江蘇省南京市玄武高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

江蘇省南京市玄武高級中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若，則 B．函數(shù)的最小值為2C．函數(shù)的最小值為2 D．若，則函數(shù)2．在等差數(shù)列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．563．某學(xué)校隨機(jī)抽取20個(gè)班，調(diào)查各班中有網(wǎng)上購物經(jīng)歷的人數(shù)，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示．以組距為5將數(shù)據(jù)分組成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]時(shí)，所作的頻率分布直方圖是（）A． B．C． D．4．計(jì)算的值等于（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（）A．是的一個(gè)周期 B．C．的值域?yàn)镽 D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱6．過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為（）A． B．或C．或 D．或7．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．8．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，則一定是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形9．sincos＋cos20°sin40°的值等于A． B． C． D．10．下圖是500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)測試成績（單位：分）的頻率分布直方圖，則這500名學(xué)生中測試成績在區(qū)間[90，100）中的學(xué)生人數(shù)是A．60 B．55 C．45 D．50二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數(shù)列中，若，，則_____．12．下邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是（）．13．在區(qū)間上，與角終邊相同的角為__________．14．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為________15．若在上是減函數(shù)，則的取值范圍為______.16．已知空間中的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則BC邊上的中線的長度為________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從代號為A、B、C、D、E的5個(gè)人中任選2人（1）列出所有可能的結(jié)果；（2）若A、B、C三人為男性，D、E兩人為女性，求選出的2人中不全為男性的概率.18．正四棱錐中，，分別為，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求異面直線和所成角的余弦值.19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2⑴若圓E的半徑為2，圓E與x軸相切且與圓C外切，求圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；⑵若過原點(diǎn)O的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且OA=AB，求直線l的方程．20．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求，并求的最小值.21．如圖所示，是正三角形，線段和都垂直于平面，設(shè)，，且為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的較小二面角的大小

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)均值不等式成立的條件逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對于A，由知，，所以，故選項(xiàng)A本身正確；對于B，，但由于在時(shí)不可能成立，所以不等式中的“”實(shí)際上取不到，故選項(xiàng)B本身錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故選項(xiàng)C本身正確；對于D，由知，，所以lnx+=-2，故選項(xiàng)D本身正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了均值不等式及不等式取等號的條件，屬于中檔題.2、C【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得基本量d，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得a4【詳解】設(shè)等差數(shù)列an公差為則a2+∴本題正確選項(xiàng)：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造方程求得公差，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由于頻率分布直方圖的組距為5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)兩組各一人，去掉B，應(yīng)選A．4、C【解析】

由三角正弦的倍角公式計(jì)算即可．【詳解】原式．故選C【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查三角特殊值的正弦公式的計(jì)算．5、B【解析】

利用正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)對每一個(gè)選項(xiàng)逐一分析得解.【詳解】A．的最小正周期為，所以是的一個(gè)周期，所以該選項(xiàng)正確；B.所以該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C.的值域?yàn)镽，所以該選項(xiàng)是正確的；D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,所以該選項(xiàng)是正確的.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

分別考慮斜率存在和不存在兩種情況得到答案.【詳解】如圖所示：當(dāng)斜率不存在時(shí)：當(dāng)斜率存在時(shí)：設(shè)故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線問題，忽略掉斜率不存在是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.7、D【解析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【詳解】因?yàn)橹本€與圓相切，所以，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，考查運(yùn)算能力，屬于基本題.8、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到，計(jì)算得到答案.【詳解】，則，即.故或，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)正弦定理判斷三角形形狀，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.9、B【解析】由題可得，.故選B.10、D【解析】分析：根據(jù)頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率，從而可得結(jié)果.詳解：由頻率分布直方圖可得測試成績落在中的頻率為，所以測試成績落在中的人數(shù)為，，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.直觀圖的主要性質(zhì)有：（1）直方圖中各矩形的面積之和為；（2）組距與直方圖縱坐標(biāo)的乘積為該組數(shù)據(jù)的頻率.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的等積求解即可.【詳解】因?yàn)?故.又,故.故答案為：4【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列等積性的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.12、15【解析】試題分析：程序執(zhí)行中的數(shù)據(jù)變化如下：，輸出考點(diǎn)：程序語句13、【解析】

根據(jù)與終邊相同的角可以表示為這一方法，即可得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)椋耘c角終邊相同的角為.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對基本概念以及基本知識的熟練程度，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是簡單題．14、.【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求出的值，然后利用反三角函數(shù)的定義得出的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的定義以及反三角函數(shù)的定義，解本題的關(guān)鍵就是利用三角函數(shù)的定義求出的值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

化簡函數(shù)解析式，，時(shí)，是余弦函數(shù)單調(diào)減區(qū)間的子集，即可求解.【詳解】,時(shí)，,且在上是減函數(shù)，，，因?yàn)榻獾?【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的三角恒等變化，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.16、【解析】

先求出BC的中點(diǎn)，由此能求出BC邊上的中線的長度.【詳解】解：因?yàn)榭臻g中的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，所以BC的中點(diǎn)為，所以BC邊上的中線的長度為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中中線長的求法，考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離的求法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）0.7【解析】

（1）從代號為、、、、的5個(gè)人中任選2人，利用列舉法能求出所有可能的結(jié)果．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，利用列舉法求出選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，由此能求出選出的2人中不全為男性的概率．【詳解】（1）從代號為、、、、的5個(gè)人中任選2人．所有可能的結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，分別為：，，，，，，．選出的2人中不全為男性的概率．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．18、（1）見解析（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，可得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可得平面；（2）連接交于，則為的中點(diǎn)，結(jié)合為的中點(diǎn)，得，可得（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點(diǎn)，且，可得，設(shè)，求解三角形可得異面直線和所成角的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接、，是的中點(diǎn)，且，在正四棱錐中，底面為正方形，且，又為的中點(diǎn)，且，且，則四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）連接交于，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又，（或其補(bǔ)角）為異面直線和所成角，在正四棱錐中，由為的中點(diǎn)，且，，設(shè)，則，，，則，因此，異面直線和所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了異面直線所成角的求法，是中檔題．19、(1)(x+3)2+(y-2)2【解析】

（1）設(shè)出圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，由圓E與x軸相切，可得b=r，由圓E與圓C外切，可得兩圓心距等于半徑之和，由此解出（2）法一：設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，根據(jù)OA=AB，可得到點(diǎn)B坐標(biāo)，把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA，設(shè)出直線l的方程，由題求出CM的長，利用點(diǎn)到直線的距離即可得求出k值，從而得到直線l的方程【詳解】⑴設(shè)圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2因?yàn)閳AE的半徑為2，與x軸相切，所以b=2因?yàn)閳AE與圓C外切所以EC=3，即a由①②解得a=±3,b=2故圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+⑵方法一;設(shè)A(因?yàn)镺A=AB，所以A為OB的中點(diǎn)，從而B(2因?yàn)锳，B都在圓C上所以x解得x0=-故直線l的方程為：y=±方法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM，CA設(shè)AM=t，CM=d因?yàn)镺A=AB，所以O(shè)M=3t在RtΔACM中，d2在RtΔOCM中，d2由③④解得d=由題可知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線l的方程為y=kx則d=2k故直線l的方程為y=±【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程，解題關(guān)鍵是設(shè)出方程，找出關(guān)系式，屬于中檔題。20、（1）；（2），.【解析】

（1）先求出公差和首項(xiàng)，可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得前項(xiàng)和，由二次函數(shù)性質(zhì)可得最小值（只要注意取正整數(shù)）．【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意得，，解得，.所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得因?yàn)樗援?dāng)或時(shí)，取得最小值，最小值為-30.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，方法叫基本量法．21、（1）見解析