3.1.1-不定積分的概念和性質(zhì)

不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)二、不定積分概念三、不定積分的幾何意義四、不定積分的性質(zhì)五、基本積分公式六、直接積分法引入

前面我們研究了一元函數(shù)微分學(xué)的基本問題，即已知一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)F(x),求它的導(dǎo)數(shù)。但在實(shí)際問題中，常會(huì)遇到與此相反的另一類問題。已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x),求函數(shù)F(x)。[引例3.1]

設(shè)一質(zhì)點(diǎn)以速度作直線運(yùn)動(dòng)，開始時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位移為，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律．分析：

求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是尋找位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，有設(shè)所以即又即于是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為[引例3.2]設(shè)曲線上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為，且曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求曲線的方程．分析：

定義3.1

若F

'(x)=f(x)

或

dF(x)=f(x)dx，則稱F(x)為

f(x)

的一個(gè)原函數(shù).一、原函數(shù)引例3.2中，可見

:若，則對于任意常數(shù)，所以是的一個(gè)原函數(shù)，原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).思考：(1)原函數(shù)是否唯一？(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？如果函數(shù))(xf在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，否，無數(shù)多個(gè)．僅相差一個(gè)常數(shù)．任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量定義3.2

如果函數(shù)F(x)是f(x)

的一個(gè)原函數(shù)，那么f(x)的全體原函數(shù)F(x)＋C(C為任意常數(shù))稱為f(x)

的不定積分.即記作求已知函數(shù)的不定積分，就是求它的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意常數(shù)C．二、不定積分的概念解：即所以它對應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱它為積分曲線族.三、不定積分的幾何意義若y=F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱y=F(x)的圖形是f(x)的積分曲線.因?yàn)椴欢ǚe分是f(x)的原函數(shù)的一般表達(dá)式，積分曲線族y=F(x)+

C的特點(diǎn)是：當(dāng)

C>0時(shí)，向上移動(dòng)；(1)積分曲線族中任意一條曲線，可由其中某一條(例如，曲線

y=F(x))沿

y軸平行移動(dòng)|C|單位而得到.當(dāng)

C<0時(shí)，向下移動(dòng)；(2)由于[F(x)+

C]

=F

(x)=

f(x)，即橫坐標(biāo)相同點(diǎn)x處，每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等，都等于f(x)，從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行．xyOy=f(x)y=F(x)+C例

2已知曲線上任一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)處橫坐標(biāo)平方的3倍，且過點(diǎn)(0,1)，求此曲線方程.按題意，得得由條件y|x=0=1得C=1，y=x3+1.解：設(shè)所求曲線為y=f(x).于是所求曲線為四、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1求不定積分與求導(dǎo)（或求微）互為逆運(yùn)算.設(shè)下面函數(shù)f(x)，g(x)，都是可積的.結(jié)論：若先積后微，作用相互抵消；若先微后積，則在抵消后加任意常數(shù)C。性質(zhì)2

被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以移到積分號(hào)的前面.即性質(zhì)3

兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的不定積分等于各函數(shù)不定積分的和(或差)，即性質(zhì)3可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形．注意：實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.由此可計(jì)算五、基本積分公式基本積分公式特別地，有特別地，有（2）求積分解根據(jù)積分公式例3

（1）求積分解根據(jù)積分公式六、直接積分法直接由積分基本公式和性質(zhì)，或被積函數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危倮梅e分性質(zhì)、積分基本公式求不定積分的方法，叫做直接積分法．解：例5求下列各不定積分：解

（1）原式（2）原式例5求下列各不定積分：解

（3）原式（4）原式例6

某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為，其中q為產(chǎn)品產(chǎn)量，已知固定成本為200元，求總成本函數(shù)．解：總成本函數(shù)為已知固定成本為200元，即代入上式得常數(shù)C=200元，于是總成本函數(shù)為七、小結(jié)