《高中數學選擇性必修一》一輪考點復習與講解

《高中數學選擇性必修一》一輪考點復習與講解《1.1空間向量及其運算》考點復習【思維導圖】【常見考法】考點一概念的辨析【例1】下列命題中，假命題是（）A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【一隅三反】1．（在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．32.在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3考點二空間向量的線性運算【例2】在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（）A． B．C． D．【一隅三反】1．如圖，空間四邊形中，，且，，則（）A． B． C． D．2．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．3．如圖，在空間四邊形ABCD中，設E，F分別是BC，CD的中點，則+（-）等于（）A．B．C．D．考點三空間向量的共面問題【例3】在下列條件中，使與，，一定共面的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數t＝______．2．已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有，則x＝________.3．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數的值為（）A． B． C． D．4．已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點O引向量．，．求證：四點E，F，G，H共面考點四空間向量的數量積【例4】已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.（1）求AC′的長；（如圖所示）（2）求與的夾角的余弦值．【一隅三反】1．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量兩兩的夾角均為60°,且||=1,||=2,||=3,則||等于()A．5 B．6 C．4 D．82．四棱柱的底面為矩形，，，，，則的長為（）A． B．46 C． D．323．若空間四邊形的四個面均為等邊三角形，則的值為（）A． B． C． D．04．⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線與AC所成的角.《1.1空間向量及其運算》考點復習答案解析考點一概念的辨析【例1】下列命題中，假命題是（）A．同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C．只有零向量的模等于0D．共線的單位向量都相等【答案】D【解析】A.向量是有向線段，不能比較大小.真命題.B.兩向量相等：方向相同，模長相等.起點相同，則終點也相同.真命題.C.零向量：模長為0的向量.真命題.D.共線的單位向量是相等向量或相反向量.假命題.故選：D.【一隅三反】1．在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】此題考查向量的知識點；對于①：根據兩向量共線定義知道，兩向量共線有可能兩向量所在的直線重合，所以此命題錯誤；對于②：兩個向量可以平移到一個平面內，所以此命題錯誤；對于③：若三個向量兩兩共面，這三個向量有可能不共面，所以此命題錯誤；對于④：根據空間向量的基本定理知道，這三個向量要不共面才可以，所以此命題錯誤，所以選A2.在下列命題中：①若、共線，則、所在的直線平行；②若、所在的直線是異面直線，則、一定不共面；③若、、三向量兩兩共面，則、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，則空間任意一個向量總可以唯一表示為.其中正確命題的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】①若、共線，則、所在的直線平行或重合；所以①錯；②因為向量是可以自由移動的量，因此即使、所在的直線是異面直線，、也可以共面；所以②錯；③若、、三向量兩兩共面，因為兩平面的關系不確定，因此、、三向量不一定共面；所以③錯；④若三向量、、共面，若向量不在該平面內，則向量不能表示為，所以④錯.故選：A.考點二空間向量的線性運算【例2】在四面體中，點在上，且，為中點，則等于（）A． B．C． D．【答案】B【解析】在四面體中，點在上，且，為中點，所以，即.故選：B.根據三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉化，一定要看最后是誰來表示。根據三角形法則與平行四邊形法則以及空間向量的加減法進行轉化，一定要看最后是誰來表示?！疽挥缛础?．如圖，空間四邊形中，，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，又因為，所以.故選：C2．在平行六面體中，M為與的交點，若,，則與相等的向量是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據空間向量的線性運算可知因為,，則即，故選：D.3．如圖，在空間四邊形ABCD中，設E，F分別是BC，CD的中點，則+（-）等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】-＝，，∴+（-）．故選C．考點三空間向量的共面問題【例3】在下列條件中，使與，，一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A選項，由于，所以不能得出共面.對于B選項，由于，所以不能得出共面.對于C選項，由于，則為共面向量，所以共面.對于D選項，由得，而，所以不能得出共面.故選：C與，與，，一定共面的充要條件是，【一隅三反】1．O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數t＝______．【答案】【解析】P，A，B，C四點共面，且，，解得.故答案為:2．已知點M在平面ABC內，并且對空間任意一點O，有，則x＝________.【答案】【解析】已知且M，A，B，C四點共面，則，解得x=3．空間四點共面，但任意三點不共線，若為該平面外一點且，則實數的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為空間四點共面，但任意三點不共線，對于該平面外一點都有，所以，解得.故選A4．已知平行四邊形ABCD從平面AC外一點O引向量．，．求證：四點E，F，G，H共面【答案】證明見解析【解析】∵；∴；EF//AB，且EF＝|k|AB；同理HG//DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；∴EF//HG，且EF＝HG；∴四邊形EFGH為平行四邊形；∴四點E，F，G，H共面.考點四空間向量的數量積【例4】已知平行六面體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.（1）求AC′的長；（如圖所示）（2）求與的夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）可得＝＝，＝＝+2（）＝42+32+52+2（4×3×0+4×）＝85故AC′的長等于＝（2）由（1）可知＝，＝故＝（）（）＝＝＝又＝＝＝＝5故與的夾角的余弦值＝＝求兩個向量的夾角有兩種方法：方法一：求兩個向量的夾角有兩種方法：方法一：結合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍角的大小先求a·b，再利用公式cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最后確定〈a，b〉方法二：①根據題設條件在所求的異面直線上取兩個向量(即直線的方向向量)②異面直線所成角的問題轉化為向量夾角問題③利用數量積求向量夾角的余弦值或角的大小【一隅三反】1．平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量兩兩的夾角均為60°,且||=1,||=2,||=3,則||等于()A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A【解析】在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中有，=所以有=，于是有===25所以，答案選A2．四棱柱的底面為矩形，，，，，則的長為（）A． B．46 C． D．32【答案】C【解析】由,.由底面為矩形得；，，另；，,3．若空間四邊形的四個面均為等邊三角形，則的值為（）A． B． C． D．0【答案】D【解析】依題意空間四邊形的四個面均為等邊三角形，設棱長均為.而，則所以.故選：D4．⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?AB、?BC的對角線都分別相互垂直且相等，若AB＝a，求異面直線與AC所成的角.【答案】60°【解析】如圖所示.因為故因為AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，故故又故.而，故可得，又∵異面直線所成的角是銳角或直角，∴異面直線BA1與AC成60°角.《1.2空間向量的基本定理》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一基底的判斷【例1】在正方體中，可以作為空間向量的一組基底的是（）A． B．C． D．【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．基底中基向量與基底基向量對應相等2．設向量不共面,則下列可作為空間的一個基底的是()A． B．C． D．3．若a,A．b+cC．b+c考點二基底的運用【例2】如圖，平行六面體中，為的中點，，，，則（）A． B． C． D．【一隅三反】1．如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設，，，則（）A． B．C． D．2．在平行六面體ABCD－中，用向量來表示向量（）A．B．C．D．3．在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A． B． C． D．考點三基本定理的運用【例3】如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【一隅三反】1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于，是PC的中點，設．（1）試用表示出向量；（2）求的長．2．如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于1，．（1）設，，，用向量，，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．3．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.《1.2空間向量的基本定理》考點復習答案解析考點一基底的判斷【例1】在正方體中，可以作為空間向量的一組基底的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】:共面，排除A共面，排除B共面，排除D三個向量是不共面的，可以作為一個基底.故選：C空間向量基底.空間向量基底.不共面的三個向量構成空間向量的基底【一隅三反】1．下列說法正確的是（）A．任何三個不共線的向量可構成空間向量的一個基底B．空間的基底有且僅有一個C．兩兩垂直的三個非零向量可構成空間的一個基底D．基底中基向量與基底基向量對應相等【答案】C【解析】項中應是不共面的三個向量構成空間向量的基底,所以錯.項，空間基底有無數個,所以錯.項中因為基底不唯一，所以錯.故選.2．設向量不共面,則下列可作為空間的一個基底的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】選項A,B中的三個向量都是共面向量，所以不能作為空間的一個基底.選項D中，，根據空間向量共面定理得這三個向量共面，所以不能作為空間的一個基底.選項C中不共面,故可作為空間的一個基底.故選：C.3．若a,A．b+cC．b+c【答案】A【解析】∵2b=b∵a+b+∵a+c=a考點二基底的運用【例2】如圖，平行六面體中，為的中點，，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】為的中點，．故選：．【一隅三反】1．如圖，在三棱錐中，點，，分別是，，的中點，設，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】連接分別為中點故選：2．在平行六面體ABCD－中，用向量來表示向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，故選B3．（2020·江西吉安。高二期末（理））在四面體中，空間的一點滿足，若共面，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由共面知，故選：考點三基本定理的運用【例3】如圖，在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是，為與的交點.若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）連接,，，如圖：，，在，根據向量減法法則可得：底面是平行四邊形且又為線段中點在中（2）頂點為端點的三條棱長都是，且它們彼此的夾角都是由（1）可知平行四邊形中故：故：對角線的長為：.（3），又【一隅三反】1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于，是PC的中點，設．（1）試用表示出向量；（2）求的長．【答案】（1）（2）【解析】（1）∵是PC的中點，∴（2）.2．如圖，三棱柱中，底面邊長和側棱長都等于1，．（1）設，，，用向量，，表示，并求出的長度；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）；；（2）.【解析】（1），同理可得，．（2）因為，所以，因為，所以．異面直線與所成角的余弦值為．3．已知平行六面體的底面是邊長為1的菱形，且，.（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】設，，由題可知：兩兩之間的夾角均為，且，（1）由所以即證.（2）由，又所以，又則又異面直線夾角范圍為所以異面直線夾角的余弦值為.《1.3空間向量及其坐標的運算》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一坐標的運算【例1】（1）設，向量，，則（）A． B． C．3 D．4（2）已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（）A． B．或 C． D．或【一隅三反】1．下列向量中與向量平行的向量是（）A． B．C． D．2．已知向量，，若，則k的值等于（）A．1 B． C． D．3．在空間直角坐標系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關于yOz平面對稱的點的坐標是()A．（2,1,3）B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3）D．（2,﹣1,﹣3）4．已知.（1）若，分別求λ與m的值；（2）若，且與垂直，求.考點二坐標運算在幾何中的運用【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點.（1）求BM，BN的長.（2）求△BMN的面積.【一隅三反】1．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，，則直線與直線夾角的余弦值為（）.A． B． C． D．2．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求的坐標．考點三最值問題【例3】已知點，，則，兩點的距離的最小值為（） B． C． D．【一隅三反】1．已知，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（）A． B． C． D．2．已知點，，，，點在直線上運動，當取得最小值時，點的坐標為________________．《1.3空間向量及其坐標的運算》考點復習答案解析考點一坐標的運算【例1】（1）設，向量，，則（）A． B． C．3 D．4（2）已知空間向量，，則向量與（）的夾角為（）A． B．或 C． D．或【答案】（1）C（2）B【解析】，，，故選：C.（2）解得，代入得，又向量夾角范圍：故的夾角為，則與的夾角，當時為；時為.故選：B.【一隅三反】1．下列向量中與向量平行的向量是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，又，所以A、C、D選項均不符合的形式，只有滿足.故選：B.2．已知向量，，若，則k的值等于（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=.故選：D3．在空間直角坐標系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關于yOz平面對稱的點的坐標是()A．（2,1,3） B．（﹣2,﹣1,3）C．（2,1,﹣3） D．（2,﹣1,﹣3）【答案】B【解析】在空間直角坐標系O﹣xyz中,點A（2,﹣1,3）關于yOz平面對稱的點的坐標是（﹣2,﹣1,3）.故選：B.4．已知.（1）若，分別求λ與m的值；（2）若，且與垂直，求.【答案】（1）λ=，m=3；（2）.【解析】（1）由，得，解得（2），且化簡得，解得.因此考點二坐標運算在幾何中的運用【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點.（1）求BM，BN的長.（2）求△BMN的面積.【答案】（1）BM的長為，BN的長為；（2）.【解析】以C為原點，以CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖).則B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.（1），.故BM的長為，BN的長為.（2）故.即△BMN的面積為.【一隅三反】1．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，，則直線與直線夾角的余弦值為（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】，，設，根據題意得，,,,.,,.故選：A.2．在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求的坐標．【答案】【解析】∵＝－(＋)＝＝－－－又||＝||＝4，||＝4，||＝2，∴＝－－－∵＝－＝－(＋)＝－－.又||＝2，||＝4，||＝4，∴＝－－(－4,2，－4)．考點三最值問題【例3】已知點，，則，兩點的距離的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為點，所以有二次函數易知，當時，取得最小值為的最小值為故選：C.由兩點之間的距離公式求得AB由兩點之間的距離公式求得AB之間的距離用t表示出來，建立關于t的函數，轉化為求函數的最小值【一隅三反】1．已知，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，因為點在直線上運動，所以，所以，即，，所以，所以所以當時，取得最小值，此時點的坐標為.故選：B2．已知點，，，，點在直線上運動，當取得最小值時，點的坐標為_______________．【答案】《1.4.1空間向量應用（一）》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一平面的法向量【例1】如圖已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，試建立適當的坐標系．(1)求平面ABCD的一個法向量；(2)求平面SAB的一個法向量；(3)求平面SCD的一個法向量．【一隅三反】1．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面BDD1B1的一個法向量；(2)平面BDEF的一個法向量．2．四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：①為平面PAD的法向量；②為平面PAC的法向量；③為直線AB的方向向量；④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．其中正確命題的序號是______________考點二空間向量證明平行【例2】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG.（2）證明平面EFG∥平面PBC【一隅三反】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．2．已知平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關系為_______.3．已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則______.考點三空間向量證垂直【例3】如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【一隅三反】1．已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為（）A．B．C．與相交但不垂直D．2．已知平面的法向量為，若直線平面，則直線l的方向向量可以為（）A． B．C． D．3．四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，則直線與底面的關系是()A．平行 B．垂直 C．在平面內 D．成60°角4．如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列問題（1）求證：（2）求證平面．5．如圖，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點在邊上移動.（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有.《1.4.1空間向量應用（一）》考點復習答案解析考點一平面的法向量【例1】如圖已知ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，試建立適當的坐標系．(1)求平面ABCD的一個法向量；(2)求平面SAB的一個法向量；(3)求平面SCD的一個法向量．【答案】見解析【解析】以點A為原點，AD、AB、AS所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))，S(0,0,1)．(1)∵SA⊥平面ABCD，∴eq\o(AS,\s\up7(→))＝(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量．(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，0))是平面SAB的一個法向量．(3)在平面SCD中，eq\o(DC,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，eq\o(SC,\s\up7(→))＝(1,1，－1)．設平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，則n⊥eq\o(DC,\s\up7(→))，n⊥eq\o(SC,\s\up7(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DC,\s\up7(→))＝0，,n·\o(SC,\s\up7(→))＝0，))得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋y＝0，,x＋y－z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2y，,z＝－y，))令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．1.利用待定系數法求平面法向量的步驟(1)設向量：設平面的法向量為1.利用待定系數法求平面法向量的步驟(1)設向量：設平面的法向量為n＝(x，y，z)(2)選向量：在平面內選取兩個不共線向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))(3)列方程組：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程組(4)解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0.))(5)賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)(6)得結論：得到平面的一個法向量2.求平面法向量的三個注意點(1)選向量：在選取平面內的向量時，要選取不共線的兩個向量(2)取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量(3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0【一隅三反】1．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱A1D1、A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面BDD1B1的一個法向量；(2)平面BDEF的一個法向量．【答案】見解析【解析】設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．(1)連接AC(圖略)，因為AC⊥平面BDD1B1，所以eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)為平面BDD1B1的一個法向量．(2)eq\o(DB,\s\up7(→))＝(2,2,0)，eq\o(DE,\s\up7(→))＝(1,0,2)．設平面BDEF的一個法向量為n＝(x，y，z)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(DE,\s\up7(→))＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＝0，,x＋2z＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,z＝－\f(1,2)x.))令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即為平面BDEF的一個法向量.2．四棱錐中，底面，為正方形的對角線，給出下列命題：①為平面PAD的法向量；②為平面PAC的法向量；③為直線AB的方向向量；④直線BC的方向向量一定是平面PAB的法向量．其中正確命題的序號是______________【答案】②，③，④【解析】①因為底面是正方形，所以，由平面PAD知不是平面PAD的法向量；②由底面是正方形知，因為底面，BD平面ABCD，所以，又，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，為平面PAC的法向量，②正確；③因為底面是正方形，所以，則為直線AB的方向向量，③正確；④易知，因為底面，平面ABCD，所以，又，平面PAB，平面PAB，所以平面PAB，故④正確.故答案為：②，③，④考點二空間向量證明平行【例2】如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分別是線段PA，PD，CD的中點．求證：PB∥平面EFG.（2）證明平面EFG∥平面PBC【答案】見解析【解析】證明∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1，0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，設eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→))，又∵eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))不共線，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.（2）證明∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0，1，0)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0，2，0)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))，∴BC∥EF.又∵EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴EF∥平面PBC，同理可證GF∥PC，從而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF?平面EFG，∴平面EFG∥平面PBC.線線平行證明兩直線的方向向量共線線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行面面平行①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題【一隅三反】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點．求證：MN∥平面A1BD．【答案】見解析【解析】法一如圖，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))，于是eq\o(DA1,\s\up7(→))＝(1,0,1)，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2))).設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(DA1,\s\up7(→))，,n⊥\o(DB,\s\up7(→))，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(DA1,\s\up7(→))＝x＋z＝0，,n·\o(DB,\s\up7(→))＝x＋y＝0，))取x＝1，則y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一個法向量為n＝(1，－1，－1)．又eq\o(MN,\s\up7(→))·n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))·(1，－1，－1)＝0，∴eq\o(MN,\s\up7(→))⊥n.∴MN∥平面A1BD．法二eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(C1N,\s\up7(→))－eq\o(C1M,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1A1,\s\up7(→))－eq\o(D1D,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DA1,\s\up7(→))，∴eq\o(MN,\s\up7(→))∥eq\o(DA1,\s\up7(→))，∴MN∥平面A1BD．法三eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(C1N,\s\up7(→))－eq\o(C1M,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1B1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DB,\s\up7(→))＋\o(BA,\s\up7(→))))－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A1B,\s\up7(→))＋\o(BA,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(DB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1B,\s\up7(→)).即eq\o(MN,\s\up7(→))可用eq\o(A1B,\s\up7(→))與eq\o(DB,\s\up7(→))線性表示，故eq\o(MN,\s\up7(→))與eq\o(A1B,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))是共面向量，故MN∥平面A1BD．2．已知平面的一個法向量為，則直線與平面的位置關系為_______.【答案】直線在平面上或直線與平面平行【解析】由，所以.又向量為平面的一個法向量.所以直線在平面上或直線與平面平行.故答案為：直線在平面上或直線與平面平行.3．（2019·江蘇海陵.泰州中學高二月考）已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則______.【答案】【解析】由題意，知，∴，即，∴.故答案為：考點三空間向量證垂直【例3】如圖所示，正三棱柱(底面為正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【答案】見解析【解析】方法一設平面A1BD內的任意一條直線m的方向向量為m.由共面向量定理，則存在實數λ，μ，使m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→)).令eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BA,\s\up6(→))＝c，顯然它們不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，以它們?yōu)榭臻g的一個基底，則eq\o(BA1,\s\up6(→))＝a＋c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝a－c，m＝λeq\o(BA1,\s\up6(→))＋μeq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc，eq\o(AB1,\s\up6(→))·m＝(a－c)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))a＋μb＋λc))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)μ))－2μ－4λ＝0.故eq\o(AB1,\s\up6(→))⊥m，結論得證．方法二取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，且平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1的中點O1，以O為原點，分別以OB，OO1，OA所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，eq\r(3))，A(0，0，eq\r(3))，B1(1，2，0)．設平面A1BD的一個法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(BA1,\s\up6(→))＝(－1，2，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，1，0)．因為n⊥eq\o(BA1,\s\up6(→))，n⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BA1,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BD,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2y＋\r(3)z＝0，,－2x＋y＝0，))令x＝1，則y＝2，z＝－eq\r(3)，故n＝(1，2，－eq\r(3))為平面A1BD的一個法向量，而eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(1，2，－eq\r(3))，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))＝n，所以eq\o(AB1,\s\up6(→))∥n，故AB1⊥平面A1BD.利用空間向量證明線線垂直時，確定兩條直線的方向向量，由向量數量積為0利用空間向量證明線線垂直時，確定兩條直線的方向向量，由向量數量積為0即可得證利用空間向量法證明線面垂直的方法有兩種：①利用判定定理，即通過證明向量數量積為0來驗證直線的方向向量與平面內兩條相交直線的方向向量垂直；②求出平面的法向量，驗證直線的方向向量與平面的法向量平行利用空間向量法證明面面垂直有兩種方法：①證明其中一個平面過另一個平面的垂線，即轉化為線面垂直；②證明兩平面的法向量垂直【一隅三反】1．已知平面的法向量為，，則直線與平面的位置關系為（）A． B． C．與相交但不垂直 D．【答案】A【解析】.本題選擇A選項.2．已知平面的法向量為，若直線平面，則直線l的方向向量可以為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為直線平面，故直線l的方向向量與平面的法向量平行，因為,故選：B.3．四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，則直線與底面的關系是()A．平行 B．垂直 C．在平面內 D．成60°角【答案】B【解析】依題意，而，所以，而，所以平面.故選：B4．如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列問題（1）求證：（2）求證平面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，設正方體邊長為，則，，，，，故，，故，故.（2），故，故，又，，故平面.5．如圖，平面，四邊形是矩形，，點是的中點，點在邊上移動.（1）當點為的中點時，試判斷與平面的位置關系，并說明理由；（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有.【答案】（1）平面，理由見解析.（2）證明見解析【解析】（1）是的中點，是的中點，.又平面.平面，平面.（2）以為原點，所在的直線分別為軸?軸?軸建立空間直角坐標系，則，，，設，則在上，設，，，，.無論點在邊的何處，都有.《1.4.2空間向量應用（二）》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一空間向量求線線角【例1】如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知在正方體中，P為線段上的動點，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（）A． B． C． D．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點，則AM與BN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)3．已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2,3)考點二空間向量求線面角【例2】如圖所示，是四棱錐的高，四邊形為正方形，點是線段的中點，.（1）求證：；（2）若點是線段上靠近的四等分點，求直線與平面所成角的正弦值.【一隅三反】1．如圖，四棱錐中，，，，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．2．在正四棱柱中，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分別為AB，PB中點，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.考點三空間向量求二面角【例3】如圖，在三棱錐中，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【一隅三反】1．如圖，圓的直徑，為圓周上不與點、重合的點，垂直于圓所在平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.2．如圖，已知四棱錐中，是平行四邊形，，平面平面，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.3．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.考點四空間向量求距離【例4】如圖，棱長為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知平面的一個法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為（）A． B． C．1 D．2．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．3．若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點P到平面ABC的距離是（）A． B． C． D．《1.4.2空間向量應用（二）》考點復習答案解析考點一空間向量求線線角【例1】如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，，是等腰三角形，點是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，兩兩垂直，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.又因為，，所以，，，，因為是棱的中點，所以，所以，，所以，故選：B.向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)向量法求異面直線所成角的一般步驟(1)選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系；(2)確定異面直線上兩個點的坐標，從而確定異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值【一隅三反】1．已知在正方體中，P為線段上的動點，則直線與直線所成角余弦值的范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設正方體的棱長為1，如圖所示，以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則有．設，則，，所以．又因為，所以．故選：A．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，N，M分別是A1B1，A1C1的中點，則AM與BN所成角的余弦值為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,5)C.eq\f(7,10)D.eq\f(4,5)【答案】C【解析】如圖所示，取AC的中點D，以D為原點，BD，DC，DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設AC＝2，則A(0，－1，0)，M(0，0，2)，B(－eq\r(3)，0，0)，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝(0，1，2)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，2))，所以cos〈eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AM,\s\up6(→))·\o(BN,\s\up6(→)),|\o(AM,\s\up6(→))|·|\o(BN,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(7,2),\r(5)×\r(5))＝eq\f(7,10)，故選C.3．已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE，SD所成的角的余弦值為()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2,3)【答案】C【解析】依題意，建立坐標系如圖所示，設四棱錐S-ABCD的棱長為eq\r(2)，則A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)，∴E點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(1,2)))，eq\o(SD,\s\up7(→))＝(－1,0，－1)，∴cos〈eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(SD,\s\up7(→))〉＝eq\f(－1,\f(\r(6),2)·\r(2))＝－eq\f(\r(3),3)，故異面直線所成角的余弦值為eq\f(\r(3),3).故選C考點二空間向量求線面角【例2】如圖所示，是四棱錐的高，四邊形為正方形，點是線段的中點，.（1）求證：；（2）若點是線段上靠近的四等分點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因為，，所以.因為為正方形，所以，又因為，所以.因為，所以.因為，故，而為線段的中點，所以，又因為，所以.而，故；（2）因為，，以為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方形的邊長為2，則，，，，，∴，，設為平面的法向量，則所以取，則，而，故直線與平面所成角的正弦值為若直線若直線l與平面α的夾角為θ，直線l的方向向量l與平面α的法向量n的夾角為β，則θ＝eq\f(π,2)－β或θ＝β－eq\f(π,2)，故有sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|l·n|,|l||n|).【一隅三反】1．如圖，四棱錐中，，，，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）如下圖所示，取的中點，連接.，，為的中點，則，，又，可得，四邊形為平行四邊形，，且，，，，，則，，，，平面，平面，因此，；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，所以，，，.設平面的法向量為，由，得，可得，令，可得，，則，.因此，直線與平面所成角的正弦值為.2．在正四棱柱中，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若為上的動點，使直線與平面所成角的正弦值是，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】如圖建立空間直角坐標系，(0，0，0)，(1，0，0)，(1，1，0)，(0，1，0)，(1，0，2)，(1，1，2)，(0，1，2)，(0，0，2)，(0，1，1)（1）證明：設平面的法向量(，，)，(1，1，0)，(0，1，1)由，即，取，得(1，-1，1)，又(-1，1，2)，因為，所以，所以平面.（2）證明：由（1）可知(1，-1，1)，(-1，1，-1)，，所以，所以平面.（3）設點的坐標為(1，1，)，(0，1，)，設直線與平面所成角為，則，解得，所以點的坐標為(1，1，1)，(1，1，1)，，所以的長為.3．如圖，在三棱錐P-ABC中，AC⊥BC，且，AC=BC=2，D，E分別為AB，PB中點，PD⊥平面ABC，PD=3.(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，易知C(0，0，0)，A(2，0，0)，D(1，1，0)，E(，，)，P(1，1，3)，設直線CE與直線PA夾角為，則整理得；直線CE與直線PA夾角的余弦值；(2)設直線PC與平面DEC夾角為，設平面DEC的法向量為，因為，所以有取，解得，，即面DEC的一個法向量為，，.直線PC與平面DEC夾角的正弦值為.考點三空間向量求二面角【例3】如圖，在三棱錐中，．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1），平面，平面，平面．又平面，．在中，，，，即．又平面平面，平面．（2）據（1）求解知，兩兩互相垂直．以分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，則，．設平面的一個法向量，則令，則，．又平面的一個法向量，．又分析知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．利用向量法求二面角的大小的關鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量；利用向量法求二面角的大小的關鍵是確定平面的法向量，求法向量的方法主要有兩種：①求平面的垂線的方向向量；②利用法向量與平面內兩個不共線向量的數量積為零，列方程組求解【一隅三反】1．如圖，圓的直徑，為圓周上不與點、重合的點，垂直于圓所在平面，，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）如圖，連接，因為平面，所以.又因為在圓周上，為圓的直徑，所以，.故平面.（2）因為，直徑，，所以，，由（1）得，，，垂直于圓所在的平面，所以.因為，以點為坐標原點，以、為、軸建立如圖空間直角坐標系，則、、、，，，設平面的法向量，則，即，取，得.同理可求得平面的一個法向量.設與的夾角為，故，又由圖知為銳二面角，二面角的余弦值為.2．如圖，已知四棱錐中，是平行四邊形，，平面平面，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：如圖，取的中點，連接，，因為，，分別為，，的中點，所以，，又因為，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.（2）因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.因為平面，所以，又，，所以平面.所以以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點和平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則軸在平面內.令，又，，所以，，，，，，設平面的一個法向量為，則所以令，則，，所以.又平面，所以是平面的一個法向量.所以.所以二面角的余弦值為.3．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，是的中點.（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）因為平面，平面，所以.因為，所以，所以，故.又，所以平面.因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為原點，，，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系，設，，則，，，，則，，，，易知為平面的一個法向量.設為平面的一個法向量，由，即∴，取，則，.依題意，，解得.于是，，.則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查證明面面垂直，考查用空間向量法求二面角，直線與平面所成的角，證明垂直常用相應的判定定理或性質定理，求空間角常用空間向量法．考點四空間向量求距離【例4】如圖，棱長為1的正方體，是底面的中心，則到平面的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖建立空間直角坐標系，則：由于平面平面，又，平面故平面的一個法向量為：到平面的距離為：故選：B求點到平面的距離的步驟可簡化為：①求平面的法向量；求點到平面的距離的步驟可簡化為：①求平面的法向量；②求斜線段對應的向量在法向量上的投影的絕對值，即為點到平面的距離．空間中其他距離問題一般都可轉化為點到平面的距離求解【一隅三反】1．已知平面的一個法向量為，點在平面內，則點到平面的距離為（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由題意，則，故選：A2．已知四面體中，，，兩兩垂直，，與平面所成角的正切值為，則點到平面的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示：設，，，，，.，，.設平面的法向量，則，令，得，，故.因為直線與平面所成角的正切值為，所以直線與平面所成角的正弦值為.即，解得.所以平面的法向量，故到平面的距離為.故選：D3．若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點P到平面ABC的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分別以PA，PB，PC所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)..設平面ABC的一個法向量為，由得：.令，則.則平面ABC的一個法向量為.所以點P到平面ABC的距離.故選：.《2.1直線的斜率與傾斜角》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一傾斜角【例1】（1）直線l：x+y﹣3＝0的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．90°（2）直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的范圍是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°【一隅三反】1．直線的傾斜角為（）．A． B． C． D．2．直線y＝的傾斜角是（）A． B． C． D．考點二斜率【例2】過點)與點)的直線的傾斜角為（）A． B． C．或 D．【一隅三反】1．如果過P（-2，m）,Q（m，4）兩點的直線的斜率為1，那么m的值是（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或42．直線經過，兩點，那么直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．3．若直線的傾斜角滿足，且，則其斜率滿足（）A． B．C．或 D．或考點三傾斜角與斜率綜合運用【例3】已知點，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．直線過點，且與以，為端點的線段有公共點，求直線的斜率和傾斜角的取值范圍.2．已知直線過點，.（1）當為何值時，直線的斜率是？（2）當為何值時，直線的傾斜角為？3．已知直線過點且與以，為端點的線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為_______．考點四直線平行【例4】直線與直線互相平行，則實數（）A． B．4 C． D．2【一隅三反】1．若直線2x+（a+2）y+4＝0與直線（a﹣1）x+2y+2＝0平行，則實數a的值為（）A．﹣3 B．2 C．2或﹣3 D．2．已知直線和直線平行，則實數m的值為（）A． B．1 C．2 D．33．若直線,互相平行,則實數的值為（）A． B．6 C． D．考點五直線垂直【例5】已知直線，若，則實數的值為（）A．-3 B．-3或0 C．2或-1 D．0或-1【一隅三反】1．“”是“兩直線和互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設，則“”是“直線與直線相交”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充他條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．若直線a，b的斜率分別為方程的兩個根，則a與b的位置關系為（）A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．無法確定《2.1直線的斜率與傾斜角》考點復習答案解析考點一傾斜角【例1】（1）直線l：x+y﹣3＝0的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．90°（2）直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的范圍是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°【答案】（1）C（2）C【解析】直線l：x+y﹣3＝0的傾斜角為則，因為，所以故選：C（2）由題意，可得直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角的范圍是90°180°，故選C.【一隅三反】1．直線的傾斜角為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】直線的斜率，設其傾斜角為，，則，所以，故選：C2．直線y＝的傾斜角是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設直線的傾斜角為，由題意直線的斜率，所以，所以.故選：A.考點二斜率【例2】過點)與點)的直線的傾斜角為（）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】，故直線的傾斜角為.故選：A.傾斜角與斜率的關系，一般地，如果直線的傾斜角為，則當傾斜角與斜率的關系，一般地，如果直線的傾斜角為，則當時，直線的斜率不存在，當時，斜率.【一隅三反】1．如果過P（-2，m）,Q（m，4）兩點的直線的斜率為1，那么m的值是（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【答案】A【解析】由題意，過過P（-2，m）,Q（m，4）兩點的直線的斜率為1，根據直線的斜率公式，可得，解得.故選：A.2．直線經過，兩點，那么直線的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】直線的斜率為，因為，所以，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：D.3．若直線的傾斜角滿足，且，則其斜率滿足（）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】斜率，因為，且，故或，即或，故選：C.考點三傾斜角與斜率綜合運用【例3】已知點，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，因為，所以，設傾斜角為，，則，所以.故選：B直線的斜率與傾斜角之間的關系、正切函數的單調性，當傾斜角范圍包含90直線的斜率與傾斜角之間的關系、正切函數的單調性，當傾斜角范圍包含90度時，斜率范圍一般取兩邊，不包含90度時，一般斜率范圍取中間【一隅三反】1．直線過點，且與以，為端點的線段有公共點，求直線的斜率和傾斜角的取值范圍.【答案】斜率的范圍：；傾斜角的范圍：.【解析】如圖所示.∵，，又直線過點，且與以，為端點的線段有公共點，所以由圖像可得：，因此傾斜角的范圍為：.2．已知直線過點，.（1）當為何值時，直線的斜率是？（2）當為何值時，直線的傾斜角為？【答案】（1）m=；（2）m=1.【解析】（1）由題意，，解得；（2）若直線的傾斜角為，則平行于軸，所以，得.3．已知直線過點且與以，為端點的線段有公共點，則直線傾斜角的取值范圍為_______．【答案】【解析】如圖所示：設直線過點時直線的斜率為，直線過點時直線的斜率為，則，，，所以要使直線與線段有公共點，則直線的斜率的取值范圍為：,所以傾斜角的取值范圍.故答案為：.考點四直線平行【例4】直線與直線互相平行，則實數（）A． B．4 C． D．2【答案】D【解析】當時，，，此時，不滿足條件，當時，應滿足，解得，綜上，.故選：D.含有參數的兩條直線平行的參數的求法，判斷斜率相等或者斜率都不存在是關鍵含有參數的兩條直線平行的參數的求法，判斷斜率相等或者斜率都不存在是關鍵【一隅三反】1．若直線2x+（a+2）y+4＝0與直線（a﹣1）x+2y+2＝0平行，則實數a的值為（）A．﹣3 B．2 C．2或﹣3 D．【答案】A【解析】∵直線與直線平行，∴，解得：或，當時，直線與直線重合，∴舍去；當時，直線與直線平行，∴成立.故選：A.2．已知直線和直線平行，則實數m的值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因為直線和直線平行，所以，解得.故選：C.3．若直線,互相平行,則實數的值為（）A． B．6 C． D．【答案】B【解析】因為直線，互相平行,所以且,解得且,所以.故選：B考點五直線垂直【例5】已知直線，若，則實數的值為（）A．-3 B．-3或0 C．2或-1 D．0或-1【答案】B【解析】由知：解得：或故選：B【一隅三反】1．“”是“兩直線和互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當時，兩直線和的斜率分別為：和，所以兩直線垂直；若兩直線和互相垂直，則，解得：；因此“”是“兩直線和互相垂直”的充分不必要條件.故選：A2．設，則“”是“直線與直線相交”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充他條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】直線與直線相交的充分條件是，即，由于是的充分不必要條件，故選：A.3．若直線a，b的斜率分別為方程的兩個根，則a與b的位置關系為（）A．互相平行 B．互相重合 C．互相垂直 D．無法確定【答案】C【解析】由題意，∴兩直線垂直．故選：C．《2.2直線方程》考點復習【思維導圖】【常見考點】考點一點斜式方程【例1】經過點，且傾斜角為的直線方程是（）．A． B．C． D．【一隅三反】1．經過點（，2），傾斜角為60°的直線方程是（）A． B．C． D．2．過點P（4，－1）且與直線3x－4y＋6＝0垂直的直線方程是（）A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0考點二斜截式方程【例2】已知直線l的斜率是1，且在y軸上的截距是，則直線l的方程是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．傾斜角為,在軸上的截距為的直線方程是A． B． C． D．考點三兩點式方程【例3】已知點，，則直線的方程是________.【一隅三反】1．過，的直線方程是（）A． B． C． D．2．過點（4，－2）和點（－1，3）的直線方程為____________.考點四截距式方程【例1】____【一隅三反】1．已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數A．1 B． C．或1 D．2或12．設直線過點，在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則滿足題設的直線的條數為（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知直線x＋my＋1＋m＝0在兩坐標軸上的截距相等，則實數m＝（）A．1 B．－1 C．±1 D．1或0考點五一般式方程【例5】已知直線的傾斜角為，在y軸上的截距為2，則此直線的一般方程為______【一隅三反】1.三角形的三個頂點是，，．（Ⅰ）求邊上的高所在直線的方程；（Ⅱ）求邊上的中線所在直線的方程．2．已知△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），試求：（1）邊AC所在直線的方程；（2）BC邊上的中線AD所在直線的方程；（3）BC邊上的高AE所在直線的方程.考點六直線方程綜合運用【例6】（1）設直線過定點，則點的坐標為（）A． B． C． D．（2）已知直角坐標系平面上的直線經過第一、第二和第四象限，則滿足（）A． B．，C．， D．，【一隅三反】1．若且，直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限，2．下列說法不正確的是（）A．不能表示過點且斜率為的直線方程；B．在軸、軸上的截距分別為的直線方程為；C．直線與軸的交點到原點的距離為；D．平面內的所有直線的方程都可以用斜截式來表示.3．已知直線過點，且與軸、軸都交于正半軸，求：（1）直線與坐標軸圍成面積的最小值及此時直線的方程；（2）直線與兩坐標軸截距之和的最小值及此時直線的方程.《2.2直線方程》考點復習答案解析考點一點斜式方程【例1】經過點，且傾斜角為的直線方程是（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因為直線傾斜角為，故直線斜率為.故直線方程為：，整理可得：.故選：.【一隅三反】1．經過點（，2），傾斜角為60°的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由直線的傾斜角為，得到直線的斜率又直線過點則直線的方程為故選2．過點P（4，－1）且與直線3x－4y＋6＝0垂直的直線方程是（）A．4x＋3y－13＝0 B．4x－3y－19＝0C．3x－4y－16＝0 D．3x＋4y－8＝0【答案】A【解析】因為兩直線垂直，直線3x﹣4y+6=0的斜率為，所以所求直線的斜率k=﹣則直線方程為y﹣（﹣1）=﹣（x﹣4），化簡得4x+3y﹣13=0故選：A．考點二斜截式方程【例2】已知直線l的斜率是1，且在y軸上的截距是，則直線l的方程是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直線的斜率為，且在軸上的截距為，所以直線的方程為．故選：C．【一隅三反】1．傾斜角為,在軸上的截距為的直線方程是A． B． C． D．【答案】D【解析】傾斜角，直線方程截距式考點三兩點式方程【例·】已知點，，則直線的方程是________.【答案】【解析】直線的兩點式方程為代入，，得整理得直線的方程是.故答案為:.【一隅三反】1．過，的直線方程是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為所求直線過點，，所以，即.故選：B2．過點（4，－2）和點（－1，3）的直線方程為____________.【答案】【解析】由題意可知，直線過點和點，由兩點坐標，求得斜率，再由點斜式求得直線方程為：，即：.故答案為：.考點四截距式方程【例1】____【答案】【解析】當截距為0時，設，代入A（5，-2）解得，即當截距不為0時，設，代