浙教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題5.4分式方程及應(yīng)用(知識(shí)解讀)(原卷版+解析)

專(zhuān)題5.4分式方程及應(yīng)用（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解解分式方程的基本思路和解法．2.掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法．3.體會(huì)解分式方程過(guò)程中的化歸思想．4.結(jié)合利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1：分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.考點(diǎn)2：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.考點(diǎn)3：分式方程應(yīng)用類(lèi)型一：工程問(wèn)題類(lèi)型二：行程問(wèn)題類(lèi)型三：銷(xiāo)售問(wèn)題類(lèi)型四：方案問(wèn)題【典例分析】【考點(diǎn)1分式方程定義】【典例1】（2023春?方城縣期中）給出下列方程：，，，，其中分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2023秋?魚(yú)臺(tái)縣期末）下列方程中不是分式方程的是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2023秋?西峰區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．【變式1-3】（2023秋?南崗區(qū)期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1【考點(diǎn)2解分式方程】【典例2】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）解方程：（1）；（2）＝1．【變式2-1】（2023春?淮安期末）解分式方程：+3＝﹣．【變式2-2】（2023春?洪澤區(qū)期末）解方程：﹣＝1．【變式2-3】（2023春?海州區(qū)期末）解分式方程：（1）；（2）．【變式2-4】（2023春?溧陽(yáng)市期末）解下列分式方程：（1）＝；（2）＝﹣3；（3）﹣＝2；（4）+＝．【考點(diǎn)3分式方程應(yīng)用類(lèi)型】類(lèi)型一工程問(wèn)題【典例3】（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某工程隊(duì)承擔(dān)了修建地鐵兩個(gè)站點(diǎn)間2400米的隧道工程任務(wù)，由于采用了新技術(shù)，現(xiàn)在每個(gè)月比原計(jì)劃多掘進(jìn)了180米，因而比原計(jì)劃提前3個(gè)月完成任務(wù)．（1）求完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)多少米？（2）如果每天的施工費(fèi)用為2.5萬(wàn)元，那么該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需多少萬(wàn)元？（每個(gè)月按30天算）【變式3-1】（2023春?漣水縣期末）某校為美化校園環(huán)境，計(jì)劃對(duì)面積為1200m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為360m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用2天．求甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少m2？【變式3-2】（2023春?瑤海區(qū)期末）某建工集團(tuán)下有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，現(xiàn)中標(biāo)承建一段公路，若甲、乙兩工程隊(duì)合做20天可完成；若讓兩隊(duì)合做15天后，剩下的工程由甲隊(duì)獨(dú)做，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)10000元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)26000元，此項(xiàng)工程若由甲工程隊(duì)先獨(dú)做若干天后，乙工程隊(duì)再加入共同完成剩下的工程，則甲工程隊(duì)至少要獨(dú)做多少天，才能使施工費(fèi)不超過(guò)680000元？【變式3-3】（2023?桂林模擬）為了進(jìn)一步豐富市民的休閑生活，某區(qū)政府決定在漓江沿岸擴(kuò)建5400米綠道并進(jìn)行招標(biāo)，根據(jù)招標(biāo)結(jié)果，該工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與建設(shè)．已知：甲工程隊(duì)每天完成的工程量是乙隊(duì)的1.2倍，甲隊(duì)單獨(dú)完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)完成少用10天．（1）求乙隊(duì)每天能完成多少米？（2）若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作20天后，剩余工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，求乙工程隊(duì)還需多少天？類(lèi)型二行程問(wèn)題【典例4】（2023?北碚區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車(chē)去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車(chē)的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和騎自行車(chē)的速度；（2）有一天小李騎自行車(chē)出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車(chē)發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)？【變式4-1】（2023秋?安丘市期末）星期天，小明和小芳從同一小區(qū)門(mén)口同時(shí)出發(fā)，沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”的號(hào)召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結(jié)果小明比小芳早6分鐘到達(dá)，求小芳的速度．2．（2012?山西模擬）列方程或方程組解應(yīng)用題：為響應(yīng)低碳號(hào)召，肖老師上班的交通方式由自駕車(chē)改為騎自行車(chē)，肖老師家距學(xué)校15千米，因?yàn)樽择{車(chē)的速度是騎自行車(chē)速度的4倍，所以肖老師每天比原來(lái)早出發(fā)45分鐘，才能按原時(shí)間到校，求肖老師騎自行車(chē)每小時(shí)走多少千米．【變式4-2】（2023?揚(yáng)州模擬）近年來(lái)，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開(kāi)車(chē)從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．類(lèi)型三：銷(xiāo)售問(wèn)題【典例5】（泰安）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？（2）商店進(jìn)價(jià)提高60%標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，銷(xiāo)售一段時(shí)間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對(duì)乙款型按標(biāo)價(jià)的五折降價(jià)銷(xiāo)售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？【變式5-1】（2023春?田東縣期末）“芒果正宗，源自田東”．田東的桂七芒果，皮薄肉細(xì)，多汁香甜、營(yíng)養(yǎng)豐富、品質(zhì)上乘，被譽(yù)為“果中一絕，果之上品”．現(xiàn)某芒果園有甲、乙兩支專(zhuān)業(yè)采摘隊(duì)，已知甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多采摘600公斤芒果，甲隊(duì)采摘28800公斤芒果所用的天數(shù)與乙隊(duì)采摘19200公斤芒果所用的天數(shù)相同．問(wèn)甲、乙兩隊(duì)每天分別可采摘芒果多少公斤？【變式5-2】（2023春?錦州期末）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可愛(ài)、英姿颯爽形象，深受大家喜愛(ài)．某商店第一次用3600元購(gòu)進(jìn)一批“冰墩墩”玩具，很快售完；該商店第二次購(gòu)進(jìn)該“冰墩墩”玩具時(shí)，進(jìn)價(jià)提高了20%，同樣用3600元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10件．（1）求第一次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件的進(jìn)價(jià)是多少元；（2）若兩次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件售價(jià)均為80元，求該商店兩次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具全部售完的總利潤(rùn)是多少元？【變式5-3】（2023春?大觀區(qū)校級(jí)期末）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品進(jìn)行銷(xiāo)售，若每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)少2元，且用80元購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量與用100元購(gòu)進(jìn)乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個(gè)甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個(gè)，且購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過(guò)95個(gè)，則商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)乙商品多少個(gè)？類(lèi)型四方案問(wèn)題【典例6】（2023春?桐城市期末）某社區(qū)準(zhǔn)備建造A，B兩類(lèi)攤位共80個(gè)，每個(gè)A類(lèi)攤位的占地面積比每個(gè)B類(lèi)攤位的占地面積多2平方米，建A類(lèi)攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類(lèi)攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類(lèi)攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類(lèi)攤位個(gè)數(shù)的．（1）求每個(gè)B類(lèi)攤位占地面積．（2）要求建A類(lèi)攤位的數(shù)量不少于26個(gè)，且建造兩類(lèi)攤位的總費(fèi)用不超過(guò)18320元．①共有哪幾種建造方案？②最少費(fèi)用是元．【變式6-1】（2023秋?德江縣期中）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？【變式6-2】（2023?龍馬潭區(qū)模擬）某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種玩具，已知一件甲種玩具的進(jìn)價(jià)與一件乙種玩具的進(jìn)價(jià)的和為40元，用90元購(gòu)進(jìn)甲種玩具的件數(shù)與用150元購(gòu)進(jìn)乙種玩具的件數(shù)相同．（1）求每件甲種、乙種玩具的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種玩具共48件，其中甲種玩具的件數(shù)少于乙種玩具的件數(shù)，商場(chǎng)決定此次進(jìn)貨的總資金不超過(guò)1000元，求商場(chǎng)共有幾種進(jìn)貨方案？【變式6-3】（2023?龍門(mén)縣模擬）為了創(chuàng)建全國(guó)衛(wèi)生城市，某社區(qū)要清理一個(gè)衛(wèi)生死角內(nèi)的垃圾，租用甲、乙兩車(chē)運(yùn)送，兩車(chē)各運(yùn)12趟可完成，需支付運(yùn)費(fèi)4800元．已知甲、乙兩車(chē)單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾，乙車(chē)所運(yùn)趟數(shù)是甲車(chē)的2倍，且乙車(chē)每趟運(yùn)費(fèi)比甲車(chē)少200元．（1）求甲、乙兩車(chē)單獨(dú)運(yùn)完此堆垃圾各需運(yùn)多少趟？（2）若單獨(dú)租用一臺(tái)車(chē)，租用哪臺(tái)車(chē)合算？【變式6-4】（2023春?花都區(qū)校級(jí)月考）學(xué)校計(jì)劃選購(gòu)甲、乙兩種圖書(shū)作為“校園讀書(shū)節(jié)”的獎(jiǎng)品．已知甲圖書(shū)的單價(jià)是乙圖書(shū)單價(jià)的1.5倍；用600元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)甲種圖書(shū)比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)乙種圖書(shū)要少10本．（1）甲、乙兩種圖書(shū)的單價(jià)分別為多少元？（2）若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種圖書(shū)共40本，且投入的經(jīng)費(fèi)不超過(guò)1050元，要使購(gòu)買(mǎi)的甲種圖書(shū)數(shù)量不少于乙種圖書(shū)的數(shù)量，則共有幾種購(gòu)買(mǎi)方案？專(zhuān)題5.4分式方程及應(yīng)用（知識(shí)解讀）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解解分式方程的基本思路和解法．2.掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法．3.體會(huì)解分式方程過(guò)程中的化歸思想．4.結(jié)合利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1：分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.考點(diǎn)2：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.考點(diǎn)3：分式方程應(yīng)用類(lèi)型一：工程問(wèn)題類(lèi)型二：行程問(wèn)題類(lèi)型三：銷(xiāo)售問(wèn)題類(lèi)型四：方案問(wèn)題【典例分析】【考點(diǎn)1分式方程定義】【典例1】（2023春?方城縣期中）給出下列方程：，，，，其中分式方程的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:B【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：分式方程有＝2，＝，共有2個(gè)．故選：B．【變式1-1】（2023秋?魚(yú)臺(tái)縣期末）下列方程中不是分式方程的是（）A． B． C． D．答案:C【解答】解：A、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；B、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意；C、分母中不含未知數(shù)，不是分式方程，故此選項(xiàng)符合題意；D、分母中含未知數(shù)，是分式方程，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【變式1-2】（2023秋?西峰區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程是分式方程的是（）A． B． C． D．答案:C【解答】解：選項(xiàng)A、B、D是整式方程，不符合題意；選項(xiàng)C，是分式方程，符合題意；故選：C．【變式1-3】（2023秋?南崗區(qū)期末）下列方程中，是分式方程的是（）A．+＝1 B．x+＝2 C．2x＝x﹣5 D．x﹣4y＝1答案:B【解答】解：A、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該方程符合分式方程的定義，故本選項(xiàng)符合題意；C、該方程是一元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、該方程是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【考點(diǎn)2解分式方程】【典例2】（2023春?雁塔區(qū)校級(jí)期末）解方程：（1）；（2）＝1．【解答】解：（1）﹣1＝，方程兩邊都乘x﹣2，得4x﹣（x﹣2）＝﹣3，解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，x﹣2≠0，所以x＝﹣是原方程的解，即原方程的解是x＝﹣；（2）﹣＝1，﹣＝1，方程兩邊都乘（x+3）（x﹣3），得x（x+3）﹣18＝（x+3）（x﹣3），解得：x＝3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，（x+3）（x﹣3）＝0，所以x＝3是增根，即原分式方程無(wú)解．【變式2-1】（2023春?淮安期末）解分式方程：+3＝﹣．【解答】解：去分母得：2﹣x+3（x﹣3）＝﹣1，解得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入得：x﹣3＝0，∴x＝3是增根，分式方程無(wú)解．【變式2-2】（2023春?洪澤區(qū)期末）解方程：﹣＝1．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣5（x﹣2）＝x（x﹣2），整理得：x2+2x﹣5x+10＝x2﹣2x，解得：x＝10，檢驗(yàn)：把x＝10代入得：x（x﹣2）≠0，∴分式方程的解為x＝10．【變式2-3】（2023春?海州區(qū)期末）解分式方程：（1）；（2）．【解答】解：（1）兩邊乘（x﹣3）（3x﹣1），得2（3x﹣1）＝3（x﹣3），解得：x＝﹣，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣時(shí)，（x﹣3）（3x﹣1）≠0，所以x＝﹣是原方程的解．（2）方程兩邊同乘（x﹣1）（x+1），得（x+1）2﹣4＝x2﹣1．解得：x＝1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，（x﹣1）（x+1）＝0，所以x＝1是增根，原方程無(wú)解．【變式2-4】（2023春?溧陽(yáng)市期末）解下列分式方程：（1）＝；（2）＝﹣3；（3）﹣＝2；（4）+＝．【解答】解：（1）去分母得：6﹣2x＝4+x，解得：x＝，檢驗(yàn)：把x＝代入得：2（x+4）≠0，∴分式方程的解為x＝；（2）去分母得：2x﹣5＝3x﹣7﹣3x+6，解得：x＝2，檢驗(yàn)：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，原方程無(wú)解；（3）去分母得：x2+x（x+2）＝2x2﹣8，解得：x＝﹣4，檢驗(yàn)：把x＝﹣4代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解為x＝﹣4；（4）去分母得：3x﹣9+2x＝x+3，解得：x＝3，檢驗(yàn)：把x＝3代入得：（x+3）（x﹣3）＝0，∴x＝3是增根，原方程無(wú)解．【考點(diǎn)3分式方程應(yīng)用類(lèi)型】類(lèi)型一工程問(wèn)題【典例3】（2023春?閔行區(qū)校級(jí)期末）某工程隊(duì)承擔(dān)了修建地鐵兩個(gè)站點(diǎn)間2400米的隧道工程任務(wù)，由于采用了新技術(shù)，現(xiàn)在每個(gè)月比原計(jì)劃多掘進(jìn)了180米，因而比原計(jì)劃提前3個(gè)月完成任務(wù)．（1）求完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)多少米？（2）如果每天的施工費(fèi)用為2.5萬(wàn)元，那么該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需多少萬(wàn)元？（每個(gè)月按30天算）【解答】解：（1）設(shè)完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)x米，則現(xiàn)在每個(gè)月掘進(jìn)（x+180）米．根據(jù)題意，得：﹣＝3，整理，得：x2+180x﹣144000＝0．解得：x1＝﹣480，x2＝300．經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝﹣480，x2＝300都是原方程的解，但x1＝﹣480不符合題意，舍去．答：完成此項(xiàng)工程原計(jì)劃每個(gè)月掘進(jìn)300米．（2）×2.5×30＝375（萬(wàn)元）．答：該工程隊(duì)現(xiàn)在完成此項(xiàng)工程共需375萬(wàn)元．【變式3-1】（2023春?漣水縣期末）某校為美化校園環(huán)境，計(jì)劃對(duì)面積為1200m2的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來(lái)完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為360m2區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用2天．求甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少m2？【解答】解：設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是xm2，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是1.5xm2，依題意，得：，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解．∴1.5x＝90．答：甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是90m2，乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是60m2．【變式3-2】（2023春?瑤海區(qū)期末）某建工集團(tuán)下有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，現(xiàn)中標(biāo)承建一段公路，若甲、乙兩工程隊(duì)合做20天可完成；若讓兩隊(duì)合做15天后，剩下的工程由甲隊(duì)獨(dú)做，還需15天才能完成．（1）甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)10000元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)26000元，此項(xiàng)工程若由甲工程隊(duì)先獨(dú)做若干天后，乙工程隊(duì)再加入共同完成剩下的工程，則甲工程隊(duì)至少要獨(dú)做多少天，才能使施工費(fèi)不超過(guò)680000元？【解答】解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，由題意得：×15+＝1，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，且符合題意，∵﹣＝﹣＝，∴乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天，答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需60天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要30天；（2）設(shè)甲工程隊(duì)要獨(dú)做a天，乙工程隊(duì)做了b天，由題意得：+＝1，整理得：a+3b＝60，∴b＝20﹣a，∵施工費(fèi)不超過(guò)680000元，∴10000（a+b）+26000b≤680000，∴10000（a+20﹣a）+26000（20﹣a）≤680000，解得：a≥20，答：甲工程隊(duì)至少要獨(dú)做20天．【變式3-3】（2023?桂林模擬）為了進(jìn)一步豐富市民的休閑生活，某區(qū)政府決定在漓江沿岸擴(kuò)建5400米綠道并進(jìn)行招標(biāo)，根據(jù)招標(biāo)結(jié)果，該工程由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與建設(shè)．已知：甲工程隊(duì)每天完成的工程量是乙隊(duì)的1.2倍，甲隊(duì)單獨(dú)完成工程比乙隊(duì)單獨(dú)完成少用10天．（1）求乙隊(duì)每天能完成多少米？（2）若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作20天后，剩余工程由乙工程隊(duì)單獨(dú)完成，求乙工程隊(duì)還需多少天？【解答】解：（1）設(shè)乙隊(duì)每天能完成x米．則甲工程隊(duì)每天完成1.2x米，由題意可得：，解得：x＝90，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝90是原方程的解，且符合題意．答：乙隊(duì)每天能完成90米；（2）設(shè)乙工程隊(duì)還需y天．由題意可得：1.2×90×20+90（20+y）＝5400，解得：y＝16，答：乙工程隊(duì)還需16天．類(lèi)型二行程問(wèn)題【典例4】（2023?北碚區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時(shí)間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車(chē)去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車(chē)的速度是步行速度的1.5倍．（1）求小李步行的速度和騎自行車(chē)的速度；（2）有一天小李騎自行車(chē)出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車(chē)發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為多少千米每小時(shí)？【解答】解：（1）設(shè)小李步行的速度為x千米/小時(shí)，則騎自行車(chē)的速度為1.5x千米/小時(shí)，由題意得：﹣＝+，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，則1.5x＝9，答：小李步行的速度為6千米/小時(shí)，則騎自行車(chē)的速度為9千米/小時(shí)；（2）小李騎自行車(chē)出發(fā)1.5千米所用的時(shí)間為1.5÷9＝（小時(shí)），小李每天出發(fā)的時(shí)間都相同，距離上班的時(shí)間為：4.5÷9+10÷60＝（小時(shí)），設(shè)小李跑步的速度為m千米/小時(shí)，由題意得：1.5+（﹣﹣）m≥4.5，解得：m≥7.2，答：小李立即跑步去上班（耽誤時(shí)間忽略不計(jì)）為了至少提前5分鐘到達(dá)．則跑步的速度至少為7.2千米每小時(shí)．【變式4-1】（2023秋?安丘市期末）星期天，小明和小芳從同一小區(qū)門(mén)口同時(shí)出發(fā)，沿同一路線去離該小區(qū)1800米的少年宮參加活動(dòng)，為響應(yīng)“節(jié)能環(huán)保，綠色出行”的號(hào)召，兩人都步行，已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍，結(jié)果小明比小芳早6分鐘到達(dá)，求小芳的速度．【解答】解：設(shè)小芳的速度是x米/分鐘，則小明的速度是1.2x米/分鐘，根據(jù)題意得：﹣＝6，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)x＝50是原方程的解，答：小芳的速度是50米/分鐘．2．（2012?山西模擬）列方程或方程組解應(yīng)用題：為響應(yīng)低碳號(hào)召，肖老師上班的交通方式由自駕車(chē)改為騎自行車(chē)，肖老師家距學(xué)校15千米，因?yàn)樽择{車(chē)的速度是騎自行車(chē)速度的4倍，所以肖老師每天比原來(lái)早出發(fā)45分鐘，才能按原時(shí)間到校，求肖老師騎自行車(chē)每小時(shí)走多少千米．【解答】列方程或方程組解應(yīng)用題：解：設(shè)肖老師騎自行車(chē)每小時(shí)走x千米．根據(jù)題意得：，解得x＝15，經(jīng)檢驗(yàn)x＝15是原方程的解，并符合實(shí)際意義，答：肖老師騎自行車(chē)每小時(shí)走15千米．【變式4-2】（2023?揚(yáng)州模擬）近年來(lái)，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開(kāi)車(chē)從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時(shí)間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度．【解答】解：設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，依題意，得：﹣＝，解得：x＝50，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：走路線B的平均速度為75km/h．類(lèi)型三：銷(xiāo)售問(wèn)題【典例5】（泰安）某服裝店購(gòu)進(jìn)一批甲、乙兩種款型時(shí)尚T恤衫，甲種款型共用了7800元，乙種款型共用了6400元，甲種款型的件數(shù)是乙種款型件數(shù)的1.5倍，甲種款型每件的進(jìn)價(jià)比乙種款型每件的進(jìn)價(jià)少30元．（1）甲、乙兩種款型的T恤衫各購(gòu)進(jìn)多少件？（2）商店進(jìn)價(jià)提高60%標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售，銷(xiāo)售一段時(shí)間后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店決定對(duì)乙款型按標(biāo)價(jià)的五折降價(jià)銷(xiāo)售，很快全部售完，求售完這批T恤衫商店共獲利多少元？【解答】解：（1）設(shè)乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)x件，則甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)1.5x件，依題意有+30＝，解得x＝40，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，且符合題意，1.5x＝60．答：甲種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)60件，乙種款型的T恤衫購(gòu)進(jìn)40件；（2）＝160，160﹣30＝130（元），130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2）＝4680+1920﹣640＝5960（元）答：售完這批T恤衫商店共獲利5960元．【變式5-1】（2023春?田東縣期末）“芒果正宗，源自田東”．田東的桂七芒果，皮薄肉細(xì)，多汁香甜、營(yíng)養(yǎng)豐富、品質(zhì)上乘，被譽(yù)為“果中一絕，果之上品”．現(xiàn)某芒果園有甲、乙兩支專(zhuān)業(yè)采摘隊(duì)，已知甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多采摘600公斤芒果，甲隊(duì)采摘28800公斤芒果所用的天數(shù)與乙隊(duì)采摘19200公斤芒果所用的天數(shù)相同．問(wèn)甲、乙兩隊(duì)每天分別可采摘芒果多少公斤？【解答】解：設(shè)乙隊(duì)每天可采摘芒果x公斤，則甲隊(duì)每天可采摘芒果（x+600）公斤，依題意得：＝，解得：x＝1200，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1200是原方程的解，且符合題意，∴x+600＝1200+600＝1800．答：甲隊(duì)每天可采摘芒果1800公斤，乙隊(duì)每天可采摘芒果1200公斤．【變式5-2】（2023春?錦州期末）2022年北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”以其呆萌可愛(ài)、英姿颯爽形象，深受大家喜愛(ài)．某商店第一次用3600元購(gòu)進(jìn)一批“冰墩墩”玩具，很快售完；該商店第二次購(gòu)進(jìn)該“冰墩墩”玩具時(shí)，進(jìn)價(jià)提高了20%，同樣用3600元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量比第一次少了10件．（1）求第一次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件的進(jìn)價(jià)是多少元；（2）若兩次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件售價(jià)均為80元，求該商店兩次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具全部售完的總利潤(rùn)是多少元？【解答】解：（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件的進(jìn)價(jià)為x元，則第二次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件的進(jìn)價(jià)為（1+20%）x元，依題意得：﹣＝10，解得：x＝60，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，且符合題意．答：第一次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具每件的進(jìn)價(jià)為60元．（2）第一次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具的數(shù)量為3600÷60＝60（件），第二次購(gòu)進(jìn)的“冰墩墩”玩具的數(shù)量為3600÷[60×（1+20%）]＝50（件）．80×（60+50）﹣3600﹣3600＝1600（元）．答：兩次的總利潤(rùn)為1600元．【變式5-3】（2023春?大觀區(qū)校級(jí)期末）某商場(chǎng)準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品進(jìn)行銷(xiāo)售，若每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)比每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)少2元，且用80元購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量與用100元購(gòu)進(jìn)乙商品的數(shù)量相同．（1）求每個(gè)甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的3倍還少5個(gè)，且購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品的總數(shù)量不超過(guò)95個(gè)，則商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)乙商品多少個(gè)？【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)為（x+2）元，依題意得：＝，解得：x＝8，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原方程的解，且符合題意，∴x+2＝8+2＝10．答：每個(gè)甲商品的進(jìn)價(jià)為8元，每個(gè)乙商品的進(jìn)價(jià)為10元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)m個(gè)乙商品，則購(gòu)進(jìn)（3m﹣5）個(gè)甲商品，依題意得：3m﹣5+m≤95，解得：m≤25．答：商場(chǎng)最多購(gòu)進(jìn)乙商品25個(gè)．類(lèi)型四方案問(wèn)題【典例6】（2023春?桐城市期末）某社區(qū)準(zhǔn)備建造A，B兩類(lèi)攤位共80個(gè)，每個(gè)A類(lèi)攤位的占地面積比每個(gè)B類(lèi)攤位的占地面積多2平方米，建A類(lèi)攤位每平方米的費(fèi)用為40元，建B類(lèi)攤位每平方米的費(fèi)用為30元，用60平方米建A類(lèi)攤位的個(gè)數(shù)恰好是用同樣面積建B類(lèi)攤位個(gè)數(shù)的．（1）求每個(gè)B類(lèi)攤位占地面積．（2）要求建A類(lèi)攤位的數(shù)量不少于26個(gè)，且建造兩類(lèi)攤位的總費(fèi)用不超過(guò)18320元．①共有哪幾種建造方案？②最少費(fèi)用是元．【解答】解：（1）設(shè)每個(gè)B類(lèi)攤位占地面積為x平方米，則每個(gè)A類(lèi)攤位占地面積為（x+2）平方米，依題意得：＝×，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，且符合題意．答：每個(gè)B類(lèi)攤位占地面積為6平方米．（2）每個(gè)A類(lèi)攤位的建造費(fèi)用為40×（6+2）＝320（元），每個(gè)B類(lèi)攤位的建造費(fèi)用為30×6＝180（元）．①設(shè)建造m個(gè)A類(lèi)攤位，則建造（80﹣m）個(gè)B類(lèi)攤位，依題意得：，解得：26≤m≤28．又∵m為整數(shù)，∴m可以為26，27，28，∴共有3種建造方案，方案1：建造26個(gè)A類(lèi)攤位，54個(gè)B類(lèi)攤位；方案2：建造27個(gè)A類(lèi)攤位，53個(gè)B類(lèi)攤位；方案3：建造28個(gè)A類(lèi)攤位，52個(gè)B類(lèi)攤位．②建造方案1所需費(fèi)用為320×26+180×54＝8320+9720＝18040（元）；建造方案2所需費(fèi)用為320×27+180×53＝8640+9540＝18180（元）；建造方案3所需費(fèi)用為320×28+180×52＝8960+9360＝18320（元）．∵18040＜18180＜18320，∴最少費(fèi)用是18040元．故答案為：18040．【變式6-1】（2023秋?德江縣期中）為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍．根據(jù)以上信息，求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？【解答】解：設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，依題意得﹣＝10，解得：x＝40．經(jīng)檢驗(yàn)