河南省信陽市2024屆高三年級下冊適應(yīng)性考試（十）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

河南省信陽市新縣高級中學(xué)2024屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試

（十）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

i.對兩個變量x和y進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)下

列統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值能夠刻畫其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果的是（）

A.平均數(shù)B.相關(guān)系數(shù),C.決定系數(shù)&D.方差

2.若函數(shù)〃力=111位一26+34）在[1,+⑹上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-co,l]B.（-1,1]C.[-l,+oo）D.[l,+oo）

3.若直線丫=次+6與曲線y=e'相切，則的取值范圍為（）

A.（-co,e]B.[2,e]C.[e,+oo）D.[2,+oo）

4.棱長為1的正方體A5CQ-ABCQI中，點(diǎn)尸為5R上的動點(diǎn)，O為底面A8C。的中

心，則OP的最小值為（）

A石R瓶「anC

A.D.--C.D.

3362

5.雙曲線V-y2=8的左右焦點(diǎn)分別是耳，工，點(diǎn)Pn@,笫）伽=1,2,3...）在其右支上，

且滿足比+禺1=1P"印，PJU耳月,則羽?！钡闹凳?)

A.80560B.80480C.8056D.8048

6.若函數(shù)〃x)=21nx-在[也,回上存在兩個零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

-in2「ln211(2In21「1

A.-B,—C.—D.—,~

_2Q)[63eJ<e6」|_e3e)

7.設(shè)集合A={-1,?！粆,B=|(jq,x2,x3,%4,x5)|%;eA,z=1,2,3,4,51,那么集合B中滿足

IV㈤+同+k|+M+k|V3的元素的個數(shù)為()

A.60B.100C.120D.130

8.已知。為圓A:(x-iy+y2=l上動點(diǎn)，直線4:〃式-4+3%+2〃=。和直線

0：nx+my-6m+n=0（eR,加十川/0）的交點(diǎn)為尸，則PQ的最大值是（）

A.6+75B.4-75C.5+6D.1+75

二、多選題

9.已知“X)為(。,+8)上的可導(dǎo)函數(shù),且(x+l)r(x)>〃x),則下列不等式一定成立

的是()

A.3/(4)<4/(3)B.4/(4)>5/(3)C.3/(3)<4/(2)D.3〃3)>4/⑵

10.設(shè)z為復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列命題正確的有()

A.若(l+i)z=—i,貝強(qiáng)|=1

B.對任意復(fù)數(shù)Z1,z2,有，Z21=〔21Hz

C.對任意復(fù)數(shù)Z],z2,有ZjZzMZi-Zz

D.在復(fù)平面內(nèi)，若"={z||z-2區(qū)2},則集合M所構(gòu)成區(qū)域的面積為6兀

11.已知，(無)=*2，+2。叩，(參考數(shù)據(jù)1!!13.4。2.6),則下列說法正確的是()

A./(x)是周期為n的周期函數(shù)

B.在(-兀,0)上單調(diào)遞增

C.“X)在(-2兀,2兀)內(nèi)共有4個極值點(diǎn)

D.設(shè)g(x)=/(x)-x,則g(尤)在18,%-J上共有5個零點(diǎn)

三、填空題

12.已知平面向量。與b的夾角為120。，B在°上的投影是-1,且滿足(2a+b)l(a-3b),

則|a+261=.

13.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例，引入數(shù)列：1,1,2,3,5,8,■-,

該數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，即％+2=a,+i+a“5eN*),故此數(shù)列稱

為斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，其通項(xiàng)公式為(=4匕當(dāng)-匕f.設(shè)〃

02JV2J_

是不等式log/d+⑹〃-(1-6[>2〃+11的正整數(shù)解，則〃的最小值為.

14.已知函數(shù)=7,g(x)=2Y,若存在一條直線同時與兩個函數(shù)圖象相切，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍________.

四、解答題

試卷第2頁，共4頁

15.在ABC中，角A,dC的對邊分別是4c,且向量根=\-。,修和向量

“二1號。-四)互相垂直.

⑴求角C的大??；

⑵若.ABC的周長是3+6，C4BC=-3，求ABC外接圓的半徑.

16.某學(xué)習(xí)平臺的答題競賽包括三項(xiàng)活動，分別為“四人賽”、“雙人對戰(zhàn)”和“挑戰(zhàn)答題”.

參賽者先參與“四人賽”活動，每局第一名得3分，第二名得2分，第三名得1分，第四

名得0分，每局比賽相互獨(dú)立，三局后累計(jì)得分不低于6分的參賽者參加“雙人對戰(zhàn)”活

動，否則被淘汰.“雙人對戰(zhàn)”只賽一局，獲勝者可以選擇參加“挑戰(zhàn)答題”活動，也可以選

擇終止比賽，失敗者則被淘汰.已知甲在參加“四人賽”活動中，每局比賽獲得第一名、第

二名的概率均為《，獲得第三名、第四名的概率均為J;甲在參加“雙人對戰(zhàn)”活動中，

36

比賽獲勝的概率為:.

(1)求甲獲得參加“挑戰(zhàn)答題''活動資格的概率.

(2)“挑戰(zhàn)答題”活動規(guī)則如下：參賽者從10道題中隨機(jī)選取5道回答，每道題答對得1

分,答錯得。分.若甲參與“挑戰(zhàn)答題”，且“挑戰(zhàn)答題”的10道題中只有3道題甲不能正

確回答，記甲在“挑戰(zhàn)答題”中累計(jì)得分為X,求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

17.已知函數(shù)/(x)=ae，T-ln;v+lna-l,其中a>0,e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/⑴的單調(diào)區(qū)間；

(2)討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個數(shù).

18.已知橢圓G：5+產(chǎn)=1(〃>1)與拋物線c?：y2=2px(p>0)在第一象限交于點(diǎn)

。(尤2,%)，A,3分別為G的左、右頂點(diǎn).

⑴若無2=1,且橢圓G的焦距為2,求c2的準(zhǔn)線方程；

⑵設(shè)點(diǎn)F(l,0)是C,和C2的一個共同焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的一條直線/與G相交于C,D兩點(diǎn)，

與Cz相交于E,G兩點(diǎn)，CD=AEG，若直線/的斜率為1,求力的值；

(3)設(shè)直線QA,直線分別與直線x=a+l交于M,N兩點(diǎn)，與的面積

分別為岳，邑，若去的最小值為求點(diǎn)。的坐標(biāo).

$24

19.若數(shù)列｛七｝滿足：存在等差數(shù)列｛&｝,使得集合｛無“+以N*｝元素的個數(shù)為不大

于可此N*),則稱數(shù)列優(yōu)｝具有。㈤性質(zhì).

（1）已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,%+1=為+2+（：05胃+5缶:（〃￡]>1*）.求證：數(shù)列

+cos/1是等差數(shù)列，且數(shù)列｛an｝有。（3）性質(zhì)；

⑵若數(shù)列｛%｝有。（匕）性質(zhì)，數(shù)列也｝有以匕）性質(zhì)，證明：數(shù)列血+%｝有。（左。性

質(zhì)；

（3）記北為數(shù)列｛力｝的前〃項(xiàng)和,若數(shù)列｛瑁具有?；┬再|(zhì)，是否存在根eN*,使得數(shù)

列｛力｝具有。（間性質(zhì)？說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.C

【分析】根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)的特征可知，決定系數(shù)R2能夠刻畫其經(jīng)驗(yàn)回歸方程的擬合效果.

【詳解】平均數(shù)與方差是用來反饋數(shù)據(jù)集中趨勢與波動程度大小的統(tǒng)計(jì)量；

變量y和X之間的相關(guān)系數(shù)r的絕對值越大，則變量y和X之間線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；

用決定系數(shù)4來刻畫回歸效果，R2越大說明擬合效果越好.

故選：C

2.B

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則以及函數(shù)在[1,+8)上有意義列不等式求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=ln(尤2-2"+3?)在[1,+向上單調(diào)遞增，

-2a<1

所以<2,解得一1<。41.

1—2〃+3ci〉0

故選：B.

3.A

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得。+6=(2-借助導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)/(x)=(2-x)e，

的值域即可得解.

【詳解】對于y=el有了=^,令切點(diǎn)為(九曖)，則切線方程為y=em(x-m)+e*

即y=e"'x+(l-m)e'",即有a+b=em=(2-m)em,

令〃尤)=(2-x)e",則，(x)=(l—x)e，,

當(dāng)尤<1時，/'(x)〉。，當(dāng)x>i時，,

故"X)在(-8,1)上單調(diào)遞增，在(1,+勸上單調(diào)遞減，

故〃尤)</(l)=(2-l)ei=e,

又當(dāng)x趨向于正無窮大時，趨向于負(fù)無窮，

故〃x)e(-oo,e],即q+6e(-co,e].

故選：A.

4.C

答案第1頁，共20頁

【分析】由題意可得。尸的最小值為點(diǎn)。到線段BR的距離，借助相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即

可得.

【詳解】由題意可得0P的最小值為點(diǎn)0到線段的距離,

在平面DtDB內(nèi)過點(diǎn)。作OP，3n于點(diǎn)p,

由題意可得。，=1,=BD\=6，ORJ■平面ABCD,

因?yàn)镈Bu平面ABCD,貝因?yàn)橐籓PBSMQB,

也1

OP_OB^X1_V6.

故而_―西，即0尸二OBDDX_

BD{布一6

故選：c.

【分析】先求出玉=4,再根據(jù)周心|=|匕周得到x,+i-%=4,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)求解

即可.

【詳解】Va2=8,1=8,，c=4,即%=4,

又闋=由耳|,(七+「4)2+心=(%+4)2+或,

即<1-8%+16+焉=X：+8/+16+才,

(xn+I+%?)(x?+1-x?-4)=0,

由題意知，%>0,.?.尤,用-尤“=4,

???｛七｝是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列,

x2014=%+2013x4=4+8052=8056.

故選：C

答案第2頁，共20頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查等差數(shù)列的判斷和通項(xiàng)的求法，意在考

查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

6.B

【分析】參變分離得到即8。)=空與>的圖象在［&,e］上有2個交點(diǎn)，求導(dǎo)得到

g(x)=坐的單調(diào)性和極值，最值情況，得到g(x)1mx再由°(x)=小得到g(應(yīng))>g(e),

xex

從而得到孚43a<2，得到答案.

2e

【詳解】函數(shù)〃x)=21nx-3辦2在［后,e］上存在兩個零點(diǎn)，

即3a=翌在［后,e］上有2個解，

即g(x)=罷與y=3a的圖象在［0,e］上有2個交點(diǎn)，

當(dāng)五時，g'(x)>0,故函數(shù)g(x)=坐單調(diào)遞增，

X

當(dāng)正<x<e時，g'Q)<。，函數(shù)gQ)=一單調(diào)遞減，

X

故g(x)=岑在X=6處取得極大值，也是最大值，

X

所以gOOmax=g(V^)=!，又g(啦)=1110=噂=號，g(e)=3=@f-

e24ee

構(gòu)造。(0=也，求導(dǎo)得夕(無)=二令e(x)=O,解得x=e

XX

所以：。食)在(。⑶上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.因此：例4)>0d)

即：g(0)>g(e)

作出y=g(x),y=3a圖象,如圖,

答案第3頁，共20頁

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：分離參數(shù)法基本步驟為：

第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等

式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，

第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用導(dǎo)函數(shù)或基本不等式進(jìn)行求解.

第三步：由此推出參數(shù)的取值范圍即可得到結(jié)論.

7.D

【分析】明確集合8中滿足1＜閭+同+同+民|+國43的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，即可

求得答案.

【詳解】由題意知集合B中滿足14kl+同+國+同+何43的元素的個數(shù),

即指占,馬,再，匕，當(dāng)中取值為-1或1的個數(shù)和為1或2或3,

故滿足條件的元素的個數(shù)為C；x2+C；x于+C；x23=10+40+80=130（個），

故選：D

8.A

【分析】由4、4可得/口%且4過定點(diǎn)網(wǎng)-3,2）,4過定點(diǎn)C（-L,6）,則可得點(diǎn)尸在以8C

為直徑的圓上，則PQ的最大值為AM+4+弓.

【詳解】由4:mx—+3機(jī)+2〃=0、l2:nx+my—6m+n=0,

有mxn+（-n）xm=0,故乙_L（，

對4有-3m-2H+3m+2n=0,故4過定點(diǎn)B（-3,2）,

對W-lxn+6m-6m+H=0,故4過定點(diǎn)C（-l,6）,

則3c中點(diǎn)M為［三二，岑），即”（-2,4）,

忸q="—3+1）2+（2—6）2=2小,則（二退，

故點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上，該圓圓心為M（-2,4）,半徑為君,

又。在原A:（x-l）2+y2=l,該圓圓心為4。,0）,半徑為1,

答案第4頁，共20頁

又AM=J(1+2)~+4。=5,則|尸。|1mx=5+/+弓=5+>/5+1=6+.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由直線4、4的方程得到4,4,且4過定點(diǎn)8(-3,2),

4過定點(diǎn)C(-l,6),從而確定點(diǎn)尸的軌跡為以3C為直徑的圓，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為圓上兩點(diǎn)

的距離最值問題.

9.BD

【分析】先構(gòu)造函數(shù)胃，利用導(dǎo)數(shù)判斷該函數(shù)的單調(diào)性；再利用單調(diào)性即可判斷

各個選項(xiàng).

【詳解】設(shè)從耳=坐，xe(0,+8).

則"一「

因?yàn)?x+1)/'(%)>/(%)所以

則函數(shù)Mx)=2?在區(qū)間(0,+⑹上單調(diào)遞增,

所以妝4)>/z⑶，即牛〉手，4/(4)>5/(3)；

欠3)>從2),即/?>上了，3/(3)>4/(2)；而A無法確定；故BD正確，AC錯誤.

答案第5頁，共20頁

故選：BD.

10.BC

【分析】借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共軌復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的幾何意義逐項(xiàng)判斷即可得.

-ix(l-i)-1-i

【詳解】對A:由(l+1)Z=T,故2=幣=

(l+i)(l)2

故忖」一小㈢當(dāng)故A錯誤；

對B：設(shè)％=〃+為(a,Z?￡R)、z2=c+di(^c,dGR),

貝!J卜㈤=|(tz+/?i)(c+Ji)|=\ac-bd+^ad+Z?c)i|=+(ad+be?

222122

=7ac-labed+Hd+c^d+2abcd+bc=J42c2+82d2+十匕2c2,

122222222222222

\z^\z2\=yJa+b-y]c+d=^a+Z7)(c+J)=^c+bd+ad+bc,

故,聞=|21Hz2I,故B正確；

對C：設(shè)4=〃+歷(a,/?￡R)、z2=c+di(^c,dGR),

有42=(a+Z?i)(c+65)=ac—Z?d+(〃+/?c)i,則z/z?=ac-bd-(ad+bc)i,

Zj-z2=(^a-b^c-d^=ac-bd-(ad-\-bc)\.,故4烏=4&,故C正確；

對D：設(shè)2=X+”(x,y￡R),貝I]有(％-2)2+/44,

集合M所構(gòu)成區(qū)域?yàn)橐?2,0)為圓心，半徑為2的圓，

故S=兀r=4兀，故D錯誤.

故選：BC.

11.BCD

【分析】選項(xiàng)A,根據(jù)條件得至(]/(%+兀)工/(%),即可判斷出選項(xiàng)A錯誤；選項(xiàng)B,對/(%)

求導(dǎo)，得至！J/'(%)=—2(2sinx—l)(sinx+l)esg+2cosx,從而得到％E(-私0)時,求尤)>0,即可

判斷出選項(xiàng)B的正誤，選項(xiàng)C,令尸(%)=。，求出無￡(-2兀,2兀)時的解，再根據(jù)極值的定義，

即可判斷出結(jié)果，選項(xiàng)D,根據(jù)條件得出了⑺的周期為2兀，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的

關(guān)系，得出了(九)在。，丁J上的圖象，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.

答案第6頁，共20頁

【詳解】對于選項(xiàng)A,因?yàn)?(x)=e'g+2”s，，

所以“x+兀)=即2(*+")+2。。於+冷=esg-28s工片/(X),所以選項(xiàng)A錯誤,

對于選項(xiàng)B,因?yàn)?'(無)=(2?)$2工一2$?無)63"2工+2。皿=2(1-25?2》一$?尤)爐1112，+2叱，

=-2(2sinx-l)(sinx+l)esin2%+2cosx,

當(dāng)xe(-7t,0)時,2sinx-l<0,sinx+l>0,esin2%+2cos%>0,

所以當(dāng)尤e(r,O)時，f'M>0,當(dāng)且僅當(dāng)方蘭時，取等號，所以在(-私0)上單調(diào)遞

增，故選項(xiàng)B正確，

對于選項(xiàng)C,因?yàn)閞Q)=-2(2sinx-l)(sinx+l)eSin2x+28s，，

令/'(x)=0,得至lj(2sinx_l)(sinx+l)=0,

又因?yàn)閟inx+120,當(dāng)且僅當(dāng)戶子或工=當(dāng)時，取等號，

所以x=_g,片斗不是變號零點(diǎn)，即后，尋不是的極值點(diǎn)，

由2sinx—1=0,BPsinx=—,

2

又％￡(—2兀,2兀),解得x=g或％=孚或%=一坐或%=一?，

6666

由丫=$皿》圖象知，每一個解都是變號零點(diǎn)，所以“X)在(-2兀,2兀)內(nèi)共有4個極值點(diǎn)，故

選項(xiàng)C正確，

對于選項(xiàng)D,因?yàn)?(無+2兀)=esin2(x+2n)+2cos(J:+2,I)=esin2%+2cosx=/(尤)，

所以/*)的周期為2兀，

又因?yàn)?'(X)=-2(2sinx-l)(sinx+l)esin2j:+2cosx,

當(dāng)xe[0,2句時，由八元)=0得到x=gx=?，x=~,

列表如下,

715兀3兀

X

~6T

f\x)+0—0+0+

y=/(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增單調(diào)遞增

答案第7頁，共20頁

又/(0)=e2

則AM在［0,2可上的大致圖象如圖所示,

當(dāng)x<0時，因?yàn)?(無)=6疝2*+2-*>0,此時f(x)=x無解,

由6。1.732,則地。2.6,Xlnl3.4?2.6,則-苧~陵,6~4，

2C?C~1J.4-

29TI29

又由4TI=4X3.14=12.56<13.4,——?—x3.14=15.18>13.4,

66

故只需再畫出f(x)在口兀,學(xué)

圖象即可,

OQjr3百0。

當(dāng)尤2等時，e〒句3.4<弛，〃x)=x無解，

66

作出y=x的圖象，注意至!］總?空*3.14。13。9<13.4,

66

257r

所以x=丁時，y=x的圖象在/(刈=*2*+25圖象下方,

6

由圖可知丁=工與f(%)=esin2x+2cosx在Q,2971

~6~上有5個交點(diǎn),

29兀

所以g(x)在—00,---上--共有5個零點(diǎn)，所以選項(xiàng)D正確,

6

答案第8頁，共20頁

y/*)

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D,根據(jù)條件得出了⑺是周期為2兀的周期函數(shù)，

一29兀1

再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，作出了（X）在上圖象，且有了（X）最大值和最小值

分別為.乎，丁挈，利用空＜e三。13.4〈也，再數(shù)形結(jié)合，即可求出結(jié)果.

e。66

12.-

2

【解析】由條件算出W=2,忖=3,然后可得答案.

【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄俊昱c6的夾角為120。，萬在°上的投影是-1,

所以Wcosl20°=-1,所以||=2

因?yàn)椋?a+/?）_L（a—3。），即（2a+/?）?（〃-3。）=0,BPla-5a-b—3b-0

所以2問工卜卜心。，解得同=g

..\2Q3497

所以（za+26）=1+4x-x（-l）+4x4=—,所以|a+26|=5

答案第9頁，共20頁

7

故答案為：—

2

13.8

【分析】先利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得寫?-匕?>(V2)",然后結(jié)合

顯然數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝亦為遞增數(shù)列,

,11,11

易知為=13,as=21,且d<《，a；>q,

211

使得a：>g成立的〃的最小值為8.

故答案為：8.

答案第10頁，共20頁

2、

14.(-8,0)D.,+8

7

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，根據(jù)切線為同一直線可得其關(guān)系，然后分

離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可解.

pxpm

【詳解】設(shè)直線/與函數(shù)號，8(力=2%2分別相切于點(diǎn)(加2),(凡2r),

因?yàn)槭?x)=J,g，(x)=4x，

a

mm

所以切線方程可表示為y---=——(x-m)^y-2n2=4n(x-n)

aa

mm

BPy=——x+(l—m)——或y=-2n2

aa

——=4〃

所以，整理得4〃(l-〃z)=-2/

(1-m)——=-2n2

、a

易知，在〃=0處g(x)的切線方程為y=。，此時與/(九)不相切，故〃w0,加wl,

所以〃=2(*1),所以。*=小

(m-2)effl

記h(jri)=------則h'fjn)=

8(m-l)8(m-l)2

當(dāng)機(jī)<1或1<m<2時，7z(m)<0,/z(㈤單調(diào)遞增，當(dāng)機(jī)>2時，hr(m)>0,"(M單調(diào)遞減,

且當(dāng)根從左邊趨近于1時，川明趨近于f,當(dāng)機(jī)從右邊趨近于1時，力(如趨近于+8,當(dāng)

加趨于-00時，九0)<。且趨近于o,h(2)=—,于是可作父㈤的草圖如圖:

8

故答案為：(-8,0)U+

O

⑸(1)C=S

答案第11頁，共20頁

(2)1

【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，化簡整理可得標(biāo)+廿-,2=64.然后根據(jù)余弦定

理，即可得出答案；

（2）由已知可推得油=26.根據(jù)正弦定理可得c=R,a+6=3+&-R.代入

a2+b2-c2=43ab,整理即可得出（3+6-R）2-46-上=6,求解即可得出答案.

【詳解】（1）因?yàn)橐浴ɑハ啻怪?

所以機(jī).幾=（Q_C）?~~~+（人—=0,

整理可得一。2=&方.

由余弦定理得，cosC且驗(yàn)=且

lab2ab2

7?

因?yàn)?<C<7i,所以c=：.

6

(2)

7i—C)=-^-ab二—3,

72

所以仍=2石.

由正弦定理知，C=2R,所以c=2HsinC=H,貝!)〃+/?=3+代一尺.

smC

又由(1)知，a1+b1-c1=yl3ab,

所以H+b2—R2=6ab,

所以有3+6)2—2QZ?—A?=6〃。，

即(3+6—A)?—40一7?2=6,解得R=l.

故「ABC外接圓的半徑是1.

答案第12頁，共20頁

7

⑵分布列見解析；

【分析】(1)設(shè)甲在“四人賽”中獲得的分?jǐn)?shù)為九由題意確定4的可能取值，求出每個值對

應(yīng)的概率，即可得答案.

(2)確定隨機(jī)變量X的所有可能取值，求得每個值對應(yīng)概率，可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)

期望.

【詳解】(1)設(shè)甲在“四人賽”中獲得的分?jǐn)?shù)為九則甲在“四人賽”中累計(jì)得分不低于6分包

含了4=9或4=8或”7或J=6.

PC=9)=I?弓

PC=8)=C；I144

I+C；X：X

PC=7)=C；III=l

11

PC=6)=A；

54

所以甲在“四人賽''中累計(jì)得分不低于6分的概率6=±+(+：+?=與,

27965427

o1479R

故甲能進(jìn)入“挑戰(zhàn)答題”活動的概率尸=々、3=三*3=全

327jol

(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為2,3,4,5,

P(X=2)=匕C3?c2=上1尸(X=3)=*C2￥c3=25

JCo1'乙2JCo1,乙2

CY5P(X=5)=與』

P(X=4)=^^=2

JCo,1乙2

所以X的分布列如下表所示:

X2345

1551

P

12121212

j5/fy,E(X)=2x—+3x—+4x—+5x—=-

121212122

答案第13頁，共20頁

17.(1)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8)；(2)答案見解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出/'?=et-1--(x>0)的單調(diào)性，結(jié)合r(1)=2-1=0求出函數(shù)/(x)的

X

單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時，由其單調(diào)性結(jié)合/⑴=。求出函數(shù)/(x)有且僅有一個零點(diǎn)，當(dāng)。>1時，由

/(x)>ei7nA120得出函數(shù)/(X)沒有零點(diǎn)，當(dāng)0<“<1時，利用導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存在性定理得

出函數(shù)/(無)有兩個零點(diǎn).

【詳解】(1)當(dāng)a=l時，f(x)=ex-'-\nx-l,函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8)

所以尸(0=產(chǎn)」。>0),設(shè)g(x)=ei」(x>0),則<(幻=產(chǎn)+4>0

%九％

所以函數(shù)(X)=/T-1在(0,+8)上單調(diào)遞增.

X

又r(l)=e°T=O,所以當(dāng)0<x<l時，/V)<0；當(dāng)x>l時，r(x)>0

所以當(dāng)。=1時，函數(shù)/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).

(2)當(dāng)。=1時，由(1)可知，函數(shù)/(元)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間是口,+8),

所以/(x)1nto=/(I)=0,所以函數(shù)/(X)有且僅有一個零點(diǎn).

xrl

當(dāng)時，/(x)=ae-'-ln^+lnfl-1>e-Inx-1>0,所以函數(shù)/(x)沒有零點(diǎn).

當(dāng)0<a<］時，/'(x)=ae-T—2(x>0),^h{x)=aex-'--(x>0),貝l］〃(x)=ae'T+±>0,

XXX

所以函數(shù)r(X)=“廣-1在(0,+s)上單調(diào)遞增,

X

又1<。，ff(~)=—a=a(e^1-1)>0,所以存在九O￡(L：),使得/'(%)=0,

當(dāng)0<%<不時，<0；當(dāng)時，

所以函數(shù)/(犬)在(。，/)上單調(diào)遞減，在(%o，+°o)上單調(diào)遞增.

又/⑴=a+lna-l且Ovavl,所以〃一1<0,lna<0,所以

令石=一，貝！］再<1且/a)=/(@)=〃ee>0.

ee

人204fl144-i44-i

令無2=(1)=F,貝!!九2>—>1且/(%2)=/(—7)=。。"-In—+In=aea+31na-l-21n2.

aaaaa

下面先證：ex-1>x(x>1),令*九)=——x(x>l),則/(%)=——1>0

故函數(shù)K%)在(1,y)上單調(diào)遞增，所以心)>/1-1=0,所以D九(尤>1)

答案第14頁，共20頁

所以/(%)=/昌)=aeL+31na-l-21n2>t?--4-+31na-l-21n2=-+31n?-l-21n2.

aaa

4433/7-4

令r(a)=—+31ntz-l-21n2(0<a<I),貝(Jr'(a)=——-+—=——--<0

aaaa

所以函數(shù)?、仍?0,D上單調(diào)遞減，所以《Q)〉4+31nl-l-21n2=3-21n2>0

4/74

所以/(三)>0,所以函數(shù),⑴在(2,1)和(1,3)內(nèi)各有一個零點(diǎn)，所以函數(shù)/⑴有兩個零點(diǎn)

aea

綜上，當(dāng)4>1時，函數(shù)/(元)沒有零點(diǎn)；當(dāng)。=1時，函數(shù)/⑴有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)0<“<1時，

函數(shù)/(工)有兩個零點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法

(1)直接法：令〃功=0,如果能求出解，那么有幾個不同的解就有幾個零點(diǎn)；

(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時，不僅要求函數(shù)的圖象在

區(qū)間々上是連續(xù)不斷的曲線，并且還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，(如單

調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)；

(3)圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)就是函數(shù)的

零點(diǎn)個數(shù)；將函數(shù)“力拆成兩個函數(shù)，丸(個和g(x)的形式,根據(jù)〃x)=0o/<x)=g(x)，

則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)就是函數(shù)曠=/(x)和y=g(x)的圖象交點(diǎn)個數(shù)；

(4)利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)

是周期函數(shù)，則需要求出在一個周期內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).

18.(l)x=--

8

(2)九=±也

6

【分析】(1)根據(jù)焦距和q=i求出橢圓方程和。卜,芋］,從而得到求出準(zhǔn)線方程；

丫2

(2)先得到C|：5+y2=LG：V=4x和直線方程，分別聯(lián)立后，得到相應(yīng)的弦長，從而

分兩向量方向相同和相反求出答案；

答案第15頁，共20頁

（3）由三點(diǎn)共線得至1]>必=」^（2。+1）和％=^^,從而表達(dá)出5”邑，得到

xQ+axQ—a

,=啥”，換元后得到的（一24-1）；；2〃+2）；-1，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)求出

最小值，得到方程，求出a=2,進(jìn)一步求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【詳解】（1）由題意得2c=2,故c=l,則/一1=1,解得〃=2,

故橢圓G：1-+r=B

因?yàn)椤＃ǎピ诘谝幌笙?，x°=i,所以為=專,

所以將其代入尸=28（0>0）中，即2p=；,解得P=；,

故Cz的準(zhǔn)線方程為X=-9,X=-：；

28

（2）由題意得/-1=14=1,解得/=2,p=2,

故G：，+>2=1,G：/=以，

直線/的方程為>=xT,聯(lián)立C|：三+丁=1得，3/-4尤=0,

設(shè)C（石，％），°（X2,%），則%+9=§，%/=。，

故\CD\=Jl+1J（X|+x2『-4X]/=A/2X~=4f，

2

聯(lián)立丫=元-1與C2：V=4x得，X-6X+1=0,

設(shè)磯F,為b6（匹,％），則W+%4=6,XJX4=1,

故|EG|=A/1+1J（w+X4—4尤3X4=^2xJ36-4=8，

4A/2

若CREG方向相同，彳=￡2=」_=變，

EG86

若CD,EG方向相反，A=-—,

6

答案第16頁，共20頁

（3）由A（-a,O）,。（無2，均），/（。+1,加）三點(diǎn)共線，可得

加丫。故％=—^―（2a+l）,

2a+1xQ+axQ+a

同理，由3（a,0）,Q（xQ,yQ）,N（a+1,%）三點(diǎn)共線,可得

xQ—a

/

則；（＞（）；（）

S|=yM_yNa+l-4=—^―2fz+l-—,+1-XQ）

ZN卜XQ十ClXQ—u

因?yàn)槠?/,所以/一

又S2=g|A斗左=物,

因?yàn)椤辏?,a）,令a+l-q=/￡（1M+1）,

貝！XJQ=a+1-t,

答案第17頁，共20頁

__________1__________

（-2"1）"+（2。+2）；一1

因?yàn)閝>],所以y=（-2a-l）J+（2a+2）；-l的開口向下,

2〃+2〃+1

對稱軸為一2（-2°_1）=G'

,6Z+114+2。+1—2?！?a2?

其中------------=-----------------=-------------->0

八2i+lQ+1（2〃+1）（。+1）（2Q+1）（Q+1）

故當(dāng)』=片時，>=（_2a-1）1+（24+2）』-1取得最大值,

tIXtt

2