大慶2022年高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

鐵人中學(xué)2022級(jí)高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

試題說明：1、本試題滿分150分，答題時(shí)間120分鐘.

2、請(qǐng)將答案填寫在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡.

第I卷主觀題部分

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知/+丁+2a_4,+左2+左—2=0表示的曲線是圓，則左的值為()

A.(6,+8)B.[-6,+co)C.(-00,6)D.(-00,6]

【答案】C

解析：由方程7+/+2&—4y+左2+左一2=0可得(尤+^y+(y—2『=6—左，

所以當(dāng)廠=46—左＞0時(shí)表示圓,解得左＜6.

故選：C.

22

2.已知雙曲線器=1的左右焦點(diǎn)耳，F(xiàn)2,p是雙曲線上一點(diǎn)，|/蜀=7,則|?閭=()

A.1或13B.1C.13D.9

【答案】C

解析：根據(jù)雙曲線定義可得|附|-怛即=2“=6,又戶周=7,

所以|「闖=1或歸居|=13,

又。?=/+人2_25,

解得c=5,即閨閶=2c=10,

又耳|+|%以耳閱=10,

所以歸周=13

故選：c

3.設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q,貝U“4＜0”是“對(duì)任意正整數(shù)"，々"一1〉。2“”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

解析：｛4｝是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，若公比9<0,則數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，一定有。2,1〉。2.，

充分性滿足,

但是。<4<1時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)均為正，。2"=。2"-應(yīng)<出〃，也就是說％“<。2,1時(shí)，得不出9<0，不必要.

故選：A.

4.若直線丁=后+根與圓V+y2—2y=0相切，則實(shí)數(shù)用的值為（）

A.—班+2或-百-2B.1或一3

C.—1或3D.G+l或6—1

【答案】C

解析：由^+丁―2》=0圓心為（0,1）,半徑為1，

y=y/3x+根即W>x-y+m=0,

1-1+ml

則d=^^=l

V3+1

解得加=一1或加=3.

故選：C.

5.如圖，N分別是四面體。45。的邊Q4,5C的中點(diǎn)，P,。是肱V的三等分點(diǎn)，且。4=。，08二匕，

OC=c，則向量OQ可表示為（

L+4+L

A.B.-a+-b+-c

366633

L+4+L

C.

336663

【答案】A

解析：由題意“，N分別是四面體Q43C的邊Q4,5c的中點(diǎn)，P,Q是的三等分點(diǎn),

連接ON,

得OQ=OM+MQ=goA+giW=goA+g(ON—OM)

=-OA+-x-(OB+OC)--OA

2326

1-1一111

=-OA+-(OB+OC)=-a+-b+-c,

36366

故選：A

6.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字"冬"為靈

感來源，運(yùn)用中國(guó)書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國(guó)際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代

的中國(guó)新形象、新夢(mèng)想.會(huì)徽?qǐng)D形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動(dòng)員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動(dòng)員的英姿.中

間舞動(dòng)的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場(chǎng)、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)

五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動(dòng)員應(yīng)以公正、坦誠(chéng)的運(yùn)動(dòng)員精神在比賽場(chǎng)上相見.其

中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例(如圖)：若圓半徑均為12,則相鄰圓圓心水平距離為26,兩排圓圓

心垂直距離為11,設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為。,。2,。,，。*。，若雙曲線C以為焦點(diǎn)、以直線。204為

一條漸近線，則C的離心率為()

【答案】B

解析：依題意，以點(diǎn)。2為原點(diǎn)，直線為X軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點(diǎn)。4(-13,-11),

，?h

設(shè)雙曲線C的方程為臺(tái)泊1人。八°),其漸近線為因直線。2。4為一條漸近線,

A/290

則有一=—，雙曲線c的禺心率為e

a1313

故選：B

7.已知數(shù)列｛叫滿足4—a.=芋產(chǎn)，且。2=-1，若4=16%,則正整數(shù)人為()

A.13B.12C.11D.10

【答案】B

解析：4—4+1=竿產(chǎn)，故—一一；=白，。2=-1，故《!=一；，

，Un+1Un乙，

1)11、，11、111,c1

十.4_4_4_19一

+-+?1J+2"—2

an-l)T一2"-2

卜anan-lJl“2ax2”

故4=-2"-2,

氏=16。8,即—2"2=—16X26=—嚴(yán)，故左—2=10,解得左=12

故選：B

8.已知圓M:(X+4)2+/=4直線/:x+y—2=0,點(diǎn)尸在直線/上運(yùn)動(dòng)，直線尸分別與圓M相切

于點(diǎn)A,3.則下列說法正確的是()

A.四邊形75AA的面積最小值為J自

B.最短時(shí)，弦AB長(zhǎng)為生巨

3

C.|P4|最短時(shí)，弦AB直線方程為3x+3y—8=0

D.直線AB過定點(diǎn)［一可,2)

【答案】B

解析：對(duì)于A,四邊形的面積可以看成兩個(gè)直角三角形的面積之和,

222

即SmmpAMB=SMPA+SMPB-2SIx\PA\\AM\=2\PA\=2^PM-AM=2^]PM-A

最短時(shí)，面積最小，故當(dāng)MP1/時(shí)，|MP|最短，

由上述可知，時(shí)，1破|最短，故IP4I最小,

且最小值為|尸川=430)2一4=714,

所以|AB|=2|AMkin/AMP=2|AM|^=2x2x^=^

故B正確;

當(dāng)|PA|最短時(shí)，則又所以〃/A3，分=T,

^AB~—1，

可設(shè)AB的直線方程為x+y+m=O,

二圓心M(-4,0)到直線AB的距離d=匕隼現(xiàn)=J|AM|2-f四］=迪,

行V1I2J3

”曰8T.16

解得加=一或加=一,

33

由于直線A5在圓心M(-4,0)的右側(cè)，且在直線/的左側(cè),

所以Yv—m<2=>—2<m<4,

Q

所以"7=§,

Q

即直線AB的方程為x+y+、=0,故C錯(cuò)誤；

設(shè)圓上一點(diǎn)N(x<,匚j,B電,yj,P(xp,yp),

，

MA=(<XA+4,_yA),MB=(xB+4,yB),PA=[xA-Xp,yA-yP)

易知PA?MA=0n(%+4)(%A-米)+%(%-小)=0,

由于⑷+釬+資=4,

所以(4+4)(乙+4)+力―%=4,

同理尸小阪8=0=>(無p+4)(WB+4)+yp?%=4,

AB:(x+4)(%+4)+y?%=4,

yP——xP+2,

:.(x+4)(x?+4)+y(2—巧,)=4,即(x+4—+4x+2y+12=0,

10

x=-----

x+4-y=03

令＜,解得《

[4x+2y+12=02

y=—

-3

所以直線A3過定點(diǎn)為3’3)故D錯(cuò)誤.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.方程工+上二=1表示曲線。，給出以下命題是真命題的有（）

5—tt—1

A,曲線?？赡転閳A

B.若曲線。為雙曲線，貝卜＜1或方＞5

c,若曲線。為橢圓，則1々＜5

D.若曲線C為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，貝I]3y＜5

【答案】AB

22

解析：當(dāng)5V=/—1,即/=3時(shí)，方程為土+匕=1,為圓，A正確

22

22

當(dāng)（5—1）＜0,即方＜1或/＞5時(shí)，方程上+六=1為雙曲型，B正確;

5-t>Q

22

當(dāng)〃—1>0,即1<，<5且時(shí)，方程工+-=1為橢圓，c錯(cuò)誤；

_15—tt—I

5一■w/—I

22

當(dāng)5—1>0,即l<a<3時(shí)，方程/一+工=l為焦點(diǎn)在尤軸上的橢圓，D錯(cuò)誤；

5—tt-I

故選：AB.

10.已知等差數(shù)列｛%,｝的前"項(xiàng)和為s“，若邑3〉0,邑4<0,則下列結(jié)論鎮(zhèn)誤的是（）

A.數(shù)列｛q｝是遞增數(shù)列B.a13>0

C.當(dāng)s“取得最大值時(shí)，〃=13D.%|>何2|

【答案】ABC

解析：等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”，

S”=23（4；%）=23須>0,所以心〉0，

S?4=24（q；）=]2（4[2+&）<0,所以%2+%3<0，所以63<0且，

所以等差數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，且當(dāng)〃=12時(shí)，s“取得最大值.

故D正確，ABC錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11,數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式為3”,〃€N*,前幾項(xiàng)和為S“，下列結(jié)論中正確的是（

A.S”的最小值為-4

B.存在正整數(shù)m,n｛mwri）,使得Sm=Sn

C.存在正整數(shù)m,n（mwn）,使得am+an=2a

D.記<=01a2an（n=1,2,3...）,則數(shù)列區(qū)｝有最小項(xiàng)

【答案】ABD

解析：對(duì)于A：因?yàn)??！?〃2一3",“€N*,令a“〉0,解得〃>3,

又卬=-2,/=-2,%=0,所以當(dāng)〃=2或〃=3時(shí)S“取得最小值，最小值為-4,故A正確;

對(duì)于B：令?！?"2-3"=0,解得：〃=3或”=0（舍去），即。3=0,

S2=S3,即存在正整數(shù)機(jī)=2,〃=3（加/〃），使得S"=S"，故B正確；

對(duì)于C：由4="2_3”知，當(dāng)〃23時(shí)為20,且單調(diào)遞增，

當(dāng)帆〃e｛l,2,3｝且時(shí)，am+an<0,21am420,則為+%N2Ja,/“；

當(dāng)根,〃eN*且m>3,">3時(shí)，am+an>2y/aman,當(dāng)且僅當(dāng)%,=a“時(shí)等號(hào)成立，

而機(jī)>3,〃>3且時(shí)，a抵手冊(cè),故等號(hào)不成立，即4“+a“〉2”/〃.

綜上知，不存在正整數(shù)，使得=2”/〃，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由4=/-3"知，％=-2,a2=-2,%=0，

當(dāng)〃>3時(shí)為〉0,且單調(diào)遞增，

，由4凡（”=1,2,3,）知，Tx-ax--2,T2=axa2-4,Tn=0（?=3,4,）,

當(dāng)〃=1時(shí)數(shù)列｛1｝有最小項(xiàng)［=-2,故D正確；

故選：ABD.

12.如圖拋物線「1的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)、為F，準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為4；拋物線「2的頂點(diǎn)為8,焦點(diǎn)也為E，

準(zhǔn)線為4,焦準(zhǔn)距為6.:Ti和：T2交于尸、。兩點(diǎn)，分別過P、。作直線與兩準(zhǔn)線垂直，垂足分別為M、N、

S、T,過尸的直線與封閉曲線APBQ交于C、。兩點(diǎn)，則（）

B.四邊形MNST的面積為100

C.FSFT=0|CD|的取值范圍為5,y

【答案】ACD

解析:設(shè)直線A3與直線//分別交于G,H,由題可知|G4|=|AF|=2,|FB=忸川=3,

所以|GH|=|肱V|=10,|AB|=5,故A正確；

如圖以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則網(wǎng)2,0),4：%=-2,

所以拋物線口的方程為丁=8%,

連接PE,由拋物線的定義可知打1=|m，X|ACV|=10,

所以Xp=3,代入y2=8x,可得y?=2?,

所以|MT|=|NS|=4后，又|w|=10,故四邊形腦VST的面積為40面，故B錯(cuò)誤;

連接0尸，因?yàn)閨)HQT|=|QS|,所以NQFT=NQTF,NQFS=NQSF,

所以NTFS=NQFT+NQFS=,…FiQFS+NQSF=二

22

故邠?尸r=o，故c正確；

根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)D在封閉曲線APBQ的上部分，設(shè)C,。在直線ZPZ2±的射影分別為G,,

當(dāng)點(diǎn)o在拋物線成，點(diǎn)。在拋物線AQ上時(shí)，=

當(dāng)C,。與A,3重合時(shí)，|CD|最小，最小值為|CD|=5,

當(dāng)O與P重合，點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，因?yàn)椤?3,2遙),E(2,0),直線CD:y=2"(x—2),

與拋物線「1的方程為V=8x聯(lián)立，可得3/一13X+12=0，設(shè)

1325

則Xj+%2=，|CJD|=玉+%+4=

3

所以|CZ)|E5,—

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線B4,點(diǎn)C在拋物線AQ上時(shí)，設(shè)。：尤=9+2,

與拋物線「1的方程為V=8%聯(lián)立，可得丁―8》—16=0,設(shè)。（七,%），。（%4，%），

則為+%=&'|CE）|=忍+/+4=,（%+”）+8=8〃+828,當(dāng)％=0,

「25~

即CD，AB時(shí)取等號(hào)，故此時(shí)|C￡>|e8,y；

「25-

當(dāng)點(diǎn)。在拋物線K4,點(diǎn)。在拋物線上時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，|。必€5,y;

「25-

綜上，|CZ）|e5,日~,故D正確.

故選：ACD.

第II卷客觀題部分

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知圓。］：/+/+2?！?y+l=0與圓。2：一+/—4%+2,—11=0,則兩圓的公共弦所在的直線

方程為.

【答案】3x-4j+6=0

解析：圓G：（尤+1尸+（丁-3）2=9的圓心G（—L3）,半徑卷=3,

圓。2：（%—2『+（y+=16的圓心C2⑵一1）,半徑弓=4,

于是|GG1=J（T-2C+（3+1）2=5e（2一大馬+Q，即圓￡,。2相交，

由尸:',+2x-6,+1=0消去二次項(xiàng)得6x—8y+12=0,gp3x-4j+6=0,

，+/—4x+2y-ll=0

所以兩圓的公共弦所在的直線方程為3x-4y+6=0.

故答案：3x—4y+6=0

ss

14.設(shè)S“是等比數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，若U=3,則”=.

7

【答案】-

3

解析：法一：

設(shè)。"=04""，當(dāng)4=1時(shí)，==>不符合要求，故

32Za、

故=1+/=3,即#=2,

1-<72

s2q(l-1-"2

i-q

l-q_l-g6_l-23^7

則

S4q(l—jI—223'

l-q

法二：

s,-s.s,-s7

由｛4｝為等比數(shù)列，故

cS4

由蒙=3,即S?聞，即^6-^44~T2S

==4=2,

3cS4S’

s「§

^+S4

即SG-S,普即必7

§4S43

7

故答案為：—

3

v2

15.已知點(diǎn)P,Q,〃是橢圓。：3+=l（a〉）〉O）上的三點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)。是，PQW的重心，若點(diǎn)

a

,直線尸。的斜率恒為-,，則橢圓。的離心率為

M

2

【答案】昱

2

解析：設(shè)尸（七,%）,。（9,%），尸。的中點(diǎn)N（/,%）

則%+%=2%,%+%=2%,

22

五+迎=1

a2b1222

且《,,，兩式相減可得%1一

三+艾=1?2

U2b2

整理可得以&=一）3+%］勺,則—:=一區(qū)-冬,

為一馬（乂+乂）42%a-

-b-0

由題意可知Af,O,N共線則3---%--0

玉）-0

—a—0

2

即xn=工a，所以—1上=a_2b-勺之，解得b_=一1，

%b2ba2a2

橢圓c的焦距為2c,則離心率e=￡

a

故答案為：B.

2

16.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為"曲池"的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均

為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2,A4，BB-CG，

。〃均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,對(duì)應(yīng)的圓心角為90°，則A耳與CR

成角的余弦值為；以C點(diǎn)為球心，石為半徑的球面與曲池上底面的交線長(zhǎng)為.

A.

42

【答案】①.-##0.8②.-71

53

解析：對(duì)于空1：圓弧的圓心。為原點(diǎn)，為X軸，為y軸過圓心。垂直于底面的直線為Z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系如下圖：

則4(0,2,0),4(0,1,2),C(l,0,0),刈(2,0,2),故照=(0,-l,2),CR=(1,0,2),

設(shè)A耳與C，所成夾角為氏

|做。J44

所以cos。=|----1|----1=—j=~7==-;

V5XV55

對(duì)于空2：做如下俯視圖：

|AC|=A/22+1=75，即以C為球心，石為半徑的球剛好過A點(diǎn)是球面與底面A3CD唯一的交點(diǎn),

因?yàn)閨CDj=也2+1=石,2(2,0,2)在球面上，

設(shè)與圓弧4G的交點(diǎn)為石(cose,sin%2),則|CE|=J[cosa-iy+sin2a+22-小，

解得cosa=—,sina=，故Eg,2,

242\22J

球面與上底面的交線是以G為圓心，半徑為1的圓弧EQ,則

R|=(2-2『=上,

圓心角cos/EiG。=]—^-~L

L=_l.由圖知：0<NEG2<vr,得NEGA=@

2x1x123

所以圓弧的長(zhǎng)為可義1=5.

d小品、\42兀

故答案為：—；.

53

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)4(2,—1),且與直線2x+2y—1=0平行.

(1)求直線/的方程；

(2)已知圓C與y軸相切，直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)為2后，圓心在直線y=xT上，求圓C的方程.

【答案】(1)x+y-l=0

(2)(x-2)2+(y-l)2=4.

(1)

因?yàn)橹本€/與直線2x+2y-l=0平行，所以直線/的斜率為-1,

則直線/的方程為y-(-l)=-l(x-2),

化簡(jiǎn)可得x+y—1=0.

即直線/的方程為x+y—i=o

(2)

設(shè)圓C的方程為(x—of+(y—辦)2=/，則b=a—l,

因?yàn)閳AC與y軸相切，所以r=時(shí)，

|<7+/?-1|

,所以解+(、5J

又圓心C到/的距離d=r2

即a2=2a°—4。+4,

解得a=2,b=l-

故圓C的方程為(x—2)2+(y—1)2=4.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“+ga“=l(〃eN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)〃=l0gi(l-S“+J("eN*),證明:--------1----------F...H------------<—

3她2她…ah.2

【答案】(1)

(2)證明見解析.

(1)

1,2

當(dāng)〃=1時(shí)，S]H--4=1,得〃]二—，

23

當(dāng)"22時(shí)，Sn=l--an,S,i=l—54T，則S.—S0T=5(a“_1—a”),

即%=g(%-4),所以a“=g*(〃22).

Q1

故數(shù)列｛4｝是以;為首項(xiàng)，§為公比的等比數(shù)列.

“"VO"；?■出"(f).

(2)

因?yàn)門=口“=GJ.

所以a=logj(l-S,+J=logj[]=n+\,

1_1_1_____1_

因?yàn)?A+i(n+l)(n+2)n+1〃+2，

111(\1W1O(11

貼2貼3b“b,,+i123)134j｛n+1n+2)2n+2

11111

又>0恒成立，故------1-----------F…H--------<—得證.

n+2貼2貼3b也+12

19.平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)/在,軸右側(cè)，且M到尸(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)加的軌跡。的方程；

7T

(2)若過點(diǎn)/且傾斜角為一直線與曲線C相交于RQ兩點(diǎn)，求線段尸。的長(zhǎng).

4

【答案】(1)y2=4%(x>0),

(2)8

(1)

設(shè)動(dòng)點(diǎn)〃(羽丁)(尤>0),點(diǎn)/到y(tǒng)軸的距離為d,

由題意|八〃百—d=1.

將點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)代入上式，得J(x_l)2+y2_x=l，

所以(x—iy+V=(x+l)2,

整理得y2=4x(x>0),

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程y2=4x(x>0)；

(2)

由題意可得直線PQ的方程為y=x-l,

[y2=4x,°

由#%2—6x+1=0>

y=x-l

設(shè)尸(冷必)，。&,%)，則%+%=6,

結(jié)合拋物線定義，所以忸。|=%+/+〃=6+2=8

20.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，%+4+%=6,%+%+%=24.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)在4和4+1之間插入九個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d”的等差數(shù)列，求數(shù)列—的前“項(xiàng)

和，.

【答案】⑴4=33x2”

73

73(〃+3)

(2)T=73——----L

“3.2"

(1)

由題后、，。3=d,。6=a4q，。9=a^q

+a6+%=(0j+a4+%)q2

/=4,4=±2

又在正項(xiàng)等比數(shù)列｛?！埃?，q>0,：.q=2,

3

故4=毛x2J

(2)

332"173n+1

因4=—X2",所以4=一__V____——=——x-------

H+1—73n+1d,32'

W+1

令1=下，其前九項(xiàng)和為2,

「111c1C11

?！?一+—+…+—=2乂彳+3X萬H-----1■(幾+1)x——

eic2。八222〃

1八c1c1/八1

-2?=2x—+3x—+---+(?+l)x^r，

所以;2=1+2+*+…+：_(〃+1)義/

乙乙乙乙乙

2n1〃

—i_i__2__(、2/J___n_+_1__3____1___n_+__1__3____+__3

"12"+i-22"2m―22"1

1---

2

所以Q=3-展，所以7；=73-當(dāng)空

21.已知和_A3C均是等腰直角三角形，AC既是az4c的斜邊又是A5C的直角邊，且

AC=2,沿AC邊折疊使得平面平面ABC,M為斜邊A3的中點(diǎn).

(1)求證：AC1PM.

（2）在線段P3上是否存在點(diǎn)N,使得CN與平面K43所成的角的正弦值為生叵.若存在，求出”的

33PB

值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）證明見解析

PN1-PN5

（2）存在,---——---=--

PB4~PB12

(1)

取AC中點(diǎn)。，連接MD,PD，如圖,

p

B

A

又M為A3的中點(diǎn)，.?.MD/ABC,

由AC13C,則MDLAC,

又4c為等腰直角三角形，PA1PC,PA=PC,:.PD±AC,

又MDcPD=D，MD,?Du平面尸MD，.:AC1平面尸MD，

又PMu平面尸A〃），.,.ACLP/W.

(2)

由（1）知，PD±AC,

又平面PAC_L平面ABC,AC是交線，？Du平面PAC，

所以FD_L平面ABC,即PZ）,AC,DM兩兩互相垂直,

故以。為原點(diǎn)，DA>DM>DP為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則4。,0,0),5(-1,2,0),C(-l,0,0),尸(0,0,1),

,-.CP=(1,0,1),AP=(-1,0,1),BP=(L-2,1),

設(shè)〃=（尤,y,z）為平面的一個(gè)法向量,

AP-n=-x-\-z-0

則〈令Z=l，即"=(1,1,1),

BP-n=x—2y+z-G

若存在N使得CN與平面所成的角的正弦值為生叵，且空=2,0W2WL

33PB

則PN=2Pfi=/l(—L2,—l),解得N(—4241—幾)，則CN=(1——X).

_______2_4A/66

則卜osCN,“=CN-n1—%+2%+1—4

5ml-猶+4萬A/3-V622-42+233

整理得，4822-322+5=0.

解得，4=1或2=昌.

412

故存在N使得CN與平面所成的角的正弦值為生叵，

33

…PN1PN5

止匕時(shí)---=——或----=

PB4PB12

221

22.已知橢圓E：=+二=1(?！怠贰?),離心率e=—，點(diǎn)A為E的左頂點(diǎn)，點(diǎn)尸為E的右焦點(diǎn),

a2b22

\AF|=3.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)E的直線/(不與x軸重合)與橢圓E交于“、N兩點(diǎn)，直線AM、AN分別交直線x=4于尸,

S+S

Q兩點(diǎn)，線段尸。中點(diǎn)為R,的面積分別為5,$2,53,求」「的值.