山東省萊山第一中學2025屆高一下數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題含解析

山東省萊山第一中學2025屆高一下數(shù)學期末質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列的首項,公差,則()A．5 B．7 C．9 D．112．名小學生的身高（單位：cm）分成了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，甲組：115，122，105，111，109；乙組：125，132，115，121，119.兩組數(shù)據(jù)中相等的數(shù)字特征是()A．中位數(shù)、極差 B．平均數(shù)、方差C．方差、極差 D．極差、平均數(shù)3．已知函數(shù)，如果不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A． B．C． D．4．甲、乙兩個不透明的袋中各有5個僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個紅球，2個白球，乙袋中有2個紅球，3個白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機取一球，則兩球不同顏色的概率為（）A． B． C． D．5．已知，且，則實數(shù)的值為（）A．2 B． C．3 D．6．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．7．在中，，設向量與的夾角為，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知點，,直線的方程為，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍為（）A． B． C． D．9．某實驗單次成功的概率為0.8,記事件A為“在實驗條件相同的情況下,重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計事件4的概率:先由計算機給出0～9十個整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0,1表示單次實驗失敗,2，3，4，5,6,7，8,9表示單次實驗成功，以3個隨機數(shù)為組,代表3次實驗的結(jié)果經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)，如下表:752029714985034437863694141469037623804601366959742761428261根據(jù)以上方法及數(shù)據(jù)，估計事件A的概率為()A．0.384 B．0.65 C．0.9 D．0.90410．與直線平行，且到的距離為的直線方程為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知直線過點，，則直線的傾斜角為______.12．若正四棱錐的所有棱長都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為____.13．已知，向量的夾角為，則的最大值為_____.14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則________．15．若存在實數(shù)，使不等式成立，則的取值范圍是_______________.16．已知，是第三象限角，則.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某公司為了提高工效，需分析該公司的產(chǎn)量臺與所用時間小時之間的關系，為此做了四次統(tǒng)計，所得數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)品臺數(shù)臺2345所用時間小時34求出y關于x的線性回歸方程；預測生產(chǎn)10臺產(chǎn)品需要多少小時？18．記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．19．某工廠新研發(fā)了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品每件成本為5元，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行銷售，得到如下數(shù)據(jù)：單價（元）88.28.48.68.89銷量（件）908483807568（1）求銷量（件）關于單價（元）的線性回歸方程；（2）若單價定為10元，估計銷量為多少件；（3）根據(jù)銷量關于單價的線性回歸方程，要使利潤最大，應將價格定為多少？參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，20．如圖，在平面直角坐標系中，已知圓：，點，過點的直線與圓交于不同的兩點（不在y軸上)．（1）若直線的斜率為3，求的長度；（2）設直線的斜率分別為，求證：為定值，并求出該定值；（3）設的中點為，是否存在直線，使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．21．已知等差數(shù)列滿足，的前項和為.（1）求及；（2）記，求

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

直接利用等差數(shù)列的通項公式，即可得到本題答案.【詳解】由為等差數(shù)列，且首項，公差，得.故選：C【點睛】本題主要考查利用等差數(shù)列的通項公式求值，屬基礎題.2、C【解析】

將甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差全部算出來，并進行比較，可得出答案．【詳解】甲組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，乙組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為：、、、、，極差為，平均數(shù)為中位數(shù)為，方差為，因此，兩組數(shù)據(jù)相等的是極差和方差，故選C．【點睛】本題考查樣本的數(shù)字特征，理解極差、平均數(shù)、中位數(shù)、方差的定義并利用相關公式進行計算是解本題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題．3、A【解析】

一元二次不等式大于零解集是，先判斷二次項系數(shù)為負，再根據(jù)根與系數(shù)關系，可求出a,b的值，代入解析式，求解不等式.【詳解】由的解集是，則故有，即.由解得或故不等式的解集是，故選：A.【點睛】對于含參數(shù)的一元二次不等式需要先判斷二次項系數(shù)的正負，再進一步求解參數(shù).4、D【解析】

現(xiàn)從兩袋中各隨機取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個數(shù)，由此能求出兩球不同顏色的概率．【詳解】甲、乙兩個不透明的袋中各有5個僅顏色不同的球，其中甲袋中有3個紅球、2個白球，乙袋中有2個紅球、3個白球，現(xiàn)從兩袋中各隨機取一球，基本事件總數(shù)，兩球不同顏色包含的基本事件個數(shù)，則兩球不同顏色的概率為．故選．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．5、D【解析】

根據(jù)二角和與差的正弦公式化簡，，再切化弦，即可求解.【詳解】由題意又解得故選：【點睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，屬于基礎題.6、C【解析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應用和函數(shù)的奇偶性的應用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當時，.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎題.7、A【解析】

根據(jù)向量與的夾角的余弦值，得到，然后利用正弦定理，表示出，根據(jù)的范圍，得到的范圍.【詳解】因為向量與的夾角為，且，所以，在中，由正弦定理，得，所以，因為，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查向量的夾角，正弦定理解三角形，求正弦函數(shù)的值域，屬于簡單題.8、A【解析】

直線過定點，利用直線的斜率公式分別計算出直線，和的斜率，根據(jù)斜率的單調(diào)性即可求斜率的取值范圍．【詳解】解：直線整理為即可知道直線過定點，作出直線和點對應的圖象如圖：，，，，，要使直線與線段相交，則直線的斜率滿足或，或即直線的斜率的取值范圍是，故選．【點睛】本題考查直線斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合確定直線斜率的取值范圍，屬于基礎題．9、C【解析】

由隨機模擬實驗結(jié)合圖表計算即可得解．【詳解】由隨機模擬實驗可得：“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中最多成功1次”共141，601兩組隨機數(shù)，則“在實驗條件相同的情況下，重復3次實驗，各次實驗互不影響，則3次實驗中至少成功2次”共組隨機數(shù)，即事件的概率為，故選．【點睛】本題考查了隨機模擬實驗及識圖能力，屬于中檔題．10、B【解析】試題分析：與直線平行的直線設為與的距離為考點：兩直線間的距離點評：兩平行直線間的距離二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)兩點求斜率的公式求得直線的斜率，然后求得直線的傾斜角.【詳解】依題意，故直線的傾斜角為.【點睛】本小題主要考查兩點求直線斜率的公式，考查直線斜率和傾斜角的對應關系，屬于基礎題.12、【解析】

先作出線面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】如圖，設正四棱錐的棱長為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【點睛】本題考查線面角，考查學生的計算能力，作出線面角是關鍵．屬于基礎題.13、【解析】

將兩邊平方，化簡后利用基本不等式求得的最大值.【詳解】將兩邊平方并化簡得，由基本不等式得，故，即，即，所以的最大值為.【點睛】本小題主要考查平面向量模的運算，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.14、【解析】

求出公差，利用通項公式即可求解.【詳解】設公差為，則所以故答案為：【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.15、；【解析】

不等式轉(zhuǎn)化為，由于存在，使不等式成立，因此只要求得的最小值即可．【詳解】由題意存在，使得不等式成立，當時，，其最小值為，∴．故答案為．【點睛】本題考查不等式能成立問題，解題關鍵是把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．不等式能成立與不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化區(qū)別：在定義域上，不等式恒成立，則，不等式能成立，則，不等式恒成立，則，不等式能成立，則．轉(zhuǎn)化時要注意是求最大值還是求最小值．16、.【解析】試題分析：根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系知，，化簡整理得①，又因為②，聯(lián)立方程①②即可解得：，，又因為是第三象限角，所以，故.考點：同角三角函數(shù)的基本關系.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）小時【解析】

求出出橫標和縱標的平均數(shù)，得到樣本中心點，求出對應的橫標和縱標的積的和，求出橫標的平方和，做出系數(shù)和的值，寫出線性回歸方程．將代入回歸直線方程，可得結(jié)論．【詳解】解：由題意，，，于是回歸方程；由題意，時，答：根據(jù)回歸方程，加工能力10個零件，大約需要小時．【點睛】本題考查線性回歸方程的求法和應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．18、（1）an=3n–4，（3）Sn=n3–8n，最小值為–1．【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（3）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–3．由a1=–7得d=3．所以{an}的通項公式為an=3n–4．（3）由（1）得Sn=n3–8n=（n–4）3–1．所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–1．點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.19、（1）（2）當銷售單價定為10元時，銷量為50件（3）要使利潤達到最大，應將價格定位8.75元.【解析】

（1）由均值公式求得均值，，再根據(jù)給定公式計算回歸系數(shù)，得回歸方程；（2）在（1）的回歸方程中令，求得值即可；（3）由利潤可化為的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識可得利潤最大值及此時的值.【詳解】（1）由題意可得，，則，從而，故所求回歸直線方程為.（2）當時，，故當銷售單價定為10元時，銷量為50件.（3）由題意可得，，.故要使利潤達到最大，應將價格定位8.75元.【點睛】本題考查線性回歸直線方程，解題時只要根據(jù)已知公式計算，計算能力是正確解答本題的基礎.20、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）求出圓心O到直線的距離，已知半徑通過勾股定理即可算出弦長的一半，即可算出弦長。（2）設，直線的方程為，聯(lián)立圓的方程通過韋達定理化簡即可。（3）設點，根據(jù)，得，表示出，的關系，再聯(lián)立直線和圓的方程得到，與k的關系，代入可解出k，最后再通過有兩個交點判斷即可求出k值?！驹斀狻浚?）由直線的斜率為3，可得直線的方程為所以圓心到直線的距離為所以（2）直線的方程為，代入圓可得方程設，則所以為定值，定值為0（3）設點，由，可得：，即，化得：由（*）及直線的方程可得：，代入上式可得：，可化為：求得：又由（*）解得：所以不符合題意，所以不存在