2024屆高三 《數(shù)列遞推式數(shù)列求和》補(bǔ)充作業(yè)20 試卷含答案

一輪復(fù)習(xí)補(bǔ)充作業(yè)20《數(shù)列遞推式，數(shù)列

求和》

1.已知函數(shù)/(X)=(2X+2)2,數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S"滿足/(〃)=S“M+S"，下列說(shuō)法正

確的是()

A.《+出=12

B.數(shù)列｛4｝的偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列

C.若q=4,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為%=4〃

D.若%=。，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為*=4〃+(8-2a)x(-I)"-2

2.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)。用他名字定

義的函數(shù)稱為高斯函數(shù)/(x)=[x],其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，已知數(shù)列｛%,｝滿足

q=2,%=5,an+2+4an=5an+l,若包,=[log,an+l],熾｝為數(shù)列\(zhòng)^――1的前〃項(xiàng)和,

bb

[nn+lJ

貝U“2022]=-----------

3.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,出“=的”-1+(一1)"，出.+1=。2”+3"(〃€川)，則數(shù)列｛%｝的

前202項(xiàng)和為

*(4Z+1

4.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,%+1=2%+1(〃eN),記數(shù)列｛;——-±----｝的前〃項(xiàng)

\an+2)(凡+1+

和為《，若對(duì)于任意的〃￡N*，不等式左>北恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是

5.已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為=1,且滿足4+1-4=(-；)"(〃€N*),則存在正整數(shù)〃，使得

(an-㈤(。用-4)<0成立的實(shí)數(shù)4組成的集合為

6.(多選)已知數(shù)列｛4｝滿足出=8,%=2(7"?*_]+〃&_],數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為S”,

1

且a=log2(a2?+2?&"-1)T0g2(%〃?%〃+i)，貝K)

a4

A.——oB.a｛-a4=336

Q3

c.數(shù)列｛‘"｝為單調(diào)遞增的等差數(shù)列D.S,〉4,正整數(shù)〃的最小值為31

a2n-l

7.大衍數(shù)列來(lái)源于《乾坤譜》中對(duì)易傳"大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化

中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過(guò)程.已知大衍數(shù)列｛4｝滿足%=0,

+〃+1,〃為奇數(shù)

??+i[%+凡〃為偶數(shù)則（)

A.牝=6B.?！?2=%+2（"+1）

口,〃為奇數(shù)

C〃」2

D.數(shù)列｛（-1）"?！保那?〃項(xiàng)和為"（"+1）

J篦2

匯，〃為偶數(shù)

[2

8.已知數(shù)列｛%｝滿足。“+。用=2x（-1）〃eN*,且％=1，貝【J（）

A.%=-7B.數(shù)列｛a2n-\｝是等比數(shù)列

n

C.數(shù)列弧1｝是等差數(shù)列D.數(shù)列——的前〃項(xiàng)和為

aa14〃一49

[?n+l

9.數(shù)列｛。,｝首項(xiàng)％=2,對(duì)一切正整數(shù)〃，都有/4=2%-1,則（

A.對(duì)一切正整數(shù)〃都有%>1B.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減

C.存在正整數(shù)〃，使得%=2?“D.￥二（"eN*）都是數(shù)列｛a,｝的項(xiàng)

10〃一1

10.（多選）斐波那契數(shù)列｛4｝滿足/=出=1，4=??-1+4-2（〃N3），邊長(zhǎng)為斐波那契數(shù)%

的正方形所對(duì)應(yīng)扇形面積記為eN*）,則（）

A.3an=an_2+an+2(n>3)B.+a2+a3+???+a2019=a202i+1

71Ji

C-~W2020—^2019)~^2018,^2021D.4+仇+aH^2020=1〃2020.。2021

11.(1)已知數(shù)列｛4｝滿足5%+2+4%+I-%=0,若%=2,出=*,則｛%｝的通項(xiàng)公式

為_(kāi)____________

na

(2)已知數(shù)列｛%｝滿足%=L%=-----1T(〃22,〃eN*),則｛為｝的通項(xiàng)公式

為_(kāi)____________

a_g

(3)已知數(shù)列｛%｝滿足4+1=,?1=1,則｛??｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)____________

一3

（4）已知數(shù)列｛4｝中，%=1,。“=—、%_]+2〃?3"-2（〃22.eN*）,則｛%｝的通項(xiàng)公

n-1

式為_(kāi)____________

ab

（5）已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足q=白，且對(duì)任意〃eN*都有％+4=1,上皿=汽彳，

%1-4

則數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為

（6）已知數(shù)列｛%｝和內(nèi)｝滿足4+1=%+/=""+”+i,且/=24=1,則數(shù)

56

列｛%｝的通項(xiàng)公式為，也,｝的通項(xiàng)公式為

12.分形幾何在計(jì)算機(jī)生成圖形和游戲中有廣泛應(yīng)用.按照如圖1所示的分形規(guī)律可得如圖2

所示的一個(gè)樹(shù)形圖.設(shè)圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為對(duì),則％=，數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

an=___

13.如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫（〃.%KoM）在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作

法是：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外

作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花"狀的曲線.

設(shè)原三角形（圖1）的邊長(zhǎng)為1,把圖1,圖2,圖3,L中的圖形依次記為Mj,M2,

M，…，貝1]屈3的邊數(shù)Nj=,所圍成的面積S“=.

14.在數(shù)列｛%｝中，%=l,a.+i=〃,〃eN*,則&=,｛%｝的前2022項(xiàng)

和為_(kāi)___________

15.已知數(shù)列｛??｝的首項(xiàng)為=2,且滿足（??+1-an-3）（%+1-2。"）=0對(duì)任意〃eN*都成立,

則能使am=2023成立的正整數(shù)m的最小值為

16.⑶為不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)%為函數(shù)=xe[0,"）的值域中所有元素的個(gè)

數(shù).若數(shù)列」^的前〃項(xiàng)和為E,,貝1邑。22=_______.

[an+2n\

a〃

17.已知數(shù)列｛與｝滿足%＞0,—=—~,記數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，則

0n十〃—1

an+\~?

18.已知公差為d（d〉0）的等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，且q=d,b〃=S〃—g,且

4+8+--^lO=0，貝I/=.

19.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足4=2〃+2,q=5,則數(shù)列＞的前19項(xiàng)和

6+2"

為_(kāi)_____

20.記數(shù)列｛3""中不超過(guò)正整數(shù)〃的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為與,設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為S“，則

身（林乂）等于

21.數(shù)列｛%｝滿足q=1,且對(duì)任意的加,〃eN*都有冊(cè)+“=。叫+。"+加〃，則

。3。20]

22.已知數(shù)列｛4｝、也｝、｛c,J滿足

%=4=q=l,—如+

八

bnbAb.bj

〈=」三+」:+…+^^（"23）則下列有可能成立的是（）

A.若｛4｝為等比數(shù)列，則或22〉Z022B.若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，則邑022＜矗22

C.若｛??｝為等比數(shù)列，則以22＜篇22D.若｛%｝為遞增的等差數(shù)列，則邑。22＞7^22

2V

23.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S*,若--1=2%-〃對(duì)任意〃eN*恒成立，則

n

2022

￡（-1）'（24+1-a）.

i=l

4〃

24.已知數(shù)歹U包｝滿足4+2%+3%+…+/=（2〃-1）?3".設(shè)"=一，Sn為數(shù)列｛4｝的前"

an

項(xiàng)和.若邑＜4(常數(shù))，neN*,則丸的最小值是一

25.已知數(shù)列｛〃/的前〃項(xiàng)和為S”，且［+8+…+!=Wv，設(shè)函數(shù)/(x)=cosm+：,則

dld2，〃+12

A%021

2022,

26.已知數(shù)列｛氏｝滿足：％=1,anan+x+3a?+1=an,“eN*；數(shù)列也｝滿足:

…H：N*.

(0求證：數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)令c“=(3凡-33+1)0/用，求數(shù)列｛c,｝的前"項(xiàng)和.

1q

27.已知在數(shù)列｛4｝中，且。向-3a“-2”-2=0.在數(shù)列也,｝中，4=一(，且

2+1一々，="

(1)證明：數(shù)列，。0+〃+|1為等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列｛%｝和數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

28.已知在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列｛%｝中，q=1,且％,a2,生成等比數(shù)列，數(shù)列也,｝中,

n+l

bx=log2（（z2+l）,bn+l=4bn+2,〃eN*.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求證：｛4+2"｝是等比數(shù)列，并求｛6“｝的通項(xiàng)公式;

―^--,n=2k

bk+k

（3）設(shè)g=<《eN*),求數(shù)列｛g｝的前2”項(xiàng)的和心.

3x2*c,,

----------------T-.---------,n=Zk-\.

4^-2i+1+2

29.己知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足q=1,當(dāng)〃N2(〃eN*)時(shí)，

("l)S“-("+l)S“_iJ/-?).

(1)計(jì)算：出，“3；

(2)證明［品萬(wàn)］為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

(3)設(shè)“=tan區(qū),求數(shù)列也+也｝的前"項(xiàng)和配

30.已知數(shù)列｛%,｝中，％=1,a2=-,且％+1=‘D""("=2,3,4,…).

4n-an

(1)設(shè)"=-LT(〃CN*),試用。表示6,用，并求｛，｝的通項(xiàng)公式；

an+l

(2)設(shè)c,,=—:.32,求數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和S”.

cosacos%］

31.已知數(shù)列｛%,｝中，%=1,nan-(n+l)tz,i+1=anan+i(neN*)且4w0;等比數(shù)列｛6,｝滿

足：4=；也=24+1+3%2，("eN*)且，＞0.

(1)求數(shù)列｛%｝和數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)數(shù)列的前"項(xiàng)和為s,,若不等式(-D"(—9-2V2對(duì)任意“eN*都成立,

切〃+1

求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

一輪復(fù)習(xí)補(bǔ)充作業(yè)20：數(shù)列遞推式、數(shù)列求和參考答案

1.答案:C〃X)=(2X+2)2,〃w)=Sm+S,,用+S,=4(〃+1)2①

當(dāng)〃=1時(shí)，$2+51=16；當(dāng)時(shí)，S〃+S〃T=4〃2,②

①-②，得S/1—Si=8〃+4,即％M+q=8〃+4,(n>2)@

因?yàn)槭醉?xiàng)4不確定，所以4+4的值不確定，所以4+4=12不一定成立，故A錯(cuò)誤；當(dāng)〃之3時(shí)，見(jiàn)+%-1=8〃-4④

③-④，得4+「%T=8,故數(shù)列｛4｝偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)從％開(kāi)始成等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?2時(shí)，。〃+1—4(〃+1)=_(〃“一4〃)，當(dāng)q=a=4時(shí)，a2=16—2^=8,%—4x2=0,止匕時(shí)-4〃｝從第2項(xiàng)

起構(gòu)成常數(shù)列，每一項(xiàng)均為0,所以q-4〃=。，即〃〃=4〃(〃22),又4=。=4滿足上式，所以％=4〃，所以C正

確；當(dāng)時(shí)，｛。〃一4〃｝從第2項(xiàng)起，構(gòu)成首項(xiàng)為8-2々，公比為-1的等比數(shù)列，故〃〃=4〃+(8-2a)x(-l)〃-2(〃N2)

又〃=1時(shí)，4=〃不符合上式，所以口錯(cuò)誤.

2.由%+2+4%=5%+I,得%+2-%=4(%-4),又。2-％=3,所以數(shù)列｛1-％｝是以3為首項(xiàng),4為公比的等

比數(shù)列，貝1］。用—4=3?4〃T①；由為+2+44=5。向得，an+2-4an+i=an+1-4anJ又％-44=一3,所以數(shù)列｛〃7一4?！ǎ?/p>

是常數(shù)列，則為+i—4%=%—4弓=一3②，由①②聯(lián)立可得4M=4〃+1；因?yàn)?〃v4〃+lv2x4〃，所以

nnn

log24〃<log2(4+l)<log2(2x4),即：2n<log2(4+1)<2n+l所以么=[log2?n+1]=[log2(4〃+1)]=2〃,

1000100011=250—+1111

故=250，所以$2022+???+=250|1-——?jiǎng)t

她+12n-2(n+l)nn+12320222023I2023

[82022]=249.

3.在數(shù)列｛4｝中，q=l,%〃=出1+(—1)〃，%川=%〃+3〃，〃EN*，貝I」有%+2=%向+(—1)向=%〃+3〃+(—1)川，

=a

即%〃+2—a2n=3"+(-1)〃+1,而。2=。，于是得外〃2+(。4-。2)+(〃6-4)+…+(“2〃-2-4〃-4)+(°2篦-2)

=[3+(-1)2]+[32+(-1)3]+…+[3〃-2+(_1尸]+[3〃T+(-1)"]=[3+32+..+3n-2+3n-1]+[(-1)2+(-1)3+...+(-l)n-1+(-1)"]

=3(：：力+,因此，/向+%=%+3'+%=2%+3"=*3+；(-1)'-1]+3"

L—j1—(一】)ZZZZ

=2?3+(—1)—2,則Szoo—q+(。？+4)+(“4+%)+(“6+,7)+」+(丹016+“2017)

=1+[2-3+(-1)-2]+[2-32+(-1)2-2]+[2-33+(-1)3-2]++[2.31008+(-1)1008-2]

=1+2(3+32+33++31008)+[(-1)+(-1)2+(-1)3++(-1)1008]-2x1008

=12.3(1-31°08)

++0-2016=31009-2018，數(shù)列｛〃〃｝的前2017項(xiàng)的和為3期-2018.故選:D

1-3

寬卷第1頁(yè).共11頁(yè)

4.依題意an+l+1=2（%+1）,當(dāng)〃=1時(shí)，4=1,則4+1=2,所以數(shù)列｛氏+1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,%+1=2",

........、%+1_2”_]_]

即%=2〃-1,所以(%,+2)(%+2廠(2"+1)(2角+1)-2"+2向+]所以

人=；--口＜，所以人的取值范圍是，故選：

---1--------1------1--------1----------1_-I1g[+s]C.

2'+122+122+123+1--------2"+1

5.二,數(shù)列｛〃”｝的首項(xiàng)％=1,且滿足4+1-4=(-/)"(〃￡N*),可得?！?〃1+(%-〃1)+(〃3一。2)+'+(〃〃一〃九一1)

2，

=1+(_￡|+]_￡|++(_1)"->=<=|[1-^_0],又存在正整數(shù)〃，使得(%-%)(〃用-2)<o成立,

1+2

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a?=|[l-M],單調(diào)遞增，可得為的最小值為名=；；a?+1=|[l+Qj]，單調(diào)遞減，可得%+1的

最大值為4=；，可得凡＜%＜%，即有;＜之＜；；當(dāng)”為奇數(shù)時(shí)，%=2口+[]],單調(diào)遞減，可得凡的最大

424312J

值為4=1；a=|[l-W],單調(diào)遞增，可得%+i的最小值為%=；可得4+1＜幾＜。"，即有g(shù)＜2＜l

n+12的

取值范圍是故選：C.

6.【答案】BCD

【詳解】對(duì)AB,因?yàn)椤?=8,所以出=2（了.%+2弓=44=8,解得q=2,則%=2（7）〔1+34=28,

4(-1)

%=2(一)+4《=168,所以￡=6,%=336,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確；對(duì)C,因?yàn)楝?2"-an_x+nan_t,

即2=2卬+〃,所以工="+2〃=2〃+2.又“?N*，所以數(shù)列,馬4為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以c選項(xiàng)

4-1〃2〃-1J

1lo

正確；對(duì)D,因?yàn)楹?2(一產(chǎn)+2〃+2=2〃+4,所以年=log2(a2n+2-電7)Tog?(2J%,+J=§2%"必"一1=log2”!

%+i為"%,+1”+1

匚「、[0,3,41n+1,n+2,f34n+l〃+2)n+2

所以S,=log27+log2丁+…+log2——+log--=log-x-x-.-x-----X--=log——>4,解得“>30.又

23n2n+l2123nn+l)22

“eN*，所以正整數(shù)〃的最小值為31,所以D選項(xiàng)正確，故選：BCD.

7.【答案】BCD

【詳解】對(duì)于A,/=q+1+1=2,/=g+2=4,%=4+3+1=8,A錯(cuò)誤；對(duì)于B,當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，”+1為偶數(shù),

則%+2=4+1+〃+1，。用=q+”+1，可得。"+2=%+2（〃+1）；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，”+1為奇數(shù)，則q+2=q,+i+"+l+l,

%+1=4,+〃，可得。"+2=。"+2（〃+1）,B正確；對(duì)于C,當(dāng)九為奇數(shù)且"22時(shí)

。2=%+1+L/=。2+2,。4=/+3+L?，%_1=?！╛2+〃—2+1,々〃=為T+〃—1,累加可得

%=4+1+1+2+3+1++n—2+1+〃—1=(1+1+3+1+-+〃—2+1)+(2+4++n—1)

寬卷第2頁(yè).共11頁(yè)

2+〃一1〃—12+〃一1n—1n2-l

-------1---------=----〃=1時(shí)也符合;

22222

當(dāng)孔為偶數(shù)且〃22時(shí)％=4+1+1,生=4+2,4=g+3+1,?Mi=?！╛2+〃-2MH=an-\+〃—1+1，

累力口可=4+1+1+2+3+1+,+n—2+〃—1+1=(1+1+3+1++〃—l+l)+(2+4++〃—2)

〃為奇數(shù)

2+〃-1+1n2+九一2n-2n22

-----------+-------——；貝millj4=jC正確;

22222d九2〃為偶數(shù)

I2

對(duì)于D,設(shè)數(shù)列卜-D"%｝的前2〃項(xiàng)和為S2〃，則82〃=一%+%-。3+。4--一。21+。2〃，又

a2+n

-2n-i-一(2"T)T=2〃，52n=2+4+.+2n=^-n=n(n+l),D正確.故選：BCD.

22，

8.【答案】ABD

【詳解】因?yàn)閮?cè)+。〃+1=2x(―1),%=1,所以%=2—%=1，%=-2—g=-3，4=2—4=5,%=—2—%=—7,

故A正確；當(dāng)”=2左一IpeN*）時(shí)，q,+4+]=-2,an+l+an+2=2,兩式相減得，an+2-an=4,所以｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)

是以-7為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，故B正確；當(dāng)〃=2左-l^eN"）時(shí)，氏=-7+4x1—-j=2w-9.

當(dāng)"=2左（此N*）時(shí)，an+an+l=2,,兩式相減得，an+2-an=-4,所以｛4｝的偶數(shù)項(xiàng)是以5為首項(xiàng)，-4為公差的等

差數(shù)列，所以當(dāng)〃=2左時(shí)，氏=5-0=9-2〃；2同力㈤+聞|，，MI｝不是等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；

因?yàn)?=(-1嚴(yán)(2〃-9),所以凡凡包=(一1)用(2〃-9>(-1)"+2(2〃-7)=-(2〃-9)(2〃-7),

1]_

設(shè)勿=則b=~，所以〃1+b2+”3++2

〃必+1n(2/—9)(2/—7)2

n

，故D正確；故選：ABD.

-14〃—49

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,由…231,得（32%-1,即1]_1

+1,所以=1,

4+1T1

又」7=1，所以數(shù)列」7是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，所以一二=1+5-1）=〃，所以%=』+1.因?yàn)?/p>

-+1>1,故A正確；對(duì)于B,由氏+「%=-一士n<°，得4+1<q，故B正確；對(duì)于C,因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)〃都

nn\ji+Yj

有1<44弓，Bpi<a?<2,所以2%>2,所以不存在正整數(shù)〃，使得%=2%,,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,因?yàn)?/p>

/彳=，半（〃eN*），且（10'-l）eN*,所以，N*）都是數(shù)列｛%｝的項(xiàng)，故D正確.故選：ABD.

10.【答案】AD

試卷第3頁(yè).共11頁(yè)

【詳解】由遞推公式4=%+4—2（〃N3）,可得％+2=%+%=2%+%,4一2=%一%，

所以。〃―2+4+2=2〃〃+4T+Q〃-4T=3〃〃（〃23）,A選項(xiàng)正確；又由遞推公式可得4=1,%=。3-。1，a3=a4-a2,

類似的有。〃=?！?1-?！╛1("?2),累加得4+%+/++4〃=%+4+1-4=4+2-1，故4+。2+/+…+%019=%021+1

錯(cuò)誤，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由題可知扇形面積勿=￡。；，故a-%=7（d-〃；一1）=?（%+%_J（a〃-？-1）=?。〃+14—2，

故：（%20-%19）=。2018，。2021錯(cuò)誤，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由4=。〃_]+。心（〃23）,d二%?1,

=%?%=〃2I4—4）=%.電?%?〃]，Q；=4?%=%?（%-%）=〃4?。3―。3?〃2，類似的有

an=an'an=an-(〃〃+1一4.1)=〃〃+1.%一。/%，累加得

Q；+Q；+Q；++〃；=〃；+(%?%—%?"1)+(04,4—4.%)++(〃〃+1?〃〃—〃〃?4〃-1)~4+1,冊(cè)，

又打=?〃；，所以4+4+4+=?（。；+雨+d+?+。；）=￡?！?1.%，

71

所以仇+4+4"1------^為⑶=]”2020，”2021正確，D選項(xiàng)正確；故選：AD.

1。“口+11

11.由5%+2+4%+「4=。，得-2=9。用+4），即"="+2=所以數(shù)歹此不+力討｝是公比為的等比數(shù)歹|j；因

為4=!，%二,所以q+?=9又?jǐn)?shù)列｛%+%｝是首項(xiàng)為捻，公比為!的等比數(shù)列，所以。“+%=白（獷，

于是以「《嚴(yán)=一&一（》"）=（-1）"（。「自，又因?yàn)?所以?！耙唬ā贰?0,gp??=（1）".

（2）由2=〃'：；；,，兩邊取倒數(shù)化簡(jiǎn)可得："+1=2[匕+1],.?.數(shù)列”+“是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)

%+2"2an（a-）[anJ

〃力r7

列，.?.丁+1=2"，即4=—.數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=7-

Un2—12—i

—所以二」

（3）由題意,

3113

T,故一彳是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列.

%+i-221?！?22J4-222”22]2

113qn-l4—2.3〃2

于是-------J---3"=>=2+

-22221—3〃1一3",

(4)因?yàn)閝=」一+2".3"-2,所以組=,+2-3'-2,當(dāng)“22時(shí)，由累力口法得生-9=2+2x3+2x32+…+2x3'1

n-1nn-1n1

1

因?yàn)?=1,所以時(shí)，有齒=1+小羊=3”「即a"=〃-3"T(〃N2),又〃=1時(shí)，o1=lx3'-=l,成立，故

n1-3

?！?〃-3"TN*).

⑸【答案】T對(duì)任意"工都有―，金^+i=\11-1?1

an1一〃；1一41+4?an+lan

即六I一數(shù)列用是首項(xiàng)為5公差為1的等―超,且…1……小

寬卷第4頁(yè).共11頁(yè)

—=2+(?-l)=?+l..-.a='

ann+1

1,7、26a+4b26%+46“4+422

4,+46“zlib

⑹???%?"4+%)=『一,*an+\~n+l-——-=-(^-K)

5305

，-2｝是q-4=i為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列,

:b“+i=""丫2=g儲(chǔ)+($"T+46”,；.?.當(dāng)“22時(shí),

bn="+(Z?2-4)+(4-%)+b]=1也適

合上式；所以數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2=|xg]'，數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2+2r18212丫~

3

⑵【答案】41看-野記第"行白圈的個(gè)數(shù)為始由題意可得…，-1,…也,a

\4",+。“口=3(?！翱?O)

則見(jiàn)+2-4+1=4%+%+「%，所以綜+2=2q+1+3%，所以《■,v由q=l,%=1得

[?！?2-3。用=一(4,+|-3()

a“+i+4=2x33"-1+(-1)"-13513n(~l)n

a_。，1尸'所以為=----弓——故Q=—+—=41,

。”+1-3%=-2x(-1)2562~6—2-

13.【答案】48子-手記M"的邊數(shù)為N,，三角形邊長(zhǎng)為a“，面積為S“，由圖形變換規(guī)律可知:

N,=3X4"T,貝1%=3X4?=48；由圖形可知：是在陷一每條邊上生成一個(gè)小三角形(去掉底邊),

則S,=S,T+N,TX￥。由S“-S〃T=乎*N,T，S”「S7=￥a"N“_2,…，邑/=￥靖小；左右分別相

加得：S“-5=￥3乂+…+心NT+MM—)；.數(shù)列｛硝是公比為"的等比數(shù)列，數(shù)列｛M｝是公比為4的等比

n-1、

—立+立二1小42A/3

數(shù)歹U，.,.用'[+…+5JV7+]N“T=------=|｝一(：]，?2

4459"I-

7

1-9

14.【答案】31023133,由%+(-1)%”=〃，得a用又4=1,所以%=1-㈠)"=2,

。3=2—(—1)%二0，%=3-(-1)3%=3,%=4-(-I)，4=]，4=5-1)5%=6,%=6-(-1)64=0,

11

。8=7—(―1)7%=7,%=8—(―1)84=],%。=9—(―1)9〃9=[0,a”=10—(―4。=0,=11—(―1)an=11,

63=12—(-1)“《2=1，44=13—(—1廠卬3=14,…；因?yàn)?022=505x4+2,所以，明顯可見(jiàn)，規(guī)律如下:

4M5，%@，…，〃2021，成各項(xiàng)為1的常數(shù)數(shù)列,其和為1x506=506,%4，%。，4，…，—，成首項(xiàng)為2,公差為4的

寬卷第5Iff,共11頁(yè)

等差數(shù)列，其和為506x2+“工J"義4=506?乂2=512072,4,?9，成各項(xiàng)為。的成常數(shù)數(shù)列，其和

為0x505=0,。4，%嗎2，。16，.，。2020，成首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，其和為505x3+——-——x4=510555,

故S2022=506+512072+0+510555=1023133.

15.【答案】15

【詳解】由(。用-?！?3)(a“+i-2%)=。知：。用=%+3或a,,”=2%；當(dāng)q,+i=q,+3時(shí)，數(shù)列｛4｝是以2為首項(xiàng)，3為

公差的等差數(shù)列，二%=2+3(-l)=3”-l,則禽=3加-1=2023,解得：根=等(舍)；當(dāng)。用=2%時(shí)，數(shù)列｛%｝

是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，4=2-2"一=2",則％=2*=2023,解得:m=log22023(舍)；

二數(shù)列｛凡｝應(yīng)是等差與等比的交叉數(shù)列，又4=2,g=4或%=5；若要〃，最小，則4=2020+3=2x1010+3,

a=

m-i2020,am_2=1010,am_3=505,am_4=502,om_5=25l,am_6=248,a,?_7=124,a,鵬=124,6/m_9=62,

==28,%T2=14,%3=7,%i4=4,q,T4=q=2,的最小值為15.

1011

16.【答案】

1012

【詳解】根據(jù)題意，”=1時(shí)，xe[0,l),國(guó)=0,則〃x)=EM]=0,故q=l；

〃=2時(shí)，xe[0,2),[x]w{0,l},故x[x]e{0}u[l,2)則e{0,1},故/=2；〃=3時(shí)，xe[0,3),[.r]e{0.1,2},

故心[e{0}31,2)34,6),則〃尤)=[x[x]]e{0』,4,5},故/=4,按此步驟進(jìn)行下去，當(dāng)xe[0,"),n>2,

2

[A]￡{0,1,x[.r]e{0}u[l,2)u[4,6)u[9,12)uu[(M-l),M(n-l)),故/(x)=[.中]]包含的整數(shù)個(gè)數(shù)

。“=1+1+2+-+〃-1=1+吟](-22),經(jīng)檢驗(yàn)〃=1,q=l也滿足，故%=/一〃+2(〃WN),貝I]

22

122J111十011111n

an+2"+3〃+2(〃+1)(〃+2)+1〃+2廠區(qū)帕衣人刁〃(2334n+1n+2)n+2

20221011小田4位1011

故,2022----.故答案為:

202410121012

na^+n-1n-\_nn-1

17.【詳解】因?yàn)?>。，才=有口所eri以sl---=--------=an+------，所以0“一

a

%+i?冊(cè)an+lan

=n,

18.【詳解】因?yàn)楣顬閐(d>0)的等差數(shù)列｛%｝滿足％=d,所以a“=%+(〃-l)d="d,所以

_(a+a?)n_M(ra+l)t/卜=Q_J_

》=12"千又c;+cL

92921

所以4+Z?H-----卜如+——1.1++d.C：——

24d3411dion}

寬卷第6頁(yè).共11頁(yè)

1

=d.(c；+c；+c；小（c；+c"c；+

To

"C：2一芥焉=0,即小220dd，所以3sL5=6]]故選:B

19.【詳解】因?yàn)閍〃+i-々〃=2"+2,所以4-％=2+2,%—%=2?+2,…,a〃—a〃_]=2"i+2,所以

2：：')+2(〃-1)=2"-2+2(〃-1),

4—4=2+2?+.+2n-1+2(H-l)=又％=5,所以。，=2"+2〃+1,

________4_________2"+2”+1_(〃+1)2+2用-(/+2")__J__________]

則(/+2")("2+2"+凡)一(〃2+2")[(?+1)2+2,,+1]~(1+2")[(〃+1)2+2"+[一/+2"(n+1)2+2"…

,的前19項(xiàng)和為:

11111111

----------1---------------1--J-----------------=-----------

322+