實變函數(shù)復(fù)習(xí)題

《實變函數(shù)》單項或多項選擇題1、下列正確的是（234）（1）（2）（3）（4）2、下列正確的是（24）（1）無理數(shù)集是可數(shù)集；（2）超越數(shù)構(gòu)成的集合是不可數(shù)集；（3）若中兩個Lebesgue可測集和的基數(shù)相等，則它們的測度也相等；（4）表示全體有理數(shù)集，則是可數(shù)集.3、在中令則（34）（1）為閉集（2）為開集（3）（4）為疏集4、設(shè)滿足，則（13）（1）為Lebesgue可測集（2）為可數(shù)集（3）任意可測函數(shù)在上可積（4）為疏集5、在上定義，當為有理數(shù)時，，當為無理數(shù)時，，則（34）（1）幾乎處處連續(xù)（2）不是可測函數(shù)（3）在上處處不連續(xù)（4）在上為可測函數(shù)6、設(shè)則（1234）（1）（2）（3）（4）7、若在上可積，則下列成立的是（12）（1）在上幾乎處處成立（2）在上可積（3）在上幾乎處處連續(xù)（4）在上非可積8、設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（13）（1）若則（2）若則（3）若則（4）若則9、若為降列，且，則（4）（1）0（2）（3）（4）10、有界實函數(shù)在區(qū)間上Riemann可積的充要條件是的不連續(xù)點集為（4）（1）空集（2）有限集（3）可數(shù)集（4）零測度集11、設(shè)，則下列成立的是（14）（1）在上有界；（2）在上連續(xù)；（3）在上可微；（4）是兩個增函數(shù)之差.12、整數(shù)集的內(nèi)部和閉包分別為（1）（1），（2），（3），（4），13、設(shè)，令，則（2）（1）0（2）1（3）2（4）314、下列哪些集合是測度為零的不可數(shù)集（3）（1）（2）（3）集（4）15、設(shè)，則（1）（1）0（2）1（3）2（4）16、超越數(shù)的個數(shù)為（3）（1）2（2）（3）（4）40、設(shè)，則和的關(guān)系是（4

）（1）（2）（3）（4）至多差一個零測度集41、設(shè)是一個映射，,下列正確的是（124）（1）（2）（3）（4）42、設(shè)，則（34）（1）（2）（3）（4）43、下列基數(shù)是的集合為（24）（1）（2）（3）（4）所有無理數(shù)構(gòu)成的集合44、下列說法正確的是（123）（1）開集是可測集；（2）閉集是可測集；（3）可數(shù)集是零測度集；（4）零測度集是可數(shù)集。45、設(shè)則（1234）（1）（2）（3）（4）46、設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（23）（1）若則（2）若則存在為的子列，使得（3）若則（4）若則47、設(shè)為上增函數(shù)，則為（234）（1）絕對連續(xù)函數(shù)（2）可測函數(shù)（3）有界變差函數(shù)（4）有界函數(shù)48、設(shè)，則（1）（1）1（2）0（3）（4）以上都不對49、下列哪些函數(shù)是有界變差函數(shù)（134）（1）單調(diào)函數(shù)（2）有界函數(shù)（3）函數(shù)（4）絕對連續(xù)函數(shù)50、設(shè)，則（34）（1）（2）（3）（4）51、設(shè)是兩集合，則（3）（1）（2）（3）（4）52、設(shè)是上幾乎處處有限的可測函數(shù)，則是的（

1

）（1）充分條件（2）必要條件（3）充要條件（4）既不充分也不必要條件53、是一列集合，則下列正確的是（23

）（1）（2）（3）（4）54、設(shè)基數(shù)為，則對于下列說法正確的是（

4

）（1）都是可數(shù)集（2）都是有限集（3）都是不可數(shù)集（4）至少有一個是不可數(shù)集55、直線上的可測集個數(shù)為（4

）（1）（2）（3）（4）56、關(guān)于上的有限減函數(shù)的說法，下列正確的是（

134

）（1）是有界變差函數(shù)；（2）是連續(xù)函數(shù)；（3）是可測函數(shù)；（4）是幾乎處處連續(xù)的函數(shù)。57、設(shè)是一個映射，,下列正確的是（12）（1）（2）（3）（4）58、與實數(shù)集上的點的“個數(shù)一樣多”的集合是（23）（1）（2）集（3）（4）59、是上幾乎處處有限的可測函數(shù)且下列說法正確的是（13）（1）存在的子列，使得；（2）任意的子列，都有；（3）存在的子列，使得（4）任意的子列，都有60、設(shè)，為集，則（1）（1）1（2）0（3）2（4）3填空題1、=2、設(shè)，則3、有界實函數(shù)在區(qū)間上Riemann可積的充要條件是的不連續(xù)點集的測度為0。4、設(shè)，令，則1。5、且，則0。6、是閉集，是開集，則是閉集。7、設(shè)，則。8、設(shè)是一個映射，，則的充分必要條件是是單射。9、，則對，0。10、是的降列，且，則0。三、證明題1、，則。證明：設(shè),由閉包的定義，,，故，再由定義可知。同理，，因此，即.2、設(shè)是可測函數(shù)，且集可測，則可測。證明：對，分兩種情況討論：（1）.則，由可測，可知為可測集，從而為可測集。（2）.則，此時=，由于可測及可測可知，為可測集。綜上，可測。證畢。3、是集合，則。證明：。4、設(shè)，則。證明：因為，所以，令，則注意到，所以，所以，令，則，即5、證明：設(shè),由導(dǎo)集的定義，,，故或者，所以或，故，即。另一方面，設(shè)，則或，由導(dǎo)集的定義可知，對于或，所以=。因此，，所以。綜上，6、設(shè)，對任