2019-2020學年人教A版天津市部分區(qū)高二第一學期期末數(shù)學試卷 含解析

2019-2020學年高二第一學期期末數(shù)學試卷

一、選擇題

1.已知空間向量軟二(1,-1,0),b=(m,1,-1),若a_Lb則實數(shù)加()

A.-2B.-1C.1D.2

1

2.在復平面內，與復數(shù)(/是虛數(shù)單位)對應的點位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

設則“卜-/|</”是的()

3.xCR,“0VxV2”

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百一十五里關，初步健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還其大意為:

“有一個人走315里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的

一半，走了6天后到達目的地.”則該人最后一天走的路程為()

A.20里B.10里C.5里D.2.5里

5.若拋物線/=2px(0>0)的準線經(jīng)過雙曲線號__2^一=］的一個焦點，則°=()

A.2B.10C.V7D.277

1nx

6.已知函數(shù)f(x)=F，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(x)=()

X

11-lnxl-21nx

B.—C?a-D.

Xxx

7.正方體48必-48GN,點￡廠分別是能，48的中點，則爐與以所成角的余弦值為

)

1

A.0B.1C.1D.

543

1

8.曲線萬在點(1,1)處的切線方程為()

y=x

A.x-2八1=0B.x-y=0C.A+/-2=0D.2x-y-1=0

22

9.設雙曲線c：彳91(a〉b〉0)的右焦點為F,點、Q在C的一條漸近線x+x為y=0上,

a"

0為坐標原點，若|相=|陰且的面積為2&,則C的方程為()

x22122

A.B.xy

--y=14~21

10.若函數(shù)f(x)=2x-/sin2x+asinx在區(qū)間(-8,+oo)上單調遞增，則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.(-1,0]B.[0,1)C.(-1,1)D.[-1,1]

二、填空題

11.一是虛數(shù)單位，則|蕓的值為.

12.已知函數(shù)F(x)/(x)為尸(x)的導函數(shù)，則f(1)的值為.

13.已知實數(shù)a為函數(shù)2(x)=xJ3x?的極小值點，則a=.

14.已知'7x6號2],X2-必+1W0”是假命題，則實數(shù)加的取值范圍為.

22

15.設a>0,b>Q,a-26=1,則(a+4)(b+1)的最小值為

ab

三、解答題

16.已知函數(shù)f(x)=A?-a^+b(a,6GR).

(I)若曲線y=/(x)在點(1,f(1))處的切線方程為Jt+y-1=0,求a,6的值；

(II)若a>0,求r(x)的單調區(qū)間.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD*,A4JL平面ABCD,ADA.CD,AD//BG,BG=4,PA=AD=CD

=2,點F為。C的中點.

(I)證明：2厲〃平面PAB；

(II)求直線陽與平面所成角的正弦值.

18.設數(shù)列｛aj的前〃項和為S,且等比數(shù)列滿足6=a-1,&=a,+備，(〃

GN*).

(I)求｛d｝和｛扇的通項公式；

(II)求數(shù)列｛a￡｝的前"項和.

22

19.已知橢圓C：2;7+^?l(a>b>0)的長軸長為4,離心率為Y2.

ab4

(I)求。的方程；

(II)設直線/:y=kx交C于A,8兩點，點/I在第一象限，4CL*軸，垂足為懸連結

加并延長交C于點M求證：點4在以AV為直徑的圓上.

20.已知函數(shù)/(x)=cosA+^sinx-1.

(I)若(0,n),求,(x)的極值；

(II)證明：當x￡[0,n]時，2sinx-mosx2x.

參考答案

一、選擇題

1.已知空間向量Z=(l,-1,o),b=(m,1,-1),若W_LE，則實數(shù)()

A.-2B.-1C.1D.2

解：?.?空間向量；=(1,-1,o),b=(m,1,-1),若

???[?^=/77-1+0=0,求得實數(shù)777=1,

故選：C.

2.在復平面內，與復數(shù)；1(一是虛數(shù)單位)對應的點位于()

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解.T+i(l+i)(l-i)-2-2211

二復數(shù)擊■在復平面內對應的點的坐標為：(4，-微)，

位于第四象限.

故選：D.

3.設xGR,則是“0V*V2”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

解:|x—V，；解之得:0VxV1,

所以是“0VxV2”的充分不必要條件，

故選：A.

4.我國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百一十五里關，初步健步不為

難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還其大意為：

“有一個人走315里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的

一半，走了6天后到達目的地.”則該人最后一天走的路程為()

A.20里B.10里C.5里D.2.5里

解：根據(jù)題意，設第一天走金里路，由題意得｛a〃｝是首項為公比為[的等比數(shù)列,

(./、a,(1-^7)

則有S=ai(If)=------^—=315,

]_q1」

2

解可得曷=160,

則3?=aiX(/=160X^-=5;

32

故選：C.

5.若拋物線J=2px(p>0)=i的一個焦點,則p=()

A.2B.10C.77D.2A/7

解：拋物線/=2px(p>0)的準線為*=-m

22

雙曲線一—匚=1的焦點為(有，0),(-折，0),

43

由題意可得譚=-A

解得。=2

故選：D.

Inx

6.已知函數(shù)f(x)=2，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(X)=()

A

lnx11-lnxl-21nx

A.3B.C.3D.3

XXXX

lnx

解：根據(jù)題意，函數(shù)f(x)

一2，

X

22

其導數(shù)f(x)=Qi也,?x-lnx*(x)，x-2x*lnxl-21nx

44-3;

故選：D.

1.正方體4腦-48G4,點￡,廠分別是明，48的中點，則用與以所成角的余弦值為

()

A.0B.—C.—D.—

543

解：如圖，分別以直線48,AD,>44為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設正方體的

棱長為2,則:

F(1,1,2),E(2,0,1),D(0,2,0),4(0,0,2),

.-.EF=(-1,1,1),西=(0,-2,2),

—、EF'DA?

cos<EF，DA,>=二=「；一1=0.

1lEFllDAj

1

8.曲線_萬在點（1,1）處的切線方程為（）

y=x

A.x-2yH=0B.x-y=0C.A+y-2=0D.2x-y-1=0

i.-L1

解：由_5,得/=lx2=方.

y-xy2x3x

,?vLi虧

ii

曲線_萬在點（1,1）處的切線方程為y-1=3（x-l）,

y=x2

即x-2y+1=0.

故選：4

22

9.設雙曲線C：與-勺l（a>b>0）的右焦點為￡點戶在C的一條漸近線x+后y=0上,

azbz

0為坐標原點，若|%|=|明且△底的面積為2加，則C的方程為（）

c.

63

22

解：雙曲線C：25-9=1（@〉1）>0）的右焦點為80為坐標原點，點。在C的一條漸

近線xW^y=O上，

漸近線的斜率為：-返，tanNPOF=叵,所以cosN。爐=￡,sinNW=返，

2233

0為坐標原點，若|明=|陰，△處的面積為2&,所以￡c2sin（兀-2/P0F）=2&

解得c=加，￡=*，c=a+t）,

解得b=&,a=2,

22

所以雙曲線方程為：^_y_=1.

42

故選：B.

10.若函數(shù)f（x）=2x-/sin2x+asinx在區(qū)間（-8,+8）上單調遞增，則實數(shù)a的取值

范圍是（）

A.（-1,0]B.[0,1）C.（-1,1）D.[-1,1]

解：f（x）=2-cos2x+acosx,依題意，2-cos2x+acosx》0對任意xGR恒成立，

**.2COS2X-acosx-3W0對任意xGR都成立，

令t=cosx,te[-1,1],則2F-at-3W0對￡W[T,1]恒成立，

./2+a-340鈿徨

,解得-1WaW1.

l2-a-3<0

故選：D.

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.

11./是虛數(shù)單位，則|善|的值為_邛」.

解.|2+i|_|2+i|一122+/_而_715

〔TTLliTTJ1分（_；）2一丁一〒，

故答案為：逗.

12.已知函數(shù)式（x）=x%2,/（x）為F（x）的導函數(shù)，則f（1）的值為28.

解：根據(jù)題意，函數(shù)，（x）=寸3,

其導數(shù)產(chǎn)（x）=2Jx,則f（1）=2e2,

故答案為：21

13.已知實數(shù)a為函數(shù)2(x)=r-3必的極小值點，則a=2.

解：f(x)=3，-6x=3x(x-2),

.?.xVO或x>2時，f(x)>0,函數(shù)單調遞增，0VxV2時，f(x)<0,函數(shù)單調

遞減

".x=2是f(x)的極小值點;

又a為f(x)的極小值點；

：.a=2.

故答案為：2

14.已知2],x2-/nx+1W0”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為m<2.

解：[y,2],X2-M1這0”是假命題，.?.對任意的xG[/,2],

>0恒成立，

/./77<A+—,對任意的xG弓，2]恒成立，

>21x*2=2,當且僅當■即時等號成立,

xVxx

故答案為：m<2.

22

15.設a>0,b>0,a-26=1,則Q+4)(b+D的最2、值為4+2遙.

ab

解：Va>0,6>0,a-26=1,

則，2+4)(b2+l)=a2b2+a2+4b2+4,

abab

=2b).+4ab+4

ab

=amj4--a-b--+--5,

ab

5、L

+4>4+2日

ab

當且僅當必=點時取等號，此時取得最小值4+2娓.

故答案為：4+2遙.

三、解答題：本大題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.已知函數(shù)尸(x)-a^b(a,b￡R).

(I)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為A+y-1=0,求百，6的值;

(II)若自>0,求尸(%)的單調區(qū)間.

解：(/)Vf(x)=x-ax+b9

/.f(x)=3^-lax,

由題意可得，f(1)=1->b=0,f(1)=3-2a=-1,

解可得，a=2,6=1,

(II)若a>0,ff(x)=3x-2ax=3x,

3

當xG(等，400),(-8,0)時，fJ)>0,函數(shù)單調遞增，

當xG(0,等)時，f(x)<0,函數(shù)單調遞減，

綜上，式(X)的單調增區(qū)間.侍，g),(-8,0),減區(qū)間(O,冷).

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，.平面ABCD,ADA.CD,AD//BG,BC=4,PA=AD^CD

=2,點￡為%的中點.

(I)證明：度〃平面PAB-,

(II)求直線陽與平面"緲所成角的正弦值.

解：(I)證明：\?在四棱錐0-48必中，PAL平面ABCD,ADA.CD,AD//BC,

...以力為原點，過點4作仇?的平行線為x軸，為y軸，4P為z軸，建立空間直角系，

'：BC=4,PA=AD=CD=2,點￡■為%的中點.

：.D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),B(2,-2,0),/(0,0,0),￡

(1,1,D,

DE=G，T,1),AP=(。，。，2),AB=(2,-2,0),

設平面外8的法向量房=(x,y,z),

n*AP=2z=0?,-，八、

則<{__,,取x=1,得門=(1,1,0),

,n*AB=2x-2y=0

vDE-n=0?DPI平面PAB,:.DE〃①函PAB.

(II)解：pg=(2,-2,-2),pc=⑵2,-2),麗=(0,2,-2),

設平面/W的法向量［=(x,y,z),

n*PC=2x+2y-2z=0.?一小，,、

則—?，取7=1,得門=(°，1，1)，

n*PD=2y-2z=0

設直線用與平面月面所成角的平面角為。，

則sin6回日|_4=逅

|PB|-|nrV12-V2-3-

返

直線用與平面W所成角的正弦值為V

Z

小

芳y

18.設數(shù)列｛a.｝的前"項和為￡,JLS?=rf,等比數(shù)列｛4｝滿足6=&-1,仇=24+備，(〃

WN*).

(I)求｛aj和｛扇的通項公式；

(II)求數(shù)列｛a￡｝的前〃項和.

2

解：(I)S?=n,可得曷=￡=1,〃，2時，an=S?-S?.^=rf-(n-1)=2n-1,對"

=1也成立，

則a?=2n-1,"GN*;

等比數(shù)列｛4｝的公比設為q,滿足打=4-1,4=a+as,

可得&=3-1=2,6,^=7+9=16,解得6=k2,

則4=2";

(II)a也=(2/7-1)?2",

貝”數(shù)列】｛a“4｝的前"項和5=1?2+3?2?+5?23+--.+(2〃-1)?2",

2%=1?22+3?23+5?24+-+(2"-1)?2"',

相減可得-7；=2+2(22+23+-+2n)-(2/7-1)?2"'

=2+2.(2/7-1)?2"',

1-2

化簡可得T?=6+(2n-3)?2"'.

22

19.已知橢圓C：會且fl(a〉b〉O)的長軸長為4,離心率為Y2.

a2b,2O4

(I)求C的方程；

(II)設直線/:y=版交C于4,8兩點，點/在第一象限，4Ux軸，垂足為M連結

儲并延長交C于點祇求證：點4在以町為直徑的圓上.

【解答】解(I)由題意得：2a=4,e=￡=返，d,解得：丁=4,4=2,

a2

22

所以橢圓C的方程：2_廿。=1；

42

22k

(II)聯(lián)立與橢圓的方程：(1+2Ar2)4=4,所以由題意：A(J--7,,一—,

M1+2kz4i+2k'

,-2-2k,2

B(/-''),:.M(廣方,0),

V1+2kzV1+2k9JVl+2kz

k92

，%?=三，直線掰的方程：x=Wy+7-^,代入到橢圓中整理得：

2kVl+2k2

4+2k22.88k2?.