第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（B卷·能力提升練）（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（B卷·能力提升練）本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用28鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上，3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一井交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2020·山東·高考真題）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：，解得且.所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：B2．（2021·全國(guó)·高考真題（文））青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，則.故選：C.3．（2022·北京·高考真題）己知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】直接代入計(jì)算，注意通分不要計(jì)算錯(cuò)誤．【詳解】，故A錯(cuò)誤，C正確；，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)誤；故選：C．4．（2020·山東·高考真題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)在上的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，是偶函數(shù)，所以在上遞增.注意到，所以B選項(xiàng)符合.故選：B5．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.6．（2021·天津·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.7．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】由可得，而，所以，即，所以．又，所以，即，所以．綜上，．故選：A.8．（2020·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2022·福建泉州·高一期末）若，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，然后對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)正確.，D選項(xiàng)正確.故選：BCD10．（2022·廣東湛江·高一期末）下列函數(shù)為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)各函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可【詳解】對(duì)A，為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，故A正確；對(duì)B，為偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，不為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，為偶函數(shù)且在上是增函數(shù)，故D正確故選：AD11．（2022·江蘇南通·高一期末）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上是一條連續(xù)不斷的曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)B．若，則在內(nèi)沒有零點(diǎn)C．若在內(nèi)沒有零點(diǎn)，則必有D．若在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，，則在上是單調(diào)函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理逐一判斷即可．【詳解】因?yàn)樵?，上連續(xù)，．（1），由零點(diǎn)存在定理可知，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故正確；．當(dāng)時(shí)，滿足（1），但在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)誤；．在內(nèi)沒有零點(diǎn)，則必有（1）等價(jià)于（1），則在內(nèi)有零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在定理可知此命題是真命題，故正確；．在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，（1），但在上不一定是單調(diào)函數(shù)，比如，故錯(cuò)誤．故選：．12．（2022·山東煙臺(tái)·高二期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意可得關(guān)于與對(duì)稱，再根據(jù)對(duì)稱性滿足的等式化簡(jiǎn)，逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可【詳解】對(duì)A，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，故，故關(guān)于對(duì)稱.又為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱.綜上，關(guān)于與對(duì)稱.關(guān)于對(duì)稱有，關(guān)于對(duì)稱有，，故，即，所以為偶函數(shù)，故A正確；對(duì)B，由A，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故，故D正確；故選：ACD三．填空題本題共4小題，每小題5分，共20分13．（2022·廣東深圳·高二期末）若是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】【解析】【分析】利用可求得，驗(yàn)證可知滿足題意.【詳解】定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，，為上的奇函數(shù)，滿足題意；綜上所述：.故答案為：.14．（2022·江西·橫峰中學(xué)高一期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，可得函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又因是定義在上的奇函數(shù)，所以.故答案為：.15．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)高二期中）函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知可得，因?yàn)椋瑒t且，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故答案為：.16．（2022·湖北咸寧·高一期末）已知函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則__________．【答案】##0.5【解析】【分析】先求得在上恰有個(gè)零點(diǎn)，則方程有個(gè)負(fù)根，時(shí)不成立，時(shí)，由一元二次方程的性質(zhì)分和討論求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，故在上恰有個(gè)零點(diǎn)，即方程有個(gè)負(fù)根.當(dāng)時(shí)，解得，顯然不滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)榉匠逃袀€(gè)負(fù)根，所以當(dāng)，即時(shí)，其中當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，，解得，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)方程有個(gè)根，，因?yàn)?，所以，同?hào)，即方程有個(gè)負(fù)根或個(gè)正根，不符合題意．綜上，．故答案為：0.5.四．解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分。共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．（2022·山西省長(zhǎng)治市第二中學(xué)校高二期末）化簡(jiǎn)求值：(1)；(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求值.(1)(2)18．（2022·湖南衡陽(yáng)·高一期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的定義域；(2)若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得對(duì)任意的恒成立，參變分離可得對(duì)任意的恒成立，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：當(dāng)時(shí)，令，即，即，解得，所以的定義域?yàn)?(2)解：由對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，因?yàn)槭菃握{(diào)遞減函數(shù)，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為.19．（2022·四川樂山·高一期末）某水庫(kù)堤壩因年久失修，發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測(cè)算知滲水現(xiàn)象正在以每天的速度擴(kuò)散，當(dāng)?shù)卣e極組織工人進(jìn)行搶修，已知每個(gè)工人平均每天可搶修滲水面積，每人每天所消耗的維修材料費(fèi)25元，勞務(wù)費(fèi)75元，另外給每人發(fā)放100元的服裝補(bǔ)貼，每滲水的損失為75元．現(xiàn)在共派去x名工人，搶修完成共用n天．(1)寫出n關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使總損失最小，應(yīng)派多少名工人去搶修（總損失=滲水損失+政府支出）．【答案】(1)（且）(2)21名【解析】【分析】（1）根據(jù)搶修的面積等于滲水的面積列出方程，求出（且）；（2）求出總損失關(guān)于x的關(guān)系式，再利用基本不等式求出最小值，得到答案.(1)由題意知：搶修n天時(shí)，維修工人搶修的面積之和為，而滲水的面積為所以有，可得（且）．(2)設(shè)總損失為y，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以應(yīng)派21名工人去搶修，總損失最?。?0．（2022·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）已知定義在上的函數(shù)為偶函數(shù).(1)求的值，并判斷在上單調(diào)性（只作判斷，不用說明理由）；(2)若，求的范圍.【答案】(1)，在上單調(diào)遞減(2)或.【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出參數(shù)的值，即可得到的解析式，再根據(jù)偶函數(shù)的定義檢驗(yàn)即可，最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得到，將兩邊平方，解一元二次不等式，即可得解；(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是為，且函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，所以.所以，則，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意.因?yàn)?，令、、，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，又對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；(2)解：因?yàn)?，則又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即解得或.21．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高一期末（文））已知函數(shù)（a為常數(shù)，且，）．請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)函數(shù)：①；②；③中，選擇一個(gè)函數(shù)作為，使得具有奇偶性．(1)請(qǐng)寫出表達(dá)式，并求a的值；(2)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，若對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)所選條件，結(jié)合奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可得出的等式或表達(dá)式，可求得對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值；（2）由已知條件可得出，由參變量分離法得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；(1)若選①：，則，定義域?yàn)?，若函?shù)為奇函數(shù)，則，故函數(shù)不能是奇函數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，化簡(jiǎn)可得，則不為常數(shù)，即函數(shù)不可能為偶函數(shù)，不合乎題意；若選②，，則.若函數(shù)為奇函數(shù)，則，不合乎題意；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，由，可得，整理可得，則不為常數(shù)，不合乎題意.選③，，則，，當(dāng)為奇函數(shù)，則，即，可得；當(dāng)為偶函數(shù)，則，則，可得；(2)由（1）知，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，由于函?shù)在上為增函數(shù)，函數(shù)在為減函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，若對(duì)于任意的，都有成立，所以，設(shè)，，任取、，且，即，則，，則，，可得，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.所以的取值范圍是；22．（2022·江蘇·南京市大廠高級(jí)中學(xué)高二期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，判斷的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(3)若函數(shù)（其中）在的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)增函數(shù)，證明見解析(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得正實(shí)數(shù)的值；（2）求得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單