微積分(數(shù)學(xué)分析)練習(xí)題及答案

統(tǒng)計(jì)專業(yè)和數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分練習(xí)題

計(jì)算題

1.試求極限lim一一

(尤,y)f(O,O)XV

2.試求極限lim-----——丫

3.試求極限lim(x+y)sin—sin—.

(x,y)->(0,0)xy

4.試討論lim,孫「

2

(0,0)X+y4

22

5.試求極限lim,*+y—.

?。，。力1+爐+/一1

du

6.〃=/(%+%個(gè))，/1有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求丁，一.

oxdy

Y|、.dz

7.z=arctanxy,y=e,求一.

dx

8.求拋物面z=2/+y2在點(diǎn)M(l,l,3)處的切平面方程與法線方程.

9.求/(x,y)=2——孫—V一6x—3y+5在(1,—2)處的泰勒公式.

10.求函數(shù)/(陽丁)=02%%+3；2+2)；)的極值.

11.表達(dá)隱函數(shù)的定義.

12.表達(dá)隱函數(shù)存在唯一性定理的內(nèi)容.

13.表達(dá)隱函數(shù)可微性定理的內(nèi)容.

14.利用隱函數(shù)說明反函數(shù)的存在性及其導(dǎo)數(shù).

15.討論笛卡兒葉形線

x3+y3-3axy-0

所確定的隱函數(shù)y=/(x)的一階與二階導(dǎo)數(shù).

16.討論方程

F(x,y,z)-xyz3+x~+y3-z-0

在原點(diǎn)附近所確定的二元隱函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù).

17.設(shè)函數(shù)/(x,y,z)=盯?z3,方程

x2+y2+z2-3xyz.

(1)驗(yàn)證在點(diǎn)4(1,1,1)附近由上面的方程能確定可微的隱函數(shù)y=y(z,x)和z=z(x,y)；

⑵試求fx(x,y(x,z),z)和力(尤,y,z(x,y)),以及它們在點(diǎn)y=/(x)處的值.

18.討論方程組

F(x,y,u,v)=u~+v~-x2-y=Q,

G(x,y,M,v)=-M+v-xy+1=0

在點(diǎn)P0(2,l,l,2)近旁能確定怎樣的隱函數(shù)組，并求其偏導(dǎo)數(shù)。

19.設(shè)方程組

M2+v2+x2+y2=1,

w-v+xy=0.

問在什么條件下，

⑴由方程組可以唯一確定是羽y的可微函數(shù)？

(2)由方程組可以唯一確定“，龍是v,y的可微函數(shù)？

20.求球面/+丫2+22=50與錐面/+)；2=22所截出的曲線的點(diǎn)(3,4,5)處的切線與法平面方程。

21.求曲面片-2+孫=3在點(diǎn)以0(2,L0)處的切平面與法線方程.

22.拋物面/+y2=z被平面x+y+z=l截成一個(gè)橢圓.求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長與最短距離.

23.表達(dá)含參量X的正常積分定義.

24.表達(dá)含參量X的正常積分的連續(xù)性定理的內(nèi)容.

25.表達(dá)含參量X的無窮限反常積分定義.

26.表達(dá)含參量無的無窮限反常積分的一致收斂性定義.

27.表達(dá)含參量X的無窮限反常積分的一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)那么.

28.表達(dá)含參量反常積分一致收斂的狄利克雷判別法.

29.表達(dá)含參量反常積分一致收斂的阿貝爾判別法.

30.表達(dá)含參量反常積分的可積性定理內(nèi)容.

<?1,xb—xa

31.求/=1-----dx(b>a>Q).

J。Inx

-i(]\xb-xa

32.計(jì)算積分[sinIn-------dx(a>0,b>0).

Ix)Inx

33.計(jì)算

sinbx-sinax

dx(p>0,b>a).

x

并由此計(jì)算

、sinar,r+°°sinx,

1T(Za)=-------dx,IT=------dx

JoxJox

34.利用公式17一￡2公=手，計(jì)算

廣+oo_2

"(r)=Je~xcosrxdx.

35.利用可微性計(jì)算關(guān)于參數(shù)。的含參量反常積分

了/、r+°°sin。九7八八、八、

Ik(a)=e"--------dx(k>G.a>0).

并由此計(jì)算

、r+0°sinav,丁sinx,

1TZ(a)=-----dx,1=----dx

JoxJox

36.計(jì)算Jjylds,其中L為單位圓周/+y2=1.

37.計(jì)算，(x+y)dx+(y-z)dy+(z-x)dz,其中L為從(0,0,0)至!J(1,2,3)的直線段.

38.求積分J(5。4—2)公+(5x”—4x+sin/)力，其中曲線"A?與x軸圍成的面積為S.

C(B,A)

i

39.求j(3x2y+gy3Jr2x^lx+{<x+3盯？+4X+1)右，其中0：?+方=1.

40.求全微分(2盯+z2)dx+(2yz+%2)dy+(2zx+y2)dz的原函數(shù).

41.求。(％+丁磔力,其中。由y=匹丁2=%圍成.

D

42.jjj(x2+y2+z~)dxdydz,Vz2=x2+y2,f+丁十％2=R2卜之。)所圍成的有界閉區(qū)

V

域.

43.求[2+2]='—)(。>0力>0)與y=0所圍成區(qū)域。的面積.

\ab)ab

(22、22

44.求“sin?——+-^-辦"y,其中￡)是一-4--^-1.

45.求川'zdxdydz，其中V由z=-(x2+y2),%2+/+z2=4(z>0)所圍成的有界閉區(qū)域.

v3

46.求jjzdo,其中S:x2+y2+z2=6Z2(0</Z<Z<6Z).

s

47.求jjzdxdy,S是犬之+J十%?=4(％之0,丁之。)，取球面的外側(cè)為正側(cè).

s

48.設(shè)/(")具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求

/

、(C(2、、

q2y

+ydzdx+一f—+z3dxdy.

2J(zIz,)㈠IzJ

S\7

其中S為丁+%2=z2,y2+x2+z2=y2=人2(()<Q<a)所圍立體的外表的外側(cè).

49.求jj+sinz/dz+[gy3+cosx2]dzdr+1；z3,其中

S是

V={(x,y,z)|x2+V+%?K〃}的外表,取外側(cè)為正側(cè)g>0).

50.計(jì)算積分/=目xy2dydz+yz1dzdx+zx1dxdy,其中S是橢球面三++彳=1的

外側(cè).

2―xy+4

1.試求極限lim

(x,y)->(0,0)孫

解

limlim孫

(%,y)f(O,O)孫(x,y)-?(O,O)孫(2+J孫+4)

11

lim

(%,y)f(O,O)2+J盯+44

l-cos(x2+y2)

2.試求極限lim

(x,y)-?(O,O)

解由

22

?2%+y

20sin-------

「l-cos(x+y)x2+y2

lim--------------lim_______2

(%,y)f(O,O)(九2+2)xy(%,y)f(O,O)2_____2

2

=-xO=O

2

3.試求極限lim(x+^)sin—sin—.

(%,y)->(0,0)xy

解由于

lim(x+y)sin—sin—=lim(xsin—sin—+ysin—sin—

(x,y)-?(o,o)xy(x,y)-?(o,o)xyxy

又X=y2,

所以

limxsin—sin—=0limysin—sin—=0

(羽y)—(0,0)xy(%,y)f(O,O)%y

所以

lim(x+y)sin—sin—=0

(x,y)->(0,0)xy

4.試討論lim1產(chǎn)「

(x,y)f(0,0)x+y4

解當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿直線y=x趨于原點(diǎn)時(shí)，

-^^=0

lim-二lim—24

z0x+y…匯:+X

0

當(dāng)點(diǎn)（x,y）沿拋物線線x=V趨于原點(diǎn)時(shí)，

24i

lim=lim—~-=—

y-0x+yy-。y+y2

x=j2—>0

因?yàn)槎卟坏?，所以極限不存在.

5.試求極限lim,，—.

3(0,0)]1+犬+,2_1

解由

rx1+y2(x~+y~)(yjl+x2+y~+1)

limJ=-=lim-------------\2-----Zz-----------

(%,y)f(0,0)A_|__|_-y2(%,y)f(0,0)%+y

lim(Jl+x2+y2+1)=2

v

=(x,y)->(0,0)

6.〃=/(%+'町)，/有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，求竽，蘭.

oxoy

解令v=x+y,w=呼，

那么

du_dfdvdfdw_dfdf

dxdvdxdwdxdvdw

du_dfdvdfdw_dfdf

dydvdydwdydvdw

qdZ

7.z=arctan孫，y=夕x，求一.

dx

解由

dz1

一=-------(y+孫)

dxl+(xy)"

]ex(l+x)

(/+xex)=

l+(xe1)2l+x2e2x

8.求拋物面Z=21+y2在點(diǎn)V(l,l,3)處的切平面方程與法線方程。

解由于

z*.=4x,zy=2y

在M(l,l,3)處Zx(l,l,3)=4,z/l,l,3)=2.

所以，切平面方程為

4(x-l)+2(y-l)^z-3

即

4x+2y-z-3=0

法線方程為

x-1y-1z—3

9.求f(x,y)=2——孫—產(chǎn)一6x—3y+5在(1,—2)處的泰勒公式.

解由

%=1,%=-2,/(1,-2)=5

fx(x,y)^4x-y-6,工(1,-2)=0

fy(x,y)=-x-2y-3,/v(l,-2)=0

￡(x,y)=4,九(L—2)=4

=九(1,-2)=-1

4(x,y)=-2,/xv(1,-2)=-2

得

f(x,y)=5+2(%-1)2-(%-l)(y+2)-(y+2)2

10.求函數(shù)/(x,y)=e2x(x+/+2y)的極值.

解由于

2x22jc2x2

fx=2e(x+y+2y)+e=e(2+x+y+2y)=0

力=2e2y+l)=0

2x22x

fxx=2e(2+x+y+2y)+e,

%=e"(2+2y),

f=2e2x

解得駐點(diǎn)(—1,—1),yy

A=^(-l,-D=e2>0,5=14(-L-D=O,C=4，(-L-1)=2/

AC-52=2>0,A>0

所以(—1,—1)是極小值點(diǎn)，極小值為/(-l-l)=-2e-2.

11.表達(dá)隱函數(shù)的定義.

答：設(shè)XuR,YuR,函數(shù)E:XxFfR對(duì)于方程尸(x,y)=0,假設(shè)存在集合/uX與

JczY,使得對(duì)于任何xe/,恒有唯一確定的yeJ,使得(x,y)滿足方程尸(x,y)=0，那么稱由方

程尸(x,y)=0確定了一個(gè)定義在/上，值域含于，的隱函數(shù)。一般可記為y=/(x)x&I,yeJ.且

成立恒等式

F(x,f(x))=0,x&I.

12.表達(dá)隱函數(shù)存在唯一性定理的內(nèi)容.

答：假設(shè)尸(x,y)滿足以下條件：

⑴函數(shù)F在以痣(%,九)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域Ou心上連續(xù)；

(ii)F(xo,yo)^O［通常稱為初始條件)；

5)在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)工(羽)

(iv〕Fy(xo,yo)^O,

那么在點(diǎn)綜的某鄰域U(庶)u。內(nèi)，方程E(x,y)=0唯一地確定了一個(gè)定義在某區(qū)間(項(xiàng))+a)

內(nèi)的函數(shù)(隱函數(shù))y=/(》)，使得

gXEx

i/(%)=yo>(o+。)時(shí)(%,/(初6。(此)且網(wǎng)%,/(%))三0；

2°f(x)在(x0一tz,Xo+a)內(nèi)連續(xù).

13.表達(dá)隱函數(shù)可微性定理的內(nèi)容.

答：假設(shè)歹(x,y)滿足以下條件：

⑴函數(shù)F在以及(%,為)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域Ou心上連續(xù)；

lii)F(xo,yo)^O［通常稱為初始條件)；

liii)在D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)%,(x,y);

(iv〕Fy(xo,yo)^O,

又設(shè)在D內(nèi)還存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)工(x,y),那么由方程尸(x,y)=0所確定的隱函數(shù)在y=/(x)在其定

義域(X。-a,x()+tz)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且

工(尤一)

Fy(x,y)

14.利用隱函數(shù)說明反函數(shù)的存在性及其導(dǎo)數(shù).

答：設(shè)y=/(x)在/的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)尸(x),且/(與)=%；考慮方程

F(x,y)=y-f(x)=0.

由于

砥%,打)=0,Fy=l,工(%%)=-尸(x0),

所以只要/'(%)w0,就能滿足隱函數(shù)定理的所有條件,這時(shí)方程F(x,y)=y—/(x)=0能確定出在

的某鄰域U(y0)內(nèi)的連續(xù)可微隱函數(shù)x=g(y),并稱它為函數(shù)y=/(x)的反函數(shù).反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是

“、氏11

女(y)=--=--------=------.

月-尸(X)尸(X)

15.解：顯然尸(x,y)=/+式一3。町及工，工在平面上任一點(diǎn)都連續(xù)，由隱函數(shù)定理知道，在使得

233

Fv(x,y)=3(y—ox)w0的點(diǎn)(x,y)附近，方程x+y-3axy=0都能確定隱函數(shù)y=/(%)；所以，

它的一階與二階導(dǎo)數(shù)如下：

對(duì)方程求關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)(其中y是x的函數(shù))并以3除之，得

x2+y~y'-ay-axy'-0,

或

(龍2-@)+(V-<xt)y，=0.⑴

于是

y'=?一..(y2-ax^o\⑵

y-ax

再對(duì)⑴式求導(dǎo)，得：2x—紗'+(2抄'—a)，+(y2—奴)了"=0,即

y"(y2-ax)-lay2yy'2-2x.[3)

把(2)式代入[3)式的右邊，得

0,0,2°-2a3xy-2xy(x3+y3-3axy)

2ay-2yy_2x=-----------------；---------.

?(y~ax)2

再利用方程就得到

=2a③孫

丁一(y2-?x)3,

16.解：由于F(000)=0,￡(0旦0)=—1/0,￡工,工,￡處處連續(xù)，根據(jù)隱函數(shù)定理18.3,在原點(diǎn)

(0,0,0)附近能惟一確定連續(xù)可微得隱函數(shù)z=以x,y),且可求得它得偏導(dǎo)數(shù)如下:

3

dz_Fx_yz+2x

dxF.l-3xyz2'

32

dz_Fy_xz+3y

dyF,1-3xyz2

17.解:⑴令F(x,y,z)=x?+/+z?-3盯z,那么有

Fx=2x-3yz,Fy=2y-3xz,F,=2z-3xy.

由于/(6)=0,Fx,Fy,匕均連續(xù)，且

工(4)=H?)=T/0，

故在點(diǎn)6(1,1,1)附近由上述方程能確定隱函數(shù)y=y(z,x)和z=z(x,y).

(2)當(dāng)月w0時(shí)，由定理知

—工—2x-3yz.

"Fv2y-3xz'

同理，當(dāng)￡/0時(shí)，由定理知

工—2x-3yz

ZX-一_

于是求得

3

力(x,y(z,x),z)=<+于2yx=+2xyzyx

2xyz3(2x-3yz)

=y2z3---------------------,

2y-3xz

2322

fx(x,y,z(x,y))二力+f3zx=yz+3xyzz^

3xy2z2(2x-3yz)

=y2z3-----------------------.

2z-3xy

并且有

，①=，(Ll,z(l,l))=-2.

18.解：首先，尸(兄)=650)=0,即耳滿足初始條件.再求出F,G的所有一階偏導(dǎo)數(shù)

工=-2羽工=-l,Fu=2u,Fy=2v,

Gx=-y,Gy=-x,Gu=-l,Gv=l.

容易驗(yàn)算，在點(diǎn)外處的所有六個(gè)雅可比行列式中只有

d(￡G)F,F-44

v==0.

1

S(x,v)PG,

因此，只有九,v難以肯定能否作為以y,a為自變量的隱函數(shù).除此之外，在尸。的近旁任何兩個(gè)變量

都可作為以其余兩個(gè)變量為自變量的隱函數(shù).

如果我們想求得先=式”,丫),y=丁3,丫)的偏導(dǎo)數(shù)，只需對(duì)方程組分別關(guān)于M力求偏導(dǎo)數(shù)，得到

2u-2xxu-yu=0,

[1-%,一孫,=0，

2v-2xx-y=0,

<vv12J

1-孫，一％,=0.

由(1)解出

2xu+12x+2yu

xu，先=一"

2x-y72~x1~-y-

由(2)解出

2xv-l2x-2yv

—，%=一?

2x-y2x-y

19.解：設(shè)

F(x,v)=M2+v2+x2+y2-1,

G(x,y,u,v)=u-v+xy.

(1)￡G關(guān)于的雅可比行列式是

3(尸,G)2u2v

11=-2(M+v),

d(u,v)

當(dāng)“w—y時(shí)，在滿足方程組的任何一點(diǎn)(x,y,〃,v)的一個(gè)鄰域內(nèi)，由方程組可以唯一確定a,v是演y的

可微函數(shù)；

⑵￡G關(guān)于羽M的雅可比行列式是

3(尸,G)2x2u

=2(x-uy),

d(x,u)y1

當(dāng)時(shí)，在滿足方程組的任何一點(diǎn)(x,y,%v)的一個(gè)鄰域內(nèi)，由方程組可以唯一確定九,M是的

可微函數(shù).

20.解:設(shè)F(x,y,z)=x2+y2+z2-50,G(x,y,z)=x2+y2-z2.它們在(3,4,5)處的偏導(dǎo)數(shù)和雅可

比行列式之值為：

8F「dF8F

-=o,——xQ,—=10,

oxdydz

dG5G

至=8o，右=-10,

ox

和

臾F,G)gg=i20,a(F,G)二0

—luU,

a(y,z)d(z,x)d(x,y)

所以曲線在(3,4,5)處的切線方程為：

x-3_y-4_z-5

-160-120-0,

即

3(x—3)+4(y—4)=0,

[z=5.

法平面方程為

-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0,

即

4x-3y=0.

21.解：令尸(羽y,z)=，-z+孫一3,那么

z

Fx(x,y,z)=y,Fy(x,y,z)=x,Fz(x,y,z)=e-1,

故工1=1,Fy\M=2,可a=0,因此曲面在點(diǎn)此(2,1,0)處的法向量為

〃=(1,2,0),

所求切平面方程為

l.(x-2)+2-(y-l)=0,

即

x+2y-4-0.

法線方程為

x-2y-1

<1

z=0,

即

2x-y-3=0,

z=0,

22.解：這個(gè)問題實(shí)質(zhì)上就是要求函數(shù)

f(x,y,z)=/+>2+z2[空間點(diǎn)(x,y,z)到原點(diǎn)(0,0,0)的距離函數(shù)的平方)

在條件/+丁2—z=0及x+y+N—1=0下的最大、最小值問題.應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，

令

L(x,y,z,A,〃)=+y2+z-+/l(尤2+y—z)+〃(x+y+z_1).

對(duì)L求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令它們都等于0,那么有

Lx=2%+2x2+4=0,

Ly=2y+2yA+4=0,

<Lz=2z—2+4=0,

22

LA=X+y-Z=Q,

LR=%+y+z-l=0.

求得這方程組的解為

A=—3±—V3,//=—7+—V3,

33

與x=y=_1^,Z=2+73.(1)

11)就是拉格朗日函數(shù)L(x,y,z,/l,〃)的穩(wěn)定點(diǎn)，且所求的條件極值點(diǎn)必在其中取得.由于所求問題存

在最大值與最小值(因?yàn)楹瘮?shù)在有界閉集kx,y,z),2+y2=z,x+y+z=l｝上連續(xù)，從而必存在最大

值與最小值)，故由

小￥白烏2.唐、

(22J

所求得的兩個(gè)值9干5g,正是該橢圓到原點(diǎn)的最長距離,9+與最短距離,9-5g.

23.表達(dá)含參量X的正常積分定義.

答：用積分形式所定義的這兩個(gè)函數(shù)

/(x)=/(x,y)dy,xe[a,b]⑴

與F(%)=f(x,y)dy,xe[a,b],⑵

Jc(x)

通稱為定義在[a,"上含參量x的〔正常〕積分，或簡稱含參量積分.

⑴式的意義如下：設(shè)/'(x,y)是定義在矩形區(qū)域R=[a,同義卜,司上的二元函數(shù)。當(dāng)x取[。用上

某定值時(shí)，函數(shù)于(x,y)那么是定義在卜,村上以y為自變量的一元函數(shù).倘假設(shè)這時(shí)于(x,y)在卜,d]可

積，那么其積分值是尤在上取值的函數(shù)，記它為/(x),就有/(x)=e[a,4.

⑵式的意義如下：一般地，設(shè)/Uy)為定義在區(qū)域G=｛(x,y)|c(x)W”d(x),a4x/｝上

的二元函數(shù)，其中c(x),d(x)為定義在上的連續(xù)函數(shù)，假設(shè)對(duì)于上每一固定的x值，f(x,y)

作為y的函數(shù)在閉區(qū)間［c(x),d(x)］上可積，那么其積分值是x在上取值的函數(shù)，記作F(x)時(shí)，

就有F(x)=［d'f(x,y)dy,xe［a,b］

Jc(x)

24.表達(dá)含參量X的正常積分的連續(xù)性定理的內(nèi)容.

答：設(shè)二元函數(shù)/'(x,y)在區(qū)域

G={(x,y)|c(x)<y<d(x),a<x<b\

上連續(xù)，其中c(x),d(x)為上的連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)

/(九)=『')/(羽y)dy⑹

Jc{x)

在［a,同上連續(xù).

25.表達(dá)含參量x的無窮限反常積分定義.

答：設(shè)二元函數(shù)于(x,y)定義在無界區(qū)域R={(蒼y)\a<x<b,c<y<4<。}上，假設(shè)對(duì)于［a,b］上每

一固定的x值，反常積分

￡f+00f(x,y)dy(1)

都收斂，那么它的值是x在［a,同上取值的函數(shù)，當(dāng)記這個(gè)函數(shù)為/(x)時(shí)，那么有

/(x)=￡+/(x,y)dy,x^［a,b］,

稱⑴式為定義在［a,"上的含參量x的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常積分.

26.表達(dá)含參量無的無窮限反常積分的一致收斂性定義.

答：假設(shè)含參量反常積分JPc+00/(x,y)dy與函數(shù)/(x)=P(+00/(x,y)dy對(duì)任給的正數(shù)￡，總存在某一實(shí)數(shù)

N>c,使得當(dāng)A/>N時(shí)，對(duì)一切xe［a,6］,都有

Jcf(x,y)dy-I(x)<s,

即

r+oo

“于(X,y)dy<e,

JM

那么稱含參量反常積分在［a,句上一致收斂于I(x),或簡單地說含參量積分

/(x,y)dy在［a㈤上一致收斂.

27.表達(dá)含參量x的無窮限反常積分的一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)那么.

答：含參量反常積分辦在上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給正數(shù)￡，總存在某一實(shí)數(shù)

A/>c，使得當(dāng)A，4>M時(shí)，對(duì)一切xe［a,6］,都有

f(x,y)dy<￡.

28.表達(dá)含參量反常積分一致收斂的狄利克雷判別法.

答：設(shè)

⑺對(duì)一切實(shí)數(shù)N>c,含參量正常積分1/(x,y)dy對(duì)參量x在上一致有界，即存在正數(shù)M,

對(duì)一切N>c及一切xe［。力］,都有

￡f(x,y)dy<M;

(")對(duì)每一個(gè)xe函數(shù)g(x,y)關(guān)于y是單調(diào)遞減且當(dāng)yf+00時(shí)，對(duì)參量x,g(x,y)一致

地收斂于0.

那么含參量反常積分

Jc/(x，y)g(x,y)dy

在［a,“上一致收斂.

29.表達(dá)含參量反常積分一致收斂的阿貝爾判別法.

答：設(shè)

⑺「°/(x,y)dy在上一致收斂；

(方)對(duì)每一個(gè)xe［a,“，函數(shù)g(x,y)為y的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)參量x,g(x,y)在上一致有界,

那么含參量反常積分

p+oo

L/(x,y)g(x,y)dy

在［a,“上一致收斂。

30.表達(dá)含參量反常積分的可積性定理內(nèi)容.

答：設(shè)/(x,y)在［a,"x［c,48)上連續(xù)，假設(shè)/(x)=「°/(x,y)dy在［a,“上一致收斂，那么/(x)

在［a,同上可積，且

rbp+cor+oo

dx\/(%,y)dy=dy\f(x,y)dx.

JaJcJcJa

設(shè)于(x,y)在［。,小卜卜,內(nèi))上連續(xù).假設(shè)

(0J"/(x,y)dx關(guān)于y在任何閉區(qū)間［c,d］上一致收斂,「°f(x,y)dy

關(guān)于x在任何區(qū)間［a,“上一致收斂；

(方)積分1°dx[°|/(x,y)@與(|f(x,y)\dx(18)

中有一個(gè)收斂，

那么(18〕中另一個(gè)積分也收斂，且

,+OOp+oor+o--OKOp+c-o-KO

dx\/(x,y)dy=dy\/(%,y}dx.

JaJcJcJa'a

bba

31.解：因?yàn)?-x，所以/=,bxydy.由于函數(shù)x＞在R=[0,1卜[a,同上滿足定理

JaInX'a

19.6的條件，所以交換積分順序得到

1+y1+a

32.解:因?yàn)?/p>

Xh-Xa

limsin|In—

x->0+XInx

limsin|In—?二0

%—>0-XInx

所以該積分是正常積分.

交換積分次序，得

sinfin-xb-xa

■dx=IsinIIn—dy.

10Inx0X

在上面的內(nèi)層積分中作變換ln4=a，有

X

in[in—=J；sinudu=1

/sin

0i+(y+i)2'

于是

b?b1

/sinHn--dy=arctan(Z?+1)-arctan(〃+1).

ao。l+O+l)?

解法二：取b為參量，利用積分號(hào)下求導(dǎo)數(shù)的方法，有

/0)=￡sin卜]

xbdx-----------

1+(1+6)2

積分上式，可得

[(b)=arctan(Z?+1)+c

由于/(〃)=0,即有c=-arctan(〃+l)，于是有

I=[(b)=arctan(Z7+1)-arctan(<7+1).

SE、『smbx-smax

33.解：因?yàn)?------------=cosxydy,所以

xJa

fM_sinbx-sinax,嚴(yán)/心\

/T=J。epx------------dx=J。e夕(Jcosxydyjdx

p+oo<b_

=J。dxje~pxcosxydy［21)

由于k”cos孫|<e"x及反常積分收斂，根據(jù)魏爾斯特拉斯M判別法，含參量反常積分

「+00_

J。e~pxcosxydx

在［。㈤上一致收斂.由于e*cos孫在［0,xo)x［。用上連續(xù)，根據(jù)定理19.11交換積分⑵)的順序,

積分I的值不變.于是

=J“dyJ。e^^xydx=\a-r-^dy

ba

=arctan---arctan—.

PP

在上述證明中，令b=G,那么有

?、r+0°_”sinor,a

F(p)=ep-----dx=arctan—(zp>0),(22)

Joxp

由阿貝耳判別法可得上述含參量反常積分在220上一致收斂.于是由定理19.9,尸(p)在夕20上連續(xù)，

且

方(0)=「空竺五

又由(22)式

(2jl

1(a)=F(0)=limF(p)=limarctan—=—sgna.

P-0+p-o+p2

77

在上式中，令a=l,那么有/=—.

2

34.解：由于e^cos。We*對(duì)任一實(shí)數(shù)「成立及反常積分「e”收斂①，所以原積分在

Jo

re(一8,+oo)上收斂.

考察含參量反常積分

p+oo/_2\'p+oo_2.

J。cosrxj公=J0~xe~xsinrxdx,(24)

由于一九""sinzx|<xe~x~對(duì)一切％>0,-8<r<+8成立及反常積分、dx收斂,根據(jù)魏爾斯特

拉斯M判別法，含參量積分［24)在(-8,+o))上一致收斂.

綜合上述結(jié)果由定理19.10即得

,p+oo_2pA_2

(P(