2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習（全國版）整式與因式分解（講義）（解析版）

考點一代數(shù)式的相關(guān)概念

一夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

代數(shù)式的概念：用基本的運算符號把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.

代數(shù)式的值的概念：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果叫做

代數(shù)式的值.

1.代數(shù)式中不含有=、〈、〉、二等.

2.單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式.

3.列代數(shù)式時注意事項：

①仔細辨別詞義.列代數(shù)式時，要先認真審題，抓住關(guān)鍵詞語，仔細辨析詞義.如“除”與“除以”,

“平方的差(或平方差)”與“差的平方”的詞義區(qū)分.

②分清數(shù)量關(guān)系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.

③注意運算順序.列代數(shù)式時，一般應(yīng)在語言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且

又要體現(xiàn)出先低級運算，要把代數(shù)式中代表低級運算的這部分用括號括起來.

④規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時要按要求規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數(shù)

與數(shù)相乘必須寫乘號；除法可寫成分數(shù)形式，帶分數(shù)與字母相乘需把代分數(shù)化為假分數(shù)，書寫單位名稱

什么時不加括號，什么時要加括號.注意代數(shù)式括號的適當運用.

⑤正確進行代換.列代數(shù)式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換.

提升-必考題型歸納

題型01列代數(shù)式

[例1](2023吉林長春中考真題)2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學(xué)參加了7.5

公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為—

公里.(用含x的代數(shù)式表示)

【答案】(7.5-lOx)

【提示】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可.

【詳解】根據(jù)題意可得，

他離健康跑終點的路程為(7.5-10x).

故答案為：(7.5-10x).

【點睛】此題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意.

【變式「1】（2023江蘇中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a,則它的體積是（用含a的代數(shù)式表

示）.

【答案】na3

【詳解】根據(jù)圓柱的體積=圓柱的底面積x圓柱的高，可得

V=7ia2a=na3.

故答案為：兀a3.

【點睛】本題主要考查代數(shù)式和整式的乘法運算，牢記整式乘法的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型02代數(shù)式的實際意義

［例2］（2023河北中考真題）代數(shù)式-7x的意義可以是（）

A.-7與x的和B.-7與x的差C.-7與x的積D.-7與x的商

【答案】C

【提示】根據(jù)代數(shù)式賦予實際意義即可解答.

【詳解】解：-7x的意義可以是-7與x的積.

故選C.

【點睛】本題主要考查了代數(shù)式的意義，掌握代數(shù)式和差乘除的意義是解答本題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2020?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）下列說法不無理的是（）

A.2a是2個數(shù)a的和B.2a是2和數(shù)a的積

C.2a是單項式D.2a是偶數(shù)

【答案】D

【提示】根據(jù)2a的意義，分別判斷各項即可.

【詳解】解：A、2a=a+a,是2個數(shù)a的和，故選項正確；

B、2a=2xa,是2和數(shù)a的積，故選項正確；

C、2a是單項式，故選項正確；

D、當a為無理數(shù)時，2a是無理數(shù)，不是偶數(shù)，故選項錯誤；

故選D.

【點睛】本題考查了代數(shù)式的意義，注意a不一定為整數(shù)是解題的關(guān)鍵.

考點二整式的相關(guān)概念

?夯基?必備基礎(chǔ)知識梳理

判斷依據(jù)次數(shù)系數(shù)與項數(shù)

單項①數(shù)字與字母或字母與字母相乘組成系數(shù)：單項式中不為零的

所有字母指數(shù)的和

式的代數(shù)式②單獨的一個數(shù)或字母數(shù)字因數(shù)

整式

多項項數(shù)：多項式中所含單項

幾個單項式的和次數(shù)最高項的次數(shù)

式式的個數(shù)

易

1.由定義可知，單項式中只含有乘法運算.

2.一個單項式中只含有字母因數(shù)時，它的系數(shù)是1或者-1,不能認為是0.一個單項式是一個常數(shù)時，

它的系數(shù)就是它本身.確定一個單項式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號.例如：-（3x）的系數(shù)是-3.

3.圓周率n是常數(shù)，當它出現(xiàn)在單項式中時，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部分，而不能當成字母.

4.單項式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無關(guān).如單項式一25久2y3z4的次數(shù)是2+3+4=9而不

是14.

5.由定義可知，多項式中可以含有:乘法、加法、減法運算.

6.多項式有統(tǒng)一的次數(shù)，但是沒有統(tǒng)一的系數(shù)，多項式中的每一項有自己的系數(shù).

7.多項式通常以它的次數(shù)和項數(shù)來命名，稱幾次（最高次項的次數(shù)）幾項（多項式項數(shù)）式.

提升-必考題型歸納

題型01判斷單項式的系數(shù)、次數(shù)

【例1】（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）單項式-5ab的系數(shù)為.

【答案】-5

【提示】根據(jù)單項式系數(shù)的定義：單項式中的數(shù)字因數(shù)，得出結(jié)果即可.

【詳解】解：單項式-5ab的系數(shù)是-5.

故答案是：-5.

【點睛】本題考查單項式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握單項式系數(shù)的定義.

【變式1-1］（2023?廣東?模擬預(yù)測）單項式—吧!的系數(shù)是______.

2

【答案】冶

【提示】根據(jù)單項式系數(shù)的定義進行解答即可.

【詳解】解：單項式中的數(shù)字因數(shù)即系數(shù)，

...單項式-友藝的系數(shù)是-3.

22

故答案為：-p

【點睛】本題考查了單項式系數(shù)的定義，即單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù).

【變式1-2](2023?廣東?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知一個單項式的系數(shù)是2,次數(shù)是3,則這個單項式可以是()

A.-2xy2B.3x2c.2xy3D.2x3

【答案】D

【詳解】試題提示：此題規(guī)定了單項式的系數(shù)和次數(shù)，但沒規(guī)定單項式中含幾個字母.

A.-2xy2系數(shù)是-2,錯誤；

B.3x2系數(shù)是3,錯誤；

C.2xy3次數(shù)是4,錯誤；

D.2x3符合系數(shù)是2,次數(shù)是3,正確；

故選D.

題型02與單項式有關(guān)的規(guī)律題

【例2】(2023?云南?統(tǒng)考中考真題)按一定規(guī)律排列的單項式：aQa1,,"可，第n個單項式

是()

A.VnB.y/n-la'^1C.sfna''D.冊

【答案】C

【提示】根據(jù)單項式的規(guī)律可得，系數(shù)為VH,字母為a,指數(shù)為1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：按一定規(guī)律排列的單項式：a,0/,島3,4/,誠5,,第n個單項式是ya",

故選：C.

【點睛】本題考查了單項式規(guī)律題，找到單項式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5

【變式2-1](2022?云南?中考真題)按一定規(guī)律排列的單項式：x,3x2,5x3,7x4；9x,……,第n個單項

式是()

A.(2n-l)xnB.(2n+l)xnC.(n-l)x11D.(n+l)xn

【答案】A

【提示】系數(shù)的絕對值均為奇數(shù)，可用(2n-l)表示；字母和字母的指數(shù)可用xn表示.

【詳解】解：依題意，得第n項為(2n-l)xn,

故選：A.

【點睛】本題考查的是單項式，根據(jù)題意找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2022?云南昆明?統(tǒng)考三模)按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2,-1，4--3宗……，第n

xzX4xbXB

個單項式是()

A.(-1尸辭5B.(-1尸-1^C.(-1尸-1券D.(-1廠】能

【答案】B

【提示】不難看出奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，分母為x2n-2,分子的指數(shù)為由1開始的自然數(shù)，據(jù)此即可求

解.

【詳解】解：.??2=母）

X2-2

.?.按一定規(guī)律排列的代數(shù)式為：-I二，一鎧與，鎧?--烹，ST，…，

X^—NyZXZ—ZyZX3—Zx/X4-NyZX5—Z

.?.第n個單項式是（-1）相系，

xzn-2

故選：B.

【點睛】本題考查單項式的規(guī)律，根據(jù)所給單項式的系數(shù)與次數(shù)的特點，確定單項式的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3X2022?云南昆明?昆明市一模）按一定規(guī)律排列的單項式：3b2,5a2b2,7a4b2,906b2,lla8b2,...,

第8個單項式是（）

A.17al4b2B.17a8b4C.15a7bD.152al4b2

【答案】A

【提示】觀察每個單項式的系數(shù)和所含字母的指數(shù)，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】解：由題意可知：單項式的系數(shù)是從3起的奇數(shù)，

單項式中a的指數(shù)偶數(shù)，b的指數(shù)不變，

所以第8個單項式是：17a14b2.

故選：A.

【點睛】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律、單項式的概念，正確找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的變化規(guī)律是解題

的關(guān)鍵.

45

【變式2-4］（2022?云南文山?統(tǒng)考二模）一組按規(guī)律排列的單項式：-4x,7x2,_10x3,i3x,-16x,

根據(jù)其中的規(guī)律，第12個單項式是（）

A.-31x12B.34X12c.37X12D.-40X11

【答案】C

【提示】根據(jù)符號的規(guī)律：n為奇數(shù)時，單項式為負號，n為偶數(shù)時，符號為正號；系數(shù)的絕對值的規(guī)律：

第n個對應(yīng)的系數(shù)的絕對值是3n+L指數(shù)的規(guī)律：第n個對應(yīng)的指數(shù)是n解答即可.

【詳解】解：根據(jù)提示的規(guī)律，得

第12個單項式是（3x12+1）x12=37x12.故選：C.

【點睛】本題考查了單項式的知識，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因

式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵.分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)

鍵.

方法技巧通過觀察與歸納，分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵.

題型03判斷多項式的項、項數(shù)、次數(shù)

［例3］（2023?廣東茂名?一模）多項式a3+2ab+a-3的次數(shù)和常數(shù)項分別是（）

A.6,3B.6,-3C.3,-3D.3,3

【答案】C

【提示】根據(jù)多項式的相關(guān)概念即可求解，幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其

中不含字母的項叫做常數(shù)項.多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做多項式的次數(shù).

【詳解】解：多項式a3+2ab+a-3的次數(shù)和常數(shù)項分別是3,-3

故選：C.

【點睛】本題考查了多項式的相關(guān)概念，熟練掌握多項式的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2023?江西贛州市模擬預(yù)測）下列說法正確的是（）

A.27unn的系數(shù)是2nB.一82ab2的次數(shù)是5次

C.xy3+3x2y—4的常數(shù)項為4D.llx?—6x+5是三次三項式

【答案】A

【提示】根據(jù)單項式的系數(shù)、次數(shù)的定義以及多項式次數(shù)、項數(shù)、常數(shù)項的定義可解決此題.

【詳解】解：A、2兀mn的系數(shù)是2兀，故選項正確；

B、-8?ab2的次數(shù)是3次，故選項錯誤；

C、xy3+3x2y-4的常數(shù)項為-4,故選項錯誤；

D、11x2-6x+5是二次三項式，故選項錯誤；

故選A.

【點睛】本題主要考查單項式的系數(shù)、次數(shù)的定義以及多項式次數(shù)、項數(shù)、常數(shù)項的定義，熟練掌握單項

式的系數(shù)、次數(shù)的定義以及多項式次數(shù)、項數(shù)、常數(shù)項的定義是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2023?廣東茂名??？家荒＃┒囗検絘b-［na2b+3最高次項的系數(shù)是—，次數(shù)是—.

【答案】-呆3

【提示】先找到此多項式的最高次項，再根據(jù)單項式的系數(shù)與次數(shù)的定義求解.

【詳解】解：多項式萬力+3最高次項是-；7ia2b,

所以最高次項的系數(shù)是兀，次數(shù)是3.

故答案為：-：兀，3.

【點睛】本題考查了同學(xué)們對多項式的有關(guān)定義的理解.多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項

式中的最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù).

考點三整式的運算

夯基-必備基礎(chǔ)知識梳理

同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項.

合并同類項把同類項中的系數(shù)相加減，字母與字母的指數(shù)不變.

整式的

括號外是“+”，添（去）括號不變號，

加減添（去）括號法則

括號外是，添（去）括號都變號.

整式的加減法則幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項.

易混易錯

1.所有常數(shù)項都是同類項.

2.“同類項口訣”：①兩同兩無關(guān)，識別同類項：②一相加二不變，合并同類項.

“兩同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數(shù)也相同，這兩點也是判斷同類項的標準，缺一不可.

“兩無關(guān)”：一是與系數(shù)大小無關(guān)；二是與所含字母的順序無關(guān).

“一相加”：系數(shù)相加作為結(jié)果的系數(shù).“二不變”：字母連同字母指數(shù)不變.

3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結(jié)果可能是單項式，也可能是多項式.

4.去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形.

5.去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.

器的話售內(nèi)容公式林充諛?

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底數(shù)不堂指教相加

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零指數(shù)*丁?1(100)

負?整搐指數(shù)

CW0?n為正IMO

易混易錯

1.塞的乘方法則的條件是''塞”的乘方，結(jié)論是“底數(shù)不變，指數(shù)相乘”.這里的“底數(shù)不變”是指“塞”

的底數(shù)“a”不變.例如：(a3)2=a6,其中,“幕”的底數(shù)是“a”，而不是3,指數(shù)相乘是指“3X2”.

2.同底數(shù)塞的乘法和塞的乘方在應(yīng)用時，不要發(fā)生混淆.

3.式子(a+b)2不可以寫成a2+b2,因為括號內(nèi)的a與b是“加”的關(guān)系，不是“乘”的關(guān)系.

4.應(yīng)用積的乘方時，特別注意觀察底數(shù)含有幾個因式都分別乘方；要特別注意系數(shù)及系數(shù)符號，對于系

數(shù)是負數(shù)的要多加注意.

整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項

①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；

②相同字母的因式，利用同底數(shù)募的乘法，1)實質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)幕的乘法

單項式乘單

作為積的一個因式；法則的綜合應(yīng)用.

項式

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積2)單項式乘單項式所得結(jié)果仍是單項式.

的一個因式.

1）單項式乘多項式實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式

單項式乘多①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；乘以單項式

項式②再把所得的積相加.2）單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的

項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到

①先用一個多項式的每一項與另一個多項式不重不漏；

多項式乘多

的每一項相乘，②多項式與多項式相乘，多項式的每一項

項式

②再把所得的積相加.都應(yīng)該帶上它前面的正負號.且結(jié)果仍是

多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)

等于原多項式的項數(shù)之積.

①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；

單項式除單②相同字母的因式，利用同底數(shù)累的除法，

項式作為商的一個因式；

③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.

①先把這個多項式的每一項除以這個單項

多項式除單

式；

項式

②再把所得的商相加

整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有力舌號時先算括號里面的.

事法公式變彩

瞥方制公式Q+b)(a—b)=一一!!'

L通過售鼻受服

CD(aH>)2-2ai>②2?b=

用法：已3>,/?t>］中的兩?求另的(ft(如:求一).

2.雄外與也-b的箱化

X1②(u-b)'■(a+b)Jab

③lab4J?(■-b)*

用法，己&>、?中的曲項求打”的伍(知一求一》.

±b>'=『±2ab+VT>

完全平方公式口認：首平方.尾平加3.

二倍兼積放中央CD(x4②i?+—?(X-F-)2-2

3)(?-l)2=x2-24-A④i2-\-(i-1)2*2

Yjr1x1K

?ri?

I)(a±b),=?l±3a^+3ttb2±b,

②("?bc)'=l+b?+c2+2iBb+2?c+2!>c

完全平方公式的幾何背景

1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平

方公式做出幾何解釋.

2.常見驗證完全平方公式的幾何圖形

結(jié)論：（a+b）2=a2+2ab+b°.（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a,

b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）

平方差公式的幾何背景

1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公

式做出幾何解釋.

2.常見驗證平方差公式的幾何圖形

結(jié)論：(a+b)(a—b)=a2—b2

提升-必考題型歸納

題型01判斷同類項

【例1】（2022?湖南湘潭?中考真題）下列整式與ab2為同類項的是（）

A.a2bB.—2ab2C.abD.ab2c

【答案】B

【提示】根據(jù)同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項叫做同類項，結(jié)合選

項求解.

【詳解】解：由同類項的定義可知，a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2.

A、a的指數(shù)是2,b的指數(shù)是1,與ab2不是同類項,故選項不符合題意；

B、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2,與ab2是同類項，故選項符合題意；

C、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是1,與ab2不是同類項,故選項不符合題意；

D、a的指數(shù)是1,b的指數(shù)是2,c的指數(shù)是1,與ab2不是同類項,故選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數(shù)

是否相同.

【變式「1】（2023?浙江紹興?一模）下列每組中的兩個代數(shù)式，屬于同類項的是（）

A.7a2b和3ab2B.；x2y和-2x?yC.x2yz^x2yD.3x2^3y2

【答案】B

【提示】根據(jù)同類項的定義：幾個單項式的字母和字母的指數(shù)均相同，進行判斷即可.

【詳解】解：A、不是同類項，不符合題意；

B、是同類項，符合題意；

C、不是同類項，不符合題意；

D、不是同類項，不符合題意；

故選B.

【點睛】本題考查同類項的識別.熟練掌握同類項的定義，是解題的關(guān)鍵.

題型02合并同類項

【例2】（2023?四川自貢?中考真題）計算：7/一4〃=.

【答案】3a2

【提示】直接合并同類項即可求解.

【詳解】解：7a2—4a2=3a2.

故答案為：3a2.

【點睛】此題主要考查合并同類項，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

【變式2-1］（2022?山東淄博?中考真題）計算（-2/4一的結(jié)果是（）

A.-7a6b2B.-5a6b2C.a6b2D.7a6b2

【答案】C

【提示】先根據(jù)積的乘方法則計算，再合并同類項.

【詳解】解:原式=40%2-3疑2=0%2,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了積的乘方，合并同類項，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運算法則.

題型03添(去)括號

【例3】(2023?河北衡水?校考模擬預(yù)測)關(guān)于-a-b進行的變形或運算：

?—a—b=—(a+b)；②(—a—b)2=(a+b)2；(3)|—a-b|=a—b；(4)(—a-b)3=—(a—b)3.

其中不正確的是()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】B

【提示】根據(jù)去括號法則進行變形即可.

【詳解】解：①一a—b=—(a+b),變形正確；

②(―a-b)2=[―(a+b)K=(a+b)2,變形正確;

?|-a-b|=|-(a+b)|=|a+b|=產(chǎn)+愿甘]原變形不正確；

I—a—b(a+bV0)

@(-a-b)3=[-(a+b)]3=-(a+b)3,原變形不正確；

二①②正確，③④錯誤，

故選B.

【點睛】此題主要考查了整式的變形，熟練掌握去括號法則是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2022?河北邯鄲?校聯(lián)考三模)等號左右兩邊一定相等的一組是()

A.-(a+b)=—a+bB.a3=a+a+a

C.-2(a+b)=—2a—2bD.—(a—b)=-a—b

【答案】C

【提示】利用去括號法則與正整數(shù)塞的概念判斷即可.

【詳解】解：對于A,-(a+b)=-a-b,A錯誤，不符合題意；

對于B,a3=a'a-a,B錯誤，不符合題意；

對于C,—2(a+b)=-2a-2b,C正確，符合題意；

對于D,-(a-b)=-a+b,D錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了去括號法則，以及正整數(shù)累的概念，熟練掌握相關(guān)定義與運算法則是解題的關(guān)鍵.

題型04整式的加減

【例4】(2022?西藏?中考真題)下列計算正確的是()

A.2ab-ab=abB.2ab+ab=2a2b2

C.4a3b2-2a=2a2bD.-2ab2-a2b=-3a2b2

【答案】A

【詳解】A、2ab-ab=(2-1)ab=ab,選項正確，符合題意;

B、2ab+ab=(2+1)ab=3ab,選項不正確，不符合題意；

C、4a3b2與-2a不是同類項，不能合并，選項不正確，不符合題意；

D、-2ab2與-a2b不是同類項，不能合并，選項不正確，不符合題意.

故選A.

【點睛】本題考查整式的加減.在計算的過程中，把同類項進行合并，不能合并的直接寫在結(jié)果中即可.

【變式4-1](2022?浙江杭州??？级?化簡(2a-b)-(2a+b)的結(jié)果為()

A.2bB.-2bC.4aD.-4a

【答案】B

【提示】先去括號，再合并同類項即可.

【詳解】解：(2a-b)-(2a+b)

=2a-b-2a-b

=-2b.

故選：B.

【點睛】本題考查了整式的加減，整式加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項，熟練掌握去括號法則是解題

的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023?浙江金華?一模)如圖是一道關(guān)于整式運算的例題及正確的解答過程，其中A,B是兩個

關(guān)于x的二項式.

【例題】先去括號，再合并同類項：2(A)-3(B)

解：原式=4x—6—9x—15=

(1)二項式A為,二項式B為.

(2)當x為何值時，A與B的值相等？

【答案】⑴2x-3；3x+5

(2)x=-8

【提示】(1)根據(jù)題意添括號，即可求解；

(2)根據(jù)題意，列出一元一次方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：V2(A)-3(B)=4x-6-9x-15

=2(2x-3)-3(3x+5)

A=2x—3,B=3x+5

故答案為：2x—3,3x+5.

(2)解：依題意，2x—3=3x+5,

解得：x=-8.

【點睛】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，掌握整式的加減運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2022?河北保定?一模)已知：整式A=(2x-3)+(3x+5).

(1)化簡整式A；

(2)若2A+B=5x+6,

①求整式B；

②在“48”的“口”內(nèi)，填入“+，-，X,+”中的一個運算符號，經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，結(jié)果是不含一次項的整式,

請你寫出一個符合要求的算式，并計算出結(jié)果.

【答案】(1)A=5x+2

(2)0-5x+2；②A+B=4或者A-B=4-25x2(答案不唯一)

【提示】(1)把整式A去括號，合并同類項即可；

(2)①由題意得出B=5x+6-2A,把整式A=5x+2代入，去括號，合并同類項即可；

②經(jīng)計算A+B和AB都符合題意.

【詳解】(1)A=(2x-3)+(3x+5)=2x-3+3x+5=5x+2，A=5x+2.

(2)①：2A+B=5x+6；.B=5x+6-2A=5x+6-2(5x+2)=5x+6-lOx-4=-5x+2

?*.B=-5x+2.

②A+B=(5x+2)+(-5x+2)=4

(或A-B=(5x+2)(-5x+2)=4-25x2).

【點睛】本題考查的是整式的運算，熟練掌握整式的運算法則是解本題的關(guān)鍵.

方法技巧

整式的加減運算的實質(zhì)就是合并同類項.主要的理論依據(jù)是：去括號法則，合并同類項法則，以及

分配率.因此關(guān)于整式加減的一般步驟為：①列出代數(shù)式；②去括號；③找出同類項；④合并同類項.

需要注意的是整式加減的最后結(jié)果中：①不能含有同類項，要合并到不能再合并為止；

②不能出現(xiàn)帶分數(shù)，帶分數(shù)要化成假分數(shù).

涉及整式加減運算的常見題型還有代數(shù)式求值，這類題目的一般步驟：①代數(shù)式化簡；②代入計算；③

對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進行計算.做題時特別要注意的是在整式的加減運算過程

中，不多項，不漏項，交換項的位置時，要注意連同符號一起交換.

題型05整式加減的應(yīng)用

【例5】(2022?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)若一個多項式加上3xy+2y2-8,結(jié)果得2xy+3y2-5,則這個多項

式為.

【答案1y2—xy+3

【提示】設(shè)這個多項式為A,由題意得：A+(3xy+2y2-8)=2xy+3y2-5,求解即可.

【詳解】設(shè)這個多項式為A,由題意得：A+(3xy+2y2-8)=2xy+3y2-5,

A=(2xy+3y2—5)—(3xy+2yz-8)=2xy+3y2—5—3xy—2y2+8=y2—xy+3,

故答案為：y2-xy+3.

【點睛】本題考查了整式的加減，準確理解題意，列出方程是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1](2023?湖南長沙??？既?已知有2個完全相同的邊長為a、b的小長方形和1個邊長為m、n

的大長方形，小明把這2個小長方形按如圖所示放置在大長方形中，小明經(jīng)過推事得知，要求出圖中陰影

部分的周長之和，只需知道a、b、m、n中的一個量即可，則要知道的那個量是()

【答案】D

【提示】先用含a、b、m、n的代數(shù)式表示出陰影矩形的長寬，再求陰影矩形的周長和即可.

【詳解】解：如圖，由圖和已知條件可知：AB=a,EF=b,AC=n-b,GE=n-a.

陰影部分的周長為：2(AB+AC)+2(GE+EF)

=2(a+n-b)+2(n-a+b)

=2a+2n-2b+2n-2a+2b

=4n.

.??求圖中陰影部分的周長之和，只需知道n一個量即可.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了整式的加減，能用含a、b、m、n的代數(shù)式表示出陰影矩形的長寬是解決本題的關(guān)

鍵.

【變式5-2](2023?河北邯鄲?二模)如圖，兩個三角形的面積分別是6和4,對應(yīng)陰影部分的面積分別是m

和n,則m-n等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【提示】設(shè)重合的空白部分面積為a,由題意知二:，兩式相減求解即可.

【詳解】解：設(shè)重合的空白部分面積為a

則由題意可知二:

兩式相減得m-n=2

故選A.

【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)三角形的面積列等式.

【變式5-3］（2023?四川德陽?中考真題）在初中數(shù)學(xué)文化節(jié)游園活動中，被稱為“數(shù)學(xué)小王子”的王小明參加

了“智取九宮格”游戲比賽，活動規(guī)則是：在九宮格中，除了已經(jīng)填寫的三個數(shù)之外的每一個方格中，填入一

個數(shù)，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數(shù)之和分別相等，且均為m.王小明抽取到的題目

如圖所示，他運用初中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，很快就完成了這個游戲，則111=

16

7

4

【答案】39

【提示】設(shè)第一列中間的數(shù)為x,則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x,再一次把表格的每一個數(shù)據(jù)填好,

從而可得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)第一列中間的數(shù)為x,則三個數(shù)之和為16+4+x=20+x,可得:

1613+x

X137

46+x10

Am=16+13+10=39,

故答案為：39

【點睛】本題考查的是列代數(shù)式，整式的加減運算的應(yīng)用，理解題意，設(shè)出合適的未知數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-4］（2022?四川樂山?中考真題）如果一個矩形內(nèi)部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就

稱它為“優(yōu)美矩形”，如圖所示，“優(yōu)美矩形"ABCD的周長為26,則正方形d的邊長為.

AD

b

a

b

d

c

BC

【答案】5

【提示】設(shè)正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d,分別求得b=|c,c=|d,由“優(yōu)美矩形"ABCD的周

長得4d+2c=26,列式計算即可求解.

【詳解】解：設(shè)正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d,

,「優(yōu)美矩形"ABCD的周長為26,

.\4d+2c=26,

*.*a=2b,c=a+b,d=a+c,

/.c=3b,則b=1c,

d=2b+c=|c,則c=|d,

.-.4d+|d=26,

/.d=5,

.?.正方形d的邊長為5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查了整式加減的應(yīng)用，認真觀察圖形，根據(jù)長方形的周長公式推導(dǎo)出所求的答案是解題的

關(guān)鍵.

【變式5-5］（2022?浙江金華?中考真題）如圖1,將長為2a+3,寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角

形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2）,得到大小兩個正方形.

（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長.

（2）當a=3時，該小正方形的面積是多少？

【答案】⑴a+3

⑵36

【提示】（1）分別算出直角三角形較長的直角邊和較短的直角邊，再用較長的直角邊減去較短的直角邊即

可得到小正方形面積；

（2）根據(jù)（1）所得的小正方形邊長，可以寫出小正方形的面積代數(shù)式，再將a的值代入即可.

【詳解】（1）解：???直角三角形較短的直角邊x2a=a,

較長的直角邊=2a+3,

，小正方形的邊長=2a+3—a=a+3；

（2）解：S小正方形=（a+3）2=a2+6a+9,

Sa=3時，S小正方形=（3+3）2=36.

【點睛】本題考查割補思想，屬性結(jié)合思想，以及整式的運算，能夠熟練掌握割補思想是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5-6](2023?江蘇鹽城?景山中學(xué)?？既?三角形的一邊長為2a+b,第二邊比第一邊長a+2b,第

三邊長為3a+3b.

(1)用代數(shù)式表示三角形的周長；

(2)當a=3,b=2時，求三角形的周長.

【答案】⑴80+7》

(2)38

【提示】(1)先求出第二邊長，再利用三角形的周長公式列式計算即可得；

(2)將a=3,b=2代入計算即可得.

【詳解】(1)解：由題意得：第二邊長為20+8+(。+2價=30+3"

則三角形的周長為(2。+價+(3a+3b)+(3a+3b)=8“+7b；

(2)當a=3,b=2時，

三角形的周長為8x3+7x2=38.

【點睛】本題考查了整式加減中的化簡求值，掌握整式的加減運算法則是解題關(guān)鍵.

題型06幕的基本運算

【例6】(2023?安徽?中考真題)下列計算正確的是()

A.a4+a4=a8B.a4-a4=a16C.(a4)4=a16D.a8-j-a4=a2

【答案】C

【提示】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法，同底數(shù)嘉的除法，幕的乘方，合并同類項，逐項提示判斷即可求解.

【詳解】解：A.?4+?4=2a4,故該選項不正確，不符合題意；

B.a4-a4=a8,故該選項不正確，不符合題意；

C.(a4)4=a16,故該選項正確，符合題意；

D.a8-a4=a4,故該選項不正確，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了同底數(shù)暴的乘法，同底數(shù)暴的除法，嘉的乘方，合并同類項，熟練掌握同底數(shù)暴的乘

法，同底數(shù)暴的除法，塞的乘方，合并同類項的運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2023?湖北武漢?中考真題)計算(2a2)3的結(jié)果是()

A.2asB.6a$C.8o5D.8a6

【答案】D

【提示】根據(jù)積的乘方與事的乘方法則計算即可.

【詳解】解：(2a2)3=23(a2)3=8a6,

故選：D.

【點睛】本題考查積的乘方與哥的乘方，熟練掌握積的乘方與幕的乘方運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2023?黑龍江綏化?中考真題）下列計算中，結(jié)果正確的是（）

A.（―pq）3=p3q3B.x-x3+x2-x2=x8

C.V25=±5D.（a2）3=a6

【答案】D

【提示】根據(jù)積的乘方與幕的乘方運算，同底數(shù)暴的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，進行計算即可求解.

【詳解】解：A.（-pq）3=-p3q3,故該選項不正確，不符合題意；

B.x-x3+x2-x2=2x4,故該選項不正確，不符合題意；

C.V25-5,故該選項不正確，不符合題意；

D.（a2）3=a6,故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了積的乘方與幕的乘方運算，同底數(shù)塞的乘法、合并同類項，算術(shù)平方根，熟練掌握以

上運算法則是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3］（2023?湖南?中考真題）計算傳x3）2的結(jié)果正確的是（）

A.x6B.-x6C.-x5D./

44

【答案】B

【提示】運用積的乘方法則、暴的乘方法則即可得出結(jié)果.

【詳解】解：（］乂3）=G）（X3）2=^X6>

故選：B.

【點睛】本題考查了積的乘方法則、幕的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、幕的乘方法則是解題的關(guān)鍵.

【變式6-4］（2023?江蘇泰州?中考真題）若aHO,下列計算正確的是（）

A.（—a）0-1B.a64-a3=a2C.a-1=—aD.a6—a3=a3

【答案】A

【提示】直接利用同底數(shù)累的乘法運算法則以及零指數(shù)塞的性質(zhì)、合并同類項法則分別化簡，進而得出答

案.

【詳解】解：A.故此選項符合題意；

B.a64-a3=a3,故此選項不合題意；

C.a-1=故此選項不合題意；

a

D.a6與a3無法合并，故此選項不合題意.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了同底數(shù)稚的乘法運算以及零指數(shù)幕的性質(zhì)、合并同類項，正確掌握相關(guān)運算法則

是解題關(guān)鍵.

【變式6-5］（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）下列各式計算結(jié)果為a5的是（）

A.（a3）2B.a10a2C.a'-aD.（一1尸蘇

【答案】C

【提示】根據(jù)同底數(shù)幕的乘除法及幕的乘方運算法則即可判斷.

【詳解】解：A、（a3）2-a6,不符合題意；

B、a104-a2=a8,不符合題意；

C、a4-a=a5,符合題意;

D、（一1）-匕5=—a5,不符合題意;

故選：C.

【點睛】題目主要考查同底數(shù)累的乘除法及累的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

題型07塞的逆向運算

【例7】（2023?四川德陽?中考真題）已知=v，則3*+1=（）

A.yB.1+yC.3+yD.3y

【答案】D

【提示】利用同底數(shù)累的乘法的逆運算可得3x+1=x3,再代入計算即可.

【詳解】解：：3x=y,

3X+1=x3=3y,

故選D

【點睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法運算的逆運算，熟記、m+n=ama"，是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-1］（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先

從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出（2*+2丫）個球放入丙袋，最后從丙袋中取出2y個球放入甲

袋，此時三只袋中球的個數(shù)相同，則2*+丫的值等于（）

丙袋

甲袋乙袋

A.128B.64C.32D.16

【答案】A

【提示】先表示每個袋子中球的個數(shù)，再根據(jù)總數(shù)可知每個袋子中球的個數(shù)，進而求出2*,2y,最后逆用

同底數(shù)幕相乘法則求出答案.

【詳解】調(diào)整后，甲袋中有（29-2X+2丫）個球，29+-2丫=29-2丫，乙袋中有（29-2丫）個球，5+

2乂+2丫_2y=5+2x,丙袋中有(5+2X)個球.

?..一共有29+29+5=63(個)球，且調(diào)整后三只袋中球的個數(shù)相同,

調(diào)整后每只袋中有63+3=21(個)球，

二5+2X=21,29-2y=21,

：.2X=16,2y=8,

...2^=2'.2y=16x8=128.

故選：A.

【點睛】本題考查了事的混合運算，找準數(shù)量關(guān)系，合理利用整體思想是解答本題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023?湖南湘潭?模擬預(yù)測)若3m=4,9n=7,貝U3m-2n=.

4

【答案】I

【提示】逆運用同底數(shù)幕的除法法則，先把3m-2n寫成3m+32n的形式，再利用幕的乘方法則把32n寫成9nl

的形式后代入求值.

【詳解】解：3m-2n=3m+32n=3me(32^=3m-gn,

...3m=4,911=7,

,.,Dom_2n—_i,

7

4

故答案為：y.

【點睛】本題考查了整式的運算，掌握同底數(shù)幕的除法法則、暴的乘方法則是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023?河北?模擬預(yù)測)若43*=2021,47丫=2021,則代數(shù)式xy與x+y之間關(guān)系是.

【答案】xy=x+y

【提示】由條件可得呆件)曠=202—(47曠尸=202戶,可得43*丫?47*丫=(43x)yX(47丫尸=202PX2021x=

2021X+'而43*丫x47*丫=(43x47)冏=202r匕從而可得答案.

【詳解】解：V43x=2021,47y=2021,

A(43x)y=202ly,(47y)x=202lx,

xx+

.二43xy.47xy=(43x)y*紗尸=202PX2021=2021?

而43xyx47xy=(43X47)xy=202^,

：.2021^=2021x+y

xy=x+y.

故答案為：xy=x+y.

【點睛】本題考查的是同底數(shù)幕的乘法運算，積的乘方的逆運算，掌握“利用事的運算與逆運算進行變形”

是解本題的關(guān)鍵.

【變式7-4](2023?河南焦作?一模)已知2*=8,則2*-3的值為.

【答案】1

【提示】先逆用同底數(shù)塞相除，再將=8整體代入即可求解.

【詳解】V2X=8,

.?.2X-3=2x-?23=84-8=1,

故答案為：L

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)哥相除的逆用，掌握同底數(shù)幕相除的運算法則是解答本題的關(guān)鍵.

題型08幕的混合運算

[例8](2023?浙江溫州?中考真題)化簡a