新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理（選填題10種考法）（解析版）

專題11計(jì)數(shù)原理（選填題10種考法）

考法解讀

r解題思路一分類加法，分步乘法

r列舉法

一相鄰捆綁法

L不相鄰插空法

…—r倍縮法

-方法--定序-n

I排他法

嶼就加生JT特殊位置優(yōu)先

（―排列組合-j特殊優(yōu)先彳

L特殊元素優(yōu)先

I相同元素隔板法

r排隊(duì)問題

廠排數(shù)問題

一多面手

一涂色問題

匚題型-

-分組分配

計(jì)

數(shù)J集合問題

原J環(huán)排問題

理最短距離

「①對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為即次項(xiàng)）

指0（0

定②對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，求其所有的字母的指數(shù)恰

項(xiàng)--好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指

系數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)集，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解.

數(shù)

一③對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是

非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致

二

二

項(xiàng)

項(xiàng)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等

式

式

系

定一@c8+ci+ci+...+ca=2"

數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)和一

理@Cl+a+ci+...=cA+c2+c5+...=2"-1

一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為4o,Ai,Az,A.,

系數(shù)的

最大項(xiàng)且第項(xiàng)最大，應(yīng)用

I系Jt+1解出左，即得出系數(shù)的最大項(xiàng).

數(shù)

系數(shù)和一賦值法

典例剖析

考法一排隊(duì)問題—）r-考法六指定項(xiàng)系數(shù)

考法二排數(shù)問題考法七（二項(xiàng)式）系數(shù)和

計(jì)

數(shù)

考法三分組分配問題原考法八二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

理

考法四涂色問題考法九二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

考法五最短距離-1J考法十二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)綜合

考法一排隊(duì)問題

【例1】（2023春?重慶沙坪壩）（多選）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）.

A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法

B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法

C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法

D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法

【答案】BCD

【解析】對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有A；=6種排法，丁、戌站后排，有A；=2種排法，

共有6x2=12種排法，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，

若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有A：=24種排法，故B正確；

對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有A：A；=12x6=72種排法，故C正確；

對(duì)D：5人站成一排，有A；=120種排法，

則甲在最左端，乙不在最右端，共有C；A；=3x6=18種排法；

甲不在最左端，乙在最右端，共有C；A；=3x6=18種排法；

甲在最左端，乙在最右端，共有A；=6種排法；

則甲不在最左端，乙不在最右端，共有120-（18+18+6）=78種排法，故D正確.

故選：BCD.

【變式】

1.（2023秋?高二課時(shí)練習(xí)）（多選）把5件不同產(chǎn)品A,B,C,D,E擺成一排，則（）

A.A與8相鄰有48種擺法

B.A與C相鄰有48種擺法

C.A,B相鄰又A,C相鄰，有12種擺法

D.A與8相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：產(chǎn)品A與B相鄰，把作為一個(gè)元素有A：=4x3x2xl=24種方法，

而A,8可交換位置，所以有2A：=48種擺法.故A選項(xiàng)符合題意.

對(duì)于B選項(xiàng)：同A選項(xiàng)一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項(xiàng)符合題意.

對(duì)于C選項(xiàng):當(dāng)相鄰又滿足A,C相鄰，

首先將產(chǎn)品AB,C捆綁起來作為一個(gè)元素并把產(chǎn)品A放在產(chǎn)品B與C之間，

注意到產(chǎn)品B與C可互換位置，所以首先排列A民C有A；=2x1=2種擺法，

把A民C組成的整體作為一個(gè)元素和剩下的兩個(gè)元素D,E進(jìn)行排列，又有A；=3x2x1=6種擺法，

所以A,8相鄰又A,C相鄰，有A；?A；=2x6=12種擺法故C選項(xiàng)符合題意.

對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)可知A與B相鄰有48種擺法，

由C選項(xiàng)可知A,2相鄰又A,C相鄰有12種擺法，

因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有48-12=36種擺法.故D選項(xiàng)不符合題意.

故選：ABC.

2.（2023秋?河南鄭州?高三校考開學(xué)考試）（多選）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列

說法中正確的是（）

A.若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種

B.若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種

C.若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種

D.若甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有24種

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榧撞辉谡虚g，則甲的不同的排列方式有C：=4種,

剩余的四人全排列，不同的排列方式有A：=24種，

所以不同的排列方式共有4x24=96種，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：若甲、乙、丙三人互不相鄰，則甲、乙、丙三人在首位、中間和末位，

則不同的排列方式有A；=6種，

剩余的2人全排列，不同的排列方式有A；=2種，

所以不同的排列方式共有6x2=12種，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則有四個(gè)間隔空位，

若乙、戊不相鄰，把乙、戊安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有A：=12種；

若乙、戊相鄰，把兩人看成整體安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有A；C：=8種；

所以不同的排列方式共有12+8=20種，故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若丙和丁相鄰，不同的排列方式共有A；A：=48種，

若甲在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有C；A；A；=24種，

所以甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有48-24=24種，故D正確；

故選：ACD.

3.（2023春?河北石家莊）（多選）現(xiàn)將8把椅子排成一排，4位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說法中正確的是（）

A.4個(gè)空位全都相鄰的坐法有120種

B.4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有240種

C.4個(gè)空位均不相鄰的坐法有120種

D.4個(gè)空位中至多有2個(gè)相鄰的坐法有840種

【答案】AC

【解析】對(duì)于A,將四個(gè)空位當(dāng)成一個(gè)整體，全部的坐法：A；=120種，故A對(duì)；

對(duì)于B,先排4個(gè)學(xué)生A：,然后將三個(gè)相鄰的空位當(dāng)成一個(gè)整體，和另一個(gè)空位插入由4個(gè)學(xué)生形成的5

個(gè)空檔中有A；種方法，所以一共有成=480種，故B錯(cuò)；

對(duì)于C,先排4個(gè)學(xué)生A：,4個(gè)空位是一樣的，然后將4個(gè)空位插入由4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空檔中有C；種,

所以一共有A：C；=120種，故C對(duì)；

對(duì)于D,至多有2個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰，由C可知都不相鄰的有120種,

空位兩個(gè)兩個(gè)相鄰的有A：C；=240,空位只有兩個(gè)相鄰的有A：C；C；=720,

所以一共有120+240+720=1080種，故D錯(cuò);

故選：AC

考法二排數(shù)問題

【例2】（2023春?江蘇泰州）（多選）從1,2,3,4,6中任取若干數(shù)字組成新的數(shù)字，下列說法正確的有

（）

A.若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為125

B.若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為375

C.若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為70

D.若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為72

【答案】ABD

【解析】A選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為53=125,故A正確；

B選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為53x3=375,故B正確；

C選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A；=60,故C錯(cuò)；

D選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為C；A：=72,故D正確.

故選:ABD.

【變式】

1.（2022,全國(guó),統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）

1112

A.-B.—C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有C；=21種不同的取法，

若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：（2,4）,（2,6）,（2,8）,（3⑹,（4,6）,（4,8）,（6,8）,共7種，

21-72

故所求概率尸=一=彳.

213

故選：D.

2.（2023?北京）（多選）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.可以組成300個(gè)四位數(shù)

B.可以組成156個(gè)四位偶數(shù)

C.可以組成96個(gè)能被3整除的四位數(shù)

D.將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2310

【答案】ABC

【解析】A選項(xiàng)，先從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字中選出1個(gè)放在千位上，有C；=5種選擇，

再從添上0后的剩余5個(gè)數(shù)中選出4個(gè)，放在百位，十位和個(gè)位上，有A；=60種選擇，

所以可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為5x60=300,A正確；

B選項(xiàng)，分兩種情況，當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)放在千位，百位和十位上，有

A；=60中選擇，

當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，先從2,4中選擇1個(gè)放在個(gè)位上，有C；=2種選擇，

再考慮千位，從除去0外的剩余4個(gè)數(shù)中，選擇1個(gè)放在千位，有C；=4種選擇，

再從添上0后的4個(gè)數(shù)中，選擇2個(gè)，和剩余的百位和十位進(jìn)行全排列，有A；=12種選擇，

故可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)個(gè)數(shù)為60+C；C；A：=60+96=156,B正確；

C選項(xiàng)，能被3整除的四位數(shù)，數(shù)位上的數(shù)字之和要能被整除，

先從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)中，選出四個(gè)數(shù)，數(shù)字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5

和1,2,4,5；

其中0,1,2,3,先考慮千位，從除去0的三個(gè)數(shù)中，選出1個(gè)，有C；=3種選擇，再考慮剩余的3個(gè)數(shù)，有A；=6

種選擇，故可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為3x6=18,

同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5,均可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為18,

124,5,能組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為A：=24,

所以可以組成18x4+24=96個(gè)能被3整除的四位數(shù)，C正確；

D選項(xiàng)，若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為1,

此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有A；=60個(gè)，

若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2,

此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有A：=60個(gè)，

60<80<120,故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)四位數(shù)千位為2,

若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2,百位為0,此時(shí)從剩余的4個(gè)數(shù)字中選擇2個(gè)，放在十位和個(gè)位，

組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A”12個(gè)，60+12=72<85,

同理可得：若組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2,百位為1,組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有A；=12個(gè)，

72+12=84<85,

故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2301,D錯(cuò)誤.

故選：ABC

考法三分組分配問題

【例3】（2022?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州

亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法錯(cuò)誤的是（）

A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為5"

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為4C：

C.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則

不同安排方案的種數(shù)是

D.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為

（c；c；+c；《）國(guó)

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有45種安排方法，故A

錯(cuò)誤；

對(duì)于8,根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有

種安排方法，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,根據(jù)題意，分2種情況討論：①從丙，丁，戊中選出2人開車，②從丙，丁，戊中選出1人開車，

則有+制種安排方法，C正確；

對(duì)于。，分2步分析：需要先將5人分為3組，有1牛+簽］種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)

游、禮儀三項(xiàng)工作，有用種情況，則有［當(dāng)+臣］看種安排方法，O錯(cuò)誤；

故選：ABD.

【變式】

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)院安排王醫(yī)生、李醫(yī)生、趙醫(yī)生、張醫(yī)生、孫醫(yī)生5人到三個(gè)社區(qū)開展主題

為"提高免疫力，預(yù)防傳染病”的知識(shí)宣傳活動(dòng),要求每人只能參加一個(gè)社區(qū)的活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)必須有人宣傳，

若李醫(yī)生、張醫(yī)生不安排在同一個(gè)社區(qū)，孫醫(yī)生不單獨(dú)安排在一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有（）

A.54種B.66種C.90種D.112種

【答案】C

【解析】由題意知可分為兩類：

第一類：一個(gè)社區(qū)3人，剩下兩個(gè)社區(qū)各1人，

當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生2人都單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有A；=6種不同的安排方法；

當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有C；C；A；=24種不同的安排方法；

第二類：一個(gè)社區(qū)1人，剩下兩個(gè)社區(qū)各2人，

當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有C；C；A；=36種不同的安排方法；

當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生都不單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有C；C；A；=24種不同的安排方法；

綜上可知，共有6+24+36+24=90（種），

故選：C.

2.（2023?湖南岳陽?湖南省平江縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志

愿者活動(dòng)，現(xiàn)有A3，C三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，

且甲不在A小區(qū)的概率為（）

,19310025

A.-----B.-----C.—D.一

24324339

【答案】B

【解析】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有35=243種情況，

再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，

5人被分為3,1,1或2,2,1

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，情況數(shù)為C；xA；=60；

當(dāng)5人被分為2,2』時(shí)，情況數(shù)為，X%XA；=9O；

所以共有60+90=150.

由于所求甲不去A,情況數(shù)較多，反向思考，求甲去A的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，

當(dāng)5人被分為3,1,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則C：xA；=8,甲若為3,則C；xA；=12

共計(jì)8+12=20種，

當(dāng)5人被分為2,2,1時(shí)，且甲去A,甲若為1,則圣xA；=6,甲若為2,則C；xC；xA；=24,共計(jì)6+24=30

種，

所以甲不在A小區(qū)的概率為150-+=100

243243

故選：B.

3.（2023春?福建泉州）（多選）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游

、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說法正確的有（）

A.若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為45

B.若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為A：C；

C.每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則

不同安排方案的種數(shù)是C；C；A；+C；A；

D.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為

舟+簧卜

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方式，則有45種安排方

法，故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于B,根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有C；A：

種安排方法，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于C,根據(jù)題意，分2種情況需要討論：①從丙、丁、戊中選出2人開車，②從丙、丁、戊中選出1人開車，

則有C；C；A；+C；A；種安排方法，故選項(xiàng)C正確.

「3rl「2「2

對(duì)于D,分2步進(jìn)行分析：先將5人分成3組，有言+蜜種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、

禮儀三項(xiàng)工作，有A；種安排方法，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為,故選項(xiàng)D

正確.

故選：ACD.

考法四涂色問題

【例4】（2023?云南,校聯(lián)考二模）三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的"弦圖",

后人稱之為"趙爽弦圖"，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的

顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏

色的概率是（）

111

A.—B.一C.一D.-

20765

【答案】B

【解析】所有的涂色方案分3類:

（1）用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為A；=60；

（2）用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色,

涂色方法為2A；=240；

⑶用到五種顏色，涂色方法為A；=120；

因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是60+2*+120=I

故選：B.

【變式】

1.（2023春,江蘇連云港）（多選）如圖，在一廣場(chǎng)兩側(cè)設(shè)置6只彩燈，現(xiàn)有4種不同顏色的彩燈可供選擇,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.共有46種不同方案

B.若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1、4）也不同色，且4種顏色的彩燈均要使用，則共有186

種不同方案

C.若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1、4）也不同色，且只能使用3種顏色的彩燈，則共有192

種不同方案

D.若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1、4）也不同色，且只能使用2種顏色的彩燈，則共有12種

不同方案

【答案】ACD

【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,每個(gè)彩燈顏色都有4種選擇，根據(jù)分步乘法原理得，

有4x4x4x4x4x4=46種不同方案，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,第一類：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1,2,3號(hào)位,則有A：=24種結(jié)

果，使用1種剩余的顏色和前3種顏色的2種安裝4,5,6號(hào)位彩燈時(shí)，有C，C；=9種結(jié)果，

根據(jù)乘法原理得共有24x9=216種不同的安裝方法；

第二類：先從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈有安裝在1,2,3號(hào)位，則有A：=12種結(jié)果，

再安裝4,5,6號(hào)位彩色燈，分兩類：

第一類，4,5,6號(hào)位只用1,2,3號(hào)位剩余的2種彩色燈，有2種結(jié)果，

第二類，4,5,6號(hào)位用1,2,3號(hào)位剩余的2種彩色燈和前三個(gè)位置使用過的1種彩燈，

有C7A；+A；=6種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得共有A]（2+C]A；+A；）=96種不同的安裝方法.

由分類加法原理得共有216+96=312種不同的安裝方案，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,第一步：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1,2,3號(hào)位，則有A：=24種結(jié)

果，第二步：分兩類：第一類，4,5,6號(hào)位用1,2,3號(hào)位的3種彩色燈，有2種結(jié)果，

第二類，4,5,6號(hào)位用1,2,3號(hào)位的2種彩色燈，有C1C；=6種結(jié)果，

根據(jù)計(jì)數(shù)原理得共有A；?（2+C；=192種不同的安裝方法.故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,第一步：從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈安裝在1,2,3號(hào)位，則有C[C；=12種結(jié)果，

第二步：安裝4,5,6號(hào)位彩燈有1種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得有12x1=12種不同的安裝法，故D正確；

故選：ACD

2.（2023?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該

圓環(huán)區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植.要求相鄰區(qū)域

不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種.

【答案】30

【解析】若只用兩種顏色的鮮花，則1,3位置的顏色相同，2,4位置的顏色相同，

即可得1，4位置的顏色不同，則5位置無顏色可選，不合題意；

故必用3種顏色的鮮花，則1,2的栽植方案有A；=6種，已用兩種顏色，第三種顏色可能在3,4,5,可

得：

（i）若第三種顏色在3或5,有如下兩種可能：

①3,5的顏色相同，則4的顏色有兩種可能，栽植方案有C；=2種；

②3,5的顏色不相同，則4的顏色必和1的顏色相同，栽植方案有C；=2種；

栽植方案共有2+2=4種；

但）若第三種顏色在4,則3的顏色必和1的顏色相同，5的顏色必和2的顏色相同，栽植方案共有1種;

綜上所述：總的栽植方案有6x（4+l）=30種.

故答案為：30.

3（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個(gè)區(qū)域涂色，每種顏色至少使用一次，

每個(gè)區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域A,B,C,。和A，耳，q,2分別各

涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域A,B,C,。和四，G，A分別各涂4種不同

顏色的涂色方法共有種.

【解析】AC,即，AC，用自同色，所以先涂AC,即有：1A；,再涂AG，4A有A；種，所以共有:C：A；A；=24

種.

先涂A,8,C,￡＞共有：A：=24種，設(shè)四種顏色為aOcd,假設(shè)涂的顏色分別為a,6,c,d,則

A，4G，Q涂色情況如下：

(b,a,d,c),(b,c,d,a),(b,d,,c,a),(c,a,d,&),(c,d,a,Z7),(c,d,b,aj,(d,a,b,c),(d,c,a,b),(d,c,b,a),共9種,

所以：A：x9=216種.

故答案為：24；216.

考法五最短距離

【例5】(2023云南)(多選)某城市街道如圖，某人要走最短路程從A地前往B地，則不同走法有()

A.C；種B.C；種C.12種D.32種

【答案】AB

【解析】因?yàn)閺腁地到2地路程最短，我們可以在地面畫出模型，實(shí)地實(shí)驗(yàn)探究一下走法可得出:

①要走的路程最短必須走5步，且不能重復(fù)；

②向東的走法定出后，向南的走法隨之確定，

所以我們只要確定出向東的三步或向南的兩步走法有多少種即可，

故不同走法的種數(shù)有C；=C；種.

故選：AB

【變式】

1.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，

由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的

路，如圖，假設(shè)夏老師家在M處，學(xué)校在N處，A3段正在修路要繞開，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑

有（）條.

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【解析】由M到N的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有《=35條路，

由M到A的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有C；=3條路，

由B到N的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有C；=3條路，

所以由M到N不經(jīng)過AB的最短路徑有C"C；C；=26.

故選：D.

2（2023?廣東惠州?高三?？计谀┤鐖D，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD

段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（）

—

CD

A

A.23條B.24條C.25條D.26條

【答案】D

【解析】先假設(shè)8是實(shí)線，

A7

則從A到8,向上3次，向右4次，最短路徑有高7=35條，

其中經(jīng)過8的，即先從A到C,然后C到。，最后。到B的最短路徑有3x3=9條,

所以，當(dāng)CO不通時(shí)，最短路徑有35-9=26條.

故選：D

3（2023?北京）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)

生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一

個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)8點(diǎn)，則螞蟻選擇

的不同的最短路徑共有（）

B

A

A.48種B.60種

C.72種D.90種

【答案】D

【解析】由題意可知，從A到3最少需要6步完成，其中有2步是橫向的，2步是縱向的，2步是豎向的，

則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有C；C；C；=90種.故選：D.

考法六指定項(xiàng)系數(shù)

【例6-1］（2023?天津?統(tǒng)考高考真題）在12三-的展開式中，d項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】60

【解析】展開式的通項(xiàng)公式普=晨（2d尸1_口=（_球x26dxe”尤x,

令18-4左=2可得，k=4,

則d項(xiàng)的系數(shù)為（-1）4><26-4xC：=4x15=60.

故答案為：60.

【例6-2】（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)校考三模）+的展開式中v的系數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

【答案】24

【解析】=2X［X--Y+-fx--T-

IXX）\XJX\X）

其中,-J展開式的通項(xiàng)公式為以=C，-=（_1），C，-2，（o<r<6且reN）,

所以12x+口卜的展開式中含V的項(xiàng)為2x?或---?或/=24X，,

所以12尤+￡|的展開式中/的系數(shù)為24.

故答案為：24

【例6-3］（2023?福建?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）］尤+彳一1：展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字做答）

【答案】49

［解析］+++++

展開式中得到常數(shù)項(xiàng)的方法分類如下：

（1）4個(gè)因式中都不取尤，則不取工，全取-1,相乘得到常數(shù)項(xiàng).

X

常數(shù)項(xiàng)為C：（-1）4=1;

（2）4個(gè)因式中有1個(gè)取x,則再取1個(gè)工，其余因式取-1,相乘得到常數(shù)項(xiàng).

X

常數(shù)項(xiàng)為C%C；（：］（-1）2=24；

（3）4個(gè)因式中有2個(gè)取x,則再取2個(gè)相乘得到常數(shù)項(xiàng).

X

常數(shù)項(xiàng)為C%2C］.J=24.

合并同類項(xiàng)，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為1+24+24=49.

故答案為：49.

2023

【例6-4】（2023,湖南常德?常德市一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知婢23=4+%（彳一1）+%（尤-1丫++a2023（%-l）,

貝!1。2022=-

【答案】2023

20232023

【解析】因?yàn)?儂=4+q(x—1)+/(尤—I)?++tz2023(x-I)=[1+(x—I)],

2023

而[1+(x-1)]的展開通項(xiàng)為Tr+l=q023(^-iy(0<r<2023,reN),

2022

令r=2022,得T2023=C焉;(尤-I),貝|a2022=C黑；=2023.

故答案為：2023.

【變式】

1(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)[6+j]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

【答案】15

【解析】由題意(石+:]的展開式的通項(xiàng)為"G.函H=C；3.U,

4±yi=0BPr=l,則Cr3'=C；?3=15,

所以[&+椅]的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為15.

故答案為：15.

2.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)的展開式中Vy6的系數(shù)為(用數(shù)字作答).

【答案】-28

【解析】因?yàn)?l-2L+y)8=(x+yy-2(x+y)8,

VxJx

所以(l-￡j(x+y『的展開式中含Vy6的項(xiàng)為CK2y6-"3y5=-28^/,

[-1)(x+y)8的展開式中/y6的系數(shù)為一28

故答案為：-28

3.(2023?福建龍巖?統(tǒng)考二模)已知(a+x)(l+x)6的展開式中尤2的系數(shù)為21,則。=

【答案】1

【解析】由二項(xiàng)式定理可知(1+x)6的展開式中含X,X?的項(xiàng)分別為C；Xr.尤=6x?X/./=15/,

故(〃+無)(1+%)6的展開式中含爐的項(xiàng)為4X15尤2+%.6x=(15a+6)f,即15〃+6=21=>Q=1.

故答案為：1

4.(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))若(x-1)8=佝+弓(1+1)++%(%+1)7+/(九+1)8,

貝Ia5=?

【答案】-448

【解析】因?yàn)?%—球=%+4(x+1)++%(X+1)7+氏(X+1)8,

令，=%+1,則無=，一1,

所以(，—2)=%+%.+-+,

其中二項(xiàng)式Q-2)8展開式的通項(xiàng)為=C"8T-(-2)r(0<r<8MreN),

令8f=5,解得r=3,所以(=C15.(_2)3=—448f5,所以生=-448.

故答案為：-448

5(2023春?河南開封?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)己知12尤-工-4的展開式中V的系數(shù)為-40,則實(shí)數(shù)爪=(

Vmx)

A.4B.2C.-2D.-4

【答案】A

展開式的通項(xiàng)為：鼠(2龍-1-1廠目0,6]且reN；

［解析］2%---1

\mxImxJ

2%--V'展開式的通項(xiàng)為：(2x)6-"=1-［「26?CL產(chǎn)心，丘［0,6-“且reN；

mx)\mx)\m)

Z=0k=l

令6—〃一2左=3,則-3或

r=1

."3的系數(shù)為(一工1.23(：；.晨.(一1)3+(_1].24(2；.或.(一1)=一160+辿=70,解得：祖=4.故選：A.

ImJmJm

考法七(二項(xiàng)式)系數(shù)和

1210

【例7-1】(2023?福建寧德??？寄M預(yù)測(cè))(多選)^(2x-l)°=a0+a1(x-l)+a2(x-l)++a10(x-l),

xeR,貝U()

A.4=1

B.%+%++=31°

C.“2=180

9

D.ax+2a2+3a3++10?10=10x3

【答案】AC

【解析】令％=1得：(2x1-1尸=1=%,所以選項(xiàng)A正確；

令％=2得：31°=a。+4+出++。10，所以4+%++aio—310—1,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

因?yàn)?2x—1)。=[2(x—+,

所以&=，[2(%—1)丫%=C；°?22=180,選項(xiàng)C正確；

(2%-1)=%+〃](元一1)+4(元—1)+,，+—1)9

99

兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：10x(2x-l)X2=6ZJ+2.2(%-1)+3。3(1-1)2++10tz10(x-l),

令x=2得：q+2a2+3/++lO%o=20x3、,選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【例7-2](2023?山東荷澤?山東省鄴城縣第一中學(xué)?？既?(多選)已知多項(xiàng)式

(1—2x)2(l—3x)"‘=4+qx+a2%2H----F及,〃]=—19,貝!]()

1a

A.m+n=12B.生+生+/"---n—24

C.%=-4D.4+24+3/+,?,+——368

【答案】AD

【解析】因?yàn)?1—2x)2(1—3x)"'=(4x2—4x+1)(1—3x)w,

(1-3%產(chǎn)的展開式的通項(xiàng)公式為小=C；(-3小=(-3)%C3,

q=-4+(-3)C\=-4-3m=—19,得機(jī)=5,

〃=2+帆=2+5=7,所以m+〃=12,故A正確；

令x=0得%=1,令x=],得(1—2)2(1—3)5=4+4+/++%,

所以4+%+。3H=-32-1=-33,故B不正確;

%=4x1—4x(-3)C；+1x(—3『Cf=154,故C不正確；

由(1-2x)2(1-3x)5=%+%%_|_a?/-|----F兩邊對(duì)X求導(dǎo)得，

42

2(1-2%)-(-2)-(1-3x)5+(1一2幻2?5(i_3x).(-3)=%+2a2x+3a3x++,

令'x=1,2x(―1)x(—2)x(—2)5+(—I)2x5x(—2)4x(—3)=4+2/+3/++7%,

所以%+2%+3。3++7%=-368,故D正確.

故選：AD

【變式】

1.(2023?黑龍江大慶?大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))(多選)若

(%—I)，=4+q++++/(k+1)3++〃6(%+1)6,貝5J()

A.4=64B.%+%+〃4+。6=365

C.%=12D.%+2%+3〃3+4/+5%+6。6=—6

【答案】ABD

【解析】令X=-1,貝即。。=64,故A正確；

令X=0f貝！j〃0+%+/+〃3+“4+〃5+〃6=(0—I)'=1,

令'x=—2,貝!Ja。—q+%—q+。4—"5+&=(-2I)6—729,

1+729

則為+4+%+4=—~—=365,故B正確；

(X-1)6=[(X+1)-2]6,則小=《(％+1產(chǎn)(-2)、令k=\,貝！J%=C(—2)i=—12,故C錯(cuò)誤;

由(X—I)，=CIQ+%(X+1)+〃2(X+1)?+%(%+1)?++4(X+1),兩求導(dǎo)，

得6(x—I)，=4+2a2(x+1)+3a3(x+1)?++64(、+1)、，

令x=0,貝lj%+2%+3/+4%+5%+64=6x(0—I)，=—6,故D正確.

故選：ABD.

2.(2023,山東日照,三模)(多選)已知(％—l)(x+2)6=%+4%+%無2H----Fa1x1,則()

A.a。=-64B.%=-1

C.Q[+。2------F。7=0D.%+〃3+%+%=1

【答案】AD

【解析】由(尤—1)(%+2)6=%+Cl^X+//+?,,+,

令x=0得%=-64,故A正確；

r6r

由(x+的展開式的通項(xiàng)公式Tr+l=C；2x-,

得%=1，故B錯(cuò)誤；

令x=1)得出+%+a2H----1-<z7=0(T),

再由%=-64,得q+為+…+%=64,故C錯(cuò)誤；

令x=-1,得4