人教版高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題與答案解析（共兩套）

人教版高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（一）（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)：第一章、第二章、第三章一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知兩個(gè)非零向量，，則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是()。A、B、C、D、存在非零實(shí)數(shù)，使2．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為()。A、B、C、D、3．若直線與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、4．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()。A、B、C、D、5．若、分別為直線與上任意一點(diǎn)，則的最小值為()。A、B、C、D、6．已知橢圓：()的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為()。A、B、C、D、7．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、8．如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且。當(dāng)、、、共面時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為()。A、B、C、D、二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)()。A、B、C、D、10．已知橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則該橢圓的離心率()。A、B、C、D、11．下列命題中不正確的是()。A、若、、、是空間任意四點(diǎn)，則有B、若，則、的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C、是、共線的充分條件D、對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)、、，若()，則、、、四點(diǎn)共面12．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是。14．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則。15．如圖所示，是正四棱錐，是正方體，其中，，則點(diǎn)到平面的距離為。16．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且依次交拋物線及圓于、、、四點(diǎn)，則的最小值為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知兩圓：和：。(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)。18．（本小題滿分12分）如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足。(1)求邊所在直線的方程；(2)求外接圓的方程；(3)若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。19．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，底面為正三角形，在底面上的射影是棱的中點(diǎn)，于點(diǎn)。(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值。20．（本小題滿分12分）橢圓：()的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓：的直徑，且的離心率等于。直線和是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)。(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的斜率()。21．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，四邊形為菱形，，平面平面，，，為的中點(diǎn)。(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的大小。22．（本小題滿分12分）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從、上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：(1)求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：()與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知兩個(gè)非零向量，，則這兩個(gè)向量在一條直線上的充要條件是()。A、B、C、D、存在非零實(shí)數(shù)，使【答案】D【解析】A選項(xiàng)，表示的單位向量，表示的單位向量，則，但不一定有，錯(cuò)，B選項(xiàng)、C選項(xiàng)不能推出，故選D。2．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的焦距為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，則，∴雙曲線方程為，故選B。3．若直線與圓相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，半徑?！咧本€與圓相交，∴，解得或，故選D。4．點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，那么圓上一點(diǎn)設(shè)為，滿足，，根據(jù)條件，代入后得到，化簡(jiǎn)為：，故選A。5．若、分別為直線與上任意一點(diǎn)，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴兩直線平行，將直線化為，由題意可知的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，∴的最小值為，故選B。6．已知橢圓：()的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)作傾斜角為的直線與圓相交的弦長(zhǎng)為，則橢圓的離心率為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】過點(diǎn)傾斜角為的直線方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長(zhǎng)公式可得：，整理可得：，∴，，則：，，故選B。7．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若點(diǎn)恰好在以、為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由題意，得、，設(shè)過的拋物線的切線方程為：，聯(lián)立得，令，得，即，不妨設(shè)，由雙曲線的定義得，，則該雙曲線的離心率為，故選D。8．如圖所示，是棱長(zhǎng)為的正方體，、分別是棱、上的動(dòng)點(diǎn)，且。當(dāng)、、、共面時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)如圖建系，則、、，由題意知：當(dāng)、時(shí)，、、、共面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，解得，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為，故選B。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線與經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)的直線互相垂直，則實(shí)數(shù)()。A、B、C、D、【答案】BC【解析】的斜率，當(dāng)時(shí)，的斜率，∵，∴，即，解得，當(dāng)時(shí)，、，直線為軸，，，直線為軸，顯然，∴實(shí)數(shù)的值為或，故選BC。10．已知橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為直角三角形，則該橢圓的離心率()。A、B、C、D、【答案】CD【解析】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由于，∴，，∵，，∴橢圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則由于，∴，，∵，，∴橢圓的離心率為，故選CD。11．下列命題中不正確的是()。A、若、、、是空間任意四點(diǎn)，則有B、若，則、的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C、是、共線的充分條件D、對(duì)空間任意一點(diǎn)與不共線的三點(diǎn)、、，若()，則、、、四點(diǎn)共面【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，而不是，故A錯(cuò)，B選項(xiàng)，僅表示與的模相等，與方向無關(guān)，故B錯(cuò)，C選項(xiàng)，，即，即，與方向相反，故C對(duì)，D選項(xiàng)，空間任意一個(gè)向量都可以用不共面的三個(gè)向量、、表示，∴、、、四點(diǎn)不一定共面，故D錯(cuò)，故選ABD。12．已知、是雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，交另一條漸近線于點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由題意可知，，，，則，，，代入得，即，解得，則，(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)，，設(shè)，則，，由題意可知，，，，則，，，則，則，代入得，即，解得，則，故選AC。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的連線的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡方程是。【答案】()【解析】設(shè)，則，，∵動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、的連線的斜率之積為，∴，∴，即，且，綜上點(diǎn)的軌跡方程是()。14．過雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別向圓：和圓：()作切線，切點(diǎn)分別為、，若的最小值為，則?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是題中圓的圓心，∴，顯然其最小值為，。15．如圖所示，是正四棱錐，是正方體，其中，，則點(diǎn)到平面的距離為。【答案】【解析】方法一：利用等體積法求點(diǎn)到平面距離：，又，，即，解得；方法二：利用建系求點(diǎn)到平面距離：以為原點(diǎn)，、、為、、軸建系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，設(shè)，解得，，則，又點(diǎn)到平面的距離。16．如圖所示，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且依次交拋物線及圓于、、、四點(diǎn)，則的最小值為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，由圓：，圓心，半徑為，由拋物線的定義得：，又∵，∴，同理：，當(dāng)軸時(shí)，則，∴，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)：，代入拋物線方程，得：，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，綜上所述的最小值為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知兩圓：和：。(1)求證：圓和圓相交；(2)求圓和圓的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)。【解析】(1)證明：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，2分兩圓圓心距，，∴圓和相交；4分(2)圓和圓的方程左、右分別相減，得，6分∴兩圓的公共弦所在直線的方程為，7分圓心到直線的距離，9分故公共弦長(zhǎng)為。10分18．（本小題滿分12分）如圖，已知的邊所在直線的方程為，滿足，點(diǎn)在邊所在直線上且滿足。(1)求邊所在直線的方程；(2)求外接圓的方程；(3)若動(dòng)圓過點(diǎn)，且與的外接圓外切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程?！窘馕觥?1)∵，∴，又在上，∴，∴為，1分又邊所在直線的方程為，∴直線的斜率為，2分又∵點(diǎn)在直線上，∴邊所在直線的方程為，即；4分(2)與的交點(diǎn)為，∴由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，5分∵，∴為斜邊上的中點(diǎn)，即為外接圓的圓心，6分又，從而外接圓的方程為；7分(3)∵動(dòng)圓過點(diǎn)，∴是該圓的半徑，又∵動(dòng)圓與圓外切，∴，即，9分故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的左支，10分∵實(shí)半軸長(zhǎng)，半焦距，∴虛半軸長(zhǎng)，11分從而動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為()。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，底面為正三角形，在底面上的射影是棱的中點(diǎn)，于點(diǎn)。(1)證明：平面；(2)若，求與平面所成角的正弦值。【解析】(1)證明：連接，∵為正三角形，為中點(diǎn)，∴，∵，，∴平面，∴，2分又，，∴，又，∴平面，4分(2)解：由(1)可知，，，，故分別以、、為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，6分設(shè)，則，，，，則，，，8分設(shè)平面的法向量為，則即，設(shè)，則、，則，10分設(shè)與平面所成角為，則，∴與平面所成角的正弦值為。12分20．（本小題滿分12分）橢圓：()的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓：的直徑，且的離心率等于。直線和是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，交于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)。(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的斜率()?！窘馕觥?1)由題意得，∴，∵，∴，∴，2分∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；3分(2)直線：，則直線：，由，5分得，恒成立，6分設(shè)、，則，，7分∴，8分∵圓心到直線：的距離，9分又，∴，10分∵，∴，11分由，解得或，由，得。12分21．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱柱中，四邊形為菱形，，平面平面，，，為的中點(diǎn)。(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成角的大小。【解析】(1)∵四邊形為菱形，，，1分∴，∴，2分又平面平面，平面平面，∴平面，3分又，∴平面；4分(2)取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、，∵平面，∴平面，∴、，又四邊形是菱形，，是的中點(diǎn)，∴，故、、兩兩互相垂直，6分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∴、、、，7分由圖可知，平面的一個(gè)法向量為，8分設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得平面的一個(gè)法向量為，10分設(shè)平面與平面所成角的平面角為，則，11分又∵，∴，∴平面與平畫所成角為。12分22．（本小題滿分12分）已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從、上分別取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：(1)求、的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線：()與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！窘馕觥?1)設(shè)拋物線：()，則有()，1分據(jù)此驗(yàn)證個(gè)點(diǎn)知、在拋物線上，易求：，2分設(shè)橢圓：()，把點(diǎn)、代入得：，3分解得，，∴的方程為：；4分(2)設(shè)、，將()代入橢圓方程，消去得：，5分∴，即①，6分由根與系數(shù)關(guān)系得：，則，7分∴線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，8分又線段的垂直平分線的方程為，9分由點(diǎn)在直線上，得，10分即，∴，由①得，∴，即或，11分∴實(shí)數(shù)的取值范圍是。12分人教版高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（二）（本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）測(cè)試范圍：選擇性必修第一冊(cè)RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則()。A、B、C、D、2．在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為()。A、B、C、D、3．若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示()。A、過點(diǎn)且與垂直的直線B、過點(diǎn)且與平行的直線C、不過點(diǎn)且與垂直的直線D、不過點(diǎn)且與平行的直線4．已知圓：和兩點(diǎn)、，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為()。A、B、C、D、5．若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、6．如圖所示，在三棱錐中，平面，是棱的中點(diǎn)，已知，，，則異面直線與所成角的余弦值為()。A、B、C、D、7．已知、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線、的斜率分別為、()，若的最小值為，則橢圓的離心率為()。A、B、C、D、8．已知雙曲線(，)與拋物線()有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．過點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程為()。A、B、C、D、10．給出下列命題，其中正確的有()。A、空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B、已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C、、、、是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)空間的一組基底，則、、、共面D、已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間的一組基底11．設(shè)拋物線：()的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的方程為()。A、B、C、D、12．我們把離心率為的雙曲線(，)稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，、是虛軸頂點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，則下列命題正確的是()。A、雙曲線是黃金雙曲線B、若，則該雙曲線是黃金雙曲線C、若，則該雙曲線是黃金雙曲線D、若，則該雙曲線是黃金雙曲線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為。14．如圖所示，平面，，，，則二面角的余弦值大小為________。15．拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為原點(diǎn)，則的面積為。16．如圖所示，在正四棱柱中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段、上，則線段長(zhǎng)度的最小值是。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知圓上一定點(diǎn)，為圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)。(1)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程。18．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)。(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍。19．（本小題滿分12分）如圖所示，已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。(1)證明：直線平面；(2)求平面和平面所成的銳二面角的余弦值。20．（本小題滿分12分）已知橢圓：()的左、右頂點(diǎn)分別為、，其離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(異于、)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，。(1)求橢圓的方程；(2)若直線與交于點(diǎn)，試問：點(diǎn)是否恒在一條直線上？若是，求出此定直線方程，若不是，請(qǐng)說明理由。21．（本小題滿分12分）如圖所示，在多面體中，底面是梯形，，，，底面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上。(1)證明：平面；(2)如果直線與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)的位置。22．（本小題滿分12分）已知橢圓：()上的點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的最大值是最小值的倍，且點(diǎn)在橢圓上。(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)任作一條直線，與橢圓交于不同于的、兩點(diǎn)，與直線：交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、，求證：。答案解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由雙曲線性質(zhì)：，，∴，，故選B。2．在三棱錐中，平面平面，，，，，，則的長(zhǎng)為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】建立以為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，故選C。3．若點(diǎn)是直線：外一點(diǎn)，則方程表示()。A、過點(diǎn)且與垂直的直線B、過點(diǎn)且與平行的直線C、不過點(diǎn)且與垂直的直線D、不過點(diǎn)且與平行的直線【答案】D【解析】∵點(diǎn)不在直線：上，∴，∴直線不過點(diǎn)，又直線與直線：平行，故選D。4．已知圓：和兩點(diǎn)、，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得點(diǎn)在圓上，因此由兩圓有交點(diǎn)得：，即的最小值為，故選A。5．若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由題意已知圓與圓相交，∴，解得且，故選B。6．如圖所示，在三棱錐中，平面，是棱的中點(diǎn)，已知，，，則異面直線與所成角的余弦值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵平面，∴、，過點(diǎn)作，又，則、、兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，又為中點(diǎn)，則故，，∴，設(shè)異面直線與所成的角為，則，故選C。另解：還原長(zhǎng)方體，則，，則異面直線與所成的角為與所成的角即，在中，，，，∴，故選C。7．已知、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線、的斜率分別為、()，若的最小值為，則橢圓的離心率為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】設(shè)，，則，可得，，，又時(shí)，∴，∴，又∵，∴，故選D。8．已知雙曲線(，)與拋物線()有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由題意知拋物線()的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由在拋物線的準(zhǔn)線上，則，則，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，則，解得，∴雙曲線的漸近線方程是，將代入漸近線的方程，即，則雙曲線的離心率為，故選C。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9．過點(diǎn)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程為()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】設(shè)所求直線方程為(、不同時(shí)為)，顯然，當(dāng)或時(shí)，所得直線方程不滿足題意，故、均不為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則，令，則，整理，得，解得，或，則，或，故所求直線方程為或，故選AC。10．給出下列命題，其中正確的有()。A、空間任意三個(gè)向量都可以作為一組基底B、已知向量，則、與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基底C、、、、是空間四點(diǎn)，若、、不能構(gòu)空間的一組基底，則、、、共面D、已知是空間向量的一組基底，若，則也是空間的一組基底【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，空間任意的三個(gè)不共面的向量才可以作為一組基底，故A錯(cuò)，B選項(xiàng)，若，則、與任何向量都共面，故不能構(gòu)成空間的一組基底，故B對(duì)，C選項(xiàng)，若、、不能構(gòu)空間的一組基底，則、、共面，又、、過相同的點(diǎn)，則、、、四點(diǎn)共面，故C對(duì)，D選項(xiàng)，∵是空間向量的一組基底，則、與向量一定不共面，∴也可以構(gòu)成空間向量的一組基底，故選CBD。11．設(shè)拋物線：()的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若以為直徑的圓過點(diǎn)，則的方程為()。A、B、C、D、【答案】BD【解析】設(shè)，則，則，又，則以為直徑的圓的方程為，將代入，得，即，，由得：，解得或，則方程為或，故選BD。12．我們把離心率為的雙曲線(，)稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，、是虛軸頂點(diǎn)，、是焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，則下列命題正確的是()。A、雙曲線是黃金雙曲線B、若，則該雙曲線是黃金雙曲線C、若，則該雙曲線是黃金雙曲線D、若，則該雙曲線是黃金雙曲線【答案】BCD【解析】A選項(xiàng)，，不是黃金雙曲線；B選項(xiàng)，，化成，即，又，解得，是黃金雙曲線；C選項(xiàng)，∵，∴，∴，化簡(jiǎn)得，由②知是黃金雙曲線；D選項(xiàng)，∵，∴軸，，且是等腰，∴，即，由②知是黃金雙曲線；綜上，BCD是黃金雙曲線，故選BCD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，被直線：反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則反射光線所在直線的方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥吭O(shè)點(diǎn)關(guān)于直線：的對(duì)稱點(diǎn)為，則反射光線所在直線過點(diǎn)，∴，∴解得，，又反射光線經(jīng)過點(diǎn)，∴所求直線的方程為，即。14．如圖所示，平面，，，，則二面角的余弦值大小為________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳渣c(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵、、、∴，，，設(shè)平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則且，∴可取，，∴。15．拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)為原點(diǎn)，則的面積為?！敬鸢浮俊窘馕觥咳鐖D，由題意可知，，由得，又根據(jù)∽可得，即，即，解得，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，∴。16．如圖所示，在正四棱柱中，，，動(dòng)點(diǎn)、分別在線段、上，則線段長(zhǎng)度的最小值是?！敬鸢浮俊窘馕觥咳鐖D建系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，，，則，，則，設(shè)點(diǎn)，，，則，，則，∴，則當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)，線段長(zhǎng)度取最小值是。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知圓上一定點(diǎn)，為圓內(nèi)一點(diǎn)，、為圓上的動(dòng)點(diǎn)。(1)求線段中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若，求線段中點(diǎn)的軌跡方程?！窘馕觥?1)設(shè)的中點(diǎn)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，點(diǎn)坐標(biāo)為，2分∵點(diǎn)在圓上，∴，4分故線段中點(diǎn)的軌跡方程為；5分(2)設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，6分設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，則，∴，8分∴，故線段中點(diǎn)的軌跡方程為。10分18．（本小題滿分12分）已知點(diǎn)，點(diǎn)是圓：上的任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)。(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【解析】(1)由題意知：，，∴，2分∴的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其軌跡方程為；3分(2)設(shè)、，則將直線與橢圓的方程聯(lián)立得，消去得：，由得：，①7分∴，，8分∵原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部，∴，即，9分而，∴，10分即，∴，且滿足①式的取值范圍是。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，已知三棱柱，底面三角形為正三角形，側(cè)棱底面，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。(1)證明：直線平面；(2)求平面和平面所成的銳二面角的余弦值?！窘馕觥?1)證明：由題意可知，三棱柱為直三棱柱，則四邊形為矩形，連接交于點(diǎn)，連、，則為和的中點(diǎn)，又∵為的中點(diǎn)，∴，2分又∵為的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，4分又∵平面，平面，∴平面；5分(2)∵三角形為正三角形，∴，又底面，∴底面，以為原點(diǎn)，、、為、、軸建立直角坐標(biāo)系，如圖建系，6分則，，，，，，7分設(shè)平面的法向量為，又，，則，得，令，則，，則，9分又可知平面的法向量為，10分設(shè)平面與平面的夾角的平面角為，則，∴平面和平面所成的銳二面角的余弦值。12分20．（本小題滿分12分）已知橢圓：()的左、右頂點(diǎn)分別為、，其離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)(異于、)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，。(1)求橢圓的方程；(2)若直線與交于點(diǎn)，試問：點(diǎn)是否恒在一