2023-2024學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2023-2024學(xué)年福建省廈門市雙十中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列四個(gè)函數(shù)中，與函數(shù)完全相同的是（）A． B．C． D．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則等于()A．-1 B． C． D．13．若，，，則的最小值為（）A． B． C． D．4．計(jì)算：的結(jié)果為（）A．1 B．2 C．-1 D．-25．在ΔABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若3asinC=A．π6 B．π3 C．2π6．已知集合A={x︱x>－2}且，則集合B可以是（）A．{x︱x2>4} B．{x︱}C．{y︱} D．7．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖象關(guān)于（）對(duì)稱．A．軸 B．原點(diǎn) C．直線 D．點(diǎn)9．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．10．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為弧田面積，弧田（如圖所示）由圓弧和其所對(duì)的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積大約是（）（）A．16平方米 B．18平方米C．20平方米 D．24平方米二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為第二象限角，且，則_________.12．?dāng)?shù)列中，為的前項(xiàng)和，若，則____．13．若直線的傾斜角為，則______.14．已知點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，若的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.15．定義在上的函數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，都有，且，若對(duì)任意的正整數(shù)，有，則___________.16．已知與的夾角為求=_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知以點(diǎn)（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．（1）求△OAB的面積；（2）設(shè)直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．18．如圖，矩形所在平面與以為直徑的圓所在平面垂直，為中點(diǎn)，是圓周上一點(diǎn)，且，，．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設(shè)點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且滿足，若直線平面，求實(shí)數(shù)的值．19．已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．在一次人才招聘會(huì)上，有、兩家公司分別開(kāi)出了他們的工資標(biāo)準(zhǔn)：公司允諾第一個(gè)月工資為8000元，以后每年月工資比上一年月工資增加500元；公司允諾第一年月工資也為8000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初被、兩家公司同時(shí)錄取，試問(wèn)：（1）若該人分別在公司或公司連續(xù)工作年，則他在第年的月工資分別是多少；（2）該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)（不計(jì)其他因素），該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么？21．銳角的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若.（1）求；（2）若，，求的周長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

先判斷函數(shù)的定義域是否相同，再通過(guò)化簡(jiǎn)判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，從而判斷出與相同的函數(shù).【詳解】的定義域?yàn)?，A.，因?yàn)?，所以，定義域?yàn)榛颍c定義域不相同；B.，因?yàn)?，所以，所以定義域?yàn)?，與定義域不相同；C.，因?yàn)椋远x域?yàn)?，又因?yàn)?，所以與相同；D.，因?yàn)椋?，定義域?yàn)椋c定義域不相同.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的相同函數(shù)的判斷，難度一般.判斷相同函數(shù)時(shí)，首先判斷定義域是否相同，定義域相同時(shí)再去判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同（函數(shù)化簡(jiǎn)），結(jié)合定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系即可判斷出是否是相同函數(shù).2、C【解析】

根據(jù)求得函數(shù)的周期，再結(jié)合奇偶性求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由于故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的周期性，考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)題意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，因?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取得最小值.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最小值問(wèn)題，其中解答中合理化簡(jiǎn)，熟練應(yīng)用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

利用恒等變換公式化簡(jiǎn)得的答案.【詳解】故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、A【解析】

根據(jù)正弦定理asinA=csinC將題干等式化為3sinAsin【詳解】∵3asinC=3ccosA，所以3sinAsin【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用正弦定理求三角形內(nèi)角，屬于基礎(chǔ)題。6、D【解析】

A、B={x|x＞2或x＜-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合題意；

B、B={x|x≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

C、B={y|y≥-2}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合題意；

D、若B={-1，0，1，2，3}，

∵集合A={x|x＞-2}，

∴A∪B={x|x＞-2}=A，與題意相符，

故選D．7、C【解析】

利用正方體中，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求共面直線與所成角的正切值，在中進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，，所以異面直線與所成角為，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則由為棱的中點(diǎn)，可得，所以，則.故選C.【點(diǎn)睛】求異面直線所成角主要有以下兩種方法：（1）幾何法：①平移兩直線中的一條或兩條，到一個(gè)平面中；②利用邊角關(guān)系，找到（或構(gòu)造）所求角所在的三角形；③求出三邊或三邊比例關(guān)系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求兩直線的方向向量；②求兩向量夾角的余弦；③因?yàn)橹本€夾角為銳角，所以②對(duì)應(yīng)的余弦取絕對(duì)值即為直線所成角的余弦值.8、A【解析】

先利用輔助角公式將未變換后的函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再根據(jù)圖象變換規(guī)律得出變換后的函數(shù)的解析式為，結(jié)合余弦函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)進(jìn)行判斷?！驹斀狻?，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后得到，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的對(duì)稱性，在考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該將三角函數(shù)的解析式化為一般形式，并借助三角函數(shù)的圖象來(lái)理解。9、D【解析】

取特殊值檢驗(yàn)，利用排除法得答案。【詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；因?yàn)榍?，所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題。10、C【解析】分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)分別計(jì)算弦和矢的長(zhǎng)度，再按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，即可得到答案.詳解：由題可知，半徑，圓心角，弦長(zhǎng)：，弦心距：，所以矢長(zhǎng)為.按照弧田面積經(jīng)驗(yàn)公式得，面積故選C.點(diǎn)睛：本題考查弓形面積以及古典數(shù)學(xué)的應(yīng)用問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)題意的理解和計(jì)算能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解析】

先由求出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，解得，再由及為第二象限角可得、，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.12、【解析】

由，結(jié)合等比數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的求和公式即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)樗詳?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以由等比數(shù)列的求和公式得，解得【點(diǎn)睛】本題考查利用等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的求和公式，屬于簡(jiǎn)單題．13、【解析】

首先利用直線方程求出直線斜率，通過(guò)斜率求出傾斜角.【詳解】由題知直線方程為，所以直線的斜率，又因?yàn)閮A斜角，所以傾斜角.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線傾斜角與直線斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

作出圖形，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，結(jié)合圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，并求出直線的方程，與軸方程聯(lián)立，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】如下圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，直線的斜率為，直線的方程為，即，聯(lián)立，解得，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用折線段長(zhǎng)的最小值求點(diǎn)的坐標(biāo)，涉及兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.15、【解析】

根據(jù)條件求出的表達(dá)式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項(xiàng)公式．【詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)．所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于難題．16、【解析】

由題意可得：，結(jié)合向量的運(yùn)算法則和向量模的計(jì)算公式可得的值.【詳解】由題意可得：，則：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量模的求解，向量的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)4(2)【解析】

（1）求得圓的半徑，設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形的面積.（2）根據(jù)，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據(jù)直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時(shí)得到圓心到直線的距離.【詳解】（1）根據(jù)題意，以點(diǎn)（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據(jù)題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當(dāng)a＝2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時(shí)直線l與圓相交，符合題意；當(dāng)a＝2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），圓心到直線l的距離d，r，r＜d，此時(shí)直線l與圓相離，不符合題意；故圓心C到直線l的距離d．【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查兩條直線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）1【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，即為所求角。在中，易得MC，NC的長(zhǎng)，MN可在直角三角形中求得。再用余弦定理易求得夾角。（2）連接，連接和交于點(diǎn)，連接，易得，所以為的中位線，所以為中點(diǎn)，所以的值為1?！驹斀狻浚?）取中點(diǎn)，連接因?yàn)闉榫匦?，分別為中點(diǎn)，所以所以異面直線與所成角就是與所成的銳角或直角因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面矩形中，，平面所以平面又平面，所以中，，所以又是圓周上點(diǎn)，且，所以中，，由余弦定理可求得所以異面直線與所成角的余弦值為（2）連接，連接和交于點(diǎn)，連接因?yàn)橹本€平面，直線平面，平面平面所以矩形的對(duì)角線交點(diǎn)為中點(diǎn)所以為的中位線，所以為中點(diǎn)又，所以的值為1【點(diǎn)睛】（1）異面直線所成夾角一般是要平移到一個(gè)平面。（2）通過(guò)幾何關(guān)系確定未知點(diǎn)的位置，再求解線段長(zhǎng)即可。19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】

(1)利用，時(shí)單獨(dú)討論.求解.

(2)對(duì)時(shí)單獨(dú)討論，當(dāng)時(shí)，對(duì)從到的和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，得.當(dāng)時(shí)，即.所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.所以(2)設(shè)，則..當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)………………由﹣得所以所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用求通項(xiàng)公式和應(yīng)用錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于難題.20、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工資總和為，公司十年月工資總和為，選公司；【解析】

(1)易得在兩家公司每年的工資分別成等差和等比數(shù)列再求解即可.(2)根據(jù)(1)中的通項(xiàng)公式求解前10年的工資和比較大小即可.【詳解】(1)易得在公司的工資成公差為500,首項(xiàng)為8000的等差數(shù)列,故在公司第年的月工資為.在公司的工資成公比為,首項(xiàng)為8000的等比數(shù)列.故在公司第年的月工資為.(2)由(1)得,在公司十年月工資總和在公司十年月工資總和.因?yàn)?故選公司.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題,需要根據(jù)題意找出首