湖北省2023-2024學年高二年級下冊3月聯(lián)考數(shù)學試卷

2024年云學名校聯(lián)盟高二3月聯(lián)考

數(shù)學試卷

命題學校：夷陵中學命題人：夷陵中學高二數(shù)學組審題人：襄陽三中關(guān)殊慧

考試時間：2024年3月5日15：0017：00考試時長：120分鐘滿分：150分

一、選擇題：本題共8小題，每小5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.直線4：依+3'+2a=0與直線￡2x+（a-l）y+（a+l）=0平行，則//利,是“°=_2，,的（）

A.充分不必要條件B.充要條件

C,必要不充分條件D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.

【詳解】當時，有=故。=-2或。=3,

當。=3時，乙的方程為x+y+2=0,4的方程為了+丁+2=0,此時兩條直線重合，不符合；

當a=-2時，乙的方程為2x-3y+4=0,4的方程為2x-3y-1=0,符合；

綜上,徐〃夕’是“。=是”的充要條件，

故選：B.

2.函數(shù)/（%）的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）

A.廣⑴＜廣（2）＜〃2）-/⑴＜0B,廣（2）＜〃2）-〃1）＜/⑴＜0

c.r（i）＜/（2）-/（i）＜r（2）＜oD./（2）-/（i）＜r（i）＜r（2）＜o

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.

設(shè)A(l,/(I)),B(2,/(2)),由圖可得了")</<_f(2),

而g=”?一［1)="2)-/(1),

故廣⑴<〃2)-〃1)<((2)<0,

故選：C.

3.空間四邊形ABCD中，A3=a，AC=b>A。=c，點P為A3中點，點Q為。?？拷５娜确?/p>

點，則P0等于()

11,2-

A.D+NB.—a——b+—c

233233

1-1,2-

D.——a+—b+—c

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的加減法規(guī)則,運算即可得出結(jié)果.

【詳解】在四面體4BCD中，AB=a，AC=b，AD=c，

點尸為A3中點，點。為CD靠近。的三等分點，則

故選：D.

4.記等差數(shù)列｛a.｝的前〃項和為S“，若％+。9=a8+5，4=7,貝1J=()

A.64B.80C.96D.120

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)出公差，得到方程組，求出首項和公差，利用求和公式得到答案.

【詳解】設(shè)公差為d,

Q]=3

q+4d+q+8d—CLy+7d+5

則,解得＜

[q+10d=72,

5

故S[6=16q+l20d=48+120義|=96.

故選：C

5.直線/與曲線y=2?和圓/+〉2=；都相切，則直線/的斜率為（）

A—C.1也

-2B-TD.

【答案】c

【解析】

【分析】設(shè)直線/與曲線》=,根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求直線/的方程,

再根據(jù)與圓相切可求吃,故可求公切線的斜率.

【詳解】圓/+產(chǎn)=3的圓心為原點，半徑為Y2

，其中%>0.

因：/=/，故直線/的斜率為

yjx

1

故直線/的方程為：y-―+

整理得至ij：x-ylx^y+xQ=0,

|x|A/21

因該直線與圓相切，故十0^二<，故%o=l或%=——（舍）,

J1+%022

故直線/的斜率為1,

故選：c.

6.記數(shù)列｛%,｝的前幾項和是，前〃項積是Tn.

S

①若,是等差數(shù)列，則｛4｝是等差數(shù)列;

n

②若｛%｝和｛S“｝都是等差數(shù)列，則｛??-Sj是等差數(shù)歹！J；

③若｛??｝是等比數(shù)列，則｛2%+a.｝是等比數(shù)列；

④若｛4｝是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列.其中真命題的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項的形式和定義可判斷①②的正誤，根據(jù)反例結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷③④的正

誤.

【詳解】對于①，若,號4是等差數(shù)列，則2=妨+人，故s〃=而+而，其中左涉為常數(shù)，

InIn

k+b,n=l[k+b,n=l

故見S「S5"N2'整理得孤怎=12叱八左

故q=2加+Z?-左，此時an-%=24，故｛4｝是等差數(shù)列，故①正確.

對于②，因為｛S“｝為等差數(shù)列，則S“=S]+（”-l）d,其中常數(shù)d為公差,

S.,n=l\S,,n=\,

則。即可=4,因為｛4｝為等差數(shù)列，故

Si[d,n>2'

22

故anSn=dS1+（n-Y）d,此時anSn-=d,

故｛an-S“｝是等差數(shù)列，故②正確.

對于③，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的通項為an=（―2）",則2an+an+l=0,

此時｛2a,,+an+1｝不是等比數(shù)列，故③錯誤.

對于④，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的通項為4=3X2"T,

九（八一1）22n

則<=3x（3x2）xX（3X2"T）=3"2"二>止匕時⑵聲=3^2"'

22〃+22

（TK3丁?n+i2n+2_2n_（T下

此時=J——=2x3""T=2x3"（"f,故不為常數(shù)

2Znz

（。戶3府2"⑵尸

故|（看/4不是等比數(shù)列，

故選：B.

7.長方體ABC?！狝4G2中，AB=AD=2,A&=3,M為側(cè)面DCCQi內(nèi)的一個動點，且

4C_LBM,記BM與平面所成的角為a,則tana的最大值為（）

A.叵B.C.D.歷

233

【答案】A

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求出正弦值，再求正切值即可.

以。為原點建立空間直角坐標系，必有A(2,0,0),4(2,0,3),C(0,2,0),

3(2,2,2),設(shè)M(0,m,〃)，而8M=(—2,m—2,〃)，A,C=(-2,2,-3),

由題意得故4。.5知=0,得4+2加—4—3〃=0,故2m=3〃，

22

故,BM=(-2,m-2,—m),易知面AABg的法向量”=(1,0,0),

,BMn一22

i^sina=—q-----T

\n\-\BM\A/1xJ4+:m2+(m-2)2心病—4*8

V9

-418

rr7----------

若tana最大，貝”sina最大，由二次函數(shù)性質(zhì)得當°1313時，sina最大,

ZX--

9

此時疝。=叵，“亞

1717

V221

此時tana最大，且tana=17顯然A正確.

2V172

17

故選：A

8.橢圓二+馬=1(a〉?！?)的左焦點E(—c,0)關(guān)于直線bx+cy=0的對稱點尸在橢圓上，則橢圓的離

ab

心率為()

A.-B.1C.也D.正

3223

【答案】C

【解析】

【分析】求出/(-c,0)關(guān)于直線法+。=0的對稱點后代入橢圓方程后可得橢圓的離心率.

【詳解】設(shè)F(-c,0)關(guān)于直線bx+cy=Q的對稱點為P(叫n),

nc_b2c-c3_b2c-c3

一,o771—

m+cb,解得＜b+ca9

則《,n即n《

7m-cn八2bc22bc2

bx--------hex—=0

122n-2

Ib+cLa

/-4)24阮4

整理得到e2（2e2-lf+4e4=l,

而P在橢圓上，故----/....

7+k

故6=正,

其中e=$(為橢圓的離心率),故0-2e2）（2e4+e2+l）=O,

a2

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部答對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列命題正確的有()

A.已知函數(shù)/(%)在R上可導，若/'(1)=2,則1加"1+2.)-/(1)=2

-Ax

B(cos%)_xsiwc+cosx

VxJ%2

c.已知函數(shù)/(x)=ln(2x+l),若/=則Xo=g

D.設(shè)函數(shù)的導函數(shù)為尸(x),且=f+3靖(2)+lnx,則/(2)=-：

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)導數(shù)的定義可判斷A的正誤，根據(jù)導數(shù)的四則運算可判斷BD的正誤，根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)

的運算規(guī)則可判斷C的正誤.

【詳解】對于A,lim+⑴=2lim〃1+2人）―/。）=2/（1）=4,故A錯誤.

7

盤—0Ax。2Ax'

一丁「（cosx）-xsinx-lxcosx-xsiwc-cosx5”口

對于B,----=--------------=------------,故B錯誤.

VxJxx

1r\2]

對于c,r（%）=---（2%+iy=-~若/'（/）=1,則丁7=1即/=彳，故c正確.

2x+1LX+1，冗o+12

11a

對于D,，（力=21+3/（2）+—,故/（2）=4+3廣（2）+—,故/'（2）=一,故D正確.

jc24

故選：CD.

10.雙曲線具有如下光學性質(zhì)：如圖瓦，居是雙曲線的左、右焦點，從右焦點工發(fā)出的光線〃2交雙曲線

右支于點P,經(jīng)雙曲線反射后，反射光線”的反向延長線過左焦點若雙曲線。的方程為

22

--^=1,下列結(jié)論正確的是（）

916

A.若MA,則|尸耳卜|尸閭=16

B.當反射光線九過。（7,5）時，光由巴所經(jīng)過的路程為7

C.反射光線〃所在直線的斜率為左，則|左歸0,g]

D.記點T（l,0），直線PT與C相切,則巾=12

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：判斷出/耳尸耳=90°,由定義和勾股定理聯(lián)立方程組即可求得；對于B：利用雙曲線

的定義直接求得；對于C：先求出雙曲線的漸近線方程，由P在雙曲線右支上，即可得到九所在直線的斜

率的范圍；對于D：設(shè)直線PT的方程為y=々（x—1）,（左＞0）.利用相切解得左=拒，進而求出

P（9,8點）.即可求出

【詳解】對于A：若相，〃，則/耳。居=90°.

因為尸在雙曲線右支上，所以山"―|區(qū)”=6.由勾股定理得：閨"+同坪=|片閶2

二者聯(lián)立解得：|心HP/鼻=—(閨PHe))=1°°-36=32.故A錯誤；

對于B：光由耳—P—Q所經(jīng)過的路程為

\F2P\+\PQ\=\F{P\-2a+\PQ\=\FtP\+\PQ\-2a=\FlQ\-2a=J(7+5p+(5一0『-6=7.

故B正確；

V224

對于C：雙曲線上—工v=1的方程為y=±—x.設(shè)左、右頂點分別為A、A如圖示：

9163

當機與83同向共線時，"的方向為5耳，此時g0,最小.

因為尸在雙曲線右支上，所以〃所在直線的斜率為閔.即可€0,g].

故C正確.

對于D：設(shè)直線PT的方程為丁二左(1一1),(左>。).

y=^(x-1)

<%2y2,消去y可得：(16—9左2)%2+18左2光—9左2—144=0.

----------=1

1916

其中△=(18左2丫一4(16—9/)(—9左2—144)=0,即1152左？=2304，解得左=垃

代入(16—98)尤2+18左2尤_9左2—144=0,有一2一+36%—162=0,解得：x=9.

Q22,_、

由尸在雙曲線右支上，即――云=1,解得：y=8叵(y=—8近舍去)，所以尸(9,8枝).

所以優(yōu)P|=J(9—5『+(8后—0『=12.故D正確

故選：BCD

11.如圖：三棱錐尸—ABC中，面ABC,ZBAC=9Q°,PA=1,AB=&，AC=?M,

N,。分別為棱BC,PA,BB的中點，E為棱尸C上的動點，過M,N,E的平面1交AB于廠.下

列選項中正確的有()

A.NE+ME最小值為2

B.PE:GE=1:2時，AF;FB=1;2

C.三棱錐被平面戊分割成的兩部分體積相等

D.當E為中點時，N,E，M,F,Q五點在一個球面上，且球的半徑為畫

2

【答案】ABC

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式結(jié)合閔可夫斯基不等式處理A,利用平面的方程處理

B,利用截面計算體積為定值處理C,球的方程處理D即可.

由題意得4c=90°,故又面ABC,

故以A為原點建立空間直角坐標系，故40,0,0）,尸（0,0,1）,。（0,、四,0）,N（0,0,；）

8（逐,0,0）,M匹也Q）,設(shè)在=%用，則E（0,國』一4）,

22

22

故NE+ME=］：+儲+百—6猶+J（73-732）+（2-1）-

由閔可夫斯基不等式得=J呼y+（2”|7+J（—22+孑+哼了>2,

當且僅當更x（2/l—之）=走x（—24+工）時取等，故A正確，

4444

若PE:CE=1:2,則E(0,弓，g),而EN=(0,—^,—g)，EM=(手，骼，—g)，

設(shè)面肱VE的法向量百=(x,y,z),故EN-〃=0，EMn=0<

則-2/1y-J-z=0，^-x+^-y--z=0>令x=3娓,解得y=—26，z=12>

3-626?3

故〃=(3面,—26/2),設(shè)面任意一點坐標為S(x,y,z),ES=(x,y--,z--)

-33

可得面肱VE的方程為3a—2百y+12z—6=0,當y=0,z=。時，x=坐，

故尸（牛,0,0），顯然"：EB=1:2成立，故B正確,

三棱錐上部分被平面a截為匕—PNE,%-NEM,%-NFM三部分，設(shè)原體積為1>

PNPBPE_1

設(shè)PE:EC=l:k(k>0),V_

BPNEPAPBPC~2(Zr+l)

%1.1c

EBM￡C

22.22EBC4k

VB—NEM~VN一BEM=~qPC4(左+1)

、PBC°PBC

]S.FBM_】BF_k

SMC-R—4(左+1)

1kk_1

+++=

故B-PNEB—NEMB-NFM=2(左十丁+4(^+1)4(171)2

則三棱錐被平面a分割成的兩部分體積相等，故C正確,

色）,&/半。）,

若E為中點，則E（0,

EN=（O「￥，O）,EM=(*,0,—g),設(shè)面肱VE的法向量s=(%,%,z。),

n=0>EM-n=0則———y0=0>—^―x0—z0=0，

則EN-

222

令x0=2瓜,解得％=0,z0=12,故5=(2祈,0/2),

故ES=(x,-；)，則面MNE的方程為2j4x+12z-6=0,

當y=O,Z=。時，解得x=乎，砥興。6

設(shè)過N,E，F(xiàn),Q球方程為(％—a)2+(y—b)2+(c—Z)2=R2,將點代入方程,

可得(a—手)2+〃+C2=R2,/+/+(C—；)2=R2,a2+(2^_z?)2+(c_1)2=jR2

（冬萬+〃+（—）2",解得嗎乎'b=%c=｝R=浮,

故球的方程為（x-—,經(jīng)檢驗，M也在該球上,

16

故N,E,M,F,。五點共球，且球的半徑為故D錯誤，

4

故選：ABC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，然后求出關(guān)鍵點的坐標，得

到所要求的球的方程，最后得到結(jié)果即可.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.寫出一個數(shù)列｛4｝的通項公式，使得這個數(shù)列的前幾項和在〃=5時取最大值，4=.

【答案】5-71（答案不唯一）

【解析】

【分析】可以利用等差數(shù)列的前〃項和公式和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】對于等差數(shù)列4=5—〃，其前〃項和S=="（4+5—〃）=,由二次函數(shù)

222

的性質(zhì)可知，數(shù)列前n項和在〃=5或〃=4時取到最大值，

故答案為：5-n（答案不唯一）

13.已知拋物線V=2px的焦點為點尸，過點尸的直線/交拋物線于點A,B兩點，交拋物線的準線于點

M,且A/A=XAF，MB=juBF,則2+〃=

【答案】0

【解析】

【分析】聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理得到°2-4西々=0,再利用平行線分線段成比例，將長

度比轉(zhuǎn)換為坐標關(guān)系，從而得解.

【詳解】依題意，拋物線丁=2內(nèi)的焦點歹坐標為已0）

易知直線/斜率存在，設(shè)直線方程為：y=k[x-^\,

,7肖去y,得4左2%2—（4左2+16）x+左202=0

易知A>0,則西々=幺彳=之，即。2—4西々=0,

4k4

過A作AQ垂直于1軸，過"作"。平行于九軸，兩者交于Q,

過與作成垂直于％軸，交1軸于P,根據(jù)對稱性，示意圖如下,

p

mMA=AAF，所以一\M人A\局\=M曷Q\=”再+不

X1~2

一一\MB\\HP\

因為MB=〃5F,所以〃=局=謁=4,

pp

玉+5/+52（/_4中2）_0

則％+〃=--------------乙

PP（P-2xJ（p-2々）

“「I3―”

故答案為：0.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為（石,％）,（9，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達定理；

（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為西+%2、占%2（或%+%、％%）的形式；

（5）代入韋達定理求解.

14.過點4（0,2）的直線/交O：必+/=鄉(xiāng)于N（%,%）兩點，則

|3%+4%+16|+|3々+4%+16|的最小值為

【答案】30

【解析】、

|3%+4%+叫|3X2+4y2+16|

【分析】將|3%+4,+16|+|3^+4%+16|轉(zhuǎn)化為5x2222,此式為肱V的

V3+4+A/3+47

中點G到直線3x+4y+16=。的距離10倍，求出G的軌跡后可求最小值.

過M,N分別作直線3x+4y+16=0的垂線，垂足分別為S,T,

設(shè)aW的中點為G,過G作直線3x+4y+16=0的垂線，垂足為“，連接0G,

13七+4%+16||3X2+4_y2+16p

又|3石+4%+16|+|3X2+4V2+16|=5X、J32+42+J32+4?j

=5x(|MS|+|A^T|)=10|GH|.

因為G為MN的中點，故OGLAG,

故G的軌跡為以。4的直徑的圓，其方程為(x—0)(x—0)+(y—0)(y—2)=0,

即尤2+(y_i)2=],其圓心為半徑為1，

|20|

C(0,l)到直線3x+4y+16=0的距離為=4,

行+42

故G到直線3x+4y+16=0的距離的最小值為4—1=3,

故國+4%+16|+|3x,+4y2+16|的最小值為30.

故答案為：30.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=e*T+；x,G(x)=-x+msiwc^m0).

(1)求函數(shù)尸(九)圖象在x=l處的切線方程.

(2)若對于函數(shù)歹(％)圖象上任意一點處的切線在函數(shù)G(X)圖象上總存在一點處的切線4,使得

求實數(shù)冽的取值范圍.

4

【答案】(1)y=-x

3

(2)(―co,-2]U[2,+co)

【解析】

【分析】(1)計算出廠(1),b'(1)的值，由此即可得解；

(2)首先F'(x)=ei+g〉g,由題意得出總存在—3〈k4=G'(%)<0,即

(x)=-1+mcosx(m0)值域包含(-3,0),由此即可列出不等式組求解.

【小問1詳解】

F(l)=l+-=-,F,(x)=er-1+-,F,(l)=l+-=-,

v733v73v'33

所以函數(shù)尸(X)圖象在x=l處的切線方程為y—g=g(x—1),即7=3聯(lián)

【小問2詳解】

由(1)可得，F(xiàn),(x)=e-rl+->-,

''33

若對于函數(shù)歹(％)圖象上任意一點處的切線4,在函數(shù)G(x)圖象上總存在一點處的切線4,使得，1工6,

即對任意的勺=尸(x)>|，總存在\=G'(%)使得勺?kh=-1,即—3<q=G'(x0)<0，

XG'(x)=-l+mcosx(m^0),

從而G(x)=-l+mcosx(mw0)的值域包含(-3,0),

當相>0時，Gf(x)=-1+mcosx(m0)的值域為[一加一1,加一1],

所以解得加N2,

m-l>0

當根v0時，(x)=-1+mcosx(m0)的值域為[徵一1,一加一1],

—"2—1>0

所以《，C，解得機W—2,

772-1<-3

即實數(shù)機的取值范圍為2]U[2,+oo).

16.京都議定書正式生效后，全球碳交易市場出現(xiàn)了爆炸式的增長.某林業(yè)公司種植速生林木參與碳交易,

到2022年年底該公司速生林木的保有量為200萬立方米，速生林木年均增長率20%,為了利于速生林木的

生長，計劃每年砍伐17萬立方米制作筷子.設(shè)從2023年開始，第九年年底的速生林木保有量為％萬立方

米.

(1)求內(nèi),請寫出一個遞推公式表示/用與氏之間的關(guān)系；

(2)是否存在實數(shù)X,使得數(shù)列｛%+/為等比數(shù)列，如果存在求出實數(shù)2；

(3)該公司在接下來一些年里深度參與碳排放，若規(guī)劃速生林木保有量實現(xiàn)由2022年底的200萬立方

米翻兩番，則至少到哪一年才能達到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求？

(參考數(shù)據(jù)：1.2屋4.3,1.2晨5.2，12。a6.2，1.2"。7.4)

【答案】16.%=223(萬立方米)，an+l=|an-17.

17.2=85,理由見解析.

18.至少到2032年底才能達到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意可得可及遞推關(guān)系；

(2)假設(shè)存在，則有據(jù)⑴中的遞推關(guān)系可求4=85,再證明此時｛4—85｝為等

比數(shù)列；

(3)令85+138x[g)?800,根據(jù)題設(shè)中給出的數(shù)據(jù)可得至少到2042年底才能達到公司速生林木保有

量的規(guī)劃要求.

【小問1詳解】

弓=200(1+20%)—17=223(萬立方米)，

又%=(1+20%)%-17=g4-17即%=|4-17.

【小問2詳解】

若存在實數(shù)2，使得數(shù)列｛an+2｝為等比數(shù)列,

則存在非零常數(shù)q,使得a,*]+A=q(an+A),整理得到an+1=qan-A+qA,

而一=，-17,故即—5.

當X=85,則a“+「85=|a?-102=|(??-85),

___4口一856

而q—85=223—85=138w0,故—85w0即--------——,

故｛4-85｝為等比數(shù)列，故存在常數(shù)4=85,使得也+浦為等比數(shù)列.

【小問3詳解】

由（2）可得｛隔-85｝是首項為138,公比為g的等比數(shù)列,

故—85=223x即為=85+223x，此時｛%｝為遞增數(shù)列.

4>4x200,則85+138X>800,

當〃=9時,85+138x?85+138x4.3=678.4<800,

當”=10時,85+138x?85+138x5.2=802.6>800,

故至少到2032年才能達到公司速生林木保有量的規(guī)劃要求.

17.如圖，在三棱柱ABC-431G中，四邊形為正方形，四邊形A&GC為菱形，且NAAC=60°,

平面AAXCXC1平面A,點。為棱8局的中點.

（1）求證：AAiLCD.

（2）棱耳G上是否存在異于端點的點M,使得二面角3-4”一用的余弦值為巫？若存在，請指出

4

點”的位置；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，點/為棱耳G的三等分點（靠近C1端）

【解析】

【分析】（1）首先證明A4，平面OC。，然后由線面垂直可以得證；

（2）根據(jù)題目中的已知條件找到兩兩垂直的三條棱，然后建立空間直角坐標系，表示出相關(guān)點的坐標，假

設(shè)點/存在，設(shè)出點M的坐標，求出平面A與G和平面的法向量，結(jié)合空間向量的夾角公式列出方

程，解方程即可確定點M的位置.

【小問1詳解】

取棱A4的中點。，連接

AC=44^/4^0=60。，

.?.△AAC為等邊三角形，

A4j_LOC,

四邊形ABB^為正方形,且。。分別是,3瓦的中點,

A4j±OD,

因為OCiOD=O,。。，。。匚平面。。。，

二相，平面OCD,

因為CDu平面OCD,

所以A&LCD.

【小問2詳解】

因為平面A41GC，平面平面A&GCV平面43用4=44「且OC，"，OCu面441GC,

所以O(shè)CL面AB4A，

以。為坐標原點，以。4,8,0。，所在的直線分別為蒼％z軸，建立空間直角坐標系，如圖:

不妨設(shè)AB=2,則點3(1,2,0),4(—1,0,0),q(-2,0,73),^(-1,2,0),

則44=(0,2,0),4G=(-1,0,73),

設(shè)&=(%,M，ZJ為平面431G的一個法向量，則由勺?A4=0及4?AG=0得，

<730,取馬=底得勺=(6,0』)，

假設(shè)棱瓦G上(除端點外)存在點M滿足題意，

令C]A/=/iC]4(o<4<i),得,

而即=(2,2,0),麗=(4-1,24，括-屈),

設(shè)%=(尤2，%*2)為平面網(wǎng)知的一個法向量，則由巧?AB=O及%?AM=0得，

2*2+2y2=0I,.I1+丸、

?-1)々+2々2+(石-&,=0'取得”2丁，-1，6(1“，

1+2

解得力=；，

所以點加為棱與G的三等分點(靠近CI端).

18.己知常數(shù)s>0,向量a=(O,l),b=(s,O),經(jīng)過點A(s,O)的直線A。以彳。+6為方向向量，經(jīng)過點

3(—s,0)的直線5。以兄人+4a為方向向量，其中XeR.

(1)求點。的軌跡方程，并指出軌跡￡.

(2)當s=3時，點A為軌跡E與x軸正半軸的交點，過點T(6,0)的直線4與軌跡E交于p、Q兩點，

直線AP、AQ分別與直線兀=6相交于M,N兩點，試問：是存在定點R在以M、N為直徑的圓上？

若存在，求出7?的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】18.詳見解析；

19.定點R的坐標為(6+2小,0),(6-273,0),理由見解析.

【解析】

【分析】(1)設(shè)￡>(x,y),根據(jù)直線A￡)以"+6為方向向量、直線5D以/U?+4a為方向向量可得

(x—s"=?、(x+s)4=2sy,消參后可得軌跡方程.

(2)設(shè)x^ty+6,尸(石,％),。(9,%)，則可得/、N為直徑的圓的方程為：

(X―6)2+[y_：\]=0，可證X'故可求圓所過的定點.

【小問1詳解】

由題設(shè)有Xa+Z?=(s,X),2Z?+4a=(2s,4).

設(shè)則AD=(無一s,y),BD=(x+s,y)

因為直線AD以/la+b為方向向量，故(x—s"=sy,

因為直線3D以/U?+4a為方向向量，故(x+s)4=；lv，

當x=s時，y=0,故點。的軌跡過(s,0),

當XWS時，由(x-s"=q可得X=二一,故4(X2—52)=s2y2,

22

整理得到「―2L="xws).

524V7

22

綜上，點。的軌跡E的方程j-乙=1,

/4

軌跡E是以（土,§2+4,0）為焦點,實軸長為2s的雙曲線.

【小問2詳解】

2

當s=3時,點。的軌跡方程L-5=1,故4(3,0),

9

由題設(shè)可得乙的斜率不為零，設(shè)x=（y+6,尸（%,%）,0（%2，%），

又AP:y=(x-3),BP:y=力(x-3),

&-3

故M6,,N6,

y-工(8

故以/、N為直徑的圓的方程為：（x-6『y

9yly2

/％為+3/(%+%)+9'

x=ty+6

由＜可得(4/-9)/+48。+108=0,

4x2-9/=36

△=(48/)2-4x108(4/-9)=36x108+48x12/>0,

=48/108

而%+%=-彳3'%%=中,

-12,

故以M、N為直徑的圓的方程可化簡為：（尤-6）「+y~-/jy-l2=0，

其中〃=3三+且、

玉一3X2-3

y=0(y=。y=0

令<(_￥_6)2+>2_］2=0可得「=6+2/或1=6_2/，

故以/、N為直徑的圓過定點R,其坐標為(6+260),(6-273,0).

19.相傳古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，并根據(jù)小石子所排列

的形狀把數(shù)分成許多類.現(xiàn)有三角形數(shù)表按如圖的方式構(gòu)成，其中項數(shù)5：第一行是以1為首項，2為

公差的等差數(shù)列.從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：/(2,1)=/(1,1)+/(1,2)；/(z,j)

為數(shù)表中第i行的第/個數(shù).

⑴求第3行和第4行的通項公式/(3,；)和/(4,j)；

(2)一般地，證明一個與正整數(shù)”有關(guān)命題，可按下列步驟進行：①證明當"=%(〃eN*)時命題成

立；②以"當”=左(左eN*,左2％)時命題成立”為條件，推出“當〃=左+1時命題也成立.“完成這兩個步

驟就可以斷定命題對人開始的所有正整數(shù)九都成立，這種方法即數(shù)學歸納法.請證明：數(shù)表中除最后2行

外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求/億1)關(guān)于，［=1,2,…的表達式；

⑶若/億1)=i(6—1),.二」一,試求一個等比數(shù)列g(shù)(z)(j=1,2,…,〃)，使得

H+i

S〃=4g(l)+ag(2)+…+Rg(〃)<g，且對于任意的加均存在實數(shù)X，當時,都有

S">m.

【答案】⑴/(3,j)=8j+4,j=l,