拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)講義-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

課題：拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)一：拋物線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1．拋物線的性質(zhì):拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對(duì)稱性軸軸軸軸頂點(diǎn)離心率焦半徑焦點(diǎn)弦公式2．拋物線的幾何性質(zhì)：（1）范圍：因?yàn)閜>0，由方程可知x≥0，所以拋物線在軸的右側(cè)，當(dāng)?shù)闹翟龃髸r(shí)，||也增大，說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．（2）對(duì)稱性：對(duì)稱軸要看一次項(xiàng)，符號(hào)決定開口方向．（3）頂點(diǎn)（0，0），離心率：，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距p．（4）焦點(diǎn)弦：拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則．弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p，當(dāng)x1=x2時(shí)，通徑最短為2p．典例強(qiáng)化例1．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，如果，那么=（）A．10B．8C．6D．4例2．拋物線y2＝8x上一點(diǎn)P到頂點(diǎn)的距離等于它們到準(zhǔn)線的距離，這點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，4）B．（2，±4）C．（1，）D．（1，±）例3．過拋物線焦點(diǎn)的直線它交于、兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)的軌跡方程是__________．例4．已知拋物線與直線相交于、兩點(diǎn)，以弦長(zhǎng)為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求此拋物線的方程例5．頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線被直線截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程舉一反三1．已知為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)，則的最小值為（）A．3B．4C．5D．63．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若線段、的長(zhǎng)分別是、，則=（）A．B．C．D．3．拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)等于8，則拋物線方程為．4．已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，若，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）且，求拋物線的方程知識(shí)點(diǎn)二：拋物線焦點(diǎn)弦的有關(guān)問題1．焦點(diǎn)弦：過拋物線焦點(diǎn)的弦，若，則（1）x0+，（2），－p2．（3）弦長(zhǎng)，，即當(dāng)x1=x2時(shí)，通徑最短為2p．（4）若AB的傾斜角為θ，則=（5）+=．2．弦長(zhǎng)公式．3．點(diǎn)P（x0，y0）和拋物線的位置關(guān)系：（1）點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線內(nèi)y<2px0;（2）點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線上y=2px0;（3）點(diǎn)P（x0，y0）在拋物線外y>2px04．直線與拋物線的位置關(guān)系：直線與拋物線的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類：無公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)．（1）直線與拋物線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究．因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的．（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離．對(duì)于拋物線來說，平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線來說，平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切．（3）這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：設(shè)直線，圓錐曲線由消去y（或消去x）得：．①相交；②相離；③相切．當(dāng)a=0時(shí)，直線與拋物線對(duì)稱軸平行（重合），有一個(gè)公共點(diǎn)，是相交．要點(diǎn)詮釋1．直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．2．關(guān)于直線與拋物線的位置關(guān)系問題常用處理方法：直線：拋物線，（1）聯(lián)立方程法：；設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，則有，以及，還可進(jìn)一步求出，．在涉及弦長(zhǎng)，中點(diǎn)，對(duì)稱，面積等問題時(shí)，常用此法，比如：①相交弦AB的弦長(zhǎng)：或②中點(diǎn)，，．（2）點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，代入拋物線方程，得；將兩式相減，可得：．①在涉及斜率問題時(shí)，；②在涉及中點(diǎn)軌跡問題時(shí)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，，即，同理，對(duì)于拋物線，若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，則有【注意能用這個(gè)公式的條件：直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，直線的斜率存在，且不等于零】典例強(qiáng)化例1．若直線過拋物線的焦點(diǎn)，并且與軸垂直，則直線被拋物線截得的線段長(zhǎng)為．例2．設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于A，B兩點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．例3．過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)分別為，則等于（）A．B．C．D．例4．過拋物線焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，求證：過P、Q兩點(diǎn)的切線互相垂直．舉一反三1．過拋物線的焦點(diǎn)作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)分別為，則等于（）A．B．C．D．2．過圓錐曲線的一個(gè)焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓與相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線相交，則曲線是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．以上都有可能3．過拋物線的焦點(diǎn)作傾角為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，使，過點(diǎn)作與軸垂直的直線交拋物線于點(diǎn)，則的面積是（）A．B．C．D．4．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且軸．證明：直線經(jīng)過原點(diǎn)．隨堂基礎(chǔ)鞏固1．拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （）A．（1，1） B．（） C． D．（2，4）2．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，拋物線上點(diǎn)（5，m）到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線的方程是（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=2x D．y2=4x或y2=36x3．過點(diǎn)M（2，4）作與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有（）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條4．過拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p、q，則等于（）A．2a B． C．4a D．5．拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長(zhǎng)為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為．6．動(dòng)直線y=a，與拋物線相交于A點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡的方程．課時(shí)跟蹤訓(xùn)練1．已知點(diǎn)P（6，y）在拋物線y2＝2px（p>0）上，若點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離等于8，則焦點(diǎn)F到拋物線準(zhǔn)線的距離等于（）A．2B．1C．4D．82．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△FPM為等邊三角形時(shí)，其面積為（）A．2eq\r(3)B．4C．6D．4eq\r(3)3．已知拋物線y2＝2px（p＞0），過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－24．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（）A．eq\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)5．拋物線y2＝x上到其準(zhǔn)線和頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的坐標(biāo)為________．6．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k＝________．7．平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（1，0）的距離和到直線x＝－1的距離相等．若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P（－1，0）且