2024屆高三年級(jí)上冊(cè)七調(diào)考試數(shù)學(xué)試卷及答案

7.我國古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》中記載有“鎖套吞容”之

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)七調(diào)考試班級(jí)

“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說，有一塊正方形田地，在其一角有一

數(shù)學(xué)個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示.已

知圓O的半徑為2丈，過C作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N,姓名

本試卷分第I卷（選擇題）和第U卷（非選擇題）兩部分。共4頁，總分150分,若MN=V^OM,則對(duì)角線AC的長度為

考試時(shí)間120分鐘。A.4+2成■丈B.2+9丈

得分

C.10—2"丈D.2+4施■丈

第I卷（選擇題共60分）8.已知函數(shù)/（%）及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為（0,+8）,且&/（I）>（］-1）/（力）恒成

立,f（3）=e,則不等式Cr+4）/（i+4）V3e，+2的解集為

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

A.(—4,—1)B.(-1,1)C.(-1,2)D.(一1,+8)

合題目要求的。

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

2+i7

1.已知之=^^，則N在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

（1—1）

9.若a不論取何值時(shí)，圓Ci總與圓C2：（I—2—2cosa）2+（j/+2sina）2=1相切，則圓G的

A.（-萬，1）B.（5,1）C.D.（by）

方程可為

A.+?2-5=0B.+?2+4i一8=0

2.定義：既是中心對(duì)稱，也是軸對(duì)稱的曲線稱為“尚美曲線”，下列方程所表示的曲線中不是1r

C.je2+jz2—D.x2+j/2—4rc—2=0

“尚美曲線”的是4J:+3=0

10.已知a（0,2兀）且sinaVsin歷則下列命題中成立的是

A.22B.^-+?2=1

J7+J/=4A.若a是第一象限角，則cosaVcos￡

C.X2—y2=4D.X2—3/=0B.若a,0是第二象限角，則cosaVcos￡

3.已知直線：a:r+2；y+6=0與直線，2：6］一）+a=0垂直，貝！Ja?+/的最小值為C.若a是第三象限角，則tanaVtan￡

D.若a是第四象限角，則tana<tanf

A.2B.4C.6D.8

11.如圖，雙紐線像數(shù)字“8”,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同時(shí)也具有特殊

x2y2X22y2

4.已知橢圓Ci:二十”=l（a>6>0）的焦點(diǎn)與雙曲線C：Ty-丁=1的焦點(diǎn)重合，則C

abb2a2的有價(jià)值的藝術(shù)美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作品的

主要幾何元素.曲線。：（/+/）2=4（——/）是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是

的漸近線方程為

A.曲線C經(jīng)過5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）w

A.x+3/=0B.=0C.瘟n±y=0D.2］士y=0

B.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離都不超過2x

5.某景區(qū)內(nèi)的一座拋物線拱形大橋，如圖所示.該橋拋物線拱形部分的橋面跨度為10米，拱C.曲線C關(guān)于直線）=力對(duì)稱的曲線方程為（/+/）2=I----------------H

形最高點(diǎn)與水面的距離為6米，為增加景區(qū)的夜晚景色，景區(qū)計(jì)劃在拱形橋的焦點(diǎn)處懸掛4（力一力2）~---1

一閃光燈，則豎直懸掛的閃光燈距離水面的距離為（結(jié)果精確到0.01）

D.若直線）=人與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的取值

范圍為（-8,—l］U［l,+8）

12.已知拋物線C：y2=2ar（力>0）的焦點(diǎn)為F（l,0）,斜率存在的直線/經(jīng)過點(diǎn)M（2,0）交C

于兩點(diǎn)，C在A,B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)P,D為AB的中點(diǎn)，PD交C于點(diǎn)E,則

A.點(diǎn)P在直線i=-3上B.E是PD的中點(diǎn)

C.成等差數(shù)列D.軸

A.4.96米B.5.06米C.4.26米D.3.68米第II卷（非選擇題共90分）

力2V2

6.已知雙曲線三一a=l（a>0,6>0）左、右頂點(diǎn)分別為A,B,若該雙曲線上存在點(diǎn)P,使得

h-三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

PA,PB的斜率之和為1,則該雙曲線離心率的取值范圍是13.已知圓C滿足以下兩個(gè)條件:①圓C的半徑為四;②直線乙了一^+3=0被圓C所截得

A.（?，+8）B.（l,f）C.（*，+8）D.（l.f）的弦長為2.寫出一個(gè)符合以上條件的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

14.在△ABC中，若sinC=3sinA,〃=2ac,則cosB=.

高三七調(diào)?數(shù)學(xué)第1頁（共4頁）高三七調(diào)?數(shù)學(xué)第2頁（共4頁）|新高考版|

15.“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為橢圓上任意兩條互相垂直的切20.(12分)

線的交點(diǎn)，必在一個(gè)與橢圓同心的圓上.稱此圓為該橢圓的“蒙日?qǐng)A”，該圓由法國數(shù)學(xué)家如圖，已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長都為372,E,F兩點(diǎn)滿足而=33，同=

加斯帕爾?蒙日最先發(fā)現(xiàn).如圖，已知長方形R的四條邊均與橢圓C：5+/=l相切，則3FC.

(1)求直線EF與平面PAB所成角的正弦值；

長方形R的面積的最大值為.

(2)求平面AEF截四棱錐P-ABCD所得較小幾何體的體積.

x2y2

16.已知雙曲線C：=一為=1(“>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F](—c,0)，2(c,0),點(diǎn)P

ab

io?

為圓E：/+y2一不g+,2=0與C的一個(gè)公共點(diǎn)，若cosNF]PF2=(，則c的離心

率為.21.(12分)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。在平面直角坐標(biāo)系久中，點(diǎn)M在久軸，y軸上的射影分別為A,B,直線MA,MB分別

17.(10分)交直線/+2y=0于D,E兩點(diǎn)，且△AOD與△BOE的面積之和為1,記點(diǎn)M的軌跡為曲

在①(x+l)S.+i—(M+2)S?="2+3/^+2,②2S”=("+l)a”，③Q2=4,S”+I+S?-I=線C.

2+2S,,(九>2)這三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并給出解答.(1)求C的方程；

已知數(shù)列｛*｝的前?項(xiàng)和為S”，斯=2,.(2)P,Q兩點(diǎn)在C上,5??而=0,求△OPQ的面積的最小值.

(1)求｛0｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列(」一)的前"項(xiàng)和T”.

[ana?+1)

18.(12分)22.(12分)

久2y2_

已知雙曲線。：不一竟=1(。>0,6>0)的一條漸近線方程為力+物丁=0,點(diǎn)4(2,1)在一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么

ab

不出現(xiàn)音樂.每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)三次音樂獲得150分，出現(xiàn)兩次音樂獲得100分，出現(xiàn)

C±.

一次音樂獲得50分,沒有出現(xiàn)音樂則獲得一300分，設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為p^0<p<

(1)求C的方程；

(2)過C右焦點(diǎn)的直線，交C于P,Q兩點(diǎn)，若如P+￡AQ=0,求I的方程.”)，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨(dú)立.

(1)若一盤游戲中僅出現(xiàn)一次音樂的概率為/(2)，求〃力)的最大值點(diǎn)P。;

(2)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分?jǐn)?shù)相比，分?jǐn)?shù)沒有增加反

19.(12分)而減少了.設(shè)每盤游戲的得分為隨機(jī)變量。請(qǐng)運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)分析分?jǐn)?shù)減少的原因.

已知拋物線。：12=2/^(夕>0)的焦點(diǎn)為正，點(diǎn)4(2,3/0)在。上，叢尸|=2.

(1)求p的值；

(2)過點(diǎn)P(0,—2)作直線與C交于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于：y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M].判斷

直線M】N是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是，請(qǐng)說明理由.

|新高考版|高三七調(diào)?數(shù)學(xué)第3頁(共4頁)高三七調(diào)?數(shù)學(xué)第4頁(共4頁)

?數(shù)學(xué)?參考答案及解析

雪有譽(yù)案及解析

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高三年級(jí)七調(diào)考試?數(shù)學(xué)

一、選擇題7.A【解析】記OC與MN相交于E,過O作AB的垂

2+i72-i(2-i)i=g+i,所以u(píng)線，與AB相交于F.如圖所示，

1.B【解析】?=

(1-i)2—2i-2-

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（9」）.

2.D【解析】由題知選項(xiàng)A,B,C中的曲線既有對(duì)稱軸.

又有對(duì)稱中心，選項(xiàng)D中的曲線只有對(duì)稱軸，沒有對(duì)稱

中心.

3.B【解析】因?yàn)樗詀〃-2X1=0,即M=2,

所以“2+/》2兒=4,當(dāng)且僅當(dāng)￡/=0時(shí)，等號(hào)成立.

OM=2丈，MN=VIOM=23丈，則ME=yMN=

4.B【解析】由題得小一〃+所以小=4〃，

ME瓜

用丈.在RtAMOE中.sinZMOE=南=彳.則

所以雙曲線C"*一步=1,所以C；的漸近線方程為

NMOE=60°,在RtAMOC中，OC=2OM=4丈，在

^/2x±y=Q.

RtAAOF中.OF=2丈，ZOAF=45",則OA=29

5?A【解析】如圖，

丈.所以AC=OC+OA=4+2VF丈.

8.A【解析】令*(工)=￡;^,了>0,則/(工)=

C

"'(?T)+/(])—N/Q)、八廣匕…/、％-c

-------------------------------->0,所以g(.T)在區(qū)|可(0,

e

+8)上單調(diào)遞增.又(K+4)/(.l+4)<3(/+2,得

(.T+4)/(.z.十4)3/(3)七

--------------<—^―，所以^(1+4)<4(3),所rc以

e----------e

設(shè)該拋物線的方程為I?=一2〃丁，易知拋物線經(jīng)過0+4V3,解得一4VzV—1.

25二、選擇題

點(diǎn)（5,—6）,所以52=—2夕'（-6）,解得〃=通，故該

9.AC【解析】圓。2式工—2—2cosa/+(y+2sina￥=

b

拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為卜田故豎直懸掛的1的圓心C2(2+2cosa,-2sina),半徑R=1,令

("=2+22,°'消去￡1得(工—2)2+丁=4,即圓心心

[y=a,

閃光燈距離水面的距離為J=6--^4.96米.12sin

在圓(Z-2)2+/=4的圓周上，且半徑為2.若圓CI

6.D【解析】易知4（一小0）,8（d0）.設(shè)尸（工，》）（丫力與圓C2外切，則圓C\的方程為(.下一2/+/=1,即

yy,即工一不，又宗_儲(chǔ)；若圓與圓內(nèi)切，則圓的

0)測(cè)一=12.7=2a=+/—4Z+3=0c1c2a

JCx-a方程為J—2)2+/=9,即.1二十?2—41—5=0.

所以.一一〉=凱.即工（）所以

1,22y=%y2yW0,10.BD【解析】對(duì)于A,不妨取a=2邛=9,滿足題

)=一十^，即直線J>=—與雙曲線有公共點(diǎn).聯(lián)立意，但是cosa>cosPA錯(cuò)誤；對(duì)于B,a第6（5，汽），

wa~

-a-y-=a-/r-

4bl因?yàn)閟ina<sin￡,所以a>f,因?yàn)?,=cos.T在區(qū)間

2b2得/M-a??與即

v=~?a（5，冗）上單調(diào)遞減,所以cosa<cos0,B正確；對(duì)于

a-

(i2—4〃2

.r2(--j)=a?,要使方程有根?則2>Ab2=C,不妨取Q=",0=?，滿足題意，而tana=1>

a￡a

r25，解得l<e<當(dāng).tanS=g?C錯(cuò)誤；對(duì)于D,a,/3s（當(dāng)，2工），因?yàn)?/p>

4(—),即不=/<彳

?1

高三七調(diào)?新高考版?

sinaVsin0,所以aV￡,因?yàn)閥=tan.r在區(qū)間\AF|+|BF|=.i'i+.r2+2=；M（3>i+,2）+6=4，M+

（與時(shí)上單調(diào)遞增，所以tanaVtan￡,D正確.6K2|PF|,所以IAF|,IPF|,|BF|不成等差數(shù)列，故

C錯(cuò)誤.

11.BCD【解析】當(dāng)y=0時(shí)，./=4儲(chǔ)，解得工=0或2三、填空題

或一2,三個(gè)整點(diǎn)（0,0）,（2,0）,（—2,0）,當(dāng)時(shí)無13.（.T+1）2+/=3（答案不唯一）【解析】設(shè)圓C的圓

解，所以共有3個(gè)整點(diǎn)，A錯(cuò)誤+/=心坐標(biāo)為"，〃），因?yàn)橹本€/：工一>+3=0被圓C所

4（r*I2*S-y-）

,」‘，&4，在曲線C上取一點(diǎn)P（工，y）到原點(diǎn)的截得的弦長為2,圓的半徑為點(diǎn)，所以

J-+曠

（|“夏+3|『+F=（1）2,整理得&-6+3=2

距離"=，/+942,B正確；在曲線C上取一

點(diǎn)M,關(guān)于直線）=了的對(duì)稱點(diǎn)為N,設(shè)N（z,y）,或a—/>+3=—2,所以a—b=—1或a—/>=—5.可

則M（y,.r）,M在曲線C上，所以（./+/尸=取a=—1,〃=0,此時(shí)圓C：（.r+l）z+y2=3.

4（；/一工2）（正確；直線￥=人工與曲線C一定有公共2

14.y【解析】在△ABC中，因?yàn)閟inC=3sinA,由正弦

點(diǎn)（0,0）,因?yàn)橹本€y=Ar與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

定理得c=3a,所以/=2ac=6a2,由余弦定理可

4.1（1-6），所以1-抬&0.解得或4《-1,

D正確.15,8【解析】由題意，任意一個(gè)長方形R的四個(gè)頂點(diǎn)都

在同一個(gè)圓上，則該圓的方程為了2+^=個(gè)+6=4,

12.BD【解析】由題意得及?=1,解得p=2,則C：/=

即半徑為r=2,若圓心與長方形中相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的

4.z?.過A,B兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A-兩條射線夾角大小為。,。6（0,2,則長方形面積S=

B,，如圖所示,則|AF|=|AAJ,|BF|=|BBJ.4X-^-Xr2sin0=8sin。，當(dāng)。=5時(shí)，Sm**=8.

16.42【解析】由題得3/+3y2-10cr+3M=0,所以

儲(chǔ)+y2+2cx+c2=4Hz+4/_8s+4/,所以

（.r+c?+y2=4[（J-一c）2+y*],所以

/Cr+cy+VIppI

=3點(diǎn)尸在E上，所以鬲=2①.

y（.r-c）2+y

由雙曲線定義可知IPF"—|PF?|=2a②,聯(lián)立

①②得|DFi|=4a,|FFz|=2a.在△PFiF2中，由余

弦定理得IBE|2=|PF|?+|PFz「一21PF"-

設(shè)直線/:了=my+2（〃?W0）,A（ai），3（工2，/），IPF21cosNF]PF=16a2+4a2—2X4uX2aX-7-=

24

切線PA：y=A（t一乃）+w.聯(lián)立「「+2，得

41,即8a2=41,所以C的離心率《=￡=北\

（J-=4x,a

丁2—4〃？-8=0,4>0,則y\+?2=4）〃=-8,四、解答題

所以了”=凹9^=2〃1,1〃=myI）+2=2m2+2,即QC

17.解：（1）若選①，因?yàn)槿砸粸?1,

〃十2〃十1

D（2,r+2,2,〃）.聯(lián)立）+”，得城—所以數(shù)列（生為公差為1，首項(xiàng)為磬=1的等差

（y~=4]，

4y+4（山一ka：\）=0,所以k7^0=16—16￡卜】一數(shù)列，（2分）

S

1\22所以/*.=1+（11—1）X1=〃，所以S”=〃2+〃，

下々?。海?。，所以k=—，則切線PA：y=—（J—〃+1

4/Wyi（3分）

乃）+》i,即=2（.矛+ii）①,同理得切線P3：所以當(dāng)〃>2時(shí)，a”=S“一S?-i=n2+〃一[（〃一

V1V。

32y=2（工+孫）②，聯(lián)立①②得xp=—廠=—2,1尸+〃-1]=2〃，當(dāng)n=1時(shí)=2也符合，

4所以a”=2〃.（5分）

y1+V。

皿，=士」/士=2機(jī)=W>.即P（-2,2,〃），所以點(diǎn)P在若選②,由2s“=S+l）a”，得2sliai（42）.

兩式相減得2an=（?/+l）a?—waw-],

直線了=-2上,PD_Ly軸，故A錯(cuò)誤.D正確；在

所以（〃一l）a“,（3分）

y2=4x中，令y=2m，得.r=in2，所以E（，M,2，"），所

所以氾=R（〃，2）,

以E是PD的中點(diǎn)，故B正確；|PF|=4+力/,nn—1

?2

,數(shù)學(xué).參考答案及解析

所以恃｝為常數(shù)列，所以資=?=2,19.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（2.y0）在C上,所以4=2/）^o①,

因?yàn)閨AF|=2,所以”,+方=2②，

所以處,=2〃.（5分）

若選③，由S〃+i+S“_|=2+2S”(〃22),"二1'（負(fù)值舍去），所以p=2.（4分）

由①②解得

得S“+i—S“一(S“一S“_])=2(〃>2)./，=2

所以?！?]—an=2(〃)2),（2分）（2）由（1）知C的方程為M=4》，

又a2~~a1=2也滿足上式,（3分）依題意直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為

所以明+1—a?=2(〃21),（4分）y=kj：—2,M（.r??）,N（工？，皿）?則M|（一工i,1yi）,

所以K”｝為公差為2.首項(xiàng)為2的等差數(shù)列,k/72,得

由-44工+8=0,

所以u(píng)?=211.(5分)=43，

111所以4=16&2—32>0,則kz>2,

(2)令〃”=--—，由(1)知b?

7+1,

“跖7了1+科=4A,工1工2=8,（7分）

(7分)

所以T“=T+/〃+???+/=，-—y+y-y+W一山

所以4叫

+工2）-4-

111

了一幣（10分）

=1"+1"+1'則直線的方程為'一山=

J也

即

一=5'u=*/2,廠了4

18.解：（1）由題得?解得

〃=1,

_±=171—處,^1^2印]

61'即y=—XH----：—，即y=.r+2,

-4~44

（11分）

故C的方程為考一/=1.（4分）

令Z=0,可得y=2,

（2）C的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（石,0）,顯然直線I的斜率不所以直線MiN恒過定點(diǎn)（0,2）.（12分）

為0,如圖，20.解：（1）連接AC,BO交于點(diǎn)。,則O為AC,8D的中

點(diǎn)，連接

設(shè)Itx=my+VT,P（HI,y?）,Q（H2，y?），OP，

因?yàn)镻A=PC,所以O(shè)P_LAC,同理OP_LBD,且

與5—y2=1聯(lián)立得(〃[2—2)y2+2福〃zy+1=0,

OP=y/PD2-OD2=3.

所以〃/-2Ho.A=8〃r+8>0,又四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)B_LOC,(1分)

故以O(shè)為原點(diǎn).OB,OC,OP所在直線分別為了軸,

y軸，u軸建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系.

則A(0,—3,0,8(3,0,0),C(0,3,0),D(—3,0,0),

P(0,0,3),

所以AB=(3.3?0)MP=(0t3.3),EF=PF—PE—

-^-PC-?PD=-^-(0,3,—3)^-(—3.0,—3)=

（2分）

設(shè)平面PAB的法向量為〃i=

山+山=一；7^'"%=（7分）

nr-21

m?A3=0.

31r+3y=0,

>2—1由—>得

得2inyy2—戶3y+3z=0.

rhkAP+kAQ翌+0.t?A=0,

X2-2

取）=-1,則X=::=1,所以“1=（1,