河北省2023-2024學年高三年級上冊大數(shù)據(jù)應用調研聯(lián)合測評數(shù)學試題及答案

絕密★啟用前

河北省2024屆高三年級大數(shù)據(jù)應用調研聯(lián)合測評

皿1、、九

數(shù)學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、班級和考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的

%-J-2

1.設全集U=R,集合A=---->0卜8={削茗,1},則Ac（aB）=（）

A.{x|-2,,x<l}B.{x[-2<%,1}C.{x|x<-2]D.{x|x>1}

2.若復數(shù)z=l+i2°23（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z2—2在復平面上對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5

3.已知向量a,。=（一1,月），則向量c在向量4―人上的投影向量為（

51s

4.設S”是等差數(shù)列{q}的前〃項和，若U=則《&=（）

）10J》20

3333

A.―B.—C.—D.—

7101114

5.高斯是德國數(shù)學家、天文學家和物理學家，被譽為歷史上偉大的數(shù)學家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享

盛名.用他名字命名的高斯函數(shù)也稱取整函數(shù)，記作[司，是指不超過實數(shù)》的最大整數(shù)，例如

[6,8]=6,[-4.1]=-5,該函數(shù)被廣泛應用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計算機領域.若函數(shù)

2

/（x）=log2（-x+x+2）,則當xw[0』時，[〃切的值域為（）

A.[*]C.{1}D.{2}

6.在正方體ABCD-ABCR的棱長為2,G為線段上的動點，則點B到平面GA。距離的最小值為

（）

A.lB.行C.石D.2

X

7.設實數(shù)。＞0,若不等式ae"'-L.ln—對任意x＞0恒成立，則。的最小值為（）

e

C11

A.eB.2eC.—D.—

e2e

IT

8.已知耳,B是橢圓和雙曲線的公共焦點，尸是它們的一個公共點，且二月。鳥二1，若橢圓的離心率為

G，雙曲線的離心率為02,則告J+言§的最小值是（）

A…B5C.空D.逑

3333

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列結論中正確的有（）

A.數(shù)據(jù)n,20,14,17,26,27,9,29,15,30,4的第75百分位數(shù)為30

B.己知隨機變量X服從二項分布若E（2X—1）=7,則〃=6

C.已知回歸直線方程為y=W+9,若樣本中心為（一3,24）,貝加=—5

D.若變量x和丁之間的樣本相關系數(shù)為r=0.9989，則變量％和y之間的正相關性很小

10.已知函數(shù)/（x）=4211（?！?。“?！?,附＜曰的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的有（）

A.（p=:函數(shù)/（X）的最小正周期為兀

小+:卜也可）的解為n

C.方程〃x)=sin

11.已知拋物線。：9=2加（夕>0）的焦點為/，準線與x軸的交點為"，過點〃且斜率為左的直線/與拋

物線C交于兩個不同的點AB,則下列說法正確的有（）

A.當p=2,左=g時，|K4|+|FB|=16

B.^e（-l,l）

C.若直線AF,BF的傾斜角分別為a,/3,則。+尸=兀

D.若點A關于％軸的對稱點為點4,則直線A5必恒過定點

12

12.已知函數(shù)/z（x）=—xe'+J,若函數(shù)g（x）=：ex+2x—1的圖象與/z（x）的圖象有兩個不同的交點，則實

數(shù)。的可能取值為（）

,1

A.-3B.In—C.In2D.3

2

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知tana=3,則sin12?+j+sin（2tz-7t）=.

14.已知函數(shù)丁=優(yōu)-2+3（”>0,且。/1）的圖象恒過定點A,若點A在直線初x+“y=2上，其中

2I

m>Q,n>Q,則—+一的最小值為.

m3n

15.2023年9月23日，杭州第19屆亞運會開幕，在之后舉行的射擊比賽中，6名志愿者被安排到安檢、引導

運動員入場、賽場記錄這三項工作，若每項工作至少安排1人，每人必須參加且只能參加一項工作，則共有種

安排方案.（用數(shù)字作答）

16.如圖所示，已知正方體ABC?！狝4GD1的棱長為2,點〃在。。上，且DM=也，動點P在正方形

A3CD內運動（含邊界），若1Apl=6，則當14pl取得最小值時，三棱錐用外接球的半徑為

D,￡

AB

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列｛4｝滿足3+||+今++$■=〃.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

1

（2）若a=log2%,求數(shù)列＜，的前〃項和.

“也+1.

18.（本小題滿分12分）在A3C中，角C的平分線與邊A3交于點。，且滿足1—c0s2'=sm2'

cosA1+sinA

（1）若AB=gAC，求角C；

(2)若CD=2,求證:

19.（本小題滿分12分）如圖1,已知正三角形ABC邊長為4,其中AD=3DB,AE=3EC,現(xiàn)沿著。石翻

折，將點A翻折到點4處，使得平面A5CL平面。5cM為A'C中點，如圖2.

（1）求異面直線AO與所成角的余弦值；

（2）求平面A'BC與平面DEM夾角的余弦值.

20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/+私〃為常數(shù)，過曲線y=/（x）上一點

P（0,l）處的切線與丁軸垂直.

（1）求“7，”的值及"X）的單調遞增區(qū)間；

（2）若對任意的小使得|/（七）一/（々）|”e—1（e是自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，求實數(shù)。的

取值范圍.

22

21.（本小題滿分12分）己知橢圓石：=+與=1（?！?〉0）的左、右焦點分別為耳，弓，左、右頂點分別為

a~b~

A，4,若以耳為圓心，i為半徑的圓與以F2為圓心，3為半徑的圓相交于兩點，若橢圓后經過A3

3

兩點，且直線9,電的斜率之積為-一.

4

（1）求橢圓E的方程；

（2）點P是直線/：x=4上一動點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為",N.

①求證直線MN恒過定點，并求出此定點；

②求面積的最小值.

22.（本小題滿分12分）在信息論中，嫡（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信

息崎、信源燧、平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數(shù)據(jù)流中的事件、樣本或特征.（燧最好理解為不確

定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的燧越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這

里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（燧）

定義為概率分布的對數(shù)的相反數(shù)是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個

隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熠）.嫡的單位通常為比特，但也用Sh、

nat、Hart計量，取決于定義用到對數(shù)的底.采用概率分布的對數(shù)作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投

擲一次硬幣提供了ISh的信息，而擲加次就為機位.更一般地，你需要用log?幾位來表示一個可以取幾個值的

變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農將熱力學的嫡，引入到信息論，因此它又被稱為香農滴.而正是信息

嫡的發(fā)現(xiàn)，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥

克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量J所有取值為1,2,,n,定義J的信息嫡

-型電小型=1"=1,2,,n?

VZ=17

（1）若71=2,試探索J的信息嫡關于4的解析式，并求其最大值；

（2）若邛=6=亍、,月+1=2［（左=2,3,,〃），求此時的信息燧.

數(shù)學參考答案及解析

題號123456789101112

答案DCABCBCABCBCDACDCD

1.【答案】D

無+2

【解析】由不等式——>0,等價于(x+2)(x—1)>0,解得X<—2或X>1,因為3=口.1},所以

X-1

g3={x|x>l},所以Ac(65)={削1>1}.故選口.

2.【答案】C

【解析】因為z=l+F°23=l—i，所以z2—2=—2i—2在復平面上對應的點為(一2,—2),該點在第三象限.故

3.【答案】A

c-\d-b1

【解析】a—方=0,6)，又4=(—1,b),二。在向量d—萬上的投影向量為a-b

(a-b)22

.故選A.

4.【答案】B

【解析】因為s“是等差數(shù)列{4}的前〃項和，所以S5,—S5,S15—S10,S20-S15,...是等差數(shù)歹!J.

S,1/、

由”=可可設S5=f(fH0),則Sio=3r,于是項,h?！猄5，S15—Sio,Szo—幾,…依次為,所

?103

S20=t+2t+3t+4t=10t,所以《電=布.故選B.

、201U

5.【答案】C

【解析】由—/+%+2>0,得(x+l)(x—2)<0,解得—l<x<2,則/(x)的定義域為以―l<x<2},

當xe［0,l］時，令/=—必+%+2，函數(shù)y=—必+%+2在0,；上單調遞增，在上單調遞減，又

M=log2/在(0,+")上單調遞增，所以/(x)在0,1上單調遞增，在1,1上單調遞減，所以/'(x)的值

域為I,log2、，所以［〃力］的值域為{1}.故選C.

6.【答案】B

1114

【解析】由題意得匕U__rx.DL。J=—3XS.tAX即DU,B41=—3X—X2x2x2=一3,設點5到平面G4D的距離為/z,則由等

14

體積轉化法為％YGD=§XS皿^九二匕^^二馬，由圖形得，當G與巴重合時，SADG最大，最大為

|X2X2A/2=2V2,此時人最小，為JL故選B.

7.【答案】C

【解析】〃龍,。依一jdnx.O(%>0)恒成立，即e^lne力.Hnx(%>0),

令s(，)=an，，則/⑺=1皿+1,

當0<1<4時,s'⑺<0,6⑺單調遞減，當時,￡’(/)>0,6⑺單調遞增,

ee

因為a>0,尤>0,所以e網>l，

因此若時，不等式??恒成立，則、

x>!eIne.xlnxe">》恒成立,

e

若0<M,工時，xlnxvO,匕勺口6及.1111￥恒成立，則

e如〉x也成立，

e

InY

所以當x>0時，e?〉x恒成立，所以得ax.lnx,即?！?

x

設“(%)=則,/(%)=1

XJC

當0<x<e時，M(x)>0,"(x)單調遞增,當x〉e時，M(x)<0,〃(x)單調遞減,

所以“(x)max="e)=L所以a.L即正實數(shù)。的最小值為L故選C.

eee

8.【答案】A

【解析】如圖，設橢圓的長半軸長為q,雙曲線的實半軸長為。2,

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|正耳|+|”|=24,1^1—1/^=202，

=q+a2,\PF2\=a；—a^,設由閭=2c,^FXPF2=g,

則在P耳工中，由余弦定理得，4c2=(q+?)2+(%—42)2—2(%+42)(%—a2)COS"!，

13

化簡得+3a；=4c2,即—^+w=4,

e\4

、

/、

131313)11

+2—+1+—+1x-

J+l36

7+i?+J7

e\\ei

4+134+1

ii（4+2石卜言叵

=-X4+1+?..-x

6W+i6

?+1

3Y、2

?+j=3f4+12373+4

當且僅當《14)即《:時，等號成立，故選A.

l+U+1+>"小E〉1

1q耳

9.【答案】BC

【解析】對于A項，11個數(shù)的順序為4,9,11,14,15,17,20,26,27,29,30,11x75%=8.25,所以第75百分

位數(shù)為27,故A項錯誤;

（2}24

對于8項，因為所以E（X）=〃p=g〃，所以E（2X_1）=2E（X）—1=一1=7,解得

n=6,故2項正確；

對于C項，回歸直線必過樣本中心可得24=_36+9,解得6=—5,故。項正確；

對于。項，r為正值時，值越大，判斷“％與V之間的正相關”越強，故。項不正確.故選BC.

10.【答案】BCD

/IJT57TTTTTTT

【解析】由圖象知一=-------=—,即函數(shù)/（X）的最小正周期7=—=—0=2,最小正周期

28842CD

T=],=Atan12xt+o]=0,則.+夕=左兀，即0=也_.,闡＜_|,

即/(%)=Atan(2x+F),故A不正確;

「?當上=2時，(P=2TI—=—

44

/(o)=1,.,./(o)=Atan：=1,即A=l,則/(%)=tanI2%+-^-j,

71717171

則/tan2x-----b—=tan—=6,故B正確;

242443

因為/(%)=sin12%+；),即tan12%+引=sin12%+引,

44

即tan(2x+：Icos(2x+：)—1=0,

又因為tan12%+￡)=0時，sin12%+?)=0,cos12x+￡)=±1,

所以tan(2x+：)cos(2x+：)—1=0otan12%+：卜0,

因為尤w［0,兀I，所以12%+：?卜719兀

45T

當tan12x+；■)=0時,八JC_?_7C_._/037c,、.77T

2xH—=?；?%H—=2兀，解得X=——或%=——，

4488

所以方程/(x)=sin[2x+^j(xe[0,7r])的解為

X=—或x=—.故C正確;

88

由/(x)=tan(2x+：J"tan1+："tan3+撲tan3安3兀,

4

tan4+訃，叩一阻兀1713Tl兀3713Tl

—<1+—<——<41----<——,

244244

4—手<1+：,且丁=1皿在，,亨］上單調遞增，；."2)</［；］<1211竽=一1,

由°<3一"鼠</⑵<'故。正確?故選BCD.

11.【答案】ACD

【解析】當P=2時，拋物線方程為y2=4x,直線/:y=：(x+l),聯(lián)立得/—14x+l=0,芯+%=14,

貝UlFAl+lEBlMX+W+pnld+ZnlG,故A正確；

當左=0時，直線/為X軸，和拋物線只有一個交點，故8不正確；

直線/：、=左上+々

代入y2=2p%,得女一2+%(42P則

a+/?=兀okAF+kBF=0,

則」^+3^=/I、/21(22),故C正確；

Xi~2"“小―￡|“小山

因為點A關于％軸的對稱點為點4,由C知，直線43與5尸的傾斜角相同，

所以A,”8三點共線，所以直線A3必恒過定點/，故。正確.故選ACD.

12.【答案】CD

2

【解析】函數(shù)g(x)=/e，+2x-1的圖象與人(力的圖象有兩個不同的交點，則方程/i(x)=g(x)有兩個不

12

同的根，即一xe*+/=—e"+2x-loxe"-2e'=-a(x-l)2(aw0)有兩個不同的根，令

aa

f(x)=xex—2eA+a(x-1)2(a0),則/'(尤)=(%—1)6工+2a(x-l)=(x-l)(e*+2a).

①若a>0,當x>l時，/，(x)>0；當x<l時，/,(x)<0；

???/(X)在(—a/)上單調遞減，在(L+8)上單調遞增，又/(l)=-e,/(2)=a,取實數(shù)b滿足b<0且

人則有/㈤>■|(6—2)+a(Z?—l)2=a，?2一_|“〉0,所以/(%)有兩個零點.

②若a<0,當a..—?x〉l時，/''(力>0"(力在(1,+8)上單調遞增，當％,1時，f(x)<0,故

f(x)<0,故/(x)不存在兩個零點，當"-'時，"力在(in(—2a),+。)上單調遞增，在2a))

上單調遞減，又當茗，1時，故/'a)<0,故/(x)不存在兩個零點，綜上得a>0,故選CD.

7

13.【答案】一]

【解析】因為tana=3,所以

sin[2a++sin(2a—兀)=sin[]+2a]—sin(兀-2a)=cos2a-sin2a=cos2a-sin2a-2sinacosa

_cos26r-sin26Z-2sincrcos6Z_l-tan2cr-2tancr_l-9-2x3_7

cos2cr+sin26r1+tan2cr1+95

14.【答案】8+46

3

【解析】函數(shù)y=ax~2+3(?>0且。H1)的圖象恒過定點4(2,4),則2m+4n=2,:.m+2n=1,

4〃m

48+4有

2121/_X_24Hm8.

--1---二—+——(m+2n)-2H--1----1---..；—F2,，當且僅當《m3〃'即

m3nm3n3nl3n333

m+2n=1,

m=2少,n=一J---時等號成立.

2V3+22V3+2

15.【答案】540

【解析】6名志愿者被安排三項工作，每項工作至少安排1人，則分組方式為1,2,3;1,1,4;2,2,2,則安排方

「i「i「4「2r2r2、

JJC4J1614c2

案有A；=(60+15+15)x6=540(種).

2!3!J

16.【答案J"40

2

【解析】連接DP，則|DP|=7|M2-|DDI|2=^4=1，所以點尸在正方形A3CD內運動軌跡為以。

為圓心，1為半徑的四分之一圓弧，連接4匕貝|忸］4=|取|2+忸叫所以14Pl取得最小

值時，只需忸取得最小值即可，連接5D交圓弧于尸點，此時忸升取得最小值，貝“4日取得最小值，連

接尸加，貝I.為等腰直角三角形，DP±MP，又B&IMP,所以三棱錐用-MP3為四個面均為

直角三角形的三棱錐，則球心為4M的中點，4M為直徑，則

2

\B,M\=《［BM『+網2=4CM『+|CB『+忸町=7（2-A/2）+4+4=也4-4五，所以外接球半

徑尺=J14—4也

2

17.【解】⑴幺+4+4++”=〃，①

222232"

當九.2時，幺+冬+之++餐=〃-1,②

222232”T

由①-②得4=2",

又〃=1時，4=1,二.4=2,滿足上式，

21

綜上，an=2".

(2)bn=log2G?=n,

111_1

2".+i?(?+1)nn+\

設數(shù)列\(zhòng)\的前八項和為Tn,

屹也+ij

111

所以看=-----------F+■■?+

偽也4也b/b“+i

11——=」+」+1n

=----+----++H-------

1x22x3川+223n〃+1〃+ln+1'

___l-cos2Bsin2B

18.【解】---------二--------,

cosA1+sinA

1+sinA2siiiBcosB

cosA2sin2B

1+sinAcosB

即

cosAsinB'

即sinB+sinAsinfi=cosAcosB,

sinB=cos(A+B)=-cosC=sin(C-^-1,

B,CG(0,7l),.:.B=C--.

2

ABAC

(1)由正弦定理得

sinCsinB

ABsinCsinC,??

7--------x-二—tanC=A/3

ACsinBsinfC-|

Ce(O,7i),.'.C=y

7TCB兀

(2)C=B+-,則nl一=一+—=。

2224

S.BCD+,ACD=S

ABC，

即工x2xBCxsiner+—x2xACxsina=—xBCxACxsin2o

222

所以2(5C+AC)sine=25。ACsin-cosa,

BP—+—=cos?,

BCAC

B

即cos+71

2

（其他方法正確也可給分）

19.【解】（1）取BC的中點為。,DE的中點為O',連接A'O與OO',

」正三角形ABC中，AD=3DB,AE=3EC,

3

DE幺-BC,OO'±DE,00」BC,

---立體圖形由翻折可得且AE=AD,

-.A'C=A'B,。是3C的中點，

:.AO±BC,

平面ABC，平面DBC,平面ABCc平面DBC=8C,A'。u平面ABC,

二A'O，平面QBC,..A。，。0’，

以點。為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，

3

?,正ABC的邊長為4,。吆一3C,

：.OC=OB=2,O（y=昱,連接AO',在AOO'中，40=必,

22

在，AOO'中，由勾股定理得。4'=JG，

A'D?EM00

cosAZ),EM

A'D^EM丁

ji

異面直線所成角的取值范圍為0,-

???異面直線AD與EM所成角的余弦值為眄.

5

M

/D

B

0C

(2)由⑴得4(0,0,癡),3(-2,0,0),。(2,0,0),。1-答4

、|當,。]“1,0,

E

,’3—走國

.?.JBC=(4,0,0),BA=(2,0,V6),DE=(3A0),DM=

7

易得平面A'BC的一個法向量為加=（0,1,0）,

設平面DEM的法向量為n=（蒼y,z),

3x=0,

DE-n=0

則即<5V376則〃=倒,&/卜

DM-n=0一X---------VH----------Z=(J,

〔222

m-ny[6

「Jcos（加二I

m|-|nL'

???平面A'BC與平面DEM夾角的余弦值為&

3

20.【解】(1)=max]na+2x-]na,

/.f(0)=mlna—Ina=(m—1)Ina=0,/.m=l,

又/(())=相+幾=1,...〃=(),

/./(x)=ax+x2—xlna,

則/(%)=axlna+2x-ln〃=2%+(優(yōu)-1)Ina,

rfx2

令g(x)=2x+(0—g(x)=2+alna>0f

在R上單調遞增，又/(0)=0,

所以不等式ra)>o的解集為(o,+"),

故函數(shù)“X)的單調遞增區(qū)間為(0,+“).

(備注：單調遞增區(qū)間寫成[0,+8)也得分)

(2)若對任意的玉,％2e[—1/],使得—e—l恒成立，

只需/(X)max—/(X)1ran”eT,

由(1)知，在(0,+“)上單調遞增，在(-。,0)上單調遞減，

所以當xc[—1,1]時，/3mhi="0)=1,

/(?max為/'(1)，/(T)中的最大值，

/⑴_/(T=a_：-21na,

][2(]

令h(a)=a----21na,則〃(G)=1H—-----=1—>0，

a'，aaya)

h(a\=a-—~21n?在ae(1,+“)上是增函數(shù)，而/z(l)=0,a>1,h[a)>0,

a

即"1)>〃T)，「四一/(^=/(1)-/(0)?￡-1,

a-In%e-1,

對于y=a-lna,則y'=l-工>0(a>l),所以函數(shù)y=a—lna在ae(l,+oo)上是增函數(shù)，

a

所以&e,a>1,

的取值范圍為(l,e].

21.【解】(1)因為圓月：(X+C)2+V=4與圓巴：Q—c)2+y2=4相交，且交點在橢圓石上,

所以2〃=2+2,〃=2,

*3

又&U,小械=_/=—7'，'=3'

22

所以橢圓石的方程為土+乙=1.

43

⑵①由⑴知橢圓右焦點耳(1,0),設“(七,%),'(%,%)，尸(4/)，

則切線PM的方程為—+—=1,

43

即35+4孫=12,點尸在直線PM上,

「.12玉+4)i=12,「.3玉+)]=3,

?,k=上k=L=L-kk=上，=/

MF°X/I,文4-13'年叫33（x「1）'

3%+成=3,「肛=3—3%=3（1—%）,

ty,3（1—x,）

代人上式得kMFkPF2=訴刁=詆m=T，

/.MF2_LPF2,同理NF2_LPF2,

所以直線MN恒過定點F2（1,0）.

②由⑴知直線MN恒過定點且（LO）,

令直線MN:x=my+1,

22

代入橢圓方程上+乙=1,

43

2

得/（3m+4）+6my-9=0,則%+%=￥，%%=a.

\/3m+