高考數(shù)學 專題階段評估模擬卷4 立體幾何 文

專題階段評估(四)立體幾何————————————————————————————————————【說明】本試卷分為第Ⅰ、Ⅱ卷兩部分，請將第Ⅰ卷選擇題的答案填入答題格內(nèi)，第Ⅱ卷可在各題后直接作答，共150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷(選擇題共50分)題號12345678910答案一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．(·江西高三上學期七校聯(lián)考)已知直線a和平面α、β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α、β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面2．一個與球心距離為1的平面截球體所得的圓面面積為π，則球的體積為()A．eq\f(8\r(2)π,3) B．eq\f(8π,3)C．eq\f(32π,3) D．8π3．(·湖南五市十校檢測)如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積為()A．eq\f(4\r(3),3) B．4eq\r(3)C．8 D．124．(·江西卷)一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．200＋9π B．200＋18πC．140＋9π D．140＋18π5．設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，有以下四個命題：①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∥γ))?β∥γ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,m∥α))?m⊥β③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,m∥β))?α⊥β④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n?α))?m∥α其中正確的命題是()A．①④ B．②③C．①③ D．②④7．(·湖南卷)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為eq\r(2)的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A．eq\f(\r(3),2) B．1C．eq\f(\r(2)＋1,2) D．eq\r(2)8.如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點，在平面ADD1A1內(nèi)且與平面D1EFA．有無數(shù)條 B．有2條C．有1條 D．不存在9．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC10．(·東北三校模擬)點A、B、C、D在同一個球的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，若四面體ABCD體積的最大值為eq\f(2,3)，則這個球的表面積為()A．eq\f(125π,6) B．8πC．eq\f(25π,4) D．eq\f(25π,16)第Ⅱ卷(非選擇題共100分)題號第Ⅰ卷第Ⅱ卷總分二161718192021得分二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中的橫線上)11．(·陜西卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為________．12．(·山西省診斷考試)如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長和底邊長均為2，且側(cè)棱AA1⊥平面A1B1C1，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側(cè)視圖的面積為________．13．已知平面α、β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.(1)當滿足條件________時，有m∥β；(2)當滿足條件________時，有m⊥β.(填所選條件的序號)14．如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于點O，剪去△AOB，將剩余部分沿OC，OD折疊，使OA，OB重合，則以A，B，C，D，O為頂點的四面體的體積為________．15．(·山西省診斷考試)已知三棱錐P－ABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO⊥平面ABC，eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，則三棱錐與球的體積之比為________．三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)(·長春市調(diào)研)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，(1)證明：A1O⊥平面ABC；(2)若E是線段A1B上一點，且滿足VE－BCC1＝eq\f(1,12)·VABC－A1B1C1，求A1E的長度．17．(本小題滿分12分)(·安徽卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)證明：PC⊥BD；(2)若E為PA的中點，求三棱錐P－BCE的體積．18．(本小題滿分12分)(·荊州市質(zhì)量檢查)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中點．(1)求證：AM＝CM；(2)若N是PC的中點，求證：DN∥平面AMC.19．(本小題滿分13分)(·東北三校模擬)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC＝BC＝1，AA1(1)求證：CF∥平面AB1E；(2)求三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高．20．(本小題滿分13分)如圖，多面體ABC－A1B1C1中，三角形ABC是邊長為4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1(1)若O是AB的中點，求證：OC1⊥A1B1；(2)在線段AB1上是否存在一點D，使得CD∥平面A1B1C1，若存在，確定點D21．(本小題滿分13分)如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求證：BD⊥平面POA；(2)記三棱錐P－ABD的體積為V1，四棱錐P－BDEF的體積為V2，求當PB取得最小值時V1∶V2的值．詳解答案一、選擇題1．D依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面，選D.2．A由題意，球的半徑為R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，故其體積V＝eq\f(4,3)π(eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2)π,3)，選A.3．C由三視圖可知該幾何體為正四棱錐，底面邊長為2，斜高為2，側(cè)面為4個全等的等腰三角形，所以該幾何體的側(cè)面積為S＝4×eq\f(1,2)×2×2＝8.4．A由三視圖可知該幾何體的下面是一個長方體，上面是半個圓柱組成的組合體．長方體的長、寬、高分別為10、4、5，半圓柱底面圓半徑為3，高為2，故組合體體積V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.5．B可以通過觀察正方體ABCD－A1B1C1D1進行判斷，取BC1為直線m，平面ABCD為平面α，由AB，CD均與m垂直知，選項A錯；由D1C1與m垂直且與α平行知，選項C錯；由平面ADD1A1與m6．C對于②，直線m與平面β可能平行或相交；對于④，直線m可能也在平面α內(nèi)．而①③都是正確的命題，故選C.7．D由于該正方體的俯視圖是面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個面積為eq\r(2)的矩形，因此該幾何體的正視圖是一個長為eq\r(2)，寬為1的矩形，其面積為eq\r(2).8．A∵平面D1EF與平面ADD1A1有公共點D1∴兩平面有1條過D1的交線l，在平面ADD1A1內(nèi)與l平行的任意直線都與平面D1EF9．D由題意知，在四邊形ABCD中，CD⊥BD.在三棱錐A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，兩平面的交線為BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因為AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.10．C如圖所示，O為球的球心，由AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2可知∠ABC＝eq\f(π,2)，即△ABC所在的圓面的圓心O1為AC的中點，故AO1＝1，S△ABC＝1，當D為OO1的延長線與球面的交點時，D到平面ABC的距離最大，四面體ABCD的體積最大．連接OA，設(shè)球的半徑為R，則DO1＝R＋eq\r(R2－1)，此時VA－BCD＝eq\f(1,3)×S△ABC×DO1＝eq\f(1,3)(R＋eq\r(R2－1))＝eq\f(2,3)，解得R＝eq\f(5,4)，故這個球的表面積為4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))2＝eq\f(25π,4).二、填空題11．解析：原幾何體可視為圓錐的一半，其底面半徑為1，高為2，∴其體積為eq\f(1,3)×π×12×2×eq\f(1,2)＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)12．解析：依題意得，該幾何體的側(cè)視圖是邊長分別為2和eq\r(3)的矩形，因此其側(cè)視圖的面積為2eq\r(3).答案：2eq\r(3)13．解析：由兩平面平行的性質(zhì)，易知由③⑤?m∥β；由②⑤?m⊥β.答案：③⑤②⑤14.解析：折疊后的四面體如圖所示．OA，OC，OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2eq\r(2)，所以體積V＝eq\f(1,3)S△OCD·OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2eq\r(2))3＝eq\f(8\r(2),3).答案：eq\f(8\r(2),3)15.解析：依題意，AB＝2R，又eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，因此AC＝eq\r(3)R，BC＝R，三棱錐P－ABC的體積VP－ABC＝eq\f(1,3)PO·S△ABC＝eq\f(1,3)×R×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\r(3)R×R))＝eq\f(\r(3),6)R3.而球的體積V球＝eq\f(4π,3)R3，因此VP－ABC∶V球＝eq\f(\r(3),6)R3∶eq\f(4π,3)R3＝eq\f(\r(3),8π).答案：eq\f(\r(3),8π)三、解答題16．解析：(1)證明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O為AC∴A1O⊥AC，又∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，側(cè)面AA1C1C∩底面ABC＝AC，A1∴A1O⊥平面ABC.(2)∵VE－BCC1＝eq\f(1,12)VABC－A1B1C1＝eq\f(1,4)VA1－BCC1，∴BE＝eq\f(1,4)BA1，即A1E＝eq\f(3,4)A1B.連接OB，在Rt△A1OB中，A1O⊥OB，A1O＝eq\r(3)，BO＝1，故A1B＝2，則A1E的長度為eq\f(3,2).17．解析：(1)證明：連接AC，交BD于點O，連接PO.因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.又因為PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.又PC?平面APC，因此BD⊥PC.(2)因為E是PA的中點，所以V三棱錐P－BCE＝V三棱錐C－PEB＝eq\f(1,2)V三棱錐C－PAB＝eq\f(1,2)V三棱錐B－APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因為∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，所以PO2＋AO2＝PA2，所以PO⊥AC，故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥平面APC，因此V三棱錐P－BCE＝eq\f(1,2)V三棱錐B－APC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·BO·S△APC＝eq\f(1,2).18．證明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2)，∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.在Rt△PAB中，M為PB的中點，則AM＝eq\f(1,2)PB，在Rt△PBC中，M為PB的中點，則CM＝eq\f(1,2)PB，∴AM＝CM.(2)連接DB交AC于點F，∵DC綊eq\f(1,2)AB，∴DF＝eq\f(1,2)FB.取PM的中點G，連接DG，F(xiàn)M，則DG∥FM，又DG?平面AMC，F(xiàn)M?平面AMC，∴DG∥平面AMC.連接GN，則GN∥MC，∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，∴平面DNG∥平面AMC.又DN?平面DNG，∴DN∥平面AMC.19．解析：(1)證明：取AB1的中點G，連接EG，F(xiàn)G，∵F、G分別是AB、AB1的中點，∴FG∥BB1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)BB1.∵E為側(cè)棱CC1的中點，∴FG∥EC，F(xiàn)G＝EC，∴四邊形FGEC是平行四邊形，∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，∴CF∥平面AB1E.(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC∴BB1⊥平面ABC.又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1∴VA－EB1C＝eq\f(1,3)S△EB1C·AC＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))×1＝eq\f(1,6).∵AE＝EB1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(6)，∴S△AB1E＝eq\f(\r(3),2)，∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱錐C－AB1E在底面AB1E上的高為eq\f(3VC－AB1E,S△AB1E)＝eq\f(\r(3),3).20.解析：(1)證明：取線段A1B1的中點E，連接OE，C1E，CO，已知等邊三角形ABC的邊長為4，AA1＝BB1＝2CC1＝4，AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1∥CC1，∴四邊形AA1B1B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，又∵CO∩OE＝O，∴AB⊥平面EOCC1，又A1B1∥AB，OC1?平面EOCC1，故OC1⊥A1B1，(2)設(shè)OE∩AB1＝D，則點D是AB1的中點，∴ED∥