甘肅省甘南2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

甘肅省甘南2025屆高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知是球O的球面上四點(diǎn)，面ABC,，則該球的半徑為（）A． B． C． D．2．在中，若，，，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)是（）A．奇函數(shù) B．非奇非偶函數(shù) C．偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)4．已知向量，滿足：則A． B． C． D．5．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．已知直線3x?y+1=0的傾斜角為α，則A． B．C．? D．7．為了治療某種疾病，研制了一種新藥，為確定該藥的療效，生物實(shí)驗(yàn)室有只小動(dòng)物，其中有3只注射過該新藥，若從這只小動(dòng)物中隨機(jī)取出只檢測，則恰有只注射過該新藥的概率為()A． B． C． D．8．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．9．已知三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B．4 C． D．10．已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）①的最大值為2；②的圖象關(guān)于對稱；③在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，，，則；A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)三棱柱所得，其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積是___12．在一個(gè)不透明的布袋中，紅色，黑色，白色的玻璃球共有40個(gè)，除顏色外其他完全相同，小明通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中摸到紅色球，黑色球的頻率穩(wěn)定在15%和45%，則口袋中白色球的個(gè)數(shù)可能是_________個(gè).13．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．14．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，則它的前項(xiàng)和為______.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則______.16．已知二面角為60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在面、內(nèi)，P到的距離為，Q到的距離為，則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．如圖，甲、乙兩個(gè)企業(yè)的用電負(fù)荷量關(guān)于投產(chǎn)持續(xù)時(shí)間（單位：小時(shí)）的關(guān)系均近似地滿足函數(shù).（1）根據(jù)圖象，求函數(shù)的解析式；（2）為使任意時(shí)刻兩企業(yè)用電負(fù)荷量之和不超過9，現(xiàn)采用錯(cuò)峰用電的方式，讓企業(yè)乙比企業(yè)甲推遲小時(shí)投產(chǎn)，求的最小值.19．在中，角的對邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.20．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，為其前項(xiàng)的和，，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)的和．21．在中，角的對邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)若角為銳角，求的值及的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

根據(jù)面，，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長得到一個(gè)長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，從而得到答案。【詳解】面，三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱，，為棱長得到一個(gè)長方體，且長方體的各頂點(diǎn)都在該球上，長方體的對角線的長就是該球的直徑，即則該球的半徑為故答案選D【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的半徑的求法，本題解題的關(guān)鍵是以三條側(cè)棱為棱長得到一個(gè)長方體，三棱錐的外接球，即為該長方體的外接球，利用長方體外接球的直徑為長對角線的長，屬于基礎(chǔ)題。2、D【解析】

由正弦定理構(gòu)造方程即可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理解三角形的問題，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)的解析式化簡，然后利用定義判斷出函數(shù)的奇偶性.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，該函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，因此，函數(shù)為偶函數(shù)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，解題時(shí)要將函數(shù)解析式進(jìn)行簡化，然后利用奇偶性的定義進(jìn)行判斷，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算及向量的模運(yùn)算即可求出．【詳解】∵||=3，||=2，|+|=4，∴|+|2=||2+||2+2=16，∴2=3，∴|﹣|2=||2+||2﹣2=9+4﹣3=10，∴|﹣|=，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

取特殊值檢驗(yàn)，利用排除法得答案?！驹斀狻恳?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)；因?yàn)榍?，所以故選D.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的基本性質(zhì)，屬于簡單題。6、A【解析】

由題意利用直線的傾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等變換，求出要求式子的值．【詳解】直線3x-y+1=0的傾斜角為α，∴tanα=3，

∴，

故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率，三角恒等變換，屬于中檔題．7、B【解析】

將只注射過新藥和未注射過新藥的小動(dòng)物分別編號(hào)，列出所有的基本事件，并確定事件“恰有只注射過該新藥”所包含的基本事件的數(shù)目，然后利用古典概型的概率計(jì)算公式可該事件的概率．【詳解】將只注射過新藥的小動(dòng)物編號(hào)為、、，只未注射新藥的小動(dòng)物編號(hào)為、、，記事件恰有只注射過該新藥，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，其中事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)為個(gè)，由古典概型的概率公式得，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式，列舉基本事件是解題的關(guān)鍵，一般在列舉基本事件有枚舉法和數(shù)狀圖法，列舉時(shí)應(yīng)注意不重不漏，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、B【解析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因?yàn)闉榈冖蛳笙藿羌矗?，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式的應(yīng)用以及象限角的集合應(yīng)用．9、B【解析】

依據(jù)題中數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷出從而可得三棱錐各面都為直角三角形，進(jìn)而可知外接圓的直徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積【詳解】如圖，因?yàn)?又，,從而可得三棱錐各面都為直角三角形，CD是三棱錐的外接球的直徑，在中，,,即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生空間想象以及數(shù)學(xué)建模能力，能夠依據(jù)條件建立合適的模型是解題的關(guān)鍵．10、C【解析】

，由此判斷①的正誤，根據(jù)判斷②的正誤，由求出的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)合的圖象判斷④的正誤.【詳解】因?yàn)?，故①正確因?yàn)椋盛诓徽_由得所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確若實(shí)數(shù)m使得方程在上恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)解，結(jié)合的圖象知，必有此時(shí)，另一解為即，，滿足，故④正確綜上可知：命題正確的是①③④故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類問題時(shí)首先應(yīng)把函數(shù)化成三角函數(shù)基本型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

先作出幾何體圖形，再根據(jù)幾何體的體積等于正方體的體積減去三棱柱的體積計(jì)算.【詳解】幾何體如圖所示：去掉的三棱柱的高為2，底面面積是正方體底面積的，所以三棱柱的體積：所以幾何體的體積：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖與幾何體的體積.關(guān)鍵是作出幾何體的圖形，方法：先作出正方體的圖形，再根據(jù)三視圖“切”去多余部分.12、16【解析】

根據(jù)紅色球和黑色球的頻率穩(wěn)定值，計(jì)算紅色球和黑色球的個(gè)數(shù)，從而得到白色球的個(gè)數(shù).【詳解】根據(jù)概率是頻率的穩(wěn)定值的意義，紅色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；黑色球的個(gè)數(shù)為個(gè)；故白色球的個(gè)數(shù)為4個(gè).故答案為：16.【點(diǎn)睛】本題考查概率和頻率之間的關(guān)系：概率是頻率的穩(wěn)定值.13、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由此能求出它的前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，由，得，且，解得，它的前項(xiàng)和為.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

利用和的關(guān)系計(jì)算得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了和的關(guān)系，忽略的情況是容易發(fā)生的錯(cuò)誤.16、【解析】

如圖

分別作于A,于C,于B,于D,

連CQ,BD則,,

又

當(dāng)且僅當(dāng),即點(diǎn)A與點(diǎn)P重合時(shí)取最小值.

故答案選C.【點(diǎn)睛】三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

（1）由是等差數(shù)列，，，可求出，由是等比數(shù)列，，，，可求出；（2）將和的通項(xiàng)公式代入，則，利用裂項(xiàng)相消求和法可求出.【詳解】(1)，，，解得.又，，.（2）由（1），得【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了用裂項(xiàng)相消求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．18、（1）；（2）4【解析】

（1）由，得，由，得A，b，代入，求得，從而即可得到本題答案；（2）由題，得恒成立，等價(jià)于恒成立，然后利用和差公式展開，結(jié)合輔助角公式，逐步轉(zhuǎn)化，即可得到本題答案.【詳解】（1）解：由圖知，又，可得，代入，得，又，所求為（2）設(shè)乙投產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為小時(shí)，則甲的投產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為小時(shí)，由誘導(dǎo)公式，企業(yè)乙用電負(fù)荷量隨持續(xù)時(shí)間變化的關(guān)系式為：同理，企業(yè)甲用電負(fù)荷量變化關(guān)系式為：兩企業(yè)用電負(fù)荷量之和，依題意，有恒成立即恒成立展開有恒成立其中，，，整理得：解得即取得：的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求出其解析式，以及三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，以及計(jì)算能力，難度較大.19、(1)．(2)【解析】

（1）先利用正弦定理角化邊，然后根據(jù)余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等號(hào)的條件.【詳解】解：（1）由正弦定理得，由余弦定理得，∴．又∵，∴．（2）由余弦定理得，即，化簡得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．∴．【點(diǎn)睛】在三角形中，已知一角及其對邊，求解周長或者面積的最值的方法：未給定三角形形狀時(shí)，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；給定三角形形狀時(shí)，先求解角的范圍，然后根據(jù)正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.20、（Ⅰ）（Ⅱ），【解析】

（Ⅰ）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為且，由已知列式求得首項(xiàng)與公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由數(shù)列的分組求和即可．【詳解】（Ⅰ）由題意知，等比數(shù)列的公比，且，所以，解得