遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在等差數(shù)列中，為其前n項和，若，則（）A．60 B．75 C．90 D．1052．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則（）A． B．C． D．4．下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A． B． C． D．5．在直三棱柱（側(cè)棱垂直于底面）中，若，，，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．下列命題中錯誤的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則7．已知平面向量，，若，則實數(shù)()A．-2 B．-1 C． D．28．已知等比數(shù)列的公比，該數(shù)列前9項的乘積為1，則（）A．8 B．16 C．32 D．649．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．10．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)y=sin2x+2sin2x的最小正周期T為_______.12．已知直線平分圓的周長，則實數(shù)________．13．一個封閉的正三棱柱容器，該容器內(nèi)裝水恰好為其容積的一半（如圖1，底面處于水平狀態(tài)），將容器放倒（如圖2，一個側(cè)面處于水平狀態(tài)），這時水面與各棱交點分別為E，F(xiàn)、，，則的值是__________.14．已知向量、滿足，，且，則與的夾角為________.15．已知等差數(shù)列滿足，則__________．16．已知中，，則面積的最大值為_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中（底面為正三角形），平面，，，，是邊的中點.（1）證明：平面平面.（2）求點到平面的距離.18．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）記為數(shù)列的前項和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．19．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.(1)求AB的長；(2)求△ABC的面積.20．設(shè)為數(shù)列的前項和，．（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求證：．21．已知點，，點為曲線上任意一點且滿足（1）求曲線的方程；（2）設(shè)曲線與軸交于兩點，點是曲線上異于的任意一點，直線分別交直線：于點，試問軸上是否存在一個定點，使得？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由條件，利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】，即，而，故選B.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力與推理能力，屬于中檔題.2、B【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是組合體：上面是半個圓錐（高為圓柱的一半），下面是半個圓柱，其中圓錐底面半徑是，高是，圓柱的底面半徑是，母線長是，所以該幾何體的體積，故選B.【方法點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響.3、C【解析】

首先比較自變量與的大小，然后利用單調(diào)性比較函數(shù)值與的大小.【詳解】因為，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以.故選C.【點睛】已知函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小，可以借助自變量的大小來比較函數(shù)值的大小.4、C【解析】

根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性對各個選項的函數(shù)的解析式進(jìn)行逐一判斷【詳解】函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增.

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故選：C【點睛】本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．5、A【解析】

根據(jù)題意，將直三棱柱擴充為長方體，其體對角線為其外接球的直徑，可得半徑，即可求出外接球的表面積．【詳解】∵，，∠ABC=90°，∴將直三棱柱擴充為長、寬、高為2、2、3的長方體,其體對角線為其外接球的直徑,長度為，∴其外接球的半徑為,表面積為=17π.故選：A.【點睛】本題考查幾何體外接球，通常將幾何體進(jìn)行割補成長方體，幾何體外接球等同于長方體外接球，利用長方體外接球直徑等于體對角線長求出半徑，再求出球的體積和表面積即可，屬于簡單題.6、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，根據(jù)不等式傳遞性可知，A選項命題正確.對于B選項，由于在定義域上為增函數(shù)，故B選項正確.對于C選項，由于在定義域上為增函數(shù)，故C選項正確.對于D選項，當(dāng)時，命題錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由題意，則，再由數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式即可得到關(guān)于的方程，解出它的值【詳解】由，，則，即解得：故選：A【點睛】本題考查數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系，向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

先由數(shù)列前9項的乘積為1，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得到，從而可求出結(jié)果.【詳解】由已知，又，所以，即，所以，，故選B.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列的基本量計算，熟記等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式即可，屬于?？碱}型.9、C【解析】

依次分析選項的奇偶性和在區(qū)間上的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】因為是奇函數(shù)，故A選項錯誤，因為是非奇非偶函數(shù)，故D選項錯誤，因為是偶函數(shù)，由函數(shù)圖像知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B選項錯誤，因為是偶函數(shù)，由函數(shù)圖像知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C選項正確.故選：C.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，二次函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【點睛】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】考點：此題主要考查三角函數(shù)的概念、化簡、性質(zhì)，考查運算能力.12、1【解析】

由題得圓心在直線上，解方程即得解.【詳解】由題得圓心（1，a）在直線上，所以.故答案為1【點睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

設(shè)，則，由題意得：，由此能求出的值．【詳解】設(shè)，則，由題意得：，解得，．故答案為：．【點睛】本題考查兩線段比值的求法、三棱柱的體積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．14、【解析】

直接應(yīng)用數(shù)量積的運算，求出與的夾角．【詳解】設(shè)向量、的夾角為；∵，∴，∵，∴.故答案為：．【點睛】本題考查向量的夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)計算．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，∴．故答案為：1．【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．等差數(shù)列的性質(zhì)如下：在等差數(shù)列中，，則．16、【解析】

設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理求得代入化簡，由三角形三邊關(guān)系求得，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值．【詳解】解：設(shè)，則，根據(jù)面積公式得，由余弦定理可得，可得：，由三角形三邊關(guān)系有：，且，解得：，故當(dāng)時，取得最大值，故答案為：．【點睛】本題主要考查余弦定理和面積公式在解三角形中的應(yīng)用．當(dāng)涉及最值問題時，可考慮用函數(shù)的單調(diào)性和定義域等問題，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】

（1）由，為的中點，可得，又平面，可得，即可證明平面，結(jié)合平面，即可證明平面平面；（2）設(shè)點到平面的距離為，由等體積法，，即，求解即可.【詳解】（1）證明：，為的中點，.又平面，平面，.又，平面.又平面，平面平面.（2）解：由（1）知，平面，平面，.，，，.設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，，即點到平面的距離為.【點睛】本題考查了面面垂直的證明，考查了利用等體積法求點到面的距離，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.18、（1）（2）存在，最小值是．【解析】

（1）利用等比中項的性質(zhì)列方程，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）首先求得數(shù)列的前項和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由題意得化簡，得．因為，所以，解得所以，即數(shù)列的通項公式是（）．（2）由（1）可得．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【點睛】本小題主要考查等比中項的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項公式的基本量計算，考查等差數(shù)列前項和公式，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.19、（1）（2）21【解析】

（1）由，求得，再由正弦定理，即可求解.(2)由（1）和，求得，再由三角形的面積公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，因為，且為三角形的內(nèi)角，所以，由正弦定理，可得，即，解得.(2)由（1）和，則，由三角形的面積公式，可得.【點睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時，要抓住題設(shè)條件和利用某個定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）令，由求出的值，再令，由得，將兩式相減并整理得，計算出為非零常數(shù)可證明出數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由（1）得出，可得出，利用放縮法得出，利用等比數(shù)列求和公式分別求出數(shù)列和的前項和，從而可證明出所證不等式成立.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，由得，上述兩式相減得，整理得.則，且.所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，則．因為，所以.又因為，所以．綜上，．【點睛】本題考查利用前項和求數(shù)列通項，考查等比數(shù)列的定義以及放縮法證明數(shù)列不等式，解題時要根據(jù)數(shù)列遞推公式或通項公式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法進(jìn)行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.21、（1）；（2）存在點使得成立.【解析】

（1）設(shè)P（x，y），由|PA|=2|PB|，得=2，由此能求出曲線的方程．（2）由題意得M(0，1)，N(0，-1)，設(shè)點R(x0，y0)，（x0≠0），由點R在曲線上，得=1，直線RM的方程，從而直線RM與直線y=3的交點為，直線RN的方程為，從而直線RN與直線y=3的交點為