2024年新高考數(shù)學(xué)押題試卷附答案解析

2024年新高考數(shù)學(xué)押題試卷

單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.已知復(fù)數(shù)Z滿足(3-4，)?z=l+i,其中，為虛數(shù)單位，貝lj|z|=()

V22V10275

A.—B.-C.-----D.-----

5555

2.已知集合加={k€1^*|>?-4%-5忘0},N={x|0WxW4},則MGN=()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|0WxW4}D.{x|lW九W4}

3.已知在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，向量a,b滿足力B=a,BC=a+b,則網(wǎng)=()

A.2B.2V2C.2V3D.3

4.某校高一年級(jí)有女生504人，男生596人.學(xué)校想通過抽樣的方法估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)

生的平均體重，從高一女生和男生中隨機(jī)抽取50人和60人，經(jīng)計(jì)算這50個(gè)女生的平均

體重為49依，60個(gè)男生的平均體重為57七，依據(jù)以上條件，估計(jì)該校高一年級(jí)全體學(xué)生

的平均體重最合理的計(jì)算方法為()

49+575060

A.B.x49+X57

211001100

5060504596

C.-----X49+-----x57D.X4V十X57

11011011001100

1

1q7

5.已知函數(shù)/(x)=2叫a=f(7),b=f(logs-),c=/(/ogi5),則4、b、c的大小關(guān)系

,23

為()

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b

6.若兩個(gè)等差數(shù)列{即}和{加}的前n項(xiàng)和分別是Sn,Tn,

21114

A.-B.—C.7D.—

323

過點(diǎn)g,-f),且與雙曲線J—/=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

7.

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

841612

x2y2x2y2

C.—+—=1D.一+—=1

1410106

一。。,bcosAa,,…4

8.在△ABC中，角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,C'右…=ac，則丁+3的取值

范圍是()

335355

A.[],+oo）B.2）C.（2D.＞+co）

二.多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.請(qǐng)把

正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

（多選）9.在AABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,下列結(jié)論正確的是（）

A.若a=或，b=2V2,則A可以是一

3

B.若/=*4=1,c=V3,則》只能是1

C.若△A8C是銳角三角形，a=2,b=3,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（遮，V13）

D.若sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,則角A的取值范圍是（0,芻

（多選）10.設(shè)函數(shù)/（%）=S譏（3%+1），已知/（X）在（0,包單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的

是（）

A.3的值可能為1

B-端）*

C.若/（TT）＜0,無）在（0,需1兀01）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

D.若/（TT）＜0,f（X）在[|兀，初單調(diào)遞減

（多選）11.已知函數(shù)/（x）,g（x）的定義域均為R,且滿足/（無）-g（2-x）=4,g（x）

47（x-4）=6,g（3-x）+g（1+無）=0,貝ij（）

A.f（尤）-f（x-2）=-2

B.g（2）=0

C.g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3,0）對(duì)稱

D.求i/（n）=-1590

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.直線/過點(diǎn)（1,0）,且與拋物線『=?交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=8,則線段A8的中

點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是.

13.已知甲袋中裝有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，乙袋中裝有4個(gè)白球，5個(gè)黑球.先從甲袋中隨

機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋.再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1個(gè)球.在從甲袋取出白球的條件下，從

乙袋取出白球的概率為.

14.已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積

為.

四.解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)

指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.

15.已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S^ABC=(ci2-b1-c2).

(1)求角A的大?。?/p>

(2)若b=2,。為8C邊上一點(diǎn)，DA±BA,S.BD=3DC,求cosC.

16.如圖，在直角梯形ABC。中，BC//AD,ADLCD,BC=2,AD=3,CD=瓜邊AD

上一點(diǎn)E滿足DE=1,現(xiàn)將aABE沿BE折起到△A1BE的位置,使平面A18E，平面BCDE,

如圖所示.

(1)在棱A1C上是否存在點(diǎn)E使直線〃平面若存在，求出名氏，若不存在，

ArC

請(qǐng)說明理由；

(2)求二面角Ai-8C-。的平面角的正切值.

17.已知函數(shù)/(x)=/lnx-a^,

(1)若。=1,請(qǐng)直接寫出函數(shù)，(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若。＞1,求證：函數(shù)/(%)存在極小值；

(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)xW[l,+8),f(x)2-1恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

Xv

18.已知M是橢圓一+—=1的左頂點(diǎn)，過M作兩條射線，分別交橢圓于點(diǎn)A,B,交直

43

線1=4于點(diǎn)C,D.

(I)若NAM8=45°,求|CD|的最小值；

、r,1111

(II)設(shè)A(xi,yi),B(%2,”)，C(用，*),D(x4,>4),當(dāng)—+—=—+—，

yi7273y4

求證：直線A3過定點(diǎn).

19.某商場(chǎng)擬在周末進(jìn)行促銷活動(dòng)，為吸引消費(fèi)者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動(dòng)，

游戲規(guī)則如下：該游戲進(jìn)行10輪,若在10輪游戲中，參與者獲勝5次就送2000元禮券，

并且游戲結(jié)束：否則繼續(xù)游戲，直至10輪結(jié)束.已知該游戲第一次獲勝的概率是去若

上一次獲勝則下一次獲勝的概率也是上若上一次失敗則下一次成功的概率是2記消費(fèi)

23

者甲第n次獲勝的概率為pn,數(shù)列｛p〃｝的前n項(xiàng)和￡震1Pn=Tn，且心的實(shí)際意義為前

〃次游戲中平均獲勝的次數(shù).

(1)求消費(fèi)者甲第2次獲勝的概率P2;

(2)證明：S九-%為等比數(shù)列；并估計(jì)要獲得禮券，平均至少要玩幾輪游戲才可能獲

獎(jiǎng).

2024年新高考數(shù)學(xué)押題試卷

參考答案與試題解析

單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

1.已知復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)?z=l+i,其中i為虛數(shù)單位，貝U|z|=()

V22V102V5

A.—B.-C.-----D.-----

5555

解：復(fù)數(shù)Z滿足(3-4iAz=l+i,其中，為虛數(shù)單位，

._1+i_(1+i)(3+4i)_3+3￡+4力+4於

?z3—4i(3—4i)(3+4i)9-16於

_T+7i_17.

-25=-25+

則|z|=J(-白2+底)2=條

故選：A.

2.已知集合知={犬61\1*|/-4天-5忘0},N={R0WxW4},則MAN=()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{x|0WxW4}D.{x|lWxW4}

解：解/-4尤-5W0,得：-1W尤W5,

所以M={x€N*|-1WXW5}={1,2,3,4,5},

又因?yàn)镹={x|0W無W4},

所以MCN={1,2,3,4).

故選：B.

TTT—T—TT

3.已知在邊長(zhǎng)為2的等邊△ABC中，向量a,b滿足力B=a,BC=a+b,則網(wǎng)=()

A.2B.2V2C.2V3D.3

-?->―>—>—>

解：根據(jù)題意可得6=BC-AB=BC+BA,又等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,

：.b2=BC2+2BC-BA+BA2=4+2x2x2x|+4=12,

—>

：.\b\=2V3,

故選：C.

4.某校高一年級(jí)有女生504人，男生596人.學(xué)校想通過抽樣的方法估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)

生的平均體重，從高一女生和男生中隨機(jī)抽取50人和60人，經(jīng)計(jì)算這50個(gè)女生的平均

體重為49必，60個(gè)男生的平均體重為57依，依據(jù)以上條件，估計(jì)該校高一年級(jí)全體學(xué)生

的平均體重最合理的計(jì)算方法為（）

49+57

A.

2

5060

B.----X49+----X57

11001100

5060

C.---X49+----X57

110110

504596

D.----x49+-----x57

11001100

解：高一年級(jí)有女生504人，男生596人.總?cè)藬?shù)為504+596=1100,

從高一女生和男生中隨機(jī)抽取50人和60人，沒有按照比例分配的方式進(jìn)行抽樣,

不能直接用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù),

需要按照女生和男生在總?cè)藬?shù)中的比例計(jì)算總體的平均體重,

504596

即x49+X57,即。選項(xiàng)最合理.

11001100

故選：D.

1

1?7

5.已知函數(shù)/(%)=2叫a=f(7)，b=f(logs-),c=f(log15),則〃、b、c的大小關(guān)系

423

為（）

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.c>a>b

解：V/(-x)=/(%),

??c=f(-log35)=f(log35),

71

9

：log35>log3^>log33=1>^,

且了（%）在（0,+8）上是增函數(shù),

.\c>b>a.

故選：A.

7n

6.若兩個(gè)等差數(shù)列｛礪｝和｛加｝的前〃項(xiàng)和分別是金，Tn,)

71+3

..^n_7?1

解:

Tnn+3

ll(ai+ail)

2a67X1111

11(61+匕0~

b6—11+3—2

2

故選：B.

rny2

7.過點(diǎn)G，且與雙曲線W■-/=1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

x2y2x2y2

A.一+—=1B.—+—=1

841612

%2y2x2y2

C.—+—=1D.一+一=1

1410106

x2

解：由題意c=2,雙曲線可―/=1的左焦點(diǎn)為人(-2,0),右焦點(diǎn)為F2(2,0),

設(shè)P(|,-1),則2a=|P&|+\PF2\=Jg+2)2+(告+聘-2)2+(一#=2內(nèi),

___y2

所以a=V10/62=10—4=6,所以橢圓的方程為一+—=1.

106

故選：D.

bcosACL

8.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若廬-/=℃,則----+一的取值

ab

范圍是()

335355

A./+8)B.[],2)C.(2,9D.(2,+8)

解：由余弦定理可知，b2-a2=c2-2accosB,

Vb2-a2=ac,

c2-2accosB=ac即c-2acosB=a,

由正弦定理可得，sinC-2sinAcosB=sinA,

sin(A+B)-2sinAcosB=sinA,

sinAcosB+sinBcosA-2sinAcosB=sinA,

sin(B-A)=sinA,

：.B-A=A即"2A,

fO<4<7T

因?yàn)椋?<2/VTT

(0<TI-3/<71

解可得，Ae(0/.

bcosAasinBcosAsinAsin2AcosAsinA0i

則-----+-=---------+-----=----------+------=2COS2A+——T,

absinAsinBsinAsin2A52cosA

令f(x)=2/+-XG(2f1),

r(x)=4x—，=咯^>0,故/(x)在(:，1)上單調(diào)遞增，

「513

又/⑴=2,，（5）=2，

35

-1-2</（%）<?

則處配+?的取值范圍是機(jī)，

ab22

故選：C.

二.多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.請(qǐng)把

正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

（多選）9.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,下列結(jié)論正確的是（）

,__TC

A.右a=奩，b=2V2,則A可以是孑

B.若4〃=1,c=V3,則人只能是1

C.若△ABC是銳角三角形，a=2,b=3,則邊長(zhǎng)c的取值范圍是（遮，V13）

D.若sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,則角A的取值范圍是（0,芻

解：對(duì)于A：當(dāng)4=暫時(shí)，利用正弦定理，一=上-,解得sinB=%,故A錯(cuò)誤；

3sinAsinB

222

對(duì)于2：由余弦定理cos4=b崛J。，得到戶-3b+2=0,解得6=1或2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：TXABC是銳角三角形，a=2,b=3,則邊長(zhǎng)c滿足32+22>02,22+?>32,所以

5<C2<13,故c的取值范圍是（麻，V13）,故C正確；

對(duì)于D-.sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,利用正弦定理b2+c2-c^^bc,即cosA=

b2+c2—a21

-2bi~~2'

所以001可，則角A的取值范圍是（0,另；故D正確.

故選：CD.

（多選）10.設(shè)函數(shù)〃久）=s譏（3%+蔣），已知/（x）在（0,當(dāng)單調(diào)遞增，下列結(jié)論正確的

是（）

A.3的值可能為1

B.端）*

101

C.若/（1T）<0,f（X）在（0,瑞兀）有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

D.若)(ll)<0,f(x)在初單調(diào)遞減

解：設(shè)y=sint,t=3%+看，

當(dāng)3Vo時(shí)，X6(0/時(shí)，(A)X+看€(3。+看，1),

因?yàn)楹瘮?shù)/G)在(0,急單調(diào)遞增，而"3%+泮調(diào)遞減，

所以力=3%+稱需落在尸sin.的減區(qū)間，

(34十》強(qiáng)不可能是函數(shù)尸sim的減區(qū)間，故舍去；

當(dāng)3>0時(shí)，當(dāng)％E(0,看)時(shí)，COX+6/3，看+看),

由題意可知，(034+會(huì))0(0,*),

71,7171

所以3，F(xiàn)5+76〈不2,解得0<3三q號(hào)，故A正確；

、3>03

f(瑞)=s'71?,需+1)，由0<3其，則3.需+1e/，爭(zhēng)，

27TTT1

此時(shí)si7i(3■+石)e(2,1],故5正確；

f(7T)=f(3,7T+1)，由0<3-*則3?7T+看€(看，—g—],

因?yàn)?(7T)=f(3?7T+看)V0,所以3,71+16(71,-g-],此時(shí)&<34~,

*/I。1,71,711014

當(dāng)％E(0，時(shí)，3%+石€(石，0),10071+6^

1017T7T,121711117T-.

口?而~+酢(幣-，~60~^

此時(shí)只有當(dāng)3%+1=7T時(shí)，f(X)=0,故C正確；

由以上可知，~<34&,當(dāng)％€[^-,兀]時(shí)，GJX+看e[to,+1，3,TT+看],

當(dāng)3=飄，|x+—弓，詈],此時(shí)涔?fàn)巻握{(diào)遞減，留，半]單調(diào)遞增，

所以不成立，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

(多選)11.已知函數(shù)/(%),g(x)的定義域均為R,且滿足了(%)-g(2-x)=4,g(x)

+f(x-4)=6,g(3-x)+g(1+x)=0,貝!J()

A.f(x)-/(工-2)=-2

B.g(2)=0

C.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱

D.沈匕f(n)=-1590

解：因?yàn)間(3-x)+g(1+x)=0,所以g(4-x)=~g(%),

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，

所以g(2-x)=-g(2+x),

因?yàn)間(x)4/(%-4)=6,

所以g(x+2)4/(x-2)=6,即g(x+2)=6-f(x-2),

因?yàn)?(%)-g(2-x)=4,所以/(%)+g(2+x)=4,

代入得/(x)+[6-/(x-2)]=4,即入-fCx-2)=-2,A正確；

因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)g(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，所以g(2)=0,B正確；

由/(x)-g(2-x)=4,得/(0)-g(2)=4,即/(0)=4,/(2)=-24/(0)=

2,

因?yàn)間(x)4/(%-4)=6,所以g(x+4)+f(x)=6,

又因?yàn)?(x)-g(2-x)=4,相減得g(%+4)+g(2-x)=2,

所以g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3,1)中心對(duì)稱，C錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)g(%)的定義域?yàn)镽,所以g(3)=1,所以/(I)=4+g(1),

由g(3-x)+g(1+x)=0,可得g(3)+g(1)=0,

所以7(I)=4+g(1)=4-g(3)=3,

記(In=f(2〃-1),bn=f(2〃)，

結(jié)合A、C分析知：數(shù)列｛〃〃｝是以3為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛加｝是以2為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，

故劭=3+(n-1)(-2)=5-2〃，bn—2+(n-1)(-2)=4-2n,

所以/(?)=bn=SOGJS)+30x(：—56)=_1590)D正確?

故選：ABD.

三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請(qǐng)把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.

12.直線/過點(diǎn)(1,0),且與拋物線/=4x交于A,8兩點(diǎn).若|A8|=8,則線段A8的中

點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離是3.

解：拋物線y=以的焦點(diǎn)為尸(1,0),故直線/過拋物線的焦點(diǎn)，

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則|AF|=xi+l,|8F|=X2+1,

由|AB|=8,.*.XI+1+X2+1=8,.*.XI+X2=6,

線段AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為生產(chǎn)=3.

故答案為：3.

13.已知甲袋中裝有4個(gè)白球，6個(gè)黑球，乙袋中裝有4個(gè)白球，5個(gè)黑球.先從甲袋中隨

機(jī)取出1個(gè)球放入乙袋.再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1個(gè)球.在從甲袋取出白球的條件下，從

乙袋取出白球的概率為：.

解：根據(jù)題意，在從甲袋取出白球的條件下，乙袋中有5個(gè)白球，5個(gè)黑球，

則此時(shí)從乙袋取出白球的概率2=搐=}

故答案為：

14.已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為—.

一3一

解：如圖，顯然圓錐內(nèi)的內(nèi)切球的半徑最大，

設(shè)圓錐內(nèi)切球的球心為O,半徑為R,圓錐頂點(diǎn)為S,底面圓的圓心為A,

設(shè)圓錐的一條母線為S3,底面圓的半徑AB=r,且

根據(jù)對(duì)稱性知：圓錐的內(nèi)切球球心0在線段SA上，且滿足0A等于0到母線SB的距離

OC,

即OA=OC=R,又AB=1,SB=3,；.S4=>/SB2-AB2=V9^T=2&,Asin0=

nrD

.*.SA=SO+OA,：.SA=-^+OA,2R=4R,:.R

SITIU或=:±+=華L,

3

44A/?J57r

該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為-7TR3=-X7TX（一尸=---,

3323

,,通田、、V27T

故答案為：—^―

四.解答題：本大題共5小題，第15題13分，16、17題各15分，18、19題各17分，共

77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)

指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.

15.已知△ABC中的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S^ABC=（tz2-b2-c2）.

（1）求角A的大小；

(2)若b=2,。為BC邊上一點(diǎn)，DA±BA,且BD=3DC,求cosC.

解：(1)因?yàn)镾^ABC=乎(/-b2-C2),

所以一〃csinA=一卓(2Z?ccosA),即sinA=-V3cosA,

24

所以tanA=一E，又AC(0,IT),

所以A=等.

⑵由⑴可知4=等所以NC4O=等一尹崇

,CD2

根據(jù)正弦定理‘在△金中，病二

6

一,BDc

在△BAD中，-=--------,又NAD3+NADC=7T,

sin-sinZ-ADB

2

所以sinNAZ)3=sinNAOC,又BD=3DC,所以c=3,

所以由余弦定理，可得。2=62+。2-20CCOSA=4+9-2X2X3X（―*）=19,

則所以cosC=—2^—=38.

16.如圖，在直角梯形ABC。中，BC//AD,AZ）±CD,BC=2,AZ）=3,CD=V3,邊AD

上一點(diǎn)后滿足=1,現(xiàn)將△A3E沿BE折起到△48E的位置，使平面ALBE,平面BCDE,

如圖所示.

（1）在棱A1C上是否存在點(diǎn)F,使直線。E〃平面A1BE,若存在，求出竺，若不存在，

請(qǐng)說明理由；

（2）求二面角Ai-8C-。的平面角的正切值.

A|

解：（1）當(dāng)月是4C的中點(diǎn)時(shí)，直線。尸〃平面A3E,理由如下:

如圖，設(shè)A5的中點(diǎn)為N,連接EN,FN,

小

R

11

所以FN〃BC,FN=^BC,又ED//BC,ED=^BC,

所以FN//ED且FN=ED,

所以四邊形DENF是平行四邊形，

所以DF〃EN,又因?yàn)閁平面ENu平面48E,

所以”平面4BE,

所以存在點(diǎn)F,使。尸〃平面A1BE,且注=p

JTI1乙

(2)在平面圖形中，連接CE,貝IJNECD=30°,AECB=60°,

所以CB=CE=BE=AE=AB=2,

如圖所示，取8E中點(diǎn)O,連接40,貝!|BE_LOAi,

因?yàn)锳lOu平面A1BE,平面A13E_L平面BCDE,且平面48ECI平面BCDE=BE,

所以A1O_L平面BCDE,又因?yàn)?Cu平面8CDE,所以AiO_L8C,

作0M_L8C于M,連接A1M,

因?yàn)锳iOCOM=。，且40,OMu平面AiOM,

所以3C_L平面4OM,又因?yàn)?Mu平面4OM,

所以A1ML8C,所以N&M。為二面角Ai-BC-。的平面角，

F5

在直角中，ArO=V30M=^,可得tcmN&M。=2,

故二面角A1-BC-D的平面角的正切值為2.

17.已知函數(shù)/(x)=eHnx-ae\

(1)若。=1,請(qǐng)直接寫出函數(shù)了(無)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若a>l,求證：函數(shù)/(x)存在極小值；

(3)若對(duì)任意的實(shí)數(shù)在[1,+8),f(x)2-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)a—1時(shí)，f(無)=e*(bix-1),

令/(x)=0,則x=e,

所以函數(shù)/(尤)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；

1

證明：(2)由/(%)="(/nx-〃)，得f'(%)=+q—a),

111V—1

令h(%)=Inx+--a,貝=---^2=

當(dāng)0<xVl時(shí)，hr(x)<0,當(dāng)%>1時(shí)，h'(x)>0,

所以"(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)，

所以h(%)的最小值為h(1)=\-a,

1

當(dāng)a>l時(shí)，h(l)=1—a<0,h(ea)=>0,

又//(X)在(1,+8)單調(diào)遞增，

故存在€(1,ea),使得〃(xo)=0,在區(qū)間(1,xo)_th(x)<0,在區(qū)間(xo,+

8)上〃(x)>0.

所以，在區(qū)間(1,xo)上/(x)<0,在區(qū)間(xo,+8)上/(x)>0,

所以，在區(qū)間(1,xo)上了(尤)單調(diào)遞減，在區(qū)間(xo,+8)上/(尤)單調(diào)遞增，故函

數(shù)/(尤)存在極小值；

(3)對(duì)任意的實(shí)數(shù))曰1,+8),/(x)2-1恒成立，等價(jià)于/(無)的最小值大于或等

于-1,

①當(dāng)aWl時(shí)，h(1)=1-a'O,由(2)得h(尤)》0,所以(%)20,所以/(%)

在口，+8)上單調(diào)遞增，

所以了(無)的最小值為/(I)=-ae,

1

由-ae2-1,得a<―,滿足題意；

②當(dāng)〃>1時(shí)，由(2)知，f(x)在(1,xo)上單調(diào)遞減，所以在(1,xo)上/(x)W

/(1)=-ae<-e,不滿足題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-8,1].

Xv

18.已知M是橢圓一+—=1的左頂點(diǎn)，過M作兩條射線，分別交橢圓于點(diǎn)A,B,交直

43

線1=4于點(diǎn)C,D.

(I)若NAM8=45°,求|CD|的最小值；

、r,1111

(II)設(shè)A(xi,yi),B(%2,”)，C(用，*),D(x4,>4),當(dāng)—+—=—+—，