湖南省百校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)含解析

湖南省百校大聯(lián)考2023-2024年高二12月考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊、第二冊，選擇性必修第一冊、第二冊至

4.3.1.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合A={82>。},…2,3,4},則AB=（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{4}D,{1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】利用交集的運算求解即可.

【詳解】因為A={x|x>2},所以AB={3,4}.

故選：A

2.復(fù)數(shù)z滿足（2-i）z-7+i=0,則2=（）

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運算即可求解.

一朝、,7-i（7-i）（2+i）15+5i）.

【詳解】由就思知，z=-----=-----------------=---------=3+1?

2-i55

故選：D

3.已知A為拋物線C：￡=2py（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為9,到了軸的距離為6,

貝（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義結(jié)合題意可求得結(jié)果.

【詳解】因為點A到C的焦點的距離為9,到x軸的距離為6,

所以^=3,則p=6.

故選：C

4.若直線4：4a—y+l=O與直線4：（。+2）1-歿一1=0平行，則。=（）

A.-1B.2C.-1或2D.1或—2

【答案】B

【解析】

【分析】利用兩直線平行的必要條件（系數(shù)交叉相乘積相等）求得的值，再檢驗，排除重合的情況即可.

【詳解】因為/1〃心所以—片+4+2=0,解得。=一1或。=2.

當(dāng)。=一1時，4與4重合，不符合題意.

當(dāng)。=2時，k"符合題意.

故選：B.

5.有編號互不相同的五個祛碼，其中3克、1克的祛碼各兩個，2克的祛碼一個，從中隨機選取兩個祛

碼，則這兩個祛碼的總重量超過4克的概率為（）

3121

A—B.—C.—D.-

10552

【答案】A

【解析】

【分析】用列舉法列舉出樣本空間，結(jié)合古典概型概率計算公式即可求解.

【詳解】記3克的祛碼為4，4，1克的祛碼為C1,C2,2克的祛碼為3,從中隨機選取兩個祛碼，

樣本空間

O=｛(A，4),(4I),(A，G)，(A，C2)，(4,5)，(4，G)，(4C)，(5,CJ,(5,C2),(GC)｝，

共有10個樣本點，其中事件“這兩個祛碼的總重量超過4克”包含3個樣本點，故所求的概率為3.

10

故選：A.

6.已知函數(shù)/(x)=Asin(@x+0)(A>0,?>0)的部分圖象如圖所示，則獲卜()

【答案】B

【解析】

【分析】利用圖象得出A=2,T=n,進(jìn)而求得0=2，再代入點坐標(biāo)，可得

/(x)=2sinf2x-^+2kii\,keZ,進(jìn)而求出/j.

【詳解】由函數(shù)/(%)=Asin(〃四+0)的圖像可知A=2,

3T_13兀713兀e小2兀

—，則T=兀，co--=2.

4~~L2~34T

2sin(2x等+°STT

=2,解得0=---卜2kijkcZ

3

則/(x)-2sin12x—g+2feieZ,

上心工(3兀1c?I。3兀5兀o711

故/1I=2sinI2x----+2左兀J=-1,kwZ.

故選：B

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且原6〉0,S37<0,則當(dāng)S“取得最大值時，”=)

A.37B.36C.18D.19

【答案】C

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前幾項和公式推得48〉0，卬9<0,從而得解.

【詳解】因為S36=—3^——=18（q+心）=18（即+須）〉0，

S37=37[47）=37；須=37心<0,

所以。18〉0，%9<0，從而當(dāng)〃=18時，s“取得最大值.

故選：C.

22zy

8.已知產(chǎn)是雙曲線E:5-￡=1（?！?]〉0）的左焦點，。為坐標(biāo)原點，過點產(chǎn)且斜率為號的直線

與E的右支交于點MN=3NF，MF±ON,則E的離心率為（）

A.3B.2C.gD.72

【答案】B

【解析】

【分析】取的中點為尸，連接"耳，尸月,根據(jù)題意得到。雙//兩，求得|上閔=|M|=2c,結(jié)合

tanNMFFyU,得到cosNMEF；=士m=二，結(jié)合雙曲線的定義，得到c=2a,即可求解.

132“4

22

【詳解】如圖所示，雙曲線石:二―3=1的右焦點為耳，破的中點為P,連接PF1,

ab

因為MN=3NF，。為歹耳的中點，所以O(shè)N//P片，則M/工尸耳，可得|上明|=歸耳|=2c,

、/7\MF\3

又因為tan/MW=、一，所以cosNMF/；=占扁=二，

132“4

貝UpWF|=3c,\MF\-\MF^3c-2c^c^2a,可得e='=2,

所以E的離心率為2.

故選：B.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.甲同學(xué)通過數(shù)列3,5,9,17,33,…的前5項，得到該數(shù)列的一個通項公式為=2"+根，根據(jù)甲

同學(xué)得到的通項公式，下列結(jié)論正確的是（）

A.m=\B.m=2

C.該數(shù)列為遞增數(shù)列D.a6=65

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)首項可得m=1，再逐個選項判斷即可.

【詳解】對AB,由q=2i+m=3,得〃2=1,故a“=2"+l,故A正確，B錯誤；

nnl

對C,an-an_{=2-2-=2,>0得該數(shù)列為遞增數(shù)列，故C正確；

n

對D,an=2+i,則。6=26+1=65,故D正確.

故選：ACD

10.某班有男生30人；女生20人，其中男生身高（單位：厘米）的平均值為170,身高的方差為24,女

生身高的平均值為160,身高的方差為19,則（）

A.該班全體學(xué)生身高的平均值為165B.該班全體學(xué)生身高的平均值為166

C.該班全體學(xué)生身高的方差為46D.該班全體學(xué)生身高的方差為44

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差公式求解即可.

32

【詳解】由題可知，該班全體學(xué)生身高的平均值為《xl70+wxl60=166,

該班全體學(xué)生身高的方差為1[24+（170—166）2]+|[19+（160—166）2]=46.

故選：BC

11.已知橢圓。：二+二=13〉5〉0）與雙曲線。：必—匕=1有相同的焦點月，F(xiàn),且它們的離心率

ab32

互為倒數(shù)，P是C與。的一個公共點，則（）

A.|P制一=B.|助|+歸閭=2山閶

C.鳥為直角三角形D.。上存在一點Q,使得

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)題意和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可推出橢圓的值，根據(jù)橢圓與雙曲線定義即可判斷AB；聯(lián)立關(guān)

系式求出|。制,|0耳|的值，根據(jù)三邊關(guān)系即可判斷C；若則點Q在以耳耳為直徑的圓

x2+y2=4±,聯(lián)立方程求解即可判斷D.

【詳解】設(shè)片（-G0）,耳（c,0）,雙曲線。的半實軸為q〉0,半虛軸為4>0,

橢圓C的離心率為e與雙曲線。的離心率為/,

由雙曲線的方程可知：4=1,4=有，則°=荷+?。?2,弓=十=2,

則片（—2,0）,乙（2,0）,橢圓C的離心率為，

a2=b2+c2

貝卜c=2,解得a=4,6=.

c1

e=—=—

、a2

對于選項A：由雙曲線定義可知：歸片H%h2=g區(qū)閭，故A錯誤；

對于選項B：由橢圓定義可知：|尸制+|?周=8=2|耳閶，故B正確；

對于選項C：根據(jù)對稱性，不妨設(shè)尸在第一象限,

尸用+|尸鳥=8〕P周=5

解得《

尸川-|尸鳥=2〔|叫=3

即歸與「=歸區(qū)『+閨閭2,可知「鳥，￡匕

所以月為直角三角形，故C正確;

對于選項D：若QEJ_QE，則點。在以4耳為直徑的圓V+y2=4上,

X2+y2=4

聯(lián)立方程if2,方程組無解，

——+—=1

11612

所以C上不存在一點Q,使得。耳鳥，故D錯誤；

故選：BC.

12.數(shù)學(xué)探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.

已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標(biāo)準(zhǔn)的圓形鐘沿著直徑折

成了直二面角（其中M對應(yīng)鐘上數(shù)字3,N對應(yīng)鐘上數(shù)字9）.設(shè)肱V的中點為肱V|=4jL若長度為

2的時針Q4指向了鐘上數(shù)字8,長度為3的分針。2指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準(zhǔn)備安裝長度為3的秒

針OC（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產(chǎn)生的偏移，不考慮三根指針的粗細(xì)），則下列說法正確

的是（）

/102、/io

圖?圖2圖3

A.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5,如圖2,則。

B.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5,如圖2,則N4〃平面OBC

則5C與A"所成角的余弦值為叵

C.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,如圖3,

7

103

D.若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,如圖3,則四面體OABC的外接球的表面積為一兀

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A,B,C,求出四面體Q43c的外接球的表面積，判斷D.

［詳解］＞6g3M

/

X

如圖，以。為坐標(biāo)原點，08所在直線分別為y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A（1,-AO）,B（O,O,3）,M（o,273,0）,N僅,—26,0）.

若秒針OC指向了鐘上數(shù)字5,則

3、

C(I,-AO),BC=,-,-31OB=(0,0,3),

則（9AOB=0>所以。4,3C，A正確.

OALOB,故OA是平面OBC的一個法向量.

因M4=(l,6,0),所以O(shè)A.M1=-2H0,

所以。4與ML不垂直，從而ML與平面OBC不平行，B不正確.

'33X/3、

若秒針OC指向了鐘上數(shù)字4,則C不+，。，

（22J

AM=(-1,3后0),3C=3

(22,

cos(AM,BC)=AMBC12V14

>C正確.

AM||BC277x372

由AC=5,弓一,0,得|AC|=M.

因為NAOC=120，所以QC外接圓的半徑廠叵

2sin/AOC

則四面體OABC的外接球的半徑R=、產(chǎn)+2,則R?=,

V412

1Q3

故四面體Q43c的外接球的表面積為4兀R2=飛_兀，D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.己知向量加=（2,x）,〃=（-4,X+2）,若m_1_〃，則％=

【答案】2或-4

【解析】

【分析】根據(jù)向量的垂直的坐標(biāo)運算可得答案.

【詳解】因為心所以2義（-4）+%（%+2）=0,解得x=2或—4.

故答案為：2或-4.

14.已知〃龍)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時，/(x)=ln(x2+2),貝|/(0)+2/⑴=

【答案】-21n3

【解析】

【分析】根據(jù)R上的奇函數(shù)特征易得/(0)=0和/(1)=—/(—1),代入即得.

【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以"0)=0,/(l)=-/(-l)=-ln3,則

/(O)+2/(l)=-21n3.

故答案為：-2In3.

15.某公司2015年全年生產(chǎn)某種商品10000件，在后續(xù)的幾年中，后一年該商品的產(chǎn)量都是前一年的

120%,則該商品年產(chǎn)量超過20000件時，至少需要經(jīng)過年.

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即得.

【詳解】設(shè)經(jīng)過〃年后，該商品年產(chǎn)量超過20000件，貝以0000x1.2">20000，BP1.2">2.

因為1恭=1.728<2，L2,=2.0736>2，所以至少需要經(jīng)過4年.

故答案為：4

|PA|

16.若A,3是平面內(nèi)不同的兩定點，動點P滿足1^=左(左>0且人工1),則點P的軌跡是一個圓,

這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點4(1,0),

C(4,0),。(4,9),動點尸滿足襟=；,則21Pq—|PC|的最大值為_____.

rcl2

【答案】6M

【解析】

|PA|1

【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定局=利用三角形三邊關(guān)系可知當(dāng)A,D,P三點共線時,

|PD|-|PC|=|AZ)|,即為所求最大值.

【詳解】設(shè)pq,y),則冏="1)2+/

整理得f+V=4,

\7|PC|2

則P是圓C：f+y2=4上一點，

IPAIiIIII

由裙=5,得|pq=2i?4如圖所示

當(dāng)且僅當(dāng)A,D,P三點共線，且A在。尸之間時取得最大值.

又因為|AD|=+（0-9『=3M,

所以21Pq—|PC|的最大值為645

故答案為：6A/10.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在正項等比數(shù)列｛。“｝中，4=4,。4=%+2。2.

（1）求｛4｝的通項公式；

（2）若〃=log24,證明也｝是等差數(shù)列，并求｛%｝的前，項和S“.

【答案】（1）=2向

“2+3〃

（2）證明見解析，S,=

"2

【解析】

【分析】（1）設(shè)｛4｝的公比為q（q>o）,然后根據(jù)題意列方程可求出q,從而可求出4；

(2)由(1)可得用=〃+1,從而可證得｛2｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，進(jìn)而可求出5“.

【小問1詳解】

設(shè)｛4｝的公比為q(q>0),由。4=%+2。2，得/一(7-2=0,

解得<7=2或彳=一1(舍去)，

因為q=4,所以4=q.q"T=4x2"T=2"+1.

【小問2詳解】

+1

由(1)可知，bn=log2an=log22"=n+l,則2用一。=〃+2—(〃+1)=1.

因為4=2,所以也,｝是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，

I，?,n(n-l)dn(n-1)n2+3n

故S=nb.+-----=2n+———-=------.

"n1222

is,已知圓G：/+y2—4x—5=o與圓G關(guān)于直線/：%—y+i=。對稱.

(i)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)記G與G的公共點為AB,求四邊形AC/C2的面積.

【答案】(1)(x+l)2+(y-3)2=9

(2)9

【解析】

【分析】(I)找到圓C1的圓心，半徑，利用圓G與圓G關(guān)于/對稱，求出圓心和半徑即可;

(2)求出圓心距與C1到直線A3的距離，結(jié)合對稱性即可求解.

【小問1詳解】

將C1的方程轉(zhuǎn)化為(尤—2)?+y2=9,可得G的圓心為(2,0),半徑為3.

設(shè)。2的圓心為(。3)，半徑為人因為G與關(guān)于直線八x—y+l=0對稱,

2+ab.八

-------+1=0,

22

a=-1,

b-0,

所以《二…解得《b=3,

r=3,

r=3,

故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X+1)2+(y—3)2=9.

【小問2詳解】

22

|qc2|=7(2+1)+(0-3)=3V2，

根據(jù)對稱性可知G到直線AB的距離d=上閾=述，

22

則|陰=249-1=3后,

則四邊形AC/C2的面積S=JAMGGI=9.

19.的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“，b,C.已知02,Y，3廿成等差數(shù)歹|j.

(1)若(a-c)cos6=Z2(cosA-cosC),求包看

(2)若c=l,當(dāng)cosB取得最小值時，求.ABC的面積.

【答案】(1)73

⑵好

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合正弦的差角公式，結(jié)合等差中項計算即可；

(2)根據(jù)余弦定理及基本不等式先求取最小值時的邊長，再利用三角形面積公式計算即可.

小問1詳解】

因為(Q-c)cosB=Z?(cosA-cosC),

所以(sinA-sinC)cosB二(cosA-cosC)sinB,

即sinAcosB-sinCcosB=cosAsin3—cosCsinB,

即sinAcosB-cosAsinB=sinCcosB-cosCsinB,

于是有sin(A-B)=sin(C-B),

所以A—6=C—6或A—3+C—3=兀，解得A=C或A+C=TI（舍去）.

因為。2,3〃成等差數(shù)列，

所以，+3b2=2a2?

由4=。，得。=c,

所以片二3b2，即〃=J3b，

所以皿=13

SIILBb

【小問2詳解】

由c?+36=2片，得匕2=|^2—

222212_________

口-2.212Cl+CClHC。I~①

則八a+c-b33a2c2,

cosB=---------=----------------=——+—>2J-----=—

2ac2ac6c3aV6c3a3

當(dāng)且僅當(dāng)。=2c=2時，等號成立，

此時sinB=A/1-COS2B=，

3

所以ABC的面積S=Lacsin3=@.

23

20.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且8s“=(%+2)2.

(1)求｛4｝的通項公式；

⑵若b“=------,求數(shù)列也｝的前九項和7；.

anan+l

【答案】(1)?！?4〃-2

(2)-^―

8〃+4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)S”與%的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；

(2)運用裂項相消法進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時，8si=(q+2『=8q,解得q=2.

當(dāng)"22時，由8S〃=(a“+2)2,得8s“t=(4_]+2?

(3)以。為坐標(biāo)原點，0E的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出各點坐標(biāo)，通過點到平面距

離的向量求法即可求出.

【小問1詳解】

因為NABC=NA4D=90°,

所以AB1BC,AB±AD,

所以

因為AO<Z平面尸5C,BCu平面「5C,

所以AD平面尸5c.

【小問2詳解】

取的中點E,連接OE，則四邊形ABED為正方形.

過P作尸01平面A3CZ)，垂足為。.

連接04,OB,0D,0E.

由一已鉆和上24。均為正三角形，得PA=PB=PD,

所以Q4=OB=OD,即點。為正方形ABED對角線的交點,

則OE±BD.

因為尸01平面A3CD,且0￡u平面A3CD,

所以PO_LOE,

又BDPO=O,且5￡>匚平面尸3￡>,P0u平面尸3￡),

所以O(shè)E_L平面PBD,

因為PBu平面/W,

所以O(shè)ELPB.

因為。是的中點，E是的中點，

所以O(shè)ElCD,

因此PBLCD.

因BD2=AB2+AD2=PB2+PD2)

所以PBLPD,

又CDPD=D,CDu平面尸CD,PDu平面PCD,

所以PB,平面PCD.

【小問3詳解】

設(shè)ABCD=Q,連接尸。，則直線4為直線產(chǎn)。，

因為A￡>〃5C,ADu平面D4O，BC(Z平面PAD,

所以BC,平面R4￡),

因為BCu平面P3C,且平面R4￡)c平面