2024年高考數(shù)學復習突破 零點存在的判定與證明

第5講零點存在的判定與證明

零點問題是導函數(shù)的一個重要研究方向，也是一個重點和難點，屬于一元等式問題，

其求解需要綜合前面的極值、單調(diào)性和最值來考慮.而極值點本身又是導函數(shù)的零點,所

以這里會層層環(huán)繞,分析起來比較麻煩,這是零點問題的一個難點.第二個難點是結(jié)合函

數(shù)單調(diào)性和零點存在定理來賦值找零點，這里會涉及不等式放縮法,如果不太理解賦值

問題,等學習了不等式放縮法后，專門講解賦值問題，那時再回過頭來理解.下面我們先

來學習與零點相關的定義和定理.

1.函數(shù)的零點：一般的，對于函數(shù)y=/(%),我們把方程/(x)=0的實數(shù)根/叫作

函數(shù)y=/(%)的零點.

2.零點存在性定理:如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,可上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲

線，并有/(a)/(/?)<0，那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點，即

3x0使得=0.

注意:零點存在性定理使用的前提是/(%)在區(qū)間［a,可連續(xù),如果/(%)是分段的，那么

零點不一定存在.

3.零點存在定理的推論:若/(力在［a,b］上是嚴格單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，

則在(。力)的零點唯一.

4.函數(shù)的零點,方程的根,兩圖像交點之間的聯(lián)系.

設函數(shù)為y=/(x),則“X)的零點即為滿足方程〃力=0的根，若〃x)=g(x)—

放力，則方程可轉(zhuǎn)變?yōu)間(x)=/l(x),即方程的根在坐標系中為g(x),〃(x)交點的橫坐

標,其范圍和個數(shù)可從圖像中得到.

由此看來，函數(shù)的零點，方程的根，兩圖像的交點這三者各有特點，且能相互轉(zhuǎn)化：函數(shù)

/(%)的零點=方程/("=0的根方程變形方程g(x)=h(x)的根=函數(shù)g(x)與

h(x)的交點.在解決有關根的問題以及已知根的個數(shù)求參數(shù)范圍這些問題時要用到這

三者的靈活轉(zhuǎn)化.

【例】對于方程lux+x=0,無法直接求出根，可以拆分構(gòu)造函數(shù)lux=-x圖像的交點,

畫出圖像可判定其零點必在中.

求無參函數(shù)零點

求解無參函數(shù)零點的一般解題步驟：

第一步:利用導函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點，畫出函數(shù)大概的趨勢圖（能夠描述函

數(shù)性質(zhì)的圖像）.

第二步:在嚴格的單調(diào)區(qū)間［a,可上找點，使得在上存在唯

一零q八占八.

注意:若在區(qū)間［。,可，，存在唯一極大值,且極大值小于零或者存在唯一極小值,且極小

值大于零,則這個區(qū)間可上不存在零點.

【例1】已知函數(shù)/（%）=%------41nx.

⑴求“X）的單調(diào)區(qū)間.

⑵判斷“X）的零點的個數(shù)，并說明理由.

【解析】⑴由題意知，“力的定義域為（0,+8）,

x~—4x+3

令/'(X)=。，得x=l或x=3,

/.當/'（九）>0,即0<%<1或%>3時,/（%）單調(diào)遞增.

當了'(X)<0,即1<%<3時，/(x)單調(diào)遞減.

.-./(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)和(3,+“)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

⑵由⑴題可知，當0<%,3時，/(%)?/⑴=—2,

/(X)在(0,3］上無零點.

3312

當x>3時，y(e)=e-4->0>

又/(%)在(3,+“)上單調(diào)遞增，

/(%)在(3,+“)上僅有一個零點.

綜上可知，函數(shù)/(%)在(0,+“)上僅有一個零點.

【例2】已知函數(shù)/(%)=:%3一f一3x-2(xeR).

⑴求函數(shù)〃尤)的單調(diào)區(qū)間.

⑵判斷函數(shù)/(%)零點的個數(shù),并說明理由.

【解析】⑴由題意得/'(%)=>—2x—3,

令/'(x)=0得石=-1,々=3.

"%)與/'(x)在區(qū)間(-a,+“)上的情況如下表所示:

X(—8,—1)-1(-13)3（3,+8）

/'("+0—0+

/（X）單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

~3-11

函數(shù)在區(qū)間（-8,-1）,（3,+⑹上單調(diào)遞增.

函數(shù)/（九）在區(qū)間（-1,3）上單調(diào)遞減.

（2）根據(jù)（1）題，由函數(shù)單調(diào)性可知：

當x=—1時，/（%）有極大值/（—1）=-

當％=3時，/（九）有極小值/⑶=—11.

在區(qū)間（-00,-1）單調(diào)遞增,在區(qū)間（-1,3）上單調(diào)遞減,

可知在（-8,3）上，恒有/（X）＜0,無零點.

當％=9時，〃9）＞0.（舉【例】不唯一）

函數(shù)在（3,+“）上單調(diào)遞增，由零點存在定理可知，

有且只有一個實數(shù)fe（3,+“），使得/（，）=0.

函數(shù)/（x）有且只有一個零點.

討論含參函數(shù)零點個數(shù)一一分類討論

討論含參函數(shù)y=/(后,％)在區(qū)間［a,可上零點個數(shù)的一般解題步驟：

第一步：利用導函數(shù)求出原函數(shù)的單調(diào)性和極值點，通常極值點/用參數(shù)表示：

%=g化).

第二步:討論出函數(shù)在區(qū)間［a,可上的單調(diào)性,通常分為極值點％=g(。在區(qū)間［a,可的

左、中、右三種情況討論.

第三步:結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和極值/(%)和零點存在定理的推論來確定零點個數(shù),我們通

常分為情況討論：

(1)函數(shù)在區(qū)間［a,可上嚴格單調(diào),若滿足0n/(x)在(a,b)上存在唯一零

點.若不滿足/(a)/(Z?)<0=>/(%)在(a,b)上不存在零點.

(2)若在區(qū)間［a,可上,存在唯一極大值/(%),則分為下面三種情況：

①極大值/(%)<0/(%)在(。力)上不存在零點.

②極大值/伉)=0/(x)在(a,上存在唯一零點.

③極大值〃％)>0=>若〃。)<0,f(b)<0,則外力在(a,。)上存在兩個零點.若

f(a)(0,f(b))0,則〃龍)在(0力)上存在一個零點.若/(可>0,/。)>0,則“同在

(a,。)上無零點.

【例1】已知函數(shù)/(x)=e*—ax—l(aeR,e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))，討論

y=〃尤)在區(qū)間［0』上零點的個數(shù).

【解析】/(x)=e￥-av-l,

/f(x)=eA-a

⑴當6,1時，/(%)在(O,+“)上單調(diào)遞增且/(O)=O,

.-./(x)在［0,1］上有一個零點.

⑵當a.e時，在上單調(diào)遞減，

."(X)在［0,1］上有一個零點

⑶當l<a<e時，〃尤)在(0,Ina)上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

而/(l)=e-a-l,

①當e—a—L0,即1<④e—1時，/(%)在［0』上有兩個零點.

②當e-a-l<0,即e-l<a<e時，”力在［0,1］上有一個零點.

綜上所述,當冬,1或a>e-l時，〃尤)在［0,1］上有一個零點.

當1<6,e—1時，/(可在［0,1］上有2個零點.

［例2］已知函數(shù)g(x)=底--V其中?是自然對數(shù)的底數(shù)，。eR,討論函數(shù)g⑴零

點的個數(shù),并說明理由.

【解析】g［x}=XeX-a-X1=X(QX-a-X).

由g（尤）=0,得X=0或e*-a_龍=0.

設皿=。。-％,又/z(O)=e—"wO,即％=0不是力(力的零點.

只需再討論函數(shù)可可零點的個數(shù).

〃(%)=尸-1,

二.當三時，單調(diào)遞減.

當xw(a,+8)時，〃Q)>O,/z(x)單調(diào)遞增.

當％=a時，h(x)取得最小值h(a)=l-a.

①當力(〃)>0,即QV1時,無零點.

②當/z(a)=O,即a=l時，力(%)>0,/z(x)有唯一零點.

③當力(〃)<0,即時，

/z(0)=e-">0,

/z(x)在(一8,〃)上有且只有一個零點.

令x=2〃，則h(2a)=e"-2a.

設姒。)=h(2a)-ea-2a(a>1),則"(a)=e"-2>0,

0(。)在(L+8)上單調(diào)遞增.

V〃￡(l,+8),者R有°(a)..0(l)=e-2>0

.,./z（2a）=0（Q）=e"-2a>0.

.,./?(%)在(0,+8)上有且只有一個零點.

二當a>1時，/z(x)有兩個零點.

綜上所述，當。<1時，g(x)有一個零點.

當。=1時，g(x)有兩個零點.

當a>l時，g(x)有三個零點.

求含參函數(shù)零點個數(shù)一一參變分離

【例1】已知函數(shù)/(x)=ex—ax(aeR)(e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))，求函數(shù)

/(%)的零點的個數(shù).

【分析】由e=公=0,得a=2(xwO),構(gòu)造函數(shù)g(x)=f，然后利用導數(shù)求出其單

X

調(diào)區(qū)間和極值,畫出此函數(shù)的圖像,再判斷圖像與直線y=a的交點情況,從而可得答案.

【解析】顯然0不是函數(shù)〃力的零，點，由e=公=0得a=2(xwO).

令g("=『，貝Ug'(x)=e(；I>

%<0或0<]<1時，g'(x)VO.x>l時，g'(x)>0.

.?.g(x)在(-8,0)和(0,1)上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù).

x=1時g(x)取極小值e,

又當x<0時，g(x)<0,

e

0?a<e時，關于x的方程a=—無解.

x

a=e或。<0時關于x的方程a=J只有一個解.

x

a〉e時,關于x的方程a=一有兩個不同解.

x

因此O,,a<e時函數(shù)八％)沒有零點.

a=e或a<0時函數(shù)“X)有且只有一個零點.

a〉e時，函數(shù)/(%)有兩個零點.

由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍一一分類討論

這里分類討論的步驟和前面討論零點個數(shù)的步驟類似,不再復述,不同的是需要選

取符合題設零點個數(shù)要求的參數(shù)范圍，以及會用不等式放縮來賦值找零點(在后面的章

節(jié)中會有詳細講解)，我們也可以通過取極限的方式來粗糙地確定零點，在考試時，這也

是一種較快的解題方式,一般來說,判卷不嚴格也算對，但也可能會扣分.

【例1】已知函數(shù)/(x)=hix-ar(aeR).

⑴討論“X)的單調(diào)性.

⑵若/(%)有兩個零點,求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】⑴函數(shù)〃x)=lnx-依的定義域為(0,+力).

X

①當6,0時，由/'(x)>0,知函數(shù)y=/(x)在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

②當a>0時：由f'(x)>0,即工一a>0得0<x<2.

由/'(x)<0,即，一a<0得x〉L.

xa

：.函數(shù)y=/(x)在，￡|內(nèi)單調(diào)遞增,在(：，+”］內(nèi)單調(diào)遞減.

綜上，當④0時，y=/(x)在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增.

當a>0時，y=/(x)在卜口內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

⑵當④。時，則函數(shù)y=/(%)在(0,+“)上為增函數(shù)，函數(shù)y=f(x)最多一個零點,不

合乎題意,舍去.

當a>0時，由⑴題知，函數(shù)y=/(x)在，J內(nèi)單調(diào)遞增，在，,+力］內(nèi)單調(diào)遞減.

且當X—。時，-—8.當X—+8時，—8，

則/(^］=ln，一l=-Ina-1>0,即Ina<-1,解得0<a<—.

yaJae

因此,實數(shù)a的取值范圍是.

【例2】已知函數(shù)/（x）=ele，一2（a+l）］+2狽，（e為自然對數(shù)的底數(shù)，且a,,l）.

（1）討論〃龍）的單調(diào)性.

（2）若/（九）有兩個零點，求。的取值范圍。

【解析】（1）/'（%）=eA'［ex-2（?+1）］+ev?e"+2?

=2e2'v-2（a+l）e￥+2a

=2（er-l）（er-?）.

①當a,,0時,ex-a>0,則

當x<0時，/'（x）<0,故在（一oo,0）單調(diào)遞減.

當x>0時，/'（X）>0,故/（X）在（0,+>）單調(diào)遞增.

②當a>0時，由/'（尤）=0得石=lna,x2=0.

若a=l,則/'（x）..0,故〃尤）在R上單調(diào)遞增.

若0<。<1,則

當x<lna或x>0時，故/（%）在（-oo,lna）和（0,+oo）單調(diào)遞增.

當lna<x<0時，f'（x）<0,故/（%）在（。。,0）單調(diào)遞減.

（2）①當a=1時，/（九）在R上單調(diào)遞增,不可能有兩個零點.

②當0<a<l時，"％）在（一。,lna）,（0,+oo）單調(diào)遞增，在（lna,0）單調(diào)遞減,

故當光=Ina時，〃尤)取得極大值,極大值為f(infl)=-a(a+2)+2alna<0.

此時，/(%)不可能有兩個零點.

③當a=0時，/(無)=產(chǎn)(/—2),由/(x)=0得x=ln2.

此時，/(%)僅有一個零點.

④當a<0時，/(%)在(-8,0)單調(diào)遞減.在(0,+8)單調(diào)遞增.

/(力有兩個零點，???/(())<0.

角星Q>..*?<Q<0.

22

而/(l)=e[e-2(a+l)]+2a>0.

取b<("；1)，則/e)=[e&—(a+1)]2-(?+1)2+2ab>[?-(?+1)]2..O.

故/(x)在(-8,0),(0,+。)各有一個零點.

綜上，。的取值范圍是；,o]

[例3]已知函數(shù)/(x)=2xe*-av-alrLY(aGR),若函數(shù)/(九)有兩個零點,求實數(shù)a

的取值范圍.

【解析】函數(shù)/(九)的定義域為(0,+“).

X+12xeQ

由/'(x)=2(x+l)eX_a_V=(x+l).^2ex=(X-).

①當④0時，/'(力>0,此時/(%)單調(diào)遞增，最多只有一個零點.

②當〃>0時,令g(x)=2xe%

由g'(x)=2(x+l)e%>0,可知函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

又g(0)=-QvO,g(Q)=2ae"-a-〃(2e"-1)>0,

可得存在毛￡(0,Q),使得g(毛)=0,

有X°eM=g可知函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,%)，單調(diào)遞增區(qū)間為(毛，+8)-

若函數(shù)/(九)有兩個零,點,必有

xx

J(x0)=2%0e°-ax0-tzlnx0=a-a(^x0+lnx0)=a-tzln(tzoe°)=a-aln^<0

得Q>2e.

令力(x)=x-lnx,有”(x)=l--=--

令”(x)>0,可得力>1.

故函數(shù)入⑺的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+⑹，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),有

/z(x)../z(l)=l^>x-lnx>l.

當x>lna時，e*>?,/(%)=x(2ex-a^alnx>ar-?lnx=a(x-lnx)..?>0.

可得此時函數(shù)/(x)有兩個零點.

由上可知,若函數(shù)〃尤)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是(2e,+“).

由零點個數(shù)求參數(shù)取值范圍一一參變分離

參變分離法解已知含參函數(shù)y=在區(qū)間［a,可上零點個數(shù)，反求參數(shù)取值范

圍問題的一般步驟：

第一步：y=/(左㈤的零點o方程/(左㈤=0的解,參變分離后得k=g(x).

第二步:利用導函數(shù)研究出函數(shù)g(x)的函數(shù)圖像.

第三步:討論常值函數(shù)左和函數(shù)g(x)圖像在區(qū)間［a,可上的交點個數(shù)，即為y=/(左㈤

在區(qū)間［a,可上零點個數(shù).

［例1］已知函數(shù)/(x)=hix-依(ZeR),若〃龍)有唯一零點，求左的取值范圍.

【解析】由/("=lnx—日有唯一零點,可得方程Inx—丘=0,即左=一有唯一實根.

令Mx)=則，則〃")=匕學

XX

由>0,得0vxve.由"(x)<0,得x〉e.

在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+。)上單調(diào)遞減.

/z(x)?/z(e),

又MD=o,

.,.當0<xvl時，/z(x)<0.

又當時，h(x)=——>0,

由h(x}=—得圖像(如下圖所示)可知，k=L或匕o.

xe

［例2］已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2)，若〃尤)有兩個零點,求a的取值范圍.

【解析】若/(%)有兩個零，點，即e*—a(x+2)=0有兩個解.

ex

從方程可知，1二-2不成立,即。=——有兩個解.

x+2

exel'(x+2)-exel(x+1)

令h(x)=(xw—2),則有〃(尤)=

x+2(尤+2)2~(尤+2)2

令”(%)>0,解得x>-l.令解得尤<一2或一2<%<—1.

函數(shù)可力在-2)和(-2,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+“)上單調(diào)遞增,

且當％<-2時，/z(x)<0,

而xf-2+時,+?當x—時,〃(尤+8.

.?.當口=—J有兩個解時,

x+2

Wa>/z(-l)=-,

工滿足條件的a的取值范圍是

【例3】已知函數(shù)/(x)=(2-x)eA+a(無