4，6251和1256的“快樂(lè)數(shù)”是25．（1）若一個(gè)三位數(shù)的“平安數(shù)”是8，則這個(gè)數(shù)是；若一個(gè)四位數(shù)的“快樂(lè)數(shù)”是81，則這個(gè)數(shù)是；（2）一個(gè)正整數(shù)A與一個(gè)正整數(shù)B的左邊數(shù)均為m，右邊數(shù)均為n，且A的“平安數(shù)”比B的“快樂(lè)數(shù)”大16，求滿足條件的正整數(shù)A．一．選擇題（共8小題）1．下列等式從左到右的變形，是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3 C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） D．6m2n＝2mn?3m2．下列各多項(xiàng)式的因式分解中，正確的是（）A．a(chǎn)2﹣6a+9＝（a+3）2 B．a(chǎn)2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b） C．8x2+12x＝2x（4x+6） D．x2+4y2＝（x+2y）23．多項(xiàng)式ax2﹣4a與多項(xiàng)式2x2﹣8x+8的公因式是（）A．x﹣2 B．x+2 C．x2﹣2 D．x﹣44．已知x2+3x﹣12＝0，則代數(shù)式x3﹣21x+5的值是（）A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣415．已知20212022﹣20212020＝2021x×2020×2022，則x的值為（）A．2023 B．2022 C．2021 D．20206．下列分解因式錯(cuò)誤的一項(xiàng)是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．x2+4x＝x（x+4） C．x2+7x+12＝（x+2）（x+6） D．x2+2x+1＝（x+1）27．若a+b＝3，x+y＝1，則代數(shù)式a2+2ab+b2﹣x﹣y+2015的值是（）A．2019 B．2017 C．2024 D．20238．已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值為（）A．1 B．3 C．6 D．1010二．填空題（共6小題）9．如果a+b＝4，ab＝3，那么a2b+ab2＝．10．把2a2b﹣4ab+2b因式分解的結(jié)果是．11．已知x2﹣2x﹣1＝0，則3x2﹣6x＝；則2x3﹣7x2+4x﹣2019＝．12．當(dāng)k＝時(shí)，二次三項(xiàng)式x2﹣kx+12分解因式的結(jié)果是（x﹣4）（x﹣3）．13．已知xy＝3，x﹣3y＝3，則2x3y﹣12x2y2+18xy3＝．14．如圖，將一張大長(zhǎng)方形紙板按圖中虛線裁剪成9塊，其中有2塊是邊長(zhǎng)為a厘米的大正方形，2塊是邊長(zhǎng)都為b厘米的小正方形，5塊是長(zhǎng)為a厘米，寬為b厘米的相同的小長(zhǎng)方形，且a＞b．觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)代數(shù)式2a2+5ab+2b2可以因式分解為．三．解答題（共7小題）15．把下列各式因式分解：（1）﹣3xy3+12xy；（2）（x﹣1）x2+2x（x﹣1）+（x﹣1）．16．發(fā)現(xiàn)：任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是4的倍數(shù)．（1）（﹣2）2+02+22的結(jié)果是4的幾倍？（2）設(shè)三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)為2x，寫(xiě)出它們的平方和，并說(shuō)明是4的倍數(shù)；（3）任意三個(gè)連續(xù)數(shù)的平方和，設(shè)中間一個(gè)為x，被3除余數(shù)是幾？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．17．材料一：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差，那我們稱(chēng)這個(gè)正整數(shù)為連續(xù)平方差數(shù)，如96＝252﹣232，則96是連續(xù)平方差數(shù)；材料二：對(duì)于一個(gè)三位自然數(shù)M，去掉個(gè)位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)P，去掉百位數(shù)字后成為一個(gè)兩位數(shù)Q，若F（M）=P-Q9（P＞Q）為整數(shù)，則稱(chēng)M是一個(gè)關(guān)于9的對(duì)稱(chēng)數(shù)，如F（545）=54-459=1（1）求證：任意一個(gè)三位連續(xù)平方差數(shù)能被8整除；（2）已知一個(gè)三位數(shù)既是連續(xù)平方差數(shù)，又是關(guān)于9的對(duì)稱(chēng)數(shù)，求滿足條件的所有三位數(shù)．18．【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長(zhǎng)為a的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2a+b）（a+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+z＝；【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：．19．（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫(xiě)在橫線上：x2+6x+9＝；16x2﹣8x+1＝；9x2+12x+4＝；（2）觀察以上三個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，有62＝4×1×9，（﹣8）2＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小明猜測(cè)：若多項(xiàng)式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，則實(shí)數(shù)系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系：①請(qǐng)你用數(shù)學(xué)式子表示a、b、c之間的關(guān)系：；②解決問(wèn)題：若多項(xiàng)式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一個(gè)完全平方式，求m的值．20．我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其實(shí)分解因式方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．（1）分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．請(qǐng)閱讀以下例題：例1．a(chǎn)x+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）例2.2xy+y