2023-2024學年北京東城區(qū)高一下數(shù)學期末預測試題含解析

2023-2024學年北京東城區(qū)高一下數(shù)學期末預測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A． B． C． D．2．在中，若則等于（）A． B． C． D．3．已知為的三個內(nèi)角的對邊，，的面積為2，則的最小值為().A． B． C． D．4．在邊長為2的菱形中，，是的中點，則A． B． C． D．5．三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，⊥底面，且，則此三棱錐外接球的半徑為（）A． B． C． D．6．已知角A滿足，則的值為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，值域為的是（）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，則點到平面的距離是（）A． B． C． D．9．已知是奇函數(shù)，且.若，則（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的余弦值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列的前項和為，若，則______.12．一個幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為.13．直線與圓交于兩點，若為等邊三角形，則______．14．已知，均為單位向量，它們的夾角為，那么__________．15．利用數(shù)學歸納法證明不等式“”的過程中，由“”變到“”時，左邊增加了_____項．16．與終邊相同的最小正角是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點為中點，且.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.18．記數(shù)列的前項和為，已知點在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和.19．某菜農(nóng)有兩段總長度為米的籬笆及，現(xiàn)打算用它們和兩面成直角的墻、圍成一個如圖所示的四邊形菜園（假設、這兩面墻都足夠長）已知（米），，，設，四邊形的面積為.（1）將表示為的函數(shù)，并寫出自變量的取值范圍；（2）求出的最大值，并指出此時所對應的值.20．已知數(shù)列的前項和為，點在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列，求數(shù)列的前項和.21．已知：以點為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中0為原點。（1）求證：的面積為定值；（2）設直線與圓C交于點M，N，若，求圓C的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由函數(shù)的最小正周期為，逐個選項運算即可得解.【詳解】解:對于選項A,的最小正周期為,對于選項B,的最小正周期為,對于選項C,的最小正周期為,對于選項D,的最小正周期為,故選D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的最小正周期，屬基礎題.2、D【解析】

由正弦定理，求得，再由，且，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，在中，由正弦定理可得，即，又由，且，所以或，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用，其中解答中熟記三角形的正弦定理，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.3、D【解析】

運用三角形面積公式和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式和正弦型函數(shù)的值域最后可求出的最小值.【詳解】因為，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值為，故本題選D.【點睛】本題考查了余弦定理、三角形面積公式，考查了輔助角公式，考查了數(shù)學運算能力.4、D【解析】

選取向量為基底，用基底表示，然后計算．【詳解】由題意，，．故選D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，平面向量的線性運算，解題關鍵是選取基底，把向量用基底表示．5、D【解析】

過的中心M作直線,則上任意點到的距離相等，過線段中點作平面，則面上的點到的距離相等，平面與的交點即為球心O，半徑，故選D.考點：求解三棱錐外接球問題.點評：此題的關鍵是找到球心的位置（球心到4個頂點距離相等）.6、A【解析】

將等式兩邊平方，利用二倍角公式可得出的值．【詳解】，在該等式兩邊平方得，即，解得，故選A.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系，考查二倍角正弦公式的應用，一般地，解三角函數(shù)有關問題時，遇到，常用平方法來求解，考查計算能力，屬于中等題．7、B【解析】

依次判斷各個函數(shù)的值域，從而得到結(jié)果.【詳解】選項：值域為，錯誤選項：值域為，正確選項：值域為，錯誤選項：值域為，錯誤本題正確選項：【點睛】本題考查初等函數(shù)的值域問題，屬于基礎題.8、A【解析】

計算的面積，根據(jù)可得點到平面的距離．【詳解】中，，，∴的邊上的高為，∴，設到平面的距離為，則，又，∴，解得．故選A．【點睛】本題涉及點面距離的求法，點面距可以通過建立空間直角坐標系來求得點面距離，或者尋找面面垂直，再直接過點做交線的垂線即可;當點面距離不好求時，也可以根據(jù)等積法把點到平面的距離歸結(jié)為一個容易求得的幾何體的體積.9、C【解析】

根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，變形可得：，結(jié)合題意計算可得的值，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，是奇函數(shù)，則，變形可得：，則有，即，又由，則，，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應用，涉及誘導公式的應用，屬于基礎題．10、D【解析】

取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，在中，利用余弦定理，即可求解．【詳解】由題意，取的中點，連接，則,所以異面直線與所成角就是直線與所成角，設正三棱柱的各棱長為,則，設直線與所成角為，在中，由余弦定理可得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選D．【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的求解，其中解答中把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用和的關系計算得到答案.【詳解】當時，滿足通項公式故答案為【點睛】本題考查了和的關系，忽略的情況是容易發(fā)生的錯誤.12、【解析】該幾何體是由兩個高為1的圓錐與一個高為2的圓柱組合而成,所以該幾何體的體積為.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.13、或【解析】

根據(jù)題意可得圓心到直線的距離為，根據(jù)點到直線的距離公式列方程解出即可.【詳解】圓，即，圓的圓心為，半徑為，∵直線與圓交于兩點且為等邊三角形，∴，故圓心到直線的距離為，即，解得或，故答案為或.【點睛】本題主要考查了直線和圓相交的弦長公式，以及點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．14、.【解析】分析：由，均為單位向量，它們的夾角為，求出數(shù)量積，先將平方，再開平方即可的結(jié)果.詳解：∵，故答案為.點睛：平面向量數(shù)量積公式有兩種形式，一是，二是，主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.15、.【解析】

分析題意，根據(jù)數(shù)學歸納法的證明方法得到時，不等式左邊的表示式是解答該題的突破口，當時，左邊，由此將其對時的式子進行對比，得到結(jié)果.【詳解】當時，左邊，當時，左邊，觀察可知，增加的項數(shù)是，故答案是.【點睛】該題考查的是有關數(shù)學歸納法的問題，在解題的過程中，需要明確式子的形式，正確理解對應式子中的量，認真分析，明確哪些項是添的，得到結(jié)果.16、【解析】

根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結(jié)果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】

(1)連接交于點，連接，可證，從而可證平面.(2)可證平面，從而得到平面平面.【詳解】(1)連接交于點，連接，因為底面為平行四邊形，所以為中點.在中,又為中點，所以.又平面，平面，所以平面.(2)因為底面為平行四邊形，所以.又即，所以.又即.又平面，平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.【點睛】線面平行的證明的關鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過面面平行證線面平行，這個方法的關鍵是構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，也可由面面垂直得到，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.而面面垂直的證明可以通過線面垂直得到，也可以通過證明二面角是直二面角.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(1)本題首先可根據(jù)點在函數(shù)的圖像上得出，然后根據(jù)與的關系即可求得數(shù)列的通項公式；(2)首先可根據(jù)數(shù)列的通項公式得出，然后根據(jù)裂項相消法求和即可得出結(jié)果?！驹斀狻?1)由題意知.當時，；當時，，適合上式.所以.(2).則?！军c睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的前項和為求數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和，與滿足以及，考查計算能力，是中檔題。19、（1），其中；（2）當時，取得最大值.【解析】

（1）在中，利用正弦定理將、用表示，然后利用三角形的面積公式可求出關于的表達式，結(jié)合實際問題求出的取值范圍；（2）利用（1）中的關于的表達式得出的最大值，并求出對應的的值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，，則的面積為，因此，，其中；（2）由（1）知，.，，當時，即當時，四邊形的面積取得最大值.【點睛】本題考查了正弦定理、三角形的面積公式、兩角和與差的正弦公式、二倍角公式以及三角函數(shù)的基本性質(zhì)，在利用三角函數(shù)進行求解時，要利用三角恒等變換思想將三角函數(shù)解析式化簡，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1），（2）【解析】

（1）把點帶入即可（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用錯位相減即可?！驹斀狻浚?）把點帶入得，則時，時，經(jīng)驗證，也滿足，所以（2）由（1）得，所以則①②①②得【點睛】本題主要考查了數(shù)列通項的求法，以及數(shù)列前項和的方法。求數(shù)