2020-2021學年山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學試卷（解析版）

2020-2021學年山東省濰坊市高二（下）期末數(shù)學試卷

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.或+霏=（）

A.25B.35C.70D.90

2.某校共有學生2500人，為了解學生的身高情況，用分層抽樣的方法從三個年級中抽取容

量為50的樣本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，則該校高三學生人數(shù)為（）

A.600B.800C.1000D.1200

3.ZVIOB的斜二測直觀圖△4OE如圖所示，則△AOB的面積是（）

A.72B.2C.2&D.4

4.我國古典樂器一般按“八音”分為“金，石，木，革，絲，土，匏（pdo）,竹”，其中

“金，石，木，革為打擊樂器，“絲”為彈撥樂器，“土，匏，竹”為吹奏樂器，現(xiàn)從

“金，石，土，竹，絲”中任取兩種樂器，則至少有一種為吹奏樂器的取法種數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

5.若一個底面半徑為1的圓錐側(cè)面展開圖是一個頂角為上；的扇形，則該圓錐的體積為

（）

A.B.C.735"D.2揚

33

6.如圖所示，在正四棱柱ABC。-A囚GQ中，AB=2AA\,P,Q分別是AO和3。的中點，

則異面直線DxP與BQ所成的角為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

7.從正方體的八個頂點中任取3個點為頂點，恰好構(gòu)成直角三角形的概率為（）

8.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件E="第一枚硬幣正面朝上”,事件F=“第二枚硬

幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的是()

A.E與尸相互獨立B.￡與下互斥

C.E與尸相等D.P(EUF)=—

2

二、多項選擇題：本大題共4個小題每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)a,6為兩條不重合的直線，a為一個平面，則下列說法正確的是()

A.若bua,則a_LaB.若。_La,allb,則b_La

C.若。〃a,bua,貝ija〃bD.若?！╝,Z?±a,貝(]

10.袋子中有3個黑球，2個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記1分，

黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X,則()

A.X?B(4,—2)B.P(X=2)=-14^4

5625

c.X的期望E(X)=孕D.X的方差。(X)=笑

525

11.有3臺車床加工同一型號零件，第1臺次品率為6%,第2,3臺次品率為5%,加工的

零件混在一起，已知第1,2,3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%,30%,45%,記事

件8="任取一個零件為次品”，事件A,二"零件為第i臺車床加工”(i=l,2,3),

則()

A.P(BHi)=0.06B.P(A2B)=0.015

3

C.P(B)=0.0525D.P(Ai|B)=半

12.在矩形4BC。中，A8=2,A￡>=1,E為AB中點，沿OE將△AOE折起到A'DE位置(H

不在平面ABC。內(nèi))，F(xiàn),G分別為CV與C￡>的中點在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是

()

B.OE_L平面AAG

C.存在某位置，使得4B_LAG

D.設(shè)直線8F與平面DE8c所成的角為。，則sin。的最大值是逅

10

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某地區(qū)為調(diào)查該地的居民月用水量，調(diào)查了本地的10戶居民的月平均用水量為：2.0,

3.2,4.5,5.3,6.0,7.6,8.0,9.2,10.0,11.6,這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為.

14.隨機變量E的分布列是

24

Pah

若E⑴=-|,則。⑴=.

15.在正三棱柱48c-481G中,4B=A4］=2,點。滿足同U-（AB+而），則I而尸.

16.三棱錐S-ABC的頂點均在半徑為4的球面上，/\ABC為等邊三角形且外接圓半徑為2,

平面SABL平面ABC,則三棱錐S-ABC體積的最大值是.

四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知（3x-L）n的展開式中各項系數(shù)之和為32.

X

（1）求〃的值；

（2）求（xd）（3x-L）n展開式中的常數(shù)項.

XX

18.某校為推進科技進校園活動，組織了一次科技知識問答競賽，組委會抽取了100名學生

參加，得到的競賽成績作出如圖所示頻率分布直方圖.已知成績在［75,80）的學生有20

人.

（1）求〃，6的值，并估計本次競賽學生成績的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）從成績在［65,70）與［95,100）學生中任取3人進行問卷調(diào)查.記這3名學生成績

在［95,100）內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

19.如圖，PA是圓柱的母線，點C在以A3為直徑的底面。。上，點。是P8的中點，點E

在彘上，1.OE//AC.

（1）求證：DE〃平面PACt

（2）求證：平面。平面PBC.

20.共享電單車作為一種既環(huán)保又便捷的綠色交通出行工具，不僅方便市民短途出行，還可

以緩解城市交通壓力.A市從2016年開始將其投入運營，如表是該市年份代碼x與共享

單車數(shù)y（單位：萬輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份20162017201820192020

X12345

共享中乍數(shù)y（萬輛）1014182326

（1）經(jīng)分析，y與x存在顯著的線性相關(guān)性，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測2021

年的共享單車數(shù)；

（2）根據(jù)往年統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知2020年每輛車的各項支出費用大致符合正態(tài)分布N（山。

2），口=800,o2=10000,支出費用在1000元及以上的單車沒有利潤，支出費用在［800,

1000）的單車每輛車年平均利潤為10元，支出費用低于800元的單車每輛車年平均利潤

為20元，請預測2021年總利潤.

EXjyj-nxy

若隨機變量X?N（H，。2）,則p（廣。<x<R+。）=0.6826,P（H-2o<X<n+2

。）=0.9544,P（n-3o<X<n+3。）=0.9974.

21.如圖，四棱柱ABCO-AHGDi的底面A8C￡>為矩形，AD=2AB,M為8C中點，平面

AtDtDA±ABCD,44_L4。且44=4。.

（1）證明：ZBiAlD=90°.

（2）若此四棱柱的體積為2,求二面角A-A山的正弦值.

8M

22.一疫苗生產(chǎn)單位通過驗血方法檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況,需要檢驗血液是否有抗體.現(xiàn)

有“（〃6N*）份血液樣本，每份樣本取到的可能性均等.有以下兩種檢驗方式：（1）逐

份檢驗，則需要檢驗“次；（2）混合檢驗，將其中左（依N*且k22）份血液樣本分別取

樣混合在一起檢驗.若檢驗結(jié)果無抗體，則這大份的血液全無抗體，因而這人份血液樣

本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果有抗體，為了明確這％份血液究竟哪幾份有抗體，

就要對這4份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗總次數(shù)為什1次.假設(shè)在接受檢驗的

血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果有無抗體都是相互獨立的，且每份樣本有抗體的概率

均為p（0<p<l）.

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，若采用逐份檢驗方式，求恰

好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；

（2）現(xiàn)取其中k（依N*且無22）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總

次數(shù)為牛，采用混合檢驗方式樣本需要檢驗的總次數(shù)為匕若E（牛）=E（8）,求p關(guān)

于&的函數(shù)關(guān)系式p=/（&）,并證明pVl-e-工.

e

參考答案

一、單項選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.

1.Cg+Cg=（）

A.25B.35C.70D.90

【分析】由題意利用組合數(shù)公式，計算求得結(jié)果.

解：5義,曳=15+20=35,

v

662X13X2X1

故選:B.

2.某校共有學生2500人，為了解學生的身高情況，用分層抽樣的方法從三個年級中抽取容

量為50的樣本，其中高一抽取14人，高二抽取16人，則該校高三學生人數(shù)為（）

A.600B.800C.1000D.1200

【分析】求出抽樣比例為50,根據(jù)高一、高二抽取的人數(shù)求出高三抽取的人數(shù)，即可求

出該校高三學生人數(shù).

解：由題意知，抽樣比例為2500+50=50,高一抽取14人，高二抽取16人，則高三抽

取50-14-16=20（人），

所以該校高三學生人數(shù)有20X50=1000（人）.

故選：C.

3.ZV1OB的斜二測直觀圖如圖所示，則△A08的面積是（）

2C.2&D.4

【分析】由直觀圖和原圖形的關(guān)系易知aAOB的底邊OB以及OB上的高線，計算它的

面積即可.

解：由直觀圖和原圖形的關(guān)系易知，

△AOB中底邊OB=2,底邊OB上的高線長為4,

.?.△AO8的面積為

S=—X4X2=4.

2

故選：D.

4.我國古典樂器一般按“八音”分為“金，石，木，革，絲，土，匏（pd。），竹”，其中

“金，石，木，革為打擊樂器，“絲”為彈撥樂器，“土，匏，竹”為吹奏樂器，現(xiàn)從

“金，石，土，竹，絲”中任取兩種樂器，則至少有一種為吹奏樂器的取法種數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】根據(jù)題意，由間接法分析：先計算全部的取法，排除其中沒有吹奏樂器的取法,

分析可得答案.

解：根據(jù)題意，從“金，石，土，竹，絲”中，任選兩種樂器，有C52=1O種取法，

其中沒有吹奏樂器的有G2=3種，

則至少有一種為吹奏樂器的取法有10-3=7種；

故選：C.

5.若一個底面半徑為1的圓錐側(cè)面展開圖是一個頂角為耳的扇形，則該圓錐的體積為

（）

A.B.C.V35KD.2^IT

33

【分析】由已知求出圓錐的母線長，再由勾股定理求圓錐的高，代入圓錐體積公式求解.

解：圓錐的底面半徑，?=1，設(shè)母線長為/,

貝112兀==21二1，解得/=3r=3,

.,?圓錐的高h=J12_丫2=?§2一]2-2\[2，

可得圓錐的體積nx12x2V2冗?

故選：B.

6.如圖所示，在正四棱柱ABCD-ALBIGOI中，AB=2AAt,P,Q分別是A。和的中點,

則異面直線。砂與8Q所成的角為（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

【分析】以。為原點，3c為x軸，。4為、軸，為z軸，建立空間直角坐標系，利

用向量法求出異面直線GP與3Q所成的角的余弦值，即可得到它們所成的角.

解：以。為原點，0cx軸，D4為y軸，。。為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設(shè)底面邊長為2,

則。(0,0,0),A(0,2,0),8(2,2,0),C(2,0,0),

Bi(2,2,I),Ci(2,0,I),Di(0,0,1),

因為P,Q分別是AD和8。的中點，

所以P(0,1,0),Q(1,1,0),

則D[P=(0,1,-1)>B]Q=(-1,-1,-1),

DTP-BTQ

設(shè)直線AP與8|Q所成的角為0,則cose=-=^—7^—=0,

故選：A.

7.從正方體的八個頂點中任取3個點為頂點，恰好構(gòu)成直角三角形的概率為()

A.—B.—C.—D.—

14777

【分析】本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從正方體的8個頂點中

任取3個有eg種取法，即可構(gòu)成的三角形有56種可能，正方體有6個表面和6個對角

面，每一個面中的任意3個頂點可構(gòu)成4個直角三角形，得到結(jié)果.

解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，

試驗發(fā)生包含的事件是從正方體的8個頂點中任取3個有C：=56種取法，

可構(gòu)成的三角形有56種可能，

正方體有6個表面和6個對角面，它們都是矩形(包括正方形)，

每一個矩形中的任意3個頂點可構(gòu)成4個直角三角形，

共有12X4=48個直角三角形，

故所求的概率：

故選：D.

8.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件E="第一枚硬幣正面朝上"，事件F="第二枚硬

幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的是()

A.E與尸相互獨立B.E與F互斥

C.E與F相等D.P(EUF)得

【分析】先求出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所得的總的基本事件數(shù)，再對應(yīng)各個選項逐

個判斷即可.

解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，所得的總的基本事件數(shù)有：

“兩枚硬幣都朝上”，“兩枚硬幣都朝下”，“第一枚硬幣朝上，第二枚硬幣朝下”，

“第一枚硬幣朝下，第二枚硬幣朝上”，共4種情況，

故事件E與事件尸不互斥，也不相等，故8,C錯誤，A正確，

9191111

且P(￡)P(F)=4-，所以P(EUF)=P(E)P(F)=—X—

4242224

故。錯誤，

故選：A.

二、多項選擇題：本大題共4個小題每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，

有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.

9.設(shè)a,6為兩條不重合的直線，a為一個平面，則下列說法正確的是()

A.若a_Lb,bua,則a_LaB.若a_l_a,a//b,則6J_a

C.若a〃a,〃ua,則a〃6D.若a〃a,b±a,則

【分析】由直線與直線垂直、直線在平面內(nèi)可得線面關(guān)系判斷A；由直線與平面垂直的

性質(zhì)判斷8；由直線與直線平行、直線在平面內(nèi)可得線面關(guān)系判斷C；由直線與平面垂

直、直線與平面平行分析直線與直線的位置關(guān)系判斷D.

解：若力ua,則aua或a〃a或a與a相交，相交也不一定垂直，故A錯誤；

若Ua,a//h,由直線與平面垂直的性質(zhì)可得匕_La,故B正確；

若a〃a,bua,則a〃匕或a與Z?異面，故C錯誤；

若b_La,則b垂直于所有與a平行的直線，又“〃a,則故。正確.

故選：BD.

10.袋子中有3個黑球，2個白球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機取球4次，取到白球記1分，

黑球記0分，記4次取球的總分數(shù)為X,則()

2144

A.X?B(4,—)B.P(X=2)

5625

C.X的期望E(X)D.X的方差。(X)--

525

【分析】由題意可得，每次抽到白球的概率為名，且每次積1分，則4次取球的總分數(shù)X

5

服從二項分布，即X?B(2,4),結(jié)合期望與方差公式，以及概率公式，即可求解.

5

9

解：由題意可得，每次抽到白球的概率為9，且每次積1分，

則4次取球的總分數(shù)X服從二項分布，即X?B(2,看)，故A選項正確，

5

P(X=2)=q(卷)2(1~)2=黑，故3選項錯誤，

E(X)=4X^：4,故C選項錯誤，

55

D(X)=4X9^x23蟾94.，故。選項正確.

5525

故選：AD.

11.有3臺車床加工同一型號零件，第1臺次品率為6%,第2,3臺次品率為5%,加工的

零件混在一起，已知第1,2,3臺車床加工的零件分別占總數(shù)的25%,30%,45%,記事

件3="任取一個零件為次品”,事件4="零件為第i臺車床加工"(i=l,2,3),

則()

A.P(BA)=0.06B.P(A?B)=0.015

3

C.P(B)=0.0525D.P(4|8)=半

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式和條件概率公式，即可求解.

解：由題意可得,P(4)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,

P(B|Ai)=0.06,P(B|A2)=P(BAO=0.05,故A選項正確，

由全概率公式可得，P(B)=P(A。P(B|Ai)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.25X0.06+0.3X0.05+0.45X0.05=0.0525,故C選項正確，

P(A2B)=P(A2)p(B|A2)=0.3X0.05=0.015,故B選項正確，

P(A.IB)=P<A1)P(B|A1)=O^5><AO6=2,故。選項錯誤.

P(B)0.05257

故選：ABC.

12.在矩形ABC。中，AB=2,AD=\,E為AB中點，沿DE將△4￡>￡折起到4DE位置(4

不在平面ABCO內(nèi))，F(xiàn),G分別為CA與CQ的中點在翻折過程中，下列結(jié)論正確的是

()

A.尸G〃平面A'OE

B.OE_L平面A4G

C.存在某位置，使得4B，AG

D.設(shè)直線8尸與平面。E8C所成的角為。，則sin。的最大值是叵

10

【分析】對于選項A：由題意可得尸GIH。，進而判斷FGH平面ADE；對于選項8：如圖

1,連接GE,證明。ELAG,即可判斷。平面H4G；對于選項C：

假設(shè)存在某位置，使得4BLAG,如圖1,連接GB,A'G,由題意可證得AG,平面4GB,

進而得出AGJ_A，G,從而得出矛盾，即可判斷選項C的正確性；對于。選項：如圖2,

延長C8,DE交于點、N,連接AW,由題意可將直線與平面。E8C所成的角轉(zhuǎn)化為

AW與平面DEBC所成的角，要使A,N與平面DEBC所成的角的正弦值最大，只需A'H

J_平面ABC。，進而可得出sin0的最大值.

解：對于選項A：因為F,G分別為CH與CO的中點，所以FGM7),又因為FGC平面

A,DE,所以FG||平面ACE,故A選項正確：

對于選項8：如圖1,連接GE,

AB

圖I

因為在矩形ABC。中，E,G分別為AB,C￡＞的中點，AB=2,AD=\,所以四邊形AEG。

是正方形，

△A3E是等腰直角三角形，所以。ELAG,設(shè)AG與。E的交點為連接A77,所以

A,HA-DE,因為A'“nAG=H,所以。E_L平面A'AG,

故8項正確；

對于選項C：假設(shè)存在某位置，使得ABLAG,如圖1,連接GB,A'G,由題意知：AG

=GB=?由AB=2得：AB2^AG2+GB2,故

BG±AG,又因為ABC8G=B,所以AG,平面A，GB,所以AGL4G,顯然不成立，故

假設(shè)錯誤，即不存在某位置，使得A為，AG,故C項不正確；

對于D選項：如圖2,延長CB,OE交于點N,連接AW,

所以8MEG,EN\\GB,所以四邊形BNEG是平行四邊形，所以BN=EG=BC,即點8為

NC的中點，又因為尸是C4'的中點，所以BF||AW,所以直線B尸與平面。E8C所成的角

等于AW與平面QEBC所成的角相等，由B選項可知：平面A4G,故平面ABC。

，平面WAG,故要使AW與平面QEBC所成的角的正弦值最大，只需AH_L平面A8CQ,

此時A'H=返，HN=HE+EN=運/受巨,

22Pz2_

A'N=4（乎.）2+（3步）=遙，所以sinO=%'=2故。選項正確.

故選：ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某地區(qū)為調(diào)查該地的居民月用水量，調(diào)查了本地的10戶居民的月平均用水量為：2.0,

3.2,4.5,5.3,6.0,7.6,8.0,9.2,10.0,11.6,這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為9.6.

【分析】百分位數(shù)的定義知這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是從小到大排序后的第8、9個數(shù)的平

均數(shù).

解：V1OX8O%=8,

這組數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)是從小到大排序后的第8、9個數(shù)的平均數(shù)，

這組數(shù)據(jù)從小到大排序后的第8、9個數(shù)分別是9.2,10,

其平均數(shù)為上義(9.2+10)=9.6,

2

故答案為：9.6.

14.隨機變量己的分布列是

《24

Pab

若E⑴=率則。⑴

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，以及期望和方差公式，即

可求解.

解：由分布列的性質(zhì)可得，。+〃=1①，

又,：E(V=§,

3

2a+4b=-^-@,

3

聯(lián)立①②解得，b=2,

33

:⑺=|x(2-1)2-h|x(4-1)2=|.

故答案為：提.

9

15.在正三棱柱ABC-4BC中,4B=A4i=2,點。滿足疝卷(AB+布)，則I而1=2.

【分析】首先確定點。的位置，然后利用幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征作出輔助線，最后然后

結(jié)合勾股定理可得向量的模的大小.

解：由題意可知，點。為48的中點，如圖所示，取AB的中點E,連接EZ),EC,DC,

Ai&

由正三棱柱的性質(zhì)可知：OE_L平面A8C,貝IJOELCE,

在RtaCDE中，DE,AAj1，CE=V§,

?，-ICDl=C￡>=V3+l=2-

故答案為：2.

16.三棱錐S-ABC的頂點均在半徑為4的球面上，XNBC為等邊三角形且外接圓半徑為2,

平面SABJ_平面ABC,則三棱錐S-ABC體積的最大值是_6+m_.

【分析】由題意畫出圖形，求得S到底面ABC距離的最大值，再求出底面三角形ABC

的面積，可得三棱錐S-ABC的體積的取值范圍，結(jié)合選項得答案.

解：如圖，設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為0,則0A=0B=0C=0S=4,

設(shè)△4BC外接圓的圓心為。1,則0兇=0山=0C=2,

連接0。”則00」平面ABC,可得00i=742-22=2^3>

設(shè)△ABC的邊長為a,由一J"=2X2=4,

sin60°

得a=2*^*§,O(?2=2^2,X~'=1>

平面SA8L平面ABC,當△SAB為等腰三角形且S4=S8時，S到底面48c的距離最大，

設(shè)為力，則h=OOi+SO2=2M^42-

又S△ABC=X（2V3）2=3?,

三棱錐S-ABC的體積的最大值為V=iX3＞/3X）=6+3娓,

故答案為：6+3娓.

四、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知（3x-^）n的展開式中各項系數(shù)之和為32.

X

（1）求〃的值；

（2）求仁二^白乂-工尸展開式中的常數(shù)項.

XX

【分析】（1）對X賦值1,可求得〃的值；

（2）先求得二項式色乂-工尸的通項，再求得項與x項的系數(shù)，求和即可求得答案.

x

解：（1）由題意，令x=l得（3-1）"=2"=32,

解得〃=5.

（2）因為二項式（3x~—）5的通項為T*=C：（3x）=

Xr+10X

Cr（,1）r.35-r.x^2ri

令解得故展開式中含有項的系數(shù)為：

5-2r=-l,r=3,x1□

再令5-2廠=1,解得r=2,展開式中含有x項的系數(shù)為：C1（-1）2-33,

□

所以（xJ）（3x-工尸展開式中的常數(shù)項為：

XX

XC＜（-1）3-35-3X-1-^C＜（-1）2-35-2X=-9C5+27C5=18C5=180.

18.某校為推進科技進校園活動，組織了一次科技知識問答競賽，組委會抽取了100名學生

參加，得到的競賽成績作出如圖所示頻率分布直方圖.已知成績在［75,80）的學生有20

人.

（1）求“，b的值，并估計本次競賽學生成績的中位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）從成績在［65,70）與［95,100）學生中任取3人進行問卷調(diào)查.記這3名學生成績

在［95,100）內(nèi)的人數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【分析】（1）由成績在［75,80）的學生有20人,可得其頻率為磊-0.2，即可得

b￡^=0.040,再由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得各個區(qū)間的頻率和為1,即可求“

的值，再結(jié)合中位數(shù)的公式，即可求解.

（2）由題意知，成績在［65,70）的學生人數(shù)為3人，成績在［95,100）的學生人數(shù)為5

人，X所有可能的取值為0,1,2,3,分別求出對應(yīng)的概率，即可得X的分布列，并結(jié)

合期望公式，即可求解.

解：（1）已知成績在［75,80）的學生有20人，故其頻率為嗇=0.2，

n9

所以b啖4=0.040，

b

所以（0.006+0.034+0.040+0+0,036+0.014+0.010）X5=1,

得a=0.060,

由題得左邊第一個矩形的面積為0.03,第二個矩形的面積為0.17,第三個矩形的面積為

0.2,第四個矩形的面積為0.3,所以中位數(shù)在第四個矩形里面，設(shè)中位數(shù)為x,

則0.03+0.17+0.2+(%-80)X0.06=0.5,

所以x-81.7,

故中位數(shù)為81.7分.

（2）由題意知，成績在［65,70）的學生人數(shù)為3人，成績在［95,100）的學生人數(shù)為5

人,

X所有可能的取值為0,I,2,3,

P(X=O)=

/-11/-12

vcQf)15Cqvc

==w___L

P(X2)--------=-----=,p(kY=Q))=--------=

々r35628「3而'一西，

故X的發(fā)布列為：

X0124

p115155

56562828

X服從超幾何分布所以X的期望為E(X)=3x?!?羋.

88

19.如圖，PA是圓柱的母線，點C在以AB為直徑的底面。。上，點。是PB的中點，點E

在篇上，S.OE//AC.

(1)求證：OE〃平面PAC；

(2)求證：平面。OEJ_平面P3C.

【分析】(1)由OD//PA,OE//AC,知平面。0￡7/平面PAC,再由面面平行的性質(zhì)定理,

得證；

(2)由BCrAC,OE//AC,推出BC±OE,由PAL底面。O,0DHPA,推出0DLBC,

再結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，得證.

【解答】證明：(1)因為點。為線段P8的中點，0為線段AB的中點，

所以0DHPA,

又因為0E〃AC,0EC\0D=0,PAHAC=A,

所以平面。0￡7/平面PAC,

又因為OEu平面OOE,所以￡>E〃平面P4C.

(2)因為點C在以A8為直徑的底面。0上，所以/ACB=90°,BC±AC,

又因為。E//AC,所以BCLOE,

因為PA是圓柱的母線，所以叢，底面。0,因為OA//PA,所以O(shè)OJ_底面。。，

所以O(shè)OJ_BC,

又因為OEu平面。0E,?！?gt;<=平面OOE,且。。COE=。，

所以8C_L平面。OE,

又因為8Cu平面PBC,所以平面力OEL平面P8C.

20.共享電單車作為一種既環(huán)保又便捷的綠色交通出行工具，不僅方便市民短途出行，還可

以緩解城市交通壓力.A市從2016年開始將其投入運營，如表是該市年份代碼x與共享

單車數(shù)y（單位：萬輛）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份20162017201820192020

X12345

共享單車數(shù)y（萬輛）1014182326

（1）經(jīng)分析，>與x存在顯著的線性相關(guān)性，求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預測2021

年的共享單車數(shù)；

（2）根據(jù)往年統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知2020年每輛車的各項支出費用大致符合正態(tài)分布N⑺，。

2），口=800,。2=]oooo,支出費用在1000元及以上的單車沒有利潤，支出費用在[800,

1000）的單車每輛車年平均利潤為10元，支出費用低于800元的單車每輛車年平均利潤

為20元，請預測2021年總利潤.

n

.Xxjyj-nxy一.

參考公式和數(shù)據(jù)：：=且-----------，*-

bn-ca-y-bx

b2-2

〉.xi-nx

i=l

若隨機變量X?N（p,。2）,貝lj尸（p-。VX<u+。）=0.6826,P（^i-2o<X<p+2

o）=0.9544,P（|i-3。<X<p+3o）=0.9974.

【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，將工=7代入上

式的線性回歸方程中，即可求解.

（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性，即可求解.

【解答】（1）解：由條件彳二3，7=18.2，

5__5

Zxiy.-5x*y=4L￡x：=55，

i=li=l

b=55一::32=41，a=?-.=18.2-4.1X3=5.9

所以y關(guān)于x的線性回歸方程，

jXA'Q

*=6時，y=4.1X6+5.9=30.5,

預測2021年共享單車數(shù)為30.5萬輛.

(2)由題意支出費用X服從正態(tài)分布，即X?N(800,IO。?)，p(800^X<1000)=

P(800^X<800+2X100)=0.4772,

所以支出費用在［800,1000)的單車總利潤為30.5X0.4772X10=145.546萬元，

P(X<800)-1,

所以支出費用在800元以下的單車總利潤為30.5X0.5X20=305萬元，

所以預測2021年總利潤為145.546+305=450.546萬元.

21.如圖，四棱柱ABC￡>-4BICI￡>I的底面A8CZ)為矩形，AD=2AB,〃為BC中點，平面

MD\DAVABCD,AAi_L4。且A|A=4D

(1)證明：ZBiA,D=90°.

(2)若此四棱柱的體積為2,求二面角A-A/-M的正弦值.

【分析】(1)推導出平面4AD4,平面AQQA,從而由此

能證明NBiAi￡>=90°.

(2)取AO中點O,連接40,則AiOLAO,推導出40J_平面438,由四棱柱的體

積求出AB=1,以O(shè)為坐標原點，誣，而，西為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐

標系，利用向量法能求出二面角A-A山-M的正弦值.

解：(1)證明：因為平面AQiDAL平面A8C。，

平面AiQQACl平面ABCD=A。，ABu平面ABC。，ABLAD,

所以ABJ_平面A\D\DA,

因為AB〃4S,所以4山1，平面AIOIDA,

又因為4Du平面A\D\DA

所以AiA_LAN,即NBiAQ=90°.

(2)取A。中點。，連接4。，因為4A=A。，所以40L4。，

又因為平面AiOQA1,平面ABCD,

平面A\D\DAn平面ABCD=AD,

所以40,平面ABC。，

所以40為四棱柱A