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2023-2024學(xué)年湖北省華中師大附中高三第三次測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某人2018年的家庭總收人為元,各種用途占比如圖中的折線圖,年家庭總收入的各種用途占比統(tǒng)計(jì)如圖中的條形圖,已知年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,則該人年的儲(chǔ)畜費(fèi)用為()A.元 B.元 C.元 D.元2.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-13.已知函數(shù),,若成立,則的最小值為()A.0 B.4 C. D.4.若滿足約束條件則的最大值為()A.10 B.8 C.5 D.35.已知函數(shù),,且在上是單調(diào)函數(shù),則下列說(shuō)法正確的是()A. B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B.4 C. D.7.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.08.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為,且,則該雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.49.天干地支,簡(jiǎn)稱為干支,源自中國(guó)遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.10.在中,點(diǎn)為中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)的直線與,所在直線分別交于點(diǎn),,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.11.如圖所示,正方體的棱,的中點(diǎn)分別為,,則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.12.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積(單位:)為()A. B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知,則的面積為___________.14.在三棱錐中,,三角形為等邊三角形,二面角的余弦值為,當(dāng)三棱錐的體積最大值為時(shí),三棱錐的外接球的表面積為______.15.若實(shí)數(shù),滿足,則的最小值為__________.16.甲,乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽,甲隊(duì)有編號(hào)為1,2,3的三名運(yùn)動(dòng)員,乙隊(duì)有編號(hào)為1,2,3,4的四名運(yùn)動(dòng)員,若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽,則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)的概率分別為,三人各射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)記為.(1)求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為,直線與橢圓相交于兩點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過(guò)橢圓的下頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)時(shí),的周長(zhǎng)為,且與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(1)求橢圓的方程;(2)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足,若點(diǎn)恰好在圓上,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長(zhǎng)度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長(zhǎng)為,求直線的傾斜角.20.(12分)設(shè)函數(shù),(1)當(dāng),,求不等式的解集;(2)已知,,的最小值為1,求證:.21.(12分)隨著時(shí)代的發(fā)展,A城市的競(jìng)爭(zhēng)力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無(wú)不吸引著無(wú)數(shù)懷揣夢(mèng)想的年輕人前來(lái)發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬(wàn).近日,某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來(lái)A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問(wèn)卷,參與調(diào)查的對(duì)象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來(lái)A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開放且包容250合計(jì)10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)400萬(wàn)25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請(qǐng)?zhí)顚懴旅媪新?lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822.(10分)在新中國(guó)成立70周年國(guó)慶閱兵慶典中,眾多群眾在臉上貼著一顆紅心,以此表達(dá)對(duì)祖國(guó)的熱愛之情,在數(shù)學(xué)中,有多種方程都可以表示心型曲線,其中有著名的笛卡爾心型曲線,如圖,在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線,其極坐標(biāo)方程為(),M為該曲線上的任意一點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí),求M點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)2018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占得到就醫(yī)費(fèi)用,再根據(jù)年的就醫(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,得到年的就醫(yī)費(fèi)用,然后由年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人,得到2019年的家庭總收人再根據(jù)儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人求解.【詳解】因?yàn)?018年的家庭總收人為元,且就醫(yī)費(fèi)用占所以就醫(yī)費(fèi)用因?yàn)槟甑木歪t(yī)費(fèi)用比年的就醫(yī)費(fèi)用增加了元,所以年的就醫(yī)費(fèi)用元,而年的就醫(yī)費(fèi)用占總收人所以2019年的家庭總收人為而儲(chǔ)畜費(fèi)用占總收人所以儲(chǔ)畜費(fèi)用:故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的折線圖和條形圖的應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
令,進(jìn)而求得,再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解.【詳解】∵∴(),∴,令:,,在上增,且,所以在上減,在上增,所以,所以的最小值為0.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,恰當(dāng)?shù)挠靡粋€(gè)未知數(shù)來(lái)表示和是本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.4、D【解析】
畫出可行域,將化為,通過(guò)平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過(guò)時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過(guò)平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問(wèn)題.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù),在上是單調(diào)函數(shù),確定,然后一一驗(yàn)證,A.若,則,由,得,但.B.由,,確定,再求解驗(yàn)證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計(jì)算是否為0.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù),在上是單調(diào)函數(shù),所以,即,所以,若,則,又因?yàn)?,即,解得,而,故A錯(cuò)誤.由,不妨令,得由,得或當(dāng)時(shí),,不合題意.當(dāng)時(shí),,此時(shí)所以,故B正確.因?yàn)?,函?shù),在上是單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤.,故D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于較難的題.6、A【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的的值,當(dāng),,退出循環(huán),輸出結(jié)果.【詳解】程序運(yùn)行過(guò)程如下:,;,;,;,;,;,;,,退出循環(huán),輸出結(jié)果為,故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)程序框圖的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有判斷程序框圖輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題目.7、B【解析】
根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
由傾斜角的余弦值,求出正切值,即的關(guān)系,求出雙曲線的離心率.【詳解】解:設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為,由題意又,則,,,所以離心率,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】
利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.【詳解】20個(gè)年份中天干相同的有10組(每組2個(gè)),地支相同的年份有8組(每組2個(gè)),從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算,考查組合數(shù)的計(jì)算,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.10、B【解析】
由,,三點(diǎn)共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn),所以,又因?yàn)?,,所以.因?yàn)椋?,三點(diǎn)共線,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值為1.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了三點(diǎn)共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.11、C【解析】
以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由向量法求出直線EF與平面AA1D1D所成角的正弦值.【詳解】以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則,,,取平面的法向量為,設(shè)直線EF與平面AA1D1D所成角為θ,則sinθ=|,直線與平面所成角的正弦值為.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的正弦值的求法,也考查數(shù)形結(jié)合思想和向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.12、D【解析】
根據(jù)幾何體的三視圖,該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到,根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法,考查了空間想象力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由余弦定理先算出c,再利用面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理,得,即,解得,故的面積.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道基礎(chǔ)題.14、【解析】
根據(jù)題意作出圖象,利用三垂線定理找出二面角的平面角,再設(shè)出的長(zhǎng),即可求出三棱錐的高,然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值,從而得出各棱的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的幾何性質(zhì),利用球心距,半徑,底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】如圖所示:過(guò)點(diǎn)作面,垂足為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),連接.則為二面角的平面角的補(bǔ)角,即有.∵易證面,∴,而三角形為等邊三角形,∴為的中點(diǎn).設(shè),.∴.故三棱錐的體積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),,即.∴三點(diǎn)共線.設(shè)三棱錐的外接球的球心為,半徑為.過(guò)點(diǎn)作于,∴四邊形為矩形.則,,,在中,,解得.三棱錐的外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐的外接球的表面積的求法,涉及二面角的運(yùn)用,基本不等式的應(yīng)用,以及球的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的直觀想象能力,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.15、【解析】
由約束條件先畫出可行域,然后求目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當(dāng)平行線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取到最小值,由可得,此時(shí),所以的最小值為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識(shí),解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標(biāo)函數(shù),結(jié)合圖形求出最值,需要掌握解題方法.16、【解析】
出場(chǎng)運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件顯然有3種,計(jì)算出總的基本事件數(shù),由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號(hào)為1,2,3的三名運(yùn)動(dòng)員,乙隊(duì)有編號(hào)為1,2,3,4的四名運(yùn)動(dòng)員,出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件數(shù)為3,出現(xiàn)的基本事件總數(shù),則出場(chǎng)的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1),ξ的分布列為ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ個(gè)人命中,3-ξ個(gè)人未命中”的概率.其中ξ的可能取值為0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列為ξ
0
1
2
3
P
(1-a)2
(1-a2)
(2a-a2)
ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×(1-a)2+1×(1-a2)+2×(2a-a2)+3×=.(2)P(ξ=1)-P(ξ=0)=[(1-a2)-(1-a)2]=a(1-a);P(ξ=1)-P(ξ=2)=[(1-a2)-(2a-a2)]=;P(ξ=1)-P(ξ=3)=[(1-a2)-a2]=.由和0<a<1,得0<a≤,即a的取值范圍是.18、(1);(2)或【解析】
(1)由橢圓的定義可知,焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為,從而求出.寫出直線的方程,與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為,求出和,從而寫出橢圓的方程;(2)設(shè)出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo),由可知點(diǎn)為的重心,根據(jù)重心坐標(biāo)公式可將點(diǎn)用P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示.由點(diǎn)在圓O上,知點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足圓O的方程,得式.為直線l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn),用韋達(dá)定理表示,將其代入方程,再利用求得的范圍,最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解:(1)由題意知.,直線的方程為∵直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為解得或(舍去),∴橢圓的方程為(2)設(shè).∴點(diǎn)為的重心,∵點(diǎn)在圓上,由得,代入方程,得,即由得解得.或【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng),標(biāo)準(zhǔn)方程的求解,直線與橢圓的位置關(guān)系,其中重心坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的應(yīng)用是關(guān)鍵.考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于較難的題.19、(1);(2)或【解析】
(1)消去參數(shù)可得圓的直角坐標(biāo)方程,再根據(jù),,即可得極坐標(biāo)方程;(2)寫出直線的極坐標(biāo)方程為,代入圓的極坐標(biāo)方程,根據(jù)極坐標(biāo)的意義列出等式解出即可.【詳解】(1)圓:,消去參數(shù)得:,即:,∵,,.∴,.(2)∵直線:的極坐標(biāo)方程為,當(dāng)時(shí).即:,∴或.∴或,∴直線的傾斜角為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程化為普通方程,直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的幾何意義,屬于中檔題.20、(1)或;(2)證明見解析【解析】
(1)將化簡(jiǎn),分類討論即可;(2)由(1)得,,展開后再利用基本不等式即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以或或解得或,因此不等式的解集的或
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